B/ Đặt vấn đề: Trong chương trình đại số bậc trung học cơ sở lớp 9, việc giải một bài toán bậc hai là một việc làm khó đối với đại đa số học sinh lớp 9.. Sau khi nghiên cứu chương trình
Trang 1A/ TÊN ĐỀ TÀI:
PHƯƠNG PHÁP TỔNG QUÁT ( Công thức ).
Giúp học sinh lớp 9 giải một dạng toán bậc hai thường gặp.
B/ Đặt vấn đề:
Trong chương trình đại số bậc trung học cơ sở (lớp 9), việc giải một bài toán bậc hai là một việc làm khó đối với đại đa số học sinh lớp 9 Sau khi nghiên cứu chương trình Đại số lớp 9 tôi nhận thấy dạng bài toán mà tôi đưa ra trong đề tài này rất hiếm gặp trong SGK kể cả SBT hiện hành.Nhưng nó lại có nhiều trong các tài liệu hướng dẫn học sinh ôn tập cho kỳ thi tuyển sinh.Trong tiết học chính khoá tôi có đưa ra một số bài tập dạng này nhưng rất nhiêù học sinh không
tự giải được Theo tôi, do học sinh không hình dung được đường lối chung để giải quyết vấn đề Vì vậy tôi đã đưa dạng toán này vào thực hiện trong tiết Tự Chọn theo thống nhất chung của tổ chuyên môn trong nhà trường và thử áp dụng suy nghĩ của mình vào trong giảng dạy với mục đích nhằm giúp cho nhiều học sinh tin tưởng hơn vào kết quả bài toán mình có được và bớt ngại hơn khi tiếp xúc với các bài toán bậc hai dạng này
C/ Cơ sở thực tiễn:
Vấn đề tôi đang nghiên cứu ở đây tại đơn vị trường THCS Phan Thúc Duyện đã được áp dụng từ năm học 2006 - 2007 Khi chưa áp dụng đề tài này tỉ
lệ học sinh yếu kém khá cao ( có số liệu chứng minh ở phần kết quả ) Trước tình hình giáo dục hiện nay Làm sao cho học sinh hứng thú trong học tập nhất là đối với bộ môn toán và đạt hiệu quả cao Hơn nữa trong chương trình tự chon 9 có
bố trí dạy tự chọn với thời lượng 2tiết / 1 tuần Do đó có cơ hội để giáo viên áp dụng đề tài vào giảng dạy trong học sinh nhằm nâng cao hơn hiệu quả học tập đặcb iệt là đối với học sinh lớp 9
D/ Cơ sở lý luận:
Mặc dù rằng trong SGK từ lớp 8 Bài :”Giải bài toán bằng cách lập phương trình” đã đưa ra cách lập bảng đối với một số dạng toán trong loạt bài tập này nhưng khi đến lớp 9 phần đông học sinh không nhớ cách lập bảng này
Do đó giáo viên phải nhắc lại trong quá trình dạy nhưng lượng thời gian phân bố không đủ để hình thành cách lập bảng cho các dạng toán khác Vì vậy học sinh
sẽ gặp không ít khó khăn khi giải quyết dạng toán có trong đề tài này Trước nhu cầu đổi mới của phương pháp dạy học, tạo điều kiện cho học sinh hứng thú với học tập môn toán đòi hỏi các em phải phần lớn giải quyết nhiều dạng bài tập trong chương trình hiện tại
Trong bài toán bậc hai bao giờ cũng có hai giả thiết, và có sự liên kết chặt chẽ nhau để tạo thành biểu thức toán học và cho ta một phương trình theo yêu cầu của đề bài Trong hai giả thiết đó đề toán thường bảo ta tìm giả thiết 2 và
Trang 2thuộc giả thiết 2).
Ví dụ: Cho bài toán sau
Một hợp tác xã nông nghiệp dự định cấy 100 ha lúa trong một thời gian nhất định Nhưng khi bắt tay vào việc thì mỗi ngày cấy tăng thêm 2,5 ha so với
dự định ban đầu Vì thế mà hoàn thành kế hoạch trước dự định là 2 ngày Hỏi thời gian thực tế để hoàn thành công việc được giao
Đọc bài toán này ta nhận thấy có hai giả thiết:
Giả thiết 1: Số ha lúa được giao ( 100 ha)
GT2a: Thời gian thực tế cấy Giả thiết 2: Thời gian cấy số ha lúa đó
GT2b: Thời gian dự định cấy
Do đó sơ đồ giả thiết của bài toán bậc hai là:
E/ Nội dung nghiên cứu:
I/ Phương pháp tổng quát để tìm đường lối lập phương trình:
Khi giải bài toán bậc hai bằng cách lập phương trình bao giờ cũng có thể
có 5 câu giải:
Câu giải 1: Thường là câu giải của việc chọn ẩn chính hoặc phụ ( Giả thiết 2a hay 2b)
Câu giải 2: Là câu giải thể hiện sự liên hệ giữa ẩn phụ ( chính) theo yêu cầu của
đề bài và đặt điều kiện cho ẩn
Câu giải 3: Là câu giải phụ thuộc vào ẩn câu1 Biểu thức đại số
Câu giải 4: Là câu giải phụ thuộc vào ẩn câu1 Biểu thức đại số
Câu giải 5: Là câu giải thể hiện sự liên kết giữa biiểu thức đại số có trong câu giải 3 và câu giải 4 để đi đến thành lập một phương trình theo yêu cầu đề bài
Tất nhiên đây không phải là điều tuyệt đối, nhưng thường thường ta đều thể hiện 5 câu giải ấy trong quá trình làm bài
Toán bậc hai
Giả thiết 1 Giả thiết 2
Giả thiết 2a ? Giả thiết 2b ?
Trang 3Từ đó đưa ra đường lối chung:
Quay lại ví dụ trên:
Một hợp tác xã nông nghiệp dự định cấy 100 ha lúa trong một thời gian nhất định Nhưng khi bắt tay vào việc thì mỗi ngày cấy tăng thêm 2,5 ha so với
dự định ban đầu Vì thế mà hoàn thành kế hoạch trước dự định là 2 ngày
Hỏi thời gian thực tế để hoàn thành công việc được giao
Ta xác định yếu tố của bài toán có liên quan đến khung phương trình trên:
A: Đại lượng không đổi là 100 ha
x:Yêu cầu cần tìm của bài toán? ( Thời gian thực tế để hoàn thành công việc hay thời gian hoàn thành công việc theo kế hoạch)
Nếu gọi x là thời gian thực tế để hoàn thành công việc thì thời gian hoàn thành công việc theo kế hoạch là x + 2 Lập luận này dựa trên cơ sở:
a: Thời gian hoàn thành công việc theo kế hoạch - Thời gian thực tế để hoàn thành công việc = 2 ngày
b: Số ha lúa cấy / ngày ( Thực tế) - Số ha lúa cấy / ngày ( Kế hoạch) = 2,5 ha
Thay vào công thức trên ta có phương trình : 100 100 5
2 2
x −x =
+ Sau khi học sinh lập được phương trình giáo viên có thể hướng dẫn các
em thực hiện tìm các câu giải để hoàn thành việc giải bài toán
Hoạt động của Thầy Hoạt động của trò Ghi vở
Bài toán yêu cầu tìm
yếu tố nào?
Ta có thể gọi ẩn đặc
trưng cho đại lượng
nào?
Nếu gọi x là thời gian
thực tế để hoàn thành
công việc thì thời gian
Thời gian thực tế để cấy xong 100 ha lúa hay thời gian cấy xong 100 ha lúa theo kế hoạch
Gọi x là thời gian thực tế
để hoàn thành công việc Thời gian hoàn thành công việc theo kế hoạch là
Gọi x là thời gian thực tế cấy xong 100 ha lúa Vậy thời gian hoàn thành công việc theo kế hoạch
là x + 2 ĐK:x>2 (đơn vị tính: ngày)
b
+ hay
Trong đó:
A: Giả thiết 1 ( Đại lượng không đổi)
x: Điều bài toán cần tìm ( ẩn số) ( Giả thiết 2)
a: Đại lượng bài toán cùng đơn vị với x
b: Đại lượng hơn kém nhau (theo khung phương trình bằng chữ) có sẵn trong bài toán nhưng không cùng đại lượng với x
b
x a − x =
−
Trang 4theo kế hoạch là?
Điều kiện của ẩn?
Cấy 100 ha lúa trong
thời gian x ngày Vậy
mỗi ngày thực tế cấy
được bao nhiêu ha lúa?
(1)
Tương tự câu hỏi cho
câu hỏi số ha lúa cấy
một ngày theo kế
hoạch? (2)
Theo bài biểu thức
trong (1) và trong (2)
có quan hệ gì? Từ đó
học sinh lập phương
trình
x>2 (đơn vị tính: ngày) Mỗi ngày thực tế cấy được:
100
x (ha)
Số ha lúa cấy một ngày theo kế hoạch:
100 2
x+ (ha) Theo bài ta có phương trình:
100 100 5
2 2
x −x =
+
HS giải phương trình
Mỗi ngày thực tế cấy được:
100
x (ha)
Số ha lúa cấy một ngày theo kế hoạch:
100 2
x+ (ha) Theo bài ta có phương trình:
100 100 5
2 2
x −x =
+
Ta cũng có thể giải bài toán này theo cách khác Nếu gọi x là thời gian hoàn thành công việc theo kế hoạch thì x - 2 là thời gian thực tế để hoàn thành công việc ĐK: x > 2
Thay vào công thức trên ta có phương trình: 100 100 5
− II/ Các ví dụ minh hoạ:
1/ Ví dụ 1:
Một đội xe cần chuyên chở 120 tấn hàng Hôm làm việc có 2 xe được điều
đi làm việc khác nên mỗi xe phải chở thêm 16 tấn Hỏi đội xe lúc đầu có bao nhiêu chiếc.?
Trong trường hợp này dĩ nhiên học sinh có thể chọn ẩn trực tiếp là số chiếc xe của đội lúc đầu ( x nguyên dương)
Xác định các yếu tố có trong công thức tổng quát và đưa đến lập phương trình:
120 120 16
2
− Hay nếu gọi x là số chiếc xe của đội lúc sau ( x nguyên dương) ta cũng có phương trình:
120 120 16
2
+
Từ phương trình này giáo viên dễ dàng hình thành các câu giải cho học sinh và học sinh có thể hoàn chỉnh bài giải của mình
Trang 52/ Ví dụ 2:
Một con sông dài 180 km, một chiếc thuyền khi xuôi dòng sông đi nhanh hơn khi ngược dòng là 3 km mỗi giờ Vì thế khi ngược dòng thuyền đi lâu hơn khi đi xuôi dòng là 3 giờ Tính thời gian thuyền xuôi dòng và ngược dòng?
Lập luận theo các câu giải và ta đi đến phương trình từ công thức tổng quát trên:
180 180 3
3
+ Hay 180 180 3
3
− 3/ Ví dụ3:
Một ô tô đi từ Huế đến Hoà Cầm cách nhau 120 km Nếu mỗi giờ xe chạy chậm hơn vận tốc dự định là 10 km/h thì đến Hoà Cầm trể 24 phút Hỏi vận tốc
dự định của xe?
Trong bài tập này học sinh lưu ý đổi 24 phút ra đơn vị giờ trước khi tiến hành giải bài toán này
Gọi x là vận tốc thực tế của xe Thay các yếu tố vào công thức ta có phương trình:
120 120 2
10 5
+ 4/ Ví dụ 4:
Người ta cho một vòi nước chảy vào một cái bể có dung tích 2400 lít Nếu cho chảy mạnh hơn thường lệ 8 lít trong môt phút thì thời gian để vòi nước chảy đầy bể sẽ giảm đi 10 phút Tính mỗi phút vòi chảy vào bể bao nhiêu lít nước?
Ta có phương trình: 2400 2400 10
8
+ 5/ Ví dụ 5:
Trên một công trường xây dựng, một đội công nhân đắp con đường dài 20
km Nhờ tinh thần thi đua đội công nhân đã đắp thêm mỗi buổi 500 m so với dự định nên hoàn thành công việc sớm hơn 2 buổi Hỏi mỗi buổi lúc đầu định đắp bao nhiêu mét?
Ta có phương trình: 20 20 2
0, 5
x −x =
+
III/ Các bài tập kèm theo:
Bài 1:
Một đoàn xe ô tô vận tải chở 30 tấn hàng Khi sắp bắt đầu khởi hành thì có thêm hai xe nữa đến giúp Nên mỗi xe chở ít đi 0,5 tấn Hỏi đoàn xe lúc đầu có mấy chiếc?
Trang 6Bài 2:
Một đội máy cày nhận cày 286 ha đất Để kịp thời vụ đội được bổ sung thêm 4 máy nữa nên diện tích đất thực sự cày được của mỗi máy ít hơn dự định
là 2 ha Hỏi lúc đầu đội máy cày có bao nhiêu chiếc?
Bài 3:
Hai lớp 9a và 9b cùng tham gia lao động đan dép Mỗi lớp đều thực hiện xong 30 chiếc dép Biết rằng mỗi giờ lớp 9a làm hơn lớp 9b là 2 chiếc và lớp 9a làm xong trước lớp 9b nữa giờ Tính thời gian làm xong công việc của mỗi lớp? Bài 4:
Một hội đồng thi có 286 thí sinh phân đềuvào các phòng Nếu xếp vào mỗi phòng thi thêm 4 em thì số phòng thi giảm đi 2 phòng Hỏi số thí sinh được bố trí vào mỗi phòng lúc đầu là bao nhiêu?
Bài 5:
Một tổ học sinh dự định trồng 120 cây con Số cây được chia đều cho mỗi bạn Nhưng khi bắt đầu trồng, tổ được tăng cường thêm 3 bạn nữa nên mỗi bạn trồng ít hơn so với dự định lúc đầu là 9 cây Hỏi số học sinh lúc đầu của tổ?
F/ KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU: Tôi đã đưa chuyên đề này áp dụng từ năm học 2006 – 2007 đến nay đã hai năm học Kết quả thu được thống kê như sau:
Năm
học
Số
hs
lớp
9
06-07
Trước
Adụng
31
1 53 17% 82 26.4% 102 32.8% 49 15.8% 25 8%
06-07
Sau
Adụng
31
1 75 24.1% 102 32.8% 95 30.5% 25 8% 14 4.5%
07-08
Trước
Adụng
278 56 20.1% 68 24.5% 90 32.4% 42 15.1% 22 7.9%
07-08
Sau
Adụng
278 67 24.1% 75 27% 102 36.7% 15 5.4% 19 6.8%
Trang 7G/ KẾT THÚC VẤN ĐỀ:
Sau khi các em nắm được công thức trên các em rất dễ dàng biểu thị các yếu tố liên quan trong bài toán để lập phương trình đối với dạng bài tập trên Rất nhiều học sinh tham gia giải bài tập ở các tiết tiếp theo Tôi cho các em lập được phương trình trước rồi sau đó lần lượt tìm ra các câu giải để kết nối các đại lượng trong bài toán và hoàn chỉnh việc lập phương trình Tuy nhiên, dạng bài tập này trong sách giáo khoa và sách bài tập rất ít hoặc nếu có học sinh phải vận dụng linh hoạt công thức mới có thể giải được bài toán
Trên đây là những suy nghĩ của tôi về đề tài này được rút ra trong quá trình giảng dạy qua các năm Tuy rất đơn giản nhưng phần nào cũng góp phần giúp cho học sinh lớp 9 khắc phục được những khó khăn khi gặp dạng toán này nói riêng và tạo hứng thú cho các em trong việc học tập môn toán nói chung Kính mong sự góp ý chân tình của quí thầy cô, các anh - chị cùng các bạn đồng nghiệp để đề tài được hoàn chỉnh hơn Tôi xin chân thành cảm ơn
H/ ĐỀ NGHỊ:
Xen thêm bài tập dạng này vào trong hệ thống bài tập trong SGK và SBT
để học sinh có điều kiện tiếp cận và giáo viên có cơ sở hướng dẫn cho các em trong tiết dạy chính khoá và bỏ bớt các bài tập về chuyển động ( vì có nhiều bài tập cho dạng này ) và các bài tập về phần trăm (vì rất khó đối với học sinh diện đại trà)
Điện Thọ, ngày 10 tháng 4 năm 2008
Người thực hiện
Trần Văn Đông
Trang 8K/ TÀI LIỆU THAM KHẢO:
1/ Phương pháp giảng dạy môn Toán
Tác giả: GS Hoàng Chúng Nhà xuất bản giáo dục năm 1980
2/ Phương pháp dạy học môn Toán
Nhóm tác giả: Phạm Gia Đức - Nguyễn Mạnh Cảng - Bùi Huy Ngọc - Vũ Dương Thuỵ Nhà xuất bản giáo dục 1998
3/ Rèn luyện kỹ năng lập luận có căn cứ cho học sinh THCS thông qua dạy học Toán Tác giả: Nguyễn Văn Lộc - Nhà xuất bản giáo dục 1996 4/ Phương pháp giải toán bậc hai
Nhóm tác giả: Phạm Văn Khuông - Lê Minh Châu
Nhà xuất bản giáo dục thành phố Hồ Chí Minh 1998
5/ Những vấn đề chung về đổi mới giáo dục THCS - Môn Toán
Nhóm tác giả: Nguyễn Hải Châu - Phạm Đức Quang - Nguyễn Thế Thạch Nhà xuất bản giáo dục 2007
6/ Tài liệu BDTX chu kỳ III ( 2004 - 2007) - Quyển 2
Nhóm tác giả: Lê Văn Hồng - Phạm Đức Quang
Nguyễn Thế Thạch - Nguyễn Duy Thuận
Trang 9L/ Mục Lục:
