Ôn thi THPT quốc gia Toán A

Ôn thi THPT quốc gia Toán A tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả các lĩnh vực...

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA 2016 ĐỀ ÔN SỐ Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 180 phút (Đề gồm 01 trang) Câu (1 điểm) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số Câu (1 điểm) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y= y= 3x − x+2 x + 3x + 1;2 x +1 đoạn [ ] Câu (1 điểm) z − 3i z = a) Tìm tất số phức z thỏa điều kiện z + i số ảo với log ( x − 3) − log (6 x − 10) + = b) Giải phương trình Câu 4.(1 điểm) Tính tích phân + ln( x + 2) dx ( x + 1) I =∫ Câu 5.(1 điểm) Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho hai đường thẳng  x = + 3t  d :  y = + 2t x −1 y + z − ∆: = =  z = − 2t  −3 Chứng minh d ∆ đồng phẳng Viết phương trình mặt phẳng ( P) chứa hai đường thẳng Câu 6.(1 điểm) π cos 2( − x) + cos x = 2cos x − a) Giải phương trình lượng giác b) Trong lớp học có 20 học sinh namvà 10 học sinh nữ Nhà trường cần chọn học sinh từ lớp để thành lập tổ công tác tình nguyện Tính xác suất để học sinh chọn có nam, nữ số nam không nhiều số nữ Câu (1 điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a Hai mặt bên ( SAB ) ( SAD ) vuông góc với mặt đáy ( ABCD ) Góc SC mặt đáy ( ABCD ) 45 Tính thể tích khối chóp S ABCD khoảng cách hai đường thẳng BD SC theo a Câu 8.(1 điểm)Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có phân giác trung tuyến vẽ từ đỉnh  1 M  2; ÷   thuộc cạnh AB đường tròn B d1 : x + y − = 0, d : x + y − = Điểm 15 R= Tìm tọa độ đỉnh ∆ ABC ngoại tiếp ∆ ABC có bán kính ( x + 1) x + + x + = y + y + y +   x + x + x − y − 14 y + 19 = 3 9( y + 1) Câu (1 điểm) Giải hệ phương trình 2 Câu 10 (1 điểm) Với số thực dương a, b thỏa mãn a + b = ab + Tìm giá trị lớn biểu thức P = − 3ab + a−2 + b−2 a + b2 + HƯỚNG DẪN Max y = [ 1; 2] Câu Câu 17 x = a) z = ±2 + i Min y = x = [ 1; 2] b) x = ln Câu Câu x − 16 y − 13 z + 31 = Câu Câu π   x = + kπ   x = −π + k 2π  12  5π x = + k 2π  12  a) VS ABCD = b) 0,4 a a d ( BD, SC ) = Câu A(5; − 1), B (1;1), C 2; − 1) Câu (1; − 1) Câu 10 Pmax = a = b = SỞ GD-ĐT NGHỆ AN TRƯỜNG THPT BẮC YÊN THÀNH ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN NĂM 2012 Môn: Toán Khối A Thời gian làm 180 phút I PHẦN CHUNG (7,0 điểm) Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y = f ( x) = x − x Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số Trên (C) lấy hai điểm phân biệt A B có hoành độ a b Tìm điều kiện a b để hai tiếp tuyến (C) A B song song với Câu II (2,0 điểm) Tìm nghiệm khoảng (0; π) phương trình:  x 3π     2sin − cos  x − ÷ = + 3cos2 x     2 Giải phương trình: x − 4x − = x + Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân: I = ( x∈¡ ) π sin x ∫ 3x + dx −π Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy Góc mặt phẳng (SBC) (SCD) 600 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD Câu V (1,0 điểm) Với a, b, c số thực dương thỏa mãn đẳng thức: ab + bc + ca = abc Chứng b + 2a c + 2b a + 2c minh rằng: + + ≥ ab bc ac II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) (Thí sinh làm phần A B) A Theo chương trình Chuẩn Câu VIa (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD biết điểm A ( −2;3) phương trình đường thẳng ( BD ) : x − y + = Tìm tọa độ đỉnh lại hình vuông x −1 y + z = = mp(P): 2x +y –2z +2=0 1 Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm d, tiếp xúc với mp(P) qua điểm A(2; -1; 0) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: Câu VIIa (1,0 điểm) Giải phương trình sau tập số phức: ( z − z + 1) + ( z − z ) + = B Theo chương trình Nâng cao Câu VIb (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elip (E): x + 5y2 = có tiêu điểm F 1, F2 Tìm · MF = 900 elip (E) điểm M cho F x + y − z −1 = = Trong không gian Oxyz, cho điểm A ( 0; −1; ) , đường thẳng ( d ) : , −2 mặt phẳng ( P ) : x − y + z − = Viết phương trình đường thẳng ( d ′ ) qua A, song song với mp ( P ) vuông góc với đường thẳng ( d ) ( Câu VIIb (1,0 điểm) Giải phương trình: x + 3 ) x + 12 x = 14 x -HẾT Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh Số báo danh ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM Câu I (2,0 điểm) Đáp án Điểm  x = −1 ⇒ y = −  • y ' = x − x; y'=0 ⇔  x = ⇒ y =  x = ⇒ y = −1 • Giới hạn: lim y = +∞; lim y = +∞ 0,25 (1 điểm) Khảo sát Khảo sát hàm số: y = x4 – 2x2 • Tập xác định: D = ¡ x →−∞ x →+∞ • Bảng biến thiên: x- ∞ -1 + 0 CT +∞ +y+∞ CĐ + ∞y’ - 0,25 CT -1 -1 - Hàm số đồng biến khoảng (-1; 0) (1; +∞); nghịch biến khoảng (-∞; -1) (0; 1) - Hàm số đạt cực đại x = 0, yCĐ = 0; đạt cực tiểu x = ± 1; yCT = -1 Đồ thị (học sinh tự vẽ) (1 điểm) Tìm a, b để … Ta có f '( x ) = x − x Gọi a, b hoành độ A B k A = f '(a ) = 4a − 4a, Hệ số góc tiếp tuyến (C) A B 0,25 0,25 0,25 k B = f '(b) = 4b − 4b Tiếp tuyến A, B có phương trình là: y = f ' ( a ) ( x − a ) + f ( a ) = f ' ( a ) x + f (a ) − af' ( a ) ; y = f ' ( b ) ( x − b ) + f ( b ) = f ' ( b ) x + f (b) − bf' ( b ) ; Hai tiếp tuyến (C) A B song song trùng khi: k A = k B ⇔ 4a − 4a = 4b3 − 4b ⇔ ( a − b ) ( a + ab + b − 1) = (1) Vì A B phân biệt nên a ≠ b , (1) ⇔ a + ab + b − = (2) Mặt khác hai tiếp tuyến (C) A B trùng 2  a + ab + b − = a + ab + b − = ⇔ ( a ≠ b ) ⇔  ,  f ( a ) − af ' ( a ) = f ( b ) − bf ' ( b )  −3a + 2a = −3b + 2b Giải hệ ta nghiệm (a;b) = (-1;1), (a;b) = (1;-1), hai nghiệm tương ứng với cặp điểm đồ thị ( −1; −1) ( 1; −1) 0,25 0,25 Vậy điều kiện cần đủ để hai tiếp tuyến (C) A B song song với II (2,0 điểm) a + ab + b − =  a ≠ ±1; a ≠ b (1,0 điểm) Tìm nghiệm phương trình … Phương trình cho tương đương với phương trình: 3π   ( − cos x ) − − cos  x − ÷ = + 3cos2 x   0,25 0,25 ⇔ −2 cos x + sin x = 3cos2 x ⇔ 3cos2 x − sin x = −2 cos x π  ⇔ cos  x + ÷ = − cos x = cos ( π − x ) 6  π 5π k 2π 7π ⇔ x + = ± ( π − x ) + k 2π ⇔ x = + ∨x=− + k 2π (k ∈ ¡ ) 18 5π 17π 5π ;x = ;x = Vì x ∈ (0; π) nên phương trình cho có nghiệm x = 18 18 (1,0 điểm) Giải phương trình x − 4x − = x + (1) TXĐ : D = [ −5; +∞) ; ( 1) ⇔ ( x − ) − = x + 0,25 0,25 0,25 x + , y ≥ ⇒ ( y − 2) = x + Đặt y - = ( x − ) = y + ( x − ) = y +    Ta có hệ: ( y − ) = x + ⇔ ( x − y ) ( x + y − ) = y ≥ y ≥    y = x   ( x − ) = y +  y = x     ± 29     x − y =    x − 5x − = x =       ⇔   ( x − ) = y + ⇔    y = − x ⇔       y = − x x − 3x − =    x + y − =     x = −1 ∨ x =  y ≥   y ≥   y ≥  + 29 x= + 29 ⇔ Vậy phương trình có nghiệm: x = −1; x =   x = −1 III (1,0 điểm) 0,25 0,25 0,25 0,25 π sin x sin x dx + ∫ x dx Ta có: I = ∫ x +1 +1 −π (*) 0,25 Tính J = sin x ∫ 3x + dx −π Đặt u = - x ⇒ du = - dx 0,25 Đổi cận: x = - π u = π; x = u = 0 ⇒ J = −∫ π π x sin ( −u ) 3u.sin u sin x du = du = ∫0 3u + ∫0 3x + dx 3− u + π π 0,25 Từ (*) ⇒ I = ∫ sin xdx hay I = 1 π π (1 − cos2x)dx =  x − sin x ÷ = ∫ 20 2 0 π 0,25 IV (1,0 điểm) Gọi M hình chiếu vuông góc B lên SC Chứng minh góc DMB = 1200 ∆DMB cân M S 0,25 M A D Tính được: DM2 = C 2 a 0,25 ∆SCD vuông D DM đường cao nên ∆ASD vuông A ⇒ SA = a 1 = + ⇒ DS= a 2 DM DS DC2 a 1 1 2 BĐT ⇔ + + + + + ≥ ; Giả thiết ⇔ + + = a b c a b b c c a 2 2 Áp dụng BĐT: a + b + c ≥ ( a + b + c ) (BĐT Côsi) Vậy thể tích khối chóp ...Thầy Khương- Dạy học Tâm- Nâng Tầm Học Sinh Chương Ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số Câu Cho hàm số f ( x) có tính chất f ′( x) ≥ 0, ∀x ∈ ( 0;3) f ′( x) = x ∈ [ 1; 2] Hỏi khẳng định sau khẳng định sai? A Hàm số f ( x) đồng biến khoảng ( 0;3) B Hàm số f ( x) đồng biến khoảng ( 0;1) C Hàm số f ( x) đồng biến khoảng ( 2;3) D Hàm số f ( x) hàm (tức không đổi) khoảng ( 1; ) Câu Cho hàm số f ( x) có f ′( x ) ≤ 0, ∀x ∈ ¡ f ′( x) = số hữu hạn điểm thuộc ¡ Hỏi khẳng định sau khẳng định đúng? f ( x1 ) − f ( x2 ) < A Với x1 , x2 ∈ ¡ x1 ≠ x2 ta có x1 − x2 B Với x1 , x2 ∈ ¡ x1 ≠ x2 ta có Câu f ( x1 ) − f ( x2 ) >0 x1 − x2 C Với x1 , x2 , x3 ∈ ¡ x1 < x2 < x3 ta có f ( x1 ) − f ( x2 ) < f ( x2 ) − f ( x3 ) D Với x1 , x2 , x3 ∈ ¡ x1 > x2 > x3 ta có f ( x1 ) − f ( x2 ) < f ( x2 ) − f ( x3 ) Cho hàm số y = f ( x ) = x − x Hỏi khẳng định khẳng định đúng? A Hàm số f ( x) nghịch biến khoảng ( −∞;1] đồng biến khoảng [ 1; +∞ ) B Hàm số f ( x) đồng biến khoảng ( −∞;1] nghịch biến khoảng [ 1; +∞ ) C Hàm số f ( x) nghịch biến khoảng ( −∞; −1] ; [ 1; +∞ ) đồng biến đoạn [ −1;1] D.Hàm số f ( x) đồng biến khoảng ( −∞; −1] ; [ 1; +∞ ) nghịch biến đoạn [ −1;1] Câu Câu Tìm khoảng nghịch biến hàm số y = − x5 + x − A ( −∞; +∞ )   ; +∞ ÷ B  ÷    3 ; C  − ÷ 5÷     3  ; ; +∞ D  −∞; − ÷  ÷  ÷ 5÷     Tìm khoảng đồng biến hàm số y = x − x + Số 062- Khu Quang Trung- Mạo Khê- Đông Triều- Quảng Ninh Thầy Khương- Dạy học Tâm- Nâng Tầm Học Sinh  1 B  0; ÷  4 A ( 0; ) 1  C  ; +∞ ÷ 4  D ( 4; +∞ ) Câu Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số y = cos x + mx đồng biến ¡ A m < B m ≤ C m ≥ D m > Câu Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số y =  π khoảng  0; ÷  4 A m < Câu B −1 ≤ m ≤ C < m < D ≤ m ≤ Tìm giá trị cực tiểu yCT hàm số y = x − 12 x + 20 A yCT = Câu tan x − đồng biến m tan x − B yCT = C yCT = 20 D yCT = 36 Tìm giá trị cực tiểu yCD (nếu có) hàm số y = −3 x − x + A yCD = −6 B yCD = C yCD = D.Hàm số giá trị cực đại Câu 10 Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số y = − x + m x − có cực trị A m < B m ≤ C m ≥ D m > Câu 11 Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số y = x + 2(m + 2) x − 4(m + 3) x + có ba điểm cực trị 11 13 A m < − B m < 4 13 11 C m > − D m < −5 −5 < m < − 4 Câu 12 Hỏi hàm số y = x − x + có tất điểm cực trị? A Không có điểm cực trị C Có hai điểm cực trị B Có điểm cực trị D Có ba điểm cực trị Câu 13 Hỏi hàm số y = x − x − có tất điểm cực trị? A Không có điểm cực trị C Có hai điểm cực trị Câu 14 Tìm giá trị lớn hàm số y = A max y = [2;4] 11 B Có điểm cực trị D Có ba điểm cực trị x2 + đoạn [ 2; 4] x −1 y = B max [2;4] C max y = [2;4] 19 3 đoạn [ 2;3] x 15 19 B y = C y = [2;3] [2;3] 2 y =7 D max [2;4] Câu 15 Tìm giá trị nhỏ hàm số y = x + y = A [2;3] Số 062- Khu Quang Trung- Mạo Khê- Đông Triều- Quảng Ninh y = 28 D [2;3] Thầy Khương- Dạy học Tâm- Nâng Tầm Học Sinh Câu 16 Tìm giá trị lớn (nếu có) hàm số y = − x + x − x + x + 17 A Hàm số giá trị lớn B max y = ¡ 30 47 67 C max y = D max y = ¡ ¡ 30 30 Câu 17 Tìm tất giá trị thực tham số m cho giá trị lớn hàm số y = − x + mx − A m = B m = C m = D m = ±4 f ( x ) = −∞; Câu 18 Cho hàm số f ( x) xác định tập hợp D = ( −3;3) \ { −1;1} có xlim →−3+ lim f ( x) = −∞; lim+ f ( x) = −∞; lim− f ( x) = +∞; lim+ f ( x) = +∞; lim− f ( x) = +∞ x →−1− x →−1 x →1 x →1 x →3 Hỏi khẳng định khẳng định đúng? A Đồ thị hàm số f ( x) có hai tiệm cận đứng đường thẳng x = −3 x = B Đồ thị hàm số f ( x) có hai tiệm cận đứng đường thẳng x = −1 x = C.Đồ thị hàm số f ( x) có bốn tiệm cận đứng đường thẳng x = −3 , x = −1 , x = x = D Đồ thị hàm số f ( x) có sáu tiệm cận đứng f ( x) = ; lim− f ( x) = −∞ Hỏi Câu 19 Cho hàm số f ( x) xác định khoảng ( −2; −1) có xlim →−2+ x →−1 khẳng định sau đúng? A Đồ thị hàm số f ( x) có hai tiệm cận đứng đường thẳng x = −2 x = −1 B Đồ thị hàm số f ( x) có hai tiệm cận ngang đường thẳng y = −2 y = −1 C Đồ thị hàm số f ( x) có tiệm cận ngang đường thẳng y = −2 D Đồ thị hàm số f ( x) có tiệm cận đứng đường MĐ nhận thức KS SBT vẽ ĐTHS Số câu Số điểm Tỉ lệ % Bài toán liên quan Số câu Số điểm Tỉ lệ % Phương trình lượng giác Số câu Số điểm Tỉ lệ % Phương trình mũ lôgarit Số câu Số điểm Tỉ lệ % Thể tích Hệ phương trình Hình học phẳng Nhận biết MA TRẬN ĐỀ KIỂM TRA Cấp độ Thông hiểu Vận dụng Thấp Biết cách KS SBT vẽ ĐT hs y = ax + bx + cx + d (a ≠ 0) 2,0 20% Viết phương trình tiếp tuyến biêt hsg Vận dụng cao Tổng điểm 2,0 20% 1,0 10% 1,0 10% Biết biến đổi để đưa số dạng ptlg thường gặp 1,0 10% 1,0 10% Biết cách giải phương trình bẳng pp đặt ẩn phụ 2,0 20% 2,0 20% Biết tính thể tích khối chóp khoảng cách từ điểm đến mp 2,0 20% 2,0 20% Biết cách giải hpt 1,0 10% Biết cách viết phương trình đường thẳng 1 1,0 10% Tổng số câu Tổng số điểm Tỉ lệ % 3,0 30% 5,0 50% 1,0 10% 2,0 20% 1,0 10% 10,0 100% TRƯỜNG THPT SỐ SI MA CAI TỔ TOÁN – LÝ – TIN ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP QUỐC GIA NĂM 2015 Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề Câu 1(3,0 điểm) Cho hàm số y = x − 3x + a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số b) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị biết hệ số góc -3 Câu (1,0 điểm) Giải phương trình: cos x + sin x = cos x Câu (2,0 điểm) Giải phương trình: a) 2.49 x − 5.7 x + = b) log x + 4.log x + log8 x = 13 Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng (Oxy) cho tam giác ABC vuông A Điểm C ( −2;3) đường phân giác góc A có phương trình x + y -3 = Diện tích tam giác ABC Hãy viết phương trình đường thẳng BC biết điểm A có hoành độ không âm Câu (2,0 điểm) Cho hình chóp S ABCD đáy ABCD hình vuông, có cạnh a Cạnh bên SA vuông góc với đáy SC tạo với mặt phẳng đáy góc 600 Tính theo a thể tích khối chóp S ABCD khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng SBC 6 x − 3xy + x + y = Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình  y − 2x2 =  Hết Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không cần giải thích thêm ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM Câu 1/ y = x - 3x + (3,0 đ) TXĐ: D = R Đáp án Điểm 0,25 0,25 y ' = 3x − x x = y'= ⇔  x = Hs đồng biến khoảng (−∞;0) (2; +∞) Hs nghịch biến khoảng (0;2) Cực trị: hs đạt giá trị cực đại x = ⇒ ycd = Hs đạt giá trị cực tiểu x = ⇒ yct = y = ±∞ Giới hạn: xlim →±∞ 0,25 BBT: 0,5 −∞ x Y’ y 0 + +∞ - −∞ 0,25 + +∞ Đồ thị: 0,5 y f(x)=x^3-3x^2+5 x -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -2 -4 -6 -8 Ta có: y ' = ⇔ 3x − x = −3 ⇒ x = y=3 Phương trình tt đt là: y = −3( x − 1) + = −3 x + π Đk: cos x ≠ ⇔ x ≠ + kπ 2 0,5 0,25 0,25 0,25 Pt ⇔ cos x + sin x.cos x = ⇔ cos2 x + sin x = 1 ⇔ cos2 x + sin x = 2 π ⇔ sin(2 x + ) = π π  x + = + k 2π  6 ⇔  x + π = 5π + k 2π  6  x = kπ ⇔ ;( k ∈ Z ) π  x = + kπ  0,5  x = kπ ;( k ∈ Z ) KL: Nghiệm phương trình là:  π  x = + kπ  2x x x x a) 2.7 − 5.7 + = ⇔ 2.(7 ) − 5.7 + = + ) Đặt: t = x Điều kiện: t > 0,25 0,25 t = +) Khi PT có dạng: 2t − 5t + = ⇔  (t/m đk) t=  +) Với t = ta có: x =1 ⇔ x=0 3 +) Với t = ta có: x = ⇔ x= log 2 0,25 Vậy phuơng trình cho có nghiệm là: x = 0; x = log b) log x + 4.log x + log x = 13 ĐK: x > ⇔ log x + 4.log 22 x + log 23 x = 13 22 ⇔ 2log x + 2log x + log x = 13 ⇔ log x = ⇒ x = Nghiệm pt x = 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 E B d M A C Gọi d đường phân giác góc A Gọi E điểm đỗi xứng C qua d Ta có phương trình đường thẳng EC 1( x + 2) − 1( y − 3) = ⇔ x + y − = Gọi M giao điểm d đường thẳng EC Khi tọa độ M nghiệm hệ phương trình  x + y − =  x = −1 ⇔  x − y + =  y = Vậy M (−1;4) Vì M trung điểm EC nên E (0;5) Theo uuurtính uuurchất đường phân giác nên E thuộc AB ⇒ AE AC = Gọi A(a;3 − a ) uuur Ta có AE = (− a;2 + a) uuur AC = (−2 − a; a )  a=0 Vậy −a.(−2 − a ) + (2 + a)a = ⇔   a = −2 (l ) Vậy A(0;3) uuur Ta có AE = (0;2) Phương trình AE: x = Vì B thuộc đường thẳng AE nên tọa độ B (0; b) Ta có AB = 02 + (b − 2) = b − AC = (−2 − 0) + (3 − 3) = Vậy S ABC = b = AB AC = b − = ⇔  b = 0,25 0,25 0,25 Với b = , ta có B (0;4) uuur BC = ( −2; −1) Phương trình BC: 1( x − 0) − 2( y − 4) = ⇔ x − y + = Với b = 0, ta có B (0;0) uuur BC = ( −2;3) Phương trình BC: 3( x − 0) + 2( y − 0) = ⇔ x + y = 0,25 S H A B D C S ABCD = a Vì SA ⊥ ( Khoá giải đề đặc biệt – Thầy: Đặng Thành Nam Đề 050 +5/2015 Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y = x − 3x + − m (1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) m = Gọi A giao điểm đồ thị hàm số (1) với trục tung, tìm m để tiếp tuyến đồ thị hàm số (1) A qua điểm M(2;5) Câu (1,0 điểm) ⎛ π ⎞ a) Cho biết sin a − cos a = 2, ⎜ − < a < ⎟ Tính A = sin a 1+ tan a − cos a 1+ cot a ⎝ ⎠ b) Cho số phức z thoả mãn (1− i).z = + 4i Tính môđun số phức w = z − z Câu (0,5 điểm) Giải phương trình (x − x).log (2x + 1) = 2(x − x ) Câu (1,0 điểm) Tính tích phân I = ∫ x(1+ ln(3x + 1))dx Câu (0,5 điểm) Khánh Sơn hai thí sinh nam tham gia kỳ thi, hai bạn xếp vào phòng thi với 18 thí sinh khác (gồm nữ 10 nam) Biết phòng thi gồm dãy bàn dọc, dãy bàn, thí sinh xếp vào bàn Tính xác suất ( làm tròn đến chữ số thập phân sau dấu phẩy) để Khánh Sơn ngồi khác dãy, dãy bàn dọc gồm thí sinh nữ Câu (1,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm hai điểm A(1;-2;3), B(3;2;-1) mặt phẳng (P) có phương trình x − 2y − z + = Gọi C trung điểm AB, viết phương trình đường thẳng Δ qua C vuông góc với mặt phẳng (P) Viết mặt cầu (S) tâm C, cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến đường tròn bán kính Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt a đáy (ABCD) Trong tam giác SAB, kẻ đường cao AH, biết AH = Tính thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng (AHC) Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh C(3; ) trực tâm H, phương trình đường cao AH 2x − y + = , đường thẳng d qua H cắt đường thẳng AB,AC P Q (P,Q khác A) thoả mãn HP = 3HQ có phương trình 5x − 9y + 22 = Tìm toạ độ đỉnh A B Câu (1,0 điểm) Giải bất phương trình ( 5x + ) 3x + 1− x +5 ≥ 6x + x+4 x+4 Câu 10 (1,0 điểm) Cho số thực dương x,y,z thoả mãn x + y + z = Tìm giá trị lớn biểu thức P = xy(x + y) yz(y + z) y (3 + y )2 + − + z3 + x3 (xz + y )6 -HẾT Thầy Đặng Thành Nam – Phone: 0976 266 202 – Email: dangnamneu@gmail.com PHÂN TÍCH BÌNH LUẬN ĐÁP ÁN Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y = x − 3x + − m (1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) m = Gọi A giao điểm đồ thị hàm số (1) với trục tung, tìm m để tiếp tuyến đồ thị hàm số (1) A qua điểm M(2;5) Học sinh tự giải Ta có, A(0;4-m) y' = 3x − 6x ⇒ y'(0) = Phương trình tiếp tuyến Δ đồ thị hàm số (1) A y = − m Vì điểm M (2;5) ∈Δ ⇒ − m = ⇔ m = −1 Câu (1,0 điểm) ⎛ π ⎞ a) Cho biết sin a − cos a = 2, ⎜ − < a < ⎟ Tính A = sin a 1+ tan a − cos a 1+ cot a ⎝ ⎠ b) Cho số phức z thoả mãn (1− i).z = + 4i Tính môđun số phức w = z − z π a) Ta có: − < a < ⇒ sin a < 0,cos a > ⇒ sin a − cos a = − π π π π ⇔ sin(a − ) = − ⇔ a − = − + k2π ⇔ x = − + k2π , k ∈! 4 π π 2 1+ 12 − 1+ 12 = −2 Do − < a < ⇒ a = − ⇒ A = − 2 + 4i 2(1+ 2i)(1+ i) b) z = = = −1+ 3i ⇒ w = (−1+ 3i)2 − (−1− 3i) = −7 − 3i 1− i Do đó, w = + (−3)2 = 58 Câu (0,5 điểm) Giải phương trình (x − x).log (2x + 1) = 2(x − x ) Điều kiện: x > − Phương trình tương đương với: ⎡ ⎢x = ⎡ x2 − x = ⎢ (x − x)[ log (2x + 1) + ] = ⇔ ⎢ ⇔ ⎢x = ⎣ log (2x + 1) + = ⎢ ⎢x = − ⎣ 4⎫ ⎧ Vậy nghiệm phương trình x ∈ ⎨0;1;− ⎬ 9⎭ ⎩ Câu (1,0 điểm) Tính tích phân I = ∫ x(1+ ln(3x + 1))dx ⎧ du = dx ⎪ u = 1+ ln(3x + 1) ⎧ ⎪ 3x + Đặt ⎨ ⇒⎨ ⎩dv = xdx ⎪v = x ⎪⎩ Suy ra: Thầy Đặng Thành Nam – Phone: 0976 266 202 – Email: dangnamneu@gmail.com x2 x2 I = (1+ ln(3x + 1)) − ∫ dx 3x + ⎞ 1+ ln ⎛ 1 1+ ln ⎛ x x ⎞ = − ⎜ − + ln 3x + ⎟ = − ⎜ + ln ⎟ = + ln ⎝ 12 ⎠ 12 2 ⎝ 18 ⎠0 Câu (0,5 điểm) Khánh Sơn hai thí sinh nam tham gia kỳ thi, hai bạn xếp vào phòng thi với 18 thí sinh khác (gồm nữ 10 nam) Biết phòng thi gồm dãy bàn dọc, dãy bàn, thí sinh xếp vào bàn Tính xác suất ( làm tròn đến chữ số thập phân sau dấu phẩy) để Khánh Sơn ngồi khác dãy, dãy bàn dọc gồm thí sinh nữ Không gian mẫu số cách xếp 20 bạn vào 20 bàn học bàn học sinh có n(Ω) = 20! Gọi A biến cố dãy bàn dọc gồm thí sinh nữ, Khánh Sơn ngồi khác dãy Để tính số kết thuận lợi cho A ta mô tả xếp thoả mãn + Xếp nữ vào dãy bàn dọc, dãy thí sinh có C82 A52 C62 A52 C42 A52 C22 A52 = 403200000 cách + Xếp bạn Khánh Sơn vào Khoá giải đề đặc biệt – Thầy: Đặng Thành Nam Đề 50+6/2015 Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y = x − 2mx , với m tham số thực Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số cho m = Tìm m để hàm số cho nghịch biến khoảng (0;1) Câu (1,0 điểm) π , cos(a − b) = Tính A = cos a.cosb 3 b) Gọi z1 , z2 hai nghiệm phức phương trình z + 2z + = , A,B điểm biểu diễn z1 , z2 mặt phẳng phức Tính độ dài đoạn thẳng AB a) Cho số thực a,b thoả mãn a + b = ⎛ ⎞ Câu (0,5 điểm) Giải phương trình x.log ⎜ x − ⎟ = ⎝ ⎠ π sin x − cos x dx 1+ sin 2x Câu (1,0 điểm) Tính tích phân I = ∫ Câu (0,5 điểm) Cho tập E = {1,2, 3, 4,5,6} Gọi M tập hợp số tự nhiên có chữ số tạo thành từ số tập E Chọn ngẫu nhiên số từ M, tính xác xuất để số chọn có tổng chữ số Câu (1,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm I(1;0;2) đường thẳng Δ có x y −1 z phương trình = Tìm điểm H thuộc Δ cho IH vuông góc với Δ Viết phương trình mặt = −1 cầu (S) tâm I, tiếp xúc với Δ Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có mặt bên (SAC) vuông góc với mặt đáy (ABC) Biết ! = 60 AB = AC = a, BC = a Tính thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách SA = 2a,SAC hai đường thẳng SA,BC Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC Gọi D,E,F chân đường cao hạ từ đỉnh A,B,C, điểm G tia đối tia DE thoả mãn DG = DF Viết phương trình đường thẳng AB, biết đỉnh C nằm đường thẳng Δ có phương trình 2x + y − = , điểm B(-4;-4), G(2;-6) Câu (1,0 điểm) Giải bất phương trình x2 − x + 1 > ln(x − x) 2x − 2x + 2 1 −a − b + + = Câu 10 (1,0 điểm) Cho số thực dương a,b,c thoả mãn b + c2 + (1+ ab)2 a b 1− 2ab + 2 − Tìm giá trị lớn biểu thức P = a + b + b + c + (1+ ab)2 x + x − 1+ x ( x − − x − 1) − -HẾT PHÂN TÍCH BÌNH LUẬN ĐÁP ÁN Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y = x − 2mx , với m tham số thực Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số cho m = Tìm m để hàm số cho nghịch biến khoảng (0;1) Học sinh tự giải Ta có hàm số cho liên tục có đạo hàm xác định đoạn [0;1], y' = 4x − 4mx Hàm số nghịch biến khoảng (0;1) y' ≤ 0,∀x ∈[ 0;1] ⇔ 4x − 4mx ≤ 0,∀x ∈[ 0;1] ⇔ 4x(m − x ) ≥ 0,∀x ∈[ 0;1] ⇔ m ≥ x ,∀x ∈[ 0;1] ⇔ m ≥ max x ⇔ m ≥ x∈[ 0;1] Câu (1,0 điểm) π , cos(a − b) = Tính A = cos a.cosb 3 b) Gọi z1 , z2 hai nghiệm phức phương trình z + 2z + = , A,B điểm biểu diễn z1 , z2 mặt phẳng phức Tính độ dài đoạn thẳng AB a) Cho số thực a,b thoả mãn a + b = 1 ⎡1 1⎤ cos(a + b) + cos(a − b)] = ⎢ + ⎥ = [ 2 ⎣ ⎦ 12 ⎡ z1 = −1− 2i b) Ta có: z + 2z + = ⇔ (z + 1)2 = −2 = ( 2i)2 ⇒ ⎢ ⎢⎣ z2 = −1+ 2i a) Ta có: A = Khi A(−1;− ), B(−1; ) ⇒ AB = (2 )2 = 2 ⎛ ⎞ Câu (0,5 điểm) Giải phương trình x.log ⎜ x − ⎟ = ⎝ ⎠ ⎧x ≠ ⎧⎪ x ≠ ⎪ Điều kiện: ⎨ ⇔ ⎨1 ⇔ < x < ⎪⎩ x − > ⎪⎩ x > Khi phương trình tương đương với: 1 1 ⎛ ⎞ log ⎜ x − ⎟ = ⇔ x − = x ⇔ (2 x + 1)(2 x − 2) = ⇔ x = ⇔ x = ⎝ ⎠ x Vậy nghiệm phương trình x = π sin x − cos x dx 1+ sin 2x Câu (1,0 điểm) Tính tích phân I = ∫ Đặt t = sin x + cos x ⇒ dt = (cos x − sin x)dx , I = −dt ∫ (1+ t) = = 2− t +1 Câu (0,5 điểm) Cho tập E = {1,2, 3, 4,5,6} Gọi M tập hợp số tự nhiên có chữ số tạo thành từ số tập E Chọn ngẫu nhiên số từ M, tính xác xuất để số chọn có tổng chữ số Không gian mẫu số số thuộc M có n(Ω) = C61 C61 C61 = 216 Gọi A biến cố số chọn có tổng chữ số Để tính số kết thuận lợi cho A, ta tìm tất số thuộc M mà tổng chữ số Một số hoán vị ba số (a;b;c) thoả mãn a + b + c = 9;a,b,c ∈{1,2, 3, 4,5,6} Ta xét (1;2;6) hoán vị nó; (1;3;5) hoán vị nó; (1;4;4) hoán vị nó; (2;2;5) hoán vị nó; (2;3;4) hoán vị nó; (3;3;3) Vậy có tất + + + + + = 25 số thoả mãn, suy n(A) = C25 = 25 n(A) 25 = Xác suất cần tính P(A) = n(Ω) 216 Câu (1,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm I(1;0;2) đường thẳng Δ có x y −1 z phương trình = Tìm điểm H thuộc Δ cho IH vuông góc với Δ Viết phương trình mặt = −1 cầu (S) tâm I, tiếp xúc với Δ !!" Vì H ∈Δ ⇒ H (t;1+ 2t;−t) ⇒ IH = (t − 1;1+ 2t;−t − 2) ! Đường thẳng Δ có véc tơ phương u = (1;2;−1) !!" " ⎛ 1⎞ Vì IH ⊥ Δ ⇒ IH u = ⇔ 6t + = ⇔ t = − ⇒ H ⎜ − ;0; ⎟ ⎝ 2⎠ Ta có bán kính mặt cầu (S), R = IH = Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có mặt bên (SAC) vuông góc với mặt đáy (ABC) Biết ... 4a − 4a = 4b3 − 4b ⇔ ( a − b ) ( a + ab + b − 1) = (1) Vì A B phân biệt nên a ≠ b , (1) ⇔ a + ab + b − = (2) Mặt khác hai tiếp tuyến (C) A B trùng 2  a + ab + b − =  a + ab + b − = ⇔ ( a ≠ b... 0,25 ∆SCD vuông D DM đường cao nên ∆ASD vuông A ⇒ SA = a 1 = + ⇒ DS= a 2 DM DS DC2 a 1 1 2 BĐT ⇔ + + + + + ≥ ; Giả thi t ⇔ + + = a b c a b b c c a 2 2 Áp dụng BĐT: a + b + c ≥ ( a + b + c )... ( a ) ( x − a ) + f ( a ) = f ' ( a ) x + f (a ) − af' ( a ) ; y = f ' ( b ) ( x − b ) + f ( b ) = f ' ( b ) x + f (b) − bf' ( b ) ; Hai tiếp tuyến (C) A B song song trùng khi: k A = k B ⇔ 4a