Đang tải... (xem toàn văn)
Thay cô tải về 3 bộ tài liệu thi HSG toán THPT tỉnh đăk lăk năm 2016. Đây là tài liệu thiết thực bổ ích và không thể thiếu đối với thầy cô cũng như học sinh luyện toán. Đăc biệt là học sinh giỏi toán 12 chuyên toán.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH ĐẮK LẮK TRƯỜNG THPT HUỲNH THÚC KHÁNG KÌ THI OLYMPIC 10-3 LẦN ĐỀ THI ĐỀ NGHỊ MÔN: TOÁN LỚP 10 ĐỀ THI VÀ ĐÁP ÁN Câu 1: điểm ( x + y )( x − y ) = Giải hệ phương trình: ( x + y − 1) − −3= ( x − y) Đáp án câu 1: Đặt a = x + y , b = x − y (b ≠ 0) 1.0đ Khi ta có hệ 1 a = ab = b ⇔ ( a − 1) − − = a2 a − 2a + − − = b x = a = y = b = ⇔ −3 ⇔ a = x = −35 b = −8 y = 29 0.5x2đ 1.0x2đ −35 29 ; ÷ Vậy nghiệm hệ phương trình ; ÷, 2 2 8 Câu 2: điểm Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) điểm M cho góc AMB, BMC, CMA 1200 Các đường thẳng AM, BM, CM cắt đường tròn (O) A’, B’, C’ Chứng minh rằng: MA + MB + MC = MA’ + MB’ +MC’ Đáp án câu 2: → → → → → Lấy điểm A1 , B1 , C1 cho MA1 = MA , MB1 = MB , MC1 = MC 0.5đ MA MB MC uuuu r uuuur uuuur Ta có vectơ MA1 , MB1 MC1 có độ dài góc chúng 1200 , nên M tâm tam giác A1 B1C1 0.5đ uuur uuuu r uuur uuur 0.5đ MA.MO = 2MA.MP (P trung điểm AA’) r uuur uuur uuuu ' ' = MA.( MA + MA ) = MA( MA − MA ) 0.5đ uuur r uuuu r uuuu r MA uuuu Suy 0.5đ MO = MA − MA' ⇔ 2MA1.MO = MA − MA' (1) MAuuuur uuuu r Tương tự MB1.MO = MB − MB ' (2) uuuur uuuu r MC1.MO = MC − MC ' (3) 0.5đ Từ (1), (2) , (3) ta có → uuuu r uuuur uuuur uuuu r MA + MB + MC − MA' − MB ' − MC ' = 2(MA1 + MB1 + MC1 )MO = ⇒ MA + MB + MC = MA' + MB ' + MC ' Câu 3: điểm Cho số thực a, b, x, y thoả mãn điều kiện ax − by = 1.0đ Tìm giá trị nhỏ biểu thức F = a + b + x + y + bx + ay 2 2 Đáp án câu 3: a b Đặt M = ( x; y ) , A = − ; − , ( ∆ ) : ax − by = 2 2 b a Ta có MA = x + + y + 2 2 Mà M ∈ ( ∆ ) nên MA ≥ [ d ( A; ∆ ) ] = ( ∆ ) 0.5đ Đẳng thức xảy M hình chiếu A a + b2 0.5đ 3 3 + (a + b2 ) ≥ 2 (a + b2 ) = 2 a +b a +b 2 ;− Vậy F = đạt chẳng hạn ( a ; b; x; y ) = ; 0; 2 Câu 4: điểm Chứng minh ∀n ≥ 1, n ∉ ¥: 222 n+1 + hợp số Suy F ≥ 0.5đ 1.0đ 0.5đ Đáp án câu 4: ∀n ≥ 1, n ∈ ¥ ta có 222 n+1 + > 0.5đ Vì ≡ 1(mod 3) ⇒ ≡ 1(mod 3) ⇒ 22 n.2 ≡ 1.2(mod 3.2) hay 2 n +1 ≡ 2(mod 6) 1.0đ 2n + ⇒ 22 n+1 có dạng 6k + 2(k ∉ ¢ ) 22 n+1 + hợp số Mặt khác = 64 ≡ 1(mod 7) ⇒ 0.5đ 0.5đ 0.5đ Câu 5: điểm Trong mặt phẳng tọa độ cho ngũ giác lồi có đỉnh điểm có tọa độ nguyên Chứng minh bên cạnh ngũ giác có điểm có tọa độ nguyên Đáp án câu 5: Coi đỉnh Ai (xi; yi), i = 1, 2, 3, 4, 0.5đ (xi; yi) rơi vào trường hợp sau: (2k; 2k’), (2k; 2k’+1), (2k+1; 2k’ + 1), ( 2k +1; 2k’) với k, k’ ∈ Z 1.0đ Do đa giác có đỉnh nên theo nguyên lí Đi rich lê, có đỉnh có tọa độ thuộc bốn kiểu 0.5đ Khi trung điểm đoạn nối đỉnh có tọa độ nguyên 0.5đ Do ngũ giác lồi nên điểm miền cạnh ngũ giác 0.5đ Câu 6: điểm Cho hàm số : f : ¥∗ → ¥∗ n → f ( n) Thỏa mãn f [f(m) + f(n)] = m + n, ∀m, n ∈ ¥ ∗ Tìm f(2017) Đáp án câu 6: Từ giả thiết suy f [2f(n)] = 2n f [2 f (1)] = 0.5đ Ta chứng minh f (1) = * Thật giả sử f (1) = + k ( k ∈ ¥ ) Khi giả thiết : f [2f(k)] = 2k ⇒ f (k ) + f (1) = f [ f (2 f (k )) + f (2 f (1))] = f (2k + k ) = f (2 f (1) = Như f ( k ) + f (1) = vô lý Do phải có f(1)=1 Giả sử f ( n) = n f ( n + 1) = f [ f ( n) + f (1)] = n + Suy f ( n) = n, ∀n ∈ ¥ * (1) Theo kết (1) ta có f(2017)=2017 HẾT 1.0đ 0.5đ 1.0đ ...ĐỀ THI VÀ ĐÁP ÁN Câu 1: điểm ( x + y )( x − y ) = Giải hệ phương trình: ( x + y − 1) − −3= ... ∈ ¥ ∗ Tìm f(2017) Đáp án câu 6: Từ giả thi t suy f [2f(n)] = 2n f [2 f (1)] = 0.5đ Ta chứng minh f (1) = * Thật giả sử f (1) = + k ( k ∈ ¥ ) Khi giả thi t : f [2f(k)] = 2k ⇒ f (k ) + f (1) =