Chuyen de luyen thai Dai hoc Dai So Tran Van Hao

Chuyen de luyen thai Dai hoc Dai So Tran Van Hao tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về...

Trang 1

TRẦN VĂN HẠO (Chủ biên) NGUYÊN CAM

=

NGUYEN MONG HY CH UYÊN DE

Trang 2

; TRẤN VĂN HẠO (Chủ biên)

NGUYEN CAM - NGUYEN MỘNG HY - TRẤN ĐỨC HUYỆN _

CAM DUY LE - NGUYEN SINH NGUYÊN - NGUYÊN VŨ THANH

CHUYEN BE LUYEN THI VAO BAI HOC DAI SO

BIEN SOAN THEO CHUONG TRINH TOAN THPT NANG CAO HIEN HANH

(Tai ban lần thứ năm cĩ chỉnh lí và bỗ sung)

Trang 4

Loi noi dau

Bộ sách Chuyên đề luyện thi vào Đại học được biên soạn nhằm mục

đích giúp các em học sinh lớp 12 cĩ thêm tài liệu tham khảo, năm vững phương pháp giải các dạng bài tốn cơ bản, thường gặp trong © các kì thị, tuyển sinh vào các trường Đại học và Cao đăng hàng năm

"Nội dung bộ sách bảm sát theo chương trình bộ mĩn Tốn THPT nâng cao hiện hành và Hướng dẫn ơn tập thi tuyển sinh vào các trường Đại học và Cao đẳng mơn Tốn của Bộ Giáo dục và Đào tạo Bộ sách gồm 7 tập tương ứng với 7 chuyên đề :

1 Dai số

2 Lượng giác 3 Hình học khơng gian 4 Hinh học giải tích

5 Giải tích - Đại số tổ hợp 6 Khao sát hàm số 7 Bất đẳng thức

Tập sách “Chuyên đề luyện thi vào Đại học : Đại số" này, gơm 2 phân :

Phần I : Kiến thức cơ bản — Vị dụ áp dụng : gồm 6 chương thuộc phân Đại số trong lân tái bản này cĩ bơ sung thêm chương sơ phức Mỗi chương gồm nhiêu đơn vị kiến thức (§) Mỗi (§) được biên soạn thống nhất gém các mục :

A Kiến thức cơ bản : Tĩm tắt, hệ thống kiến thức trọng tâm

-B Ví dụ áp dụng : gồm nhiều ví dụ cĩ hướng dẫn giải Mỗi ví dụ là

Trang 5

Phần II : Hướng dẫn giải - Câu hỏi trắc nghiệm ơn tập : hướng dẫn

giải bài tập hoặc cho đáp số các bài luyện tập ở mỗi (§) và phần câu hĩi trắc

nghiệm ơn tập cho cà phần Đại số, cĩ đáp án

Cuối sách cĩ phần phụ lục : Trích giới thiệu một số đề thi tuyến sinh Dai hoc, (2005 — 2008) Đây là phần trích giới thiệu một số đề thi tuyên

sinh Đại học đã ra từ 2005 đến 2008 - mơn Tốn cĩ liên quan đến phần Đại số, cĩ hướng dẫn giái : giúp học sinh làm quen với các dạng câu hỏi của đẻ thi tuyển sinh Đại học

Tập thê tác giả trân trọng giới thiệu với các em học sinh 12 bộ sách

Chuyên đề luyện thi vào Đại hạc Chúng tơi tin tưởng bộ sách này sẽ gĩp phần giúp các em học sinh 12 nâng cao chất lượng học tập và đạt được kết quả mĩ mãn trong kì thi tuyển sinh vào Đại học, Cao đảng

Chủ biên

Trang 6

ẤU TRÚC ĐỀ THỊ TUYỂN SINH DAI HOC

CAO DANG 2009, MON TOAN

II PHAN CHUNG CHO TAT CA THI SINH (7 ĐIỀM)

Cau 1 (3 diém) :

— Khao sat, vẽ đơ thị của hàm số

~ Các bài tốn hén quan dén ung dụng của đạo hàm và đơ thị của ham sé : chiéu biến thiên của hàm số Cực trị Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm sĩ Tiếp

tuyến, tiệm cận (đứng và ngang) của đỏ thị hảm số Tìm trên đỗ thị những điểm cĩ

tính chất cho trước, tương giao giữa hai đồ thị (một trong hai đồ thị là đường thăng) ;

Câu [II (2 điểm) :

— Phương trình, bất phương trình ; hệ phương trình đại số :

¬ Cơng thức lượng giác, phương trình lượng giác Câu III (1 điểm) :

~ Tìm giới hạn

— Tìm nguyên hàm, tính tích phân

— Ứng dụng của tích phân: tính diện tích hình phẳng, thể tích khối trịn xoay

Câu IV (1 điểm) :

Hình học khơng gian (tơng hợp) : Quan hệ song song quan hệ vuơng gĩc của đường thăng, mặt phăng Tính diện tích xung quanh của hình nĩn trịn xoay hình trụ trịn xoay ; tính thể tích khối lang trụ, khĩi chop, khối nĩn trịn xoay, khơi trụ trịn xoay ; tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cau

Câu V (1 điểm) :

Bài tốn tơng hợp I PHAN RIENG (3 DIEM) :

Thí sinh chỉ được làm một trong 2 phân (phần I hoặc 2)

1 Theo chương trình chuẩn :

Câu VIa (2 điểm) :

Trang 7

- Xác định toạ độ của điểm, vectơ

— Đường trịn clip, mặt cầu

~ Viết phương trình mặt phăng đường thẳng

- Tinh goc ; tính khoảng cách từ điểm đến mật phãng Vị trí tương đối cua đường thăng, mặt phang va mat cau

Cau VH a (1 diém) : Nội dung kiến thức ;

- Số phức

- Tổ hợp xác suất thong kê

— Bắt đăng thức Cực trị của biểu thức đại số

2 Theo chương trình nẵng cao :

Câu VIb (2 điểm) : Nội dung kiến thức :

Phương pháp toạ độ trong mặt phăng và trong khơng gian : — Xác định toa độ của điểm vectơ

- Đường trịn ba đường cơnic mặt cầu ~ Viết phương trình mặt phăng đường thẳng

— Tỉnh gĩc : tính khoảng cách từ điểm đến đường thăng mat phẳng: khoảng cách giữa hai đường thăng, VỊ trí tương đơi của đường thăng mặt phăng và mặt câu

Câu VII.b (1 điểm) :

Nội dung kiến thức : - Số phức ar? + bx +e pr +y ~ D6 thi bam phan thire hitu ti dang y = và một sơ yêu tơ liên quan ~ Su tiép xúc cua hai đường cong — Hệ phương trình mũ và lơparit, ~ Tổ hợp, xác suất thơng kê

Trang 8

Phần I

KIEN THUC CO BAN — VÍ DỤ ÁP DỤNG

Chuong 1

PHUONG TRINH, BAT PHUONG TRINH MOT AN § 1 PHƯƠNG TRÌNH ax + b = 0

A KIEN THUC CO BAN

Giải và biện luận phương trình aœ + b = 0 (1) Tập xác định : D = R b

“az0:(1Ìœr=_——

a

ea=0:(1) & Or = 5

b z 0: (1) vơ nghiệm

b = 0: (1) cĩ tập nghiệm là R

Phương trình quy về dang az + b = 0

Trang 10

emel: dae (Je +a ~~ Vic + m)z = 0

| œxz=0 (do V£+1zVx#+m}

Nghiệm + = Ư này thuộc D nếu ~m < 0 œ m > 0

Vậy : m < (): (1) vơ nghiệm :

mĩ> 0 vài œ1:( œ =0; mm = 1: (1) cĩ tập nghiệm là (-1; +00) Ví dụ 4 Giải và biện luận phương trình : =2 r-a@ + x-—b — œ=—b #=da

Hướng dẫn giải

Tập xác định: 2 —= IR: {à; 0} Trên D, ta cĩ :

0 e(x-a +(z— 8 =2(— 8) —a) & 0z =(a —ĐỀ

® a >b:(2) vơ nghiệm

® ¿ = b:(2) được thoả mãn với mọi z € D = R {a} Vay:azb: (1) vơ nghiệm ;

a =b:(1) cơ tập nghiệm là R {a}

Trang 11

1.1 1.2 1.3 1.4 10

® (2) cĩ nghiệm x = -— 1 hoặc z = —3 Điều này xáy ra khi và chỉ khi :

—w + 4 = 5— 2m m =1 Im +8=5—-2m Om = 3 ™=1- Vậy, phương trình (1) vơ nghiệm khi m = 4 hodc m = 1

C LUYEN TAP

Tim m dé phvong trinh sau cé nghiém duong : m? (4 —1) = 4 — 3m +2

Tim a va b dé phuong trinh sau cé tap nghiém 1a R :

ø({>z—~1)+b(2++1)=z+2 Tim m dé phương trình sau cĩ nghiệm : (2m +tr4+3 _ (2 + 3}z + m — 2

man d4ạ—? |

Giải và biện luận phương trình : a b a+b ar — It + br —1 ˆ (a + b)z ơ

Đ 2 BÁT PHƯƠNG TRÌNH ax + b >0 A KIẾN THỨC CƠ BẢN

Trang 12

b

eas<0:(}œz<-—^

a

«a—=0:(1 œ0z >-—b

b<90:() vơ nghiệm ; b > 0: (1) cĩ tập nghiệm là R ove ` oa A a Á ì

Giải và biện luận hệ bât phương trình ke +d>0 (2)

Gọi X, và X, lần lượt là tập nghiệm của (1) và (2) Khi đĩ tập

nghiệm của hệ là X = X.n X B ÁP DỤNG VÍ DỤ Ví dụ 1 Giài và biện luận phương trình : ứn — 1)+ < m + 1 (1) Hướng dẫn giải Tập xác định : D = R ®m>: Qere mt 7 — Ì Wm 1 ®m<l: GQer> vt 1m — ] ® 7m =1: (1) œ 0+ <2 Do đĩ (1) cĩ tập nghiệm là lR Vi du 2 Tìm tham số a sao cho hai bat phương trình sau đây tương đương : (ø—1)z—=a+3>U; (1) (++1l)+—=a+2>0 - (2) (Trích đề thi Cao đăng Hải quan, năm 1998)

Hướng dẫn giải

Gọi X, và X, lần lượt là tập nghiệm của bất phương trình (1) và (2)

Ta tìm « sao cho X, = X, Để tiện việc so sánh X, và X, ta ghi kết quả giải và biện luận các bất phương trình (1) và (2) trong báng sau :

Trang 13

12 a X X

—©O° Ot T3: a—1 a+l a< —] v ha ˆ a>l r Từ bảng trên ta suy ra: Ấ, = X, ® ea =5, u-3 u-2 a-1l a+l Vi du 3 Tim tat ca cdc gia trj cla _m sao cho hệ bất phương trình sau 2mz + 3>0 (1)

đây vơ nghiệm : lu — l)z + — 2 < Ư (2)

Hướng dẫn giải

Gọi X, và X, lần lượt là tập nghiệm của các bat phương trình (1) và (2)

Ta tìm ?7 sao cho: Xx, VX, =

Nhận xé : Nếu m < 2 thì hệ cĩ nghiệm z = 0 Do vậy, ta chỉ cần

Trang 14

« 4m — 2m” < —3m + 3 (do mm > 0m — 1 > 0) «œ 2m” — 7m + 3> (0© (bu — 3)(2in — 1) >U © mm > 3 (vì 2n — ]Ì > 0) C LUYEN TAP 2.1 Tim mm dé bat phương trình rmz > 2 +1 được thoả mãn với mọi #

thuộc khoảng (—1: 1),

2.2 Tìm z đề hệ bất phương trình sau đây vơ nghiệm : 2z —?m + t3 >0 me -1)+2<0 2.3 Tìm ø để hệ bất phương trình sau đây cĩ nghiệm duy nhất : av —2a—l> 0 (a -Ie—-a+3<0

§ 3 PHUO'NG TRINH BAC HAI

A KIEN THUC CO BAN

1 Giải và biện luận phương trình az’ + br + c = 0 (a = 0) (1)

® A<0:(U vỗ nghiệm ; b eA =0:(1) cĩ nghiệm kép x, = — ; 20, —b + VA ® A >0: (1) cĩ hai nghiệm phân biệt địa = — “ 2a

2 Tổng, tích của hai nghiệm

Trang 15

14

b) Cac biéu thức đối xứng với + ,,z, đều cĩ thé tinh theo S và P

2 Chang han i + x = (7, + x} — 2#,*, = 5? ~2P „ + độ = (:, + x) — 32,2, (+, + r,) = st —35%P ;

Đầu của tam thire f (2) = az’ + ba +c (a = O)

Khi tam thite f(r) cĩ hai nghiệm 2, va x

ạ„ ta thường quy ước T < 4)

a) Định lí vệ dẫu của tam thức

® A<0=aƒ(z)> 0 với mọi z€ïR

b (nghiém kép)

2a

aƑ(r) >U_ Với mỌI tr # tụ

®A -U= F(ty) = 0 voila, =

® A >0 = f(x) cĩ hai nghiệm phan biét 2, < z, và :

af (x) < 0 nêu z€ (x, : 2.) ; af(z)> 0 nêu z ø Íz, : z,|-

b) Điều kiện tam thitc khéng doi dau trén R

a>0 VzelR.az”+bz+e>0« Aco

a<O0 VrEeR a’? +brtc<06 A<0

So sánh số thực œ với các nghiệm của tam thức bậc hai

Cho tam thức f(z) =ur’? +bx +c (a = 0) Goi #¿ và t, (2, <2,) 1a

Trang 16

| 2 a m2 a œ z () ®Sứn <a << A>0U0 (2, — a)(a, —a) < 0 la x 0 la x0 en cy A>0 A>0 tị S10 ma <0 ron a (2, -a)>0 r,-a <0 va + (a, -a) <0., at œ # (

° een A>0 A>0

esr ST, & r~a>0” x, —a\(x, ~a) > 0 ry-a>0

„ma +Íz,—a)}> 0

Lưu ý Khi giai va biện luận phương trình azˆ + bz + e = 0, nếu hệ số

œ của x’ cd thé triệt tiêu thì xét thêm trường hợp a = 0 B Vi DU AP DUNG

Vi du 1 Cho phuong trinh bac hai :

+? —(2cosa — 3) +7 cos’ a — 3cosa — 3_- 0 Với những giá trị nào của œ thì phương trình cĩ nghiệm kép ?

(Trích đề thi Đại học Sư phạm Quy Nhon, nam 1999)

Hướng dẫn giải

Taco: A = 4cos’ & — 12cosa + 9— 4| 7 cos? œ — 3cos œ -; = ~24cos’a +18 = 6(3 — 4 cos? a)

Phuong trinh co nghiém kép khi va chi khi :

fj |x=+~+k2r

A=06 cosa = t— & 6 (ke 2) 2 asin + han

Trang 17

16

Ví dụ 2 Cho hai phương trình : zˆ — r +rn = Ú; (1)

+? =đư +n = Ú (2)

Tìm ? để phương trình (2) cĩ một nghiệm khác 0 và bằng hai lần

một nghiệm của phương trình (1) Hướng dẫn giải ` : ¬ ` , wn b Điễu kiện cẫn Giá sử phương trình (1) cĩ nghiệm #, #0 sao cho 3 là nghiệm của (1) Thế thì : roo Tog Tmo sy 7 ~ 24, + 4m = 0 „5 — 3x, +m =0 a ty — 32, +m =0

10

= Tụ = —3m > m= —:

Diéu kién di Xm = —— Tacs: ) 5 Am" 20 (= -ivaa,=": 9 3 3 10 10 (2)? ~3r-— =0 62, = var, =— 3 3

` Ắ 0 XX ạẸẶ

Vi x, = 27, nén gia tri m = = thoả mãn yêu câu bài tốn

Trang 18

eF=2x,2, — (x? +22) = 32,2, —(z +z,} = 6m ~ 9 ~ Am

=-|am? 6m +9] 42-9 =-22 [m4 < 20 4) 4 4 4 ae 3 yy 27 vì `

Đăng thức xay ra khi ;n — 1 Vay max E = "~T khi rn = 1

Trang 19

3.1 toa iv 3.3 3.5 18 Ghi chu Hoc sinh hay giai thich tai sao trong bài tốn này ta khơng thể áp dụng phương pháp đã dùng trong Vi dụ 3, C LUYEN TAP

Gia sir a pd, = 2(b, + b,) Chứng mính ít nhất một trong hai phương trình sau cĩ nghiệm : +” + arth =0: t+ aw +b,=0

Tìm im dé phuong trinh 5? + ma — 28 = 0 cé hai nghiém z, #, thoả mãn hệ thức 5+, + 2z, — I = 0

Cho phương trình : z” — 2k+z —Ík — 1Ík— 3) = 0 (1) Chứng mình rằng với mọi giá trị cua & , phuong trinh (1) luơn cĩ hai nghiệm phân biệt + r, và các nghiệm đĩ thoả mãn hệ thức : >

+4 +4, Ỷ + 1.1, — 2(, + ry) +3= 0 (2) (Trích đề thi Cao đẳng Sư phạm Hà Nội, năm 1999)

Cho phương trình : z” — 2kr + 2# + = —5=0(:z0) ()

1) Tim # đề (1) cĩ nghiệm Gọi +, +, là nghiệm của (1)

2) Dat E = (2, +2,)(2? +22} Tim k để biểu thức E a) dat giá trị lớn nhất ; b) đạt giá trị nhĩ nhất

(Trích đề thi Đại học Đà Nẵng, khối 4 và B, năm 1999)

Cho phương trình : 22? + 2Úm +1)#£ 4m? + 4m +3 = 0 (1)

1) Dinh m dé phuong trinh (1) cĩ nghiệm

2) Định r đề phương trình (1) cĩ nghiệm lớn hơn hoặc bằng 1

3) Gọi +, z, là hai nghiệm của phương trinh (1) Tìm giá trị lớn nhât

Trang 20

§ 4 PHƯƠNG TRÌNH QUY VE BAC HAI A KIÊN THỨC CƠ BẢN Giải và biện luận phương trình : a¿Ÿ (ø) + b¿(@) + c = 0 (1)

Cĩ thể giải phương trình (1) bằng cách dùng ấn số phụ ¢ = y (z) Khi dùng ấn phụ các bước thực hiện như sau :

® Dặt / = y(),

e Từ (1) suy ra: auf + bt+¢=0 (2) e Giai (2) taduoc: te T

eKhidd: (I) plrleT

Phương trình trùng phường : az‘ + bz’ +c = 0

Đặt : £ — +ˆ >0 ta được phương trình at? + bt +c=0

Luu y Phuong trinh Gr + a) + (n+ b): =c được đưa vẻ phương a+b trình trùng phương bằng cách đặt † = + + Phương trình phán thương loại 1 : aœ* + bzÌ + ca? + bœ + a = 0 (a z 0) ® Nhận xét : r = Ư khơng phái là nghiệm của phương trình e pat t= or — i liÍ > 3 ta được phương trình :

Hà

at? + bf +c¢—2a = 0-

Phương trình phản thương loại 2 :

az’ + ba* + cx? —br+a=0(ax0)

® Nhận xét : + = 0 khơng phải là nghiệm của phương trình

® Đặt / — r — ¬ ta được phương trình : ø£” + b‡ + c + 2a = 0 r

Trang 21

20

Chú ý

® Khi dùng an phu ¢ = yr), nên đặt điều kiện £ thuộc miền gia trị

của hàm số f = v(x)

®e Tìm điều kiện về nghiệm của phương trình gke(z)| =0:

- Xét mỗi quan hệ giữa hai ân z và £ thơng qua hệ thức ọ› (x) =F - Từ đĩ, đưa ra yêu cầu về nghiệm ¢ cua phuong trinh g(r) = 0 B VÍ DỤ ÁP DỤNG Vi du I Giải phương trình : (x + lL)(z + 2)(z + 4)(r + 5) = 10 (1) Hướng dẫn giải

Ta cĩ : (1) © (z + 1(z +5)(z + 2)(z + 4) = 10

eS (? + 6a + 5)( 2? + 60 + 8) = 10

1) Dat = r? + 6œ + 5 Khi đĩ : (1) > #(¢ +3) = 10 | (2) |f =—5 2) Ta cĩ : Deh +3 W= 04) 5

z#¿+6z+5=-—5 ao? +62+10=0 Ups] ) Q) r+6r+5=2 4 br $3 =0 r= —34 V6 Nhén xét, Taco t= 2? +6045 = (a + 3) —4>~4 Do đĩ, nêu ở bước 1) ta đặt điều kiện f > —4 thì ở bước 2) giá trị £ = —5 bị loại

Ví dụ 2 Xác dinh tất cả các giá trị của a để phương trình sau cĩ 4

nghiệm phân biệt :

ar! —(a—3)2° + 3á = Ú (1) (Trich dé thi Dai hoc Quéc gia TP HCM, Khéi D, nam 1998)

Hướng dẫn giải |

e Dat: ¢ = 1? + ¢ > 0 Ta duoc phương trình :

Trang 22

® Nhận xét : Mỗi nghiệm ¢ > 0 của phương trình (2) cho hai nghiệm tương Ứng z = +t của phương trình (1) Do đĩ điều kiện cần và đủ

để phương trình (1) cĩ 4 nghiệm phân biệt là phương trình (2) cĩ hai

nghiệm dương phân biệt

Trang 23

4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 - Taco: (1) sứ"! +1)—2(œ —zÌ— 5a? =0

© +5) 2|s— 3|-5 =0,

+ + x 1 ` 2, : i=—I ® Dặt / = + — —, ta được phương r trình : † ASRS mm"

1 -14 5

, r—-—=—] # +#—1=0Ũ g= ® Do đĩ : (1) © 2! , Ầ t-2-3 x —3r2—-1=0 34 V13 = #=———— + 2 C LUYEN TAP

ˆ Giải phương trình : 2z? + 8z ~ 7z? + 4z +7 +20 = 0

4 Giái phương trình : (z + 1) +(r—3) = 82 Giai các phương trình : l

a) x + 5z? —122” +5z+1=0; b) z” — 9z” + 28z? — 36z + 16 = 0

Định ?rn đề phương trình sau cĩ nghiệm : (2 — 2+z+ 2) ~2(m- 3)( x? _ 22 + 2) +m —6m = 0

Dinh m dé phuong trinh sau cé 4 nghiém phan biệt :

(m — 4)+z! ~ 3m — 3)z? + m — 1 = Ú

§ 5 PHUO'NG TRINH BAC BA, BAC BON

A KIEN THUC CO BAN Sơ lược về đa thức

Trang 24

® Nếu tơn tại số thực z„ sao cho P(r,) = 0 thì z„ được gọi là một nghiệm của P(r)

e Nếu P(z) cĩ nghiệm xx, thi tacé P(x) = (c —x,).Q(x) trong đĩ Q(x) là một đa thức bậc n -— 1

® Một đa thức bậc 0 cĩ nhiều nhất là 0 nghiệm Phương trình bậc 3: az” + bz” + cz + d = 0 (a z 0)

® Phương trình bậc 3 cĩ ít nhất một nghiệm (vả nhiều nhất 3 nghiệm)

® Cách giải : Nĩi chung, ta chỉ giải được phương trình bậc 3 nếu biết được một nghiệm của nĩ Khi đĩ bài tốn đưa về giải phương trình bậc hai

® Dinh Ii Vidt Néu phuong trinh az* + bz? + cx +d = 0 (a =0) cĩ 3 nghiệm 2,, Ey Ly thì ta cĩ : 1 +2, t+1y =T—— Cc 1; + Lz, + Ly, = — d 7.73, =—— 33 a

Phirong trinh bac 4; az‘ + bz + cz? + dz+e=0(z 2D)

Ta đã biết cách giải phương trình bậc 4 khi nĩ cĩ dạng đặc biệt như phương trình trùng phương, phương trình phản thương Ngồi ra, cĩ thể giải phương trình bậc 4 trong các trường hợp sau :

Trang 25

Hướng dẫn giải

a) Phương trình cĩ nghiệm —1 khi và chỉ khi :

—l+ mm? ~m +7 ~ ầm” + ầm + 6 = 0 œ —2m” + 2m + 12 = 0

T 2 âm?-m6=0ô m= 3 b) Véi m = —2 hoặc m = 3, phuong trinh tré thanh : + =—]

z! =13z—12=0 œ (+ +1)É?—z—12)=0 ©l|z=—3

r= 4,

Vidu2.Tim m dé phuong trinh z* -1—m(r—-1)=0 (1) cĩ ba

nghiệm phân biệt Hướng dẫn giải r=1 Taco: () @ (z—1)Œ? +z+1— m)=0@© 3 ø+z~+l—m = Ơ

Đặt : fla) =#?+zx+l—m Phương trình (1) cĩ ba nghiệm phân biệt

Trang 26

r=m (1)

lr? — mr +m? —1=0 (2)

L

P(r) =06

Yêu cầu bài tốn là m > 0 và phương trình cĩ hai nghiệm phân biệt và déu khac 77 turc la un > O va:

A>0 4— 3m >0

poo ae jm —1>0 elemeX&

S>0 Hàm >0 ng,

/(m) x () mẻ —1†1z0

Ví dự 4 Tìm các giả trị của ¿ và b để phương trình rỶ + øzÄ+b= 0 (1)

cĩ ba nghiệm phân biệt +, +„, z„ thoả mãn hệ thức z¡ + x, = 22)

Hướng dẫn giải

Giả sử phương trình (1) cĩ ba nghiệm phân biệt z,, z,, z Theo định

lí Viết, ta cĩ : x, + ty + +¿ =0 Từ giả thiết Tạ +, =2Z,, SUY ra £, =0, do đĩ b=0

Đáo lại : Với b = 0 phương trình (1) trở thành : +” +dgr =Ũ€©>+ (2? + a) = 0)

Phương trình cĩ ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi a < 0 Khi đĩ ta duge 2, = —V—-a, «, = 0, ©, = mm Các nghiệm này thoả mãn hệ thức x, +4, = 22

Vậy các giá trị cần tìm của ø và b cần tìm là : ø < 0 b< 0

Trang 27

Từ đĩ suy ra: , 2 › = tt, + + rs) + (ryt, + 2 mượn (+, +, + M) } = le, y + (rợn, } ‡ ướt y — 2b, | (1) Do dé: a? + »b = (2,2; y + (w,7,) + (su):

Áp dụng kết quả : z2 + ˆ + zˆ > sự + gz + z2 tạ cĩ :

4 J +

(rr) + (rey) + ra) >It, (r, +, + x,) =-h, (2) (Đăng thức khơng xảy ra vì Ey Uy, £, đơi một khác nhau)

Từ (1) và (2), suy ra: a? + 2b > —b œ@ a? + 3b > Ú, Ví dụ 6 Giải phương trình : r` — 21 — 32 = 0 (1)

Hướng dẫn giải Ta tìm cách phân tích về trái của (1) thành thừa số zì—24z—32=z! + (4z? + 4) — da? — 24+ — 36 2 (4? + 2) - 4(z +3) (2 +2+3z+ 6) lạ? +2—2r— 6) ~ (x? + 2x +8)(e? — 2x — 4)

Viv +22r4+8>0nen: (Doer—-mw-420e2=14 5

Ghi chú Cách giải trên đây rất gọn nhưng cĩ vẻ "may rùi" Cĩ thê giải

Trang 28

2a—?n — 0 W)

(T) | mù = 12 (2)

a? — mb? = —32 (3) Tir (1) va (2) suy ram = 2a, b = +2 = 8 Thay vao (3) ta được : m a a’ — 2a

2] =88 cá" + 8n —Ta=0 a

e (a —2)(a? +20 + 36) = 0

@oa=2 Tom lai: ao = 2 m = 4 b = 3 (thoa man hé (7) ) Vay :

+! —94z— 32 =2 +2} — 4z +3), Vĩ dụ 7 Cho đa thức P(œ› = z` — 2#” + (m— 1)xrÌ + 2# — m

a) Tỉnh P().P(—1) ; b) Tìm ?; để phương trình P(+z› = 0 cĩ 4 nghiệm phân biệt Nướng dẫn giải a) P()=1—2+in—1+2—m =0 ; P(-1))=142+m-1-2-m=0

Trang 29

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9

Tacĩ: A' =(z? ~5z—1) ~ 4z! + 109 — 32ø° —12z

=#?—32r+1= (z— U Do đĩ ƒ(¿) cĩ hai nghiệm là a = z”— 5z —1—(zr—1)=z”—6z vag =a? — 5a 1+ z—1]1=z+z?”—4z— 2, nên suy ra: fla) = (a +4 6r)(a —1ˆ +4#+ 2),

Như vậy : (1) © (2? — 62 —a)(2? — 4x —a —2) =0

¿cơ —a=0 (A’=9+a) (2)

pr? de —a~2=0 (A! =6 +2) (3) , - aye, |8 +90 (1) cĩ nghiệm khi : z+6>0 ©Ssa>-Q9 C LUYỆN TẬP

Giải phương trình : 12r” + 42? —17< +6 = 0 Giải phương trình +” -3z—1=0 bằng cách đặt r = 2cost với tC |0: 7Ì Giải và biện luận phương trình : zŸ — 3z? + (3 T— m)z + im =1= 0

Cho đa thức P(z) = z3 + 2(k — 1)z? + Í2~ 3k)z — 3(k +9) a) Tinh P(2)

b) Tìm š sao cho phương trình P{z) = 0 cĩ nghiệm kép

Giá sử phương trình «* — z + m = 0 cĩ ba nghiệm a, b e Tính :

a) S=a'+bi +e’: b) T=ah +b +c°

Giai phuong trinh: w' — 42 —1= 0

Cho đa thức P(r) = 41 ~ 20? — 327 +ar4+6=0 Tim a va b dé P(x) cĩ hai nghiệm kép phân biệt

Trang 30

§ 6 BÁT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ BÁT PHƯƠNG TRÌNH BẠC HAI

A KIEN THUC CO BAN

Cho tam thức ƒ (z) = ø#? + bz + c, a = 0 Bất phương trình bậc hai là

bất phương trình cĩ đạng ƒ(z) > 0, hoặc ƒ(z)> 0, hoặc ƒ(z) < 0, hoặc f(a) <0 Muốn giải bất phương trình bậc hai, ta xét dấu tam thức ƒ (+) từ đĩ suy ra tập nghiệm của bất phương trình Nếu hệ số ø cĩ thê triệt tiêu, phải xét thêm trường hợp a = Ơ

Trang 31

œ < X=ø x={|-4]

a< (0

X= (x, : 1)

X = 2, : r,|

Cách giải tương tự cho các bắt phương trình : ƒ(+) < 0, f(r) <0

Bất phương trình bậc hai vơ nghiệm

Gar +br te > 0 VƠ nghiệm © aa? + be +e <0 Vr ER A<0 a < Ú)

A<0 ® ør + br + c <() vơ nghiệm © a>

Ƒƒ(œ >0 (1)

g(z)› >0 (2)

Hệ bất phương trình bậc hai : |

(Một trong hai bát phương trình cĩ thể là bậc 1 hoặc bậc 3)

Gọi X, và X, lân lượt là tập nghiệm của các bất phương trình (1) và (2) Tập nghiệm của hệ là: X = X.n Ä

® Giú chú : Nếu ta cĩ XC AX, thi ¥ = X,

Diéu kién X, c ÄX, cĩ nghĩa là mọi nghiệm cua bất phương trình (1)

Trang 32

B VÍ DỤ ÁP DỤNG

Ví dụ I Giải và biện luận bất phương trình :

(Œm + 1)3ˆ — 4+ +? — 2 < Ú q) Hướng dẫn giải 3 em = -] (1) c© -lr—-j<(Ì©xr> a em 2-1: Al = E—(n3-1)n — 2) = -Ím + On ~ 3) Bang xéet dau A’ va a : m ơ 3 +3Â A/ - \ + + | ¬ a - — 1 + +

2-vA' „ _ 2+vA'

m+1 ` 2 m+1—

Khi A” > 0 ta kí hiệu : z, =

Trang 33

32

| A’=0 2 1

Jm=3> => X=l1— =1-T a>Ð0 m+] 2 AN’ <0 6)m> 3s > X=, ¡ >

Ví dụ 2.Cho biểu thức ƒŒ = ứm ~ 1)+? ~2(m +1)+ + 2m — 1 Xác định 7 sao cho : a) Bất phương trình f (2) < 0 vơ nghiệm ; b) Bất phương trình ƒ(z› > 0 cĩ nghiệm Hướng dẫn giải

a)® m=1: flr) <0 —4z +] <0«4+r> T Vay m =1 khong thoa diéu kién bai toan

emel: A’ =(ns+ 1) - (im —1)(Qm —1) = —m? +5m.Tacé:

Ƒ(z)< 0 vơ nghiệm œ& ƒ(z) > 0 voi moi rE R

om>s, a>d m-1>0

A'<0 on +5m <0

b) Xac dinh 7 sao cho bat phuong trinh f(x) > 0 cĩ nghiệm

Ta giải bài tốn : "Xac dinh 2 sao cho f(x) >0 vé nghiém"

° m=1//2)30 8 <Ar+1>0 O2 ST, Vậy m =1 khơng thích hợp

®mz1: ƒ(z)>0 vơ nghiệm 4 ƒ(+)< 0 với mọi z € lR

A<0 m? +5m <0 <0 mộmèL<0 âđm <0

Tĩm lại, điều kiện để ƒ (z) > 0 vơ nghiệm là m < 0

Trang 35

lac m<2 O<m<2 m >8 m>8 m<Q c 3m “6ư ge m>? &m=2 , m ~ ln — 8 <0 m<Q ‘ M „éw > 2

Tổng hợp các kết quả trên ta được : 2 < ru < 8

Ví dụ 4 Cho bắt phương trình : mr? — 3z + rn + 4 <0 (1)

Trang 36

A>0 9

(*)ep a, <u, S08 |P>06-—<m<-4

S<0

Tống hợp các kết quả trên, ta được : m < —4

b) Ta tìm rn sao cho X chứa í nhất mội số thực dương (**)

© on <0 : Thoda man (**)

e m=o:x=|4 : tai, thoả mãn (* *), ® m > 0 (xem bảng xét dau, phan gach chéo) 1 A<0 l)m >—> => X =Ø, khơng thoả mãn (**) 2 œ >0 LL +s : 2) 0<m <5 2 X =z, ca), Tập nay chia —— 2-3 x9 ~ 2m nên khơng thoả mãn (* *),

Tổng hợp các kết quả, ta được : rn < >

Vỉ dụ § Xác dinh m dé bất phương trình z? — 2z + 1— m” < 0 được

.thoả mãn với mọi z thuộc đoạn [L; 2]

Trang 37

36

2) m <0 X =[L+m:1— mÌ Do đĩ : (*) o>

ITm>2”°

1+m<1 mes

Vay: m<-—1 hoac m>1 Ví dụ 6 Với những giá trị nào của rn thì hệ bất phương trình sau cĩ nghiệm : +z—2xz+1-m<0 () A)‡† : } Íz? — (3m + D£ + mÊ +m <0, (2)

(Trích dé thi Đại học Ngoại thương, năm 1997) Hướng dẫn giải Goi X, va X, lần lượt là tập nghiệm của các bất phương trình (1) và (2) Ta cĩ : x, =|m;m + 1Ì

Xét bất phương trình Í1) : A“=1— 1+n =m ®?n<0 => A'<0= X, =Ø Suy ra hệ (4) vơ nghiệm *m >0 A'> 0 s> X, =ỈL= Vm ;1+ Ým|

Ta giải bài tốn sau : Tìm zn > 0 sao cho hệ bất phương trình (24) vơ

Trang 38

6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 Ví dụ 7 Giải hệ bất phương trinh :

+2 +5z+4<0 (1)

z* + 3z” — 9z —10 >0 (2)

(Trích đề thi Đại học Kinh tẾ Quốc dân Hà Nội, năm 1998) Hướng dẫn giải

Tập nghiệm của bất phương trình (1) là X= (-4 = 1} Ta chimg

minh moi z € X, déu thoa bất phuong trinh (2)

Chia da thire 2? + 32? -—9¢-10=0 cho da thie 2? +5r+4, ta

được : +” + 8x? — 9z T— 10= (z + 5z + 4Ì(z ~2)—3z—2

= (x? +52 +4)(2 —2) —3(2 +1) +1.(3)

Biểu thức ở vế phải của đẳng thức (3) cĩ giá trị dương với mọi

z€ *X¡, tức là bất phương trình (2) được thoả mãn với mọi z € X,

Vậy tập nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là: X = [—4: — 1] '

C LUYỆN TẬP

Giải và biện luận bất phương trình :

a) mr? —(n+D2?+1=0 ; b) mx? —(m —1)22 —1=0 Xac dinh m dé bat phuong trinh sau v6 nghiém : (in + 1)z? — 3(m + Ủz + 2m +1>0 Xac dinh m dé bat phuong trinh mz? + (m — 4)2 + m > 0 được thoả mãn với mọi + > 0 :

Với giá trị nào của tham số ? thi bất phương trình sau được thoả mãn với mọi giá trị z € |0: 1|: +? —9(m + 1)z + m2 + 2m <0

(Trích để thi Học viện Cơng nghệ Bưu chính Viễn thơng, năm 1998)

Tìm ? để bất phương trình zˆ — mắm? +1)+ + m' < 0 cĩ nghiệm

và mọi nghiệm của bất phương trình đĩ đều thoả mãn bất phương trình

z +4z+d3>0

Trang 39

6.6 Với những giá trị nào của r: thì hệ bất phương trình sau cĩ nghiệm : "

a? — Rr +8 <0

gi — (2m + 1)z +m +m <0

(Trich dé thi Dai học Ngoại thương Tp HCM, khối D, năm 1999) 6.7 Với những giá trị nào của r0: thì hệ bất phương trình sau cĩ nghiệm :

tt « (m + 2) + 2m < () +n + 2)2 42m <0

(Trích dê thì Học viện quan hệ Quốc tế, năm 1997)

6.8 Tìm các giá trị của ?› để hệ bất phương trình sau vơ nghiệm :

wˆ—=Ttz—R<(Q

mer tl > (2m ~ Dr +3

(Trích đề thi Đại học Dược Hà Nội, năm 1997)

6.9 Tìm z„ để hệ bất phương trình sau vơ nghiệm :

wr~1<0 (1)

(mm ~ rx +m) <9 (2)

(Trích dê thi Đại học Giao thơng Vận tái Hà Nội, năm 1997)

Trang 40

Chương 2

HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAI ẨN

§ 7 HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHÁT HAI ĂN

A KIEN THUC CO BAN

az+by=c¢, (7) Giải va biện luận hệ phương trình : a,z + by = 6,

1 4, ob Dat: D= ab = a,b, -ba,: D = ch = 6b, — be, : 2 % 2 2 D a) Cy = = 4¢, — G8, Ụ a, 6 1 2 12

D, D,

1) Dz 0 : Hé cé nghiém duy nhat (x : y) VỚI : ——*, W=—- D D 2) D=0:

® D, >0 hoặc D, =0 Hệ (T) vơ nghiệm

°®D = D, =0 :Hệ (J ) cĩ thể vơ nghiệm hoặc cĩ vơ số nghiệm (nên thay giá trị cụ thể của tham số vào hệ phương trinh (7) rồi kết luận)

B VÍ DỤ ÁP DỤNG

% + Huy = 3m

Vĩ dụ I Cho hé phương trình : mar +y=2m +1 (7)

a) Giai và biện luận hệ (7)

b) Trong trường hợp hệ cĩ nghiệm duy nhất (x, : Yu) tim các giá trị nguyên của ?¡ sao cho z„ và ¿ là những số nguyên