CO SO LOGIC VA DAI SO MENH DE

GV LÊ VĂN HỢP CHƯƠNG I CƠ SỞ LOGIC I MỆNH ĐỀ LOGIC: 1.1/ KHÁI NIỆM: Mệnh đề logic (gọi tắt mệnh đề) câu phát biểu (về lĩnh vực đó) sai cách khách quan Tính sai mệnh đề xác định từ nội dung mệnh đề mà không phụ thuộc vào người phát biểu Ta dùng ký hiệu A, B, C, … để mệnh đề Tính sai mệnh đề gọi chân trị (hay giá trị chân lý) mệnh đề Ta sử dụng số nhị phân (hoặc 0) để thể chân trị (hoặc sai) mệnh đề Ví dụ a) Các phát biểu mệnh đề (logic): A = “ Nước Việt Nam thuộc châu Á ” (chân trị đúng) B = “ Tứ giác có bốn cạnh hình vuông ” (chân trị sai) C = “ Vàng không nặng sắt ” (chân trị sai) D = “ Truyện Kiều cụ Nguyễn Du ” (chân trị đúng) b) Các phát biểu mệnh đề (logic): E = “ Hãy đọc sách ! ” (câu mệnh lệnh) F = “ Anh đâu ? ” G = “ Tú muốn uống nước không ? ” (các câu nghi vấn) G = “ Trời lạnh ! ” (câu cảm thán) c) Cần phân biệt Định nghĩa với Mệnh đề Định nghĩa Mệnh đề H = “ Hình bình hành tứ giác có cặp cạnh đối song song ” (Định nghĩa) K = “ Hình bình hành có cặp cạnh đối tương ứng ” (Mệnh đề) L = “ Tam giác hình phẳng có đỉnh cạnh ” (Định nghĩa) M = “ Tổng ba góc tam giác 180o ” (Mệnh đề) 1.2/ PHÂN LOẠI MỆNH ĐỀ: Một mệnh đề xếp vào hai loại sau đây: a) Mệnh đề sơ cấp : không sử dụng trạng từ “ KHÔNG ” phát biểu chia thành mệnh đề nhỏ b) Mệnh đề phức hợp: có sử dụng trạng từ “ KHÔNG ” (hàm ý phủ định) phát biểu hay chia thành mệnh đề nhỏ (bằng cách sử dụng từ nối : và, hay, suy ra, kéo theo, … thì, tương đương, nếu, khi, … ) Ví dụ: A = “ Tháng giêng có 30 ngày ” mệnh đề sơ cấp B = “ 22 không chia hết cho ” C = “  ” mệnh đề phức hợp D = “ Nếu > > ” mệnh đề phức hợp II CÁC PHÉP NỐI LOGIC (CÁC PHÉP TOÁN MỆNH ĐỀ): Cho mệnh đề P Q 2.1/ MỆNH ĐỀ PHỦ ĐỊNH: Ký hiệu P hay  P mệnh đề phủ định P (đọc phủ định P) P phát biểu khả năng, trường hợp lại mà P chưa phát biểu Chân trị P trái ngược với chân trị P P P Ví dụ: A = “ > ” có A = “  ” B = “  ” có B = “ = ” C = “ Tuổi An khoảng từ 18 đến 20 ” có C = “ Tuổi An < 18 > 20 ” D = “ Áo màu xanh ’’ có D = “ Áo màu xanh ” E = “ Một nửa lớp thi đạt môn Toán ” có E = “ Tỉ lệ số sinh viên lớp thi đạt môn Toán 1/2 ” F = “ Không 15 học sinh trường dự trại hè quốc tế ” có F = “ Hơn 15 học sinh trường dự trại hè quốc tế ” 2.2/ MỆNH ĐỀ HỘI ( PHÉP NỐI LIỀN ): Ký hiệu P  Q mệnh đề hội P Q (đọc P hội Q, P Q) P  Q P Q P Q PQ 1 0 1 0 2.3/ MỆNH ĐỀ TUYỂN ( PHÉP NỐI RỜI ): Ký hiệu P  Q mệnh đề tuyển P Q (đọc P tuyển Q, P hay Q) P  Q sai P Q sai P Q PQ 1 0 1 1 2.4/ MỆNH ĐỀ KÉO THEO: Ký hiệu P  Q mệnh đề kéo theo P Q (đọc P kéo theo Q, P suy Q, P Q) P  Q sai P Q sai P 1 0 Q 1 PQ 1 Nhận xét từ bảng chân trị P  Q rằng: * Nếu P sai P  Q (bất chấp Q) * Nếu Q P  Q (bất chấp P) Chẳng hạn cho D = [ A  (B  C) ] với B mệnh đề sai A, C mệnh đề tùy ý Mệnh đề phức hợp D có chân trị bất chấp A C 2.5/ MỆNH ĐỀ TƯƠNG ĐƯƠNG: Ký hiệu P  Q mệnh đề tương đương P Q (đọc P tương đương Q, P Q) Để ý (P  Q)  [ (P  Q)  (Q  P) ] P  Q P Q có chân trị P Q PQ 1 0 1 0 Ví dụ: Xét mệnh đề sau: A = “ Nước tinh khiết không dẫn điện ” (đúng) B = “ Công thức hóa học nước H2O ” (đúng) C = “ Vua Quang Trung đại thắng quân Minh ” (sai) D = “ +  ” (sai), E = “ Có sống trái đất ” ( ? ) F = “ Đội tuyển bóng đá Hà Lan vô địch worldcup trước năm 2100 ” ( ? ) Các mệnh sau : C , A  B, A  B, A  D, B  E, A  B, C  A, D  C, D  F, E  B, A  B, C  D Các mệnh sau sai : A , C  B, D  C, D  E, C  D, A  C, B  D 2.6/ THỨ TỰ ƯU TIÊN CỦA CÁC PHÉP NỐI LOGIC: Khi dấu ngoặc, ta qui ước phép phủ định có độ ưu tiên cao nhất, phép   có độ ưu tiên ngang nhau, cuối phép  phép  có độ ưu tiên ngang Khi có mặt đồng thời hai phép toán có độ ưu tiên ngang sử dụng dấu ngoặc phân cách để người đọc biết phép toán thực trước Ta sử dụng dấu ngoặc để thể thứ tự ưu tiên theo ý muốn Cho mệnh đề A, B C Viết A  B  C hiểu thực A thực ( A  B) sau thực ( A  B)  C Viết A  B  C hiểu thực C thực (A  B) sau thực (A  B)  C Viết (A  B)  C, A  (B  C), (A  B)  C, A  (B  C), (A  B)  C, (A  B)  C với ý nghĩa phép toán ngoặc thực trước 2.7/ BẢNG CHÂN TRỊ CỦA MỆNH ĐỀ PHỨC HỢP: A mệnh đề phức hợp tạo từ mệnh đề sơ cấp P1, P2, Pn Muốn xét chân trị A, ta cần xét chân trị mệnh đề trung gian Có 2n khả xảy xét chân trị đồng thời P1, P2, Pn Bảng chân trị A có 2n cột tương ứng với khả chân trị P1, P2, Pn Ví dụ: Cho mệnh đề sơ cấp P, Q, R mệnh đề phức hợp A sau : A = { [ (P  Q)  ( P  R) ]  R } Để xét chân trị A, ta cần xét chân trị mệnh đề trung gian B = (P  Q), P , C = ( P  R), D = (B  C) R Bảng chân trị A có 23 = cột tương ứng với 23 = khả chân trị đồng thời P, Q R P Q R B = (P  Q) P C = ( P  R) D = (B  C) R A = (D  R ) 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 III CÁC DẠNG MỆNH ĐỀ: 3.1/ KHÁI NIỆM: a) Biến số thực nơi để thay vào số thực khác Biểu thức đại số cấu trúc bao gồm số thực, biến số thực phép toán đại số +, , , : , lũy thừa liên kết số biến số Chẳng hạn F(x,y,z,t) = x y  yz 3t  t  y  3z  biểu thức đại số theo biến số thực x, y, z t b) Biến mệnh đề nơi để thay vào mệnh đề khác Dạng mệnh đề cấu trúc bao gồm mệnh đề, biến mệnh đề phép toán mệnh đề  , , , ,  liên kết mệnh đề biến mệnh đề Chẳng hạn F(p,q,r,s) = { (p  q )  [ r  (A  s ) ] }  (q  B) dạng mệnh đề theo biến mệnh đề p, q, r, s mệnh đề A = “  > 11 ” B = “ Nước sôi 100o C áp suất thường ” 3.2/ DẠNG MỆNH ĐỀ HẰNG ĐÚNG VÀ HẰNG SAI: Cho dạng mệnh đề F = F(p1, p2, , pn) theo n biến mệnh đề p 1, p2, pn a) Nếu F luôn (bảng chân trị F có dòng cuối toàn giá trị 1) bất chấp chân trị p 1, p2, pn ta nói F dạng mệnh đề ta ký hiệu F  b) Nếu F luôn sai (bảng chân trị F có dòng cuối toàn giá trị 0) bất chấp chân trị p 1, p2, pn ta nói F dạng mệnh đề sai ta ký hiệu F  O Ví dụ: Cho biến mệnh đề p, q r a) F(p, q, r) = [ (p  q )  ( q  r) ] có F  (hãy lập bảng chân trị cho F) b) G(p, q, r) = { p  [q  ( r  B) ] }  A với mệnh đề A = “ 23 > 32 ” B = “ Lào tiếp giáp với Việt Nam ” Ta có G  O (vì A có chân trị sai) 3.3/ HỆ QUẢ LOGIC VÀ TƯƠNG ĐƯƠNG LOGIC: Cho dạng mệnh đề E = E(p1, p2, , pn) F = F(p1, p2, , pn) theo n biến mệnh đề p1, p2, pn a) E  F kéo theo hình thức E  F không thiết b) Nếu (E  F)  ta viết E  F nói F hệ logic E Đây kéo theo thực c) E  F tương đương hình thức E  F không thiết d) Nếu (E  F)  ta viết E  F nói E F tương đương logic với Đây tương đương thực Ví dụ: Cho biến mệnh đề p, q, r s Lập bảng chân trị để thấy a) [ p  (p  q ) ] [ (p  q)  (p  q) ] dạng mệnh đề b) [ (p  r )  (p  q  s) ] { [ p  (p  q) ]  [ p  (p  q) ]  p } IV CÁC LUẬT LOGIC (TÍNH CHẤT CỦA CÁC PHÉP NỐI LOGIC): Cho dạng mệnh đề E = E(p1, p2, , pn), F = F(p1, p2, , pn) G = G(p 1, p2, , pn) theo n biến mệnh đề p 1, p2, pn 4.1/ LUẬT PHỦ ĐỊNH KÉP: E  E 4.2/ LUẬT LŨY ĐẲNG (của  ): E  E  E ; E  E  E 4.3/ LUẬT GIAO HOÁN (của  ): F  E  E  F ; F  E  E  F 4.4/ LUẬT PHỦ ĐỊNH DE MORGAN (của  ): EF  EF ; EF  EF Ví dụ: A = “ Tôi học tiếng Anh tiếng Pháp ” A = “ Tôi không học tiếng Anh hay không học tiếng Pháp ” B = “ An đến trường hay đến thư viện ” B = “ An không đến trường không đến thư viện ” C = “ 3a  < ” (a số thực)  C = “ (3a  8)  C = “ (3a  8) < hay 3a   1” 3a  < 1” 4.5/ LUẬT HẤP THU (giữa  ): [ E  (E  F) ]  E [ E  (E  F) ]  E Ví dụ: Cho x, y, u, v  R Ta có x3(x2 + 5y6 ) =  [ x = hay ( x2 + 5y6 ) = ]  [ x = hay ( x = y = ) ]  x = (y thực tùy ý) u (3u + 6v )   [ u  (3u4 + 6v2)  ]  [ u  (u  hay v  0) ]  u  (v thực tùy ý) 4.6/ LUẬT KẾT HỢP (của  ): [ (E  F)  G ]  [ E  (F  G) ]  (E  F  G) [ (E  F)  G ]  [ E  (F  G) ]  (E  F  G) Ví dụ: Cho a, b  R Ta có [ (a  2) (a  2a  b) ]  [ (a  a  4) (2a  b) ]  [ (a  4) (2a  b) ] [ (a < 1) hay (a < 2 hay a = 2cosb) ]  [ (a < 1 hay a < 2) hay a3 = 2cosb ]  [ (a < 1) hay (a3 = 2cosb) ] 4.7/ LUẬT PHÂN PHỐI (giữa  ): [ E  (F  G) ]  [ (E  F)  (E  G) ] (  phân phối với  ) [ E  (F  G) ]  [ (E  F)  (E  G) ] (  phân phối với  ) Ví dụ: Cho x, y  R Ta có [ (x <  1) (x < hay y  3) ]  [ (x <  x < 4) hay (x <  y  3) ]  [ (x <  1) hay (x <  y  3) ]  (x <  1)  (x <  y thực tùy ý) [ (xy  5) hay (xy  x3  y2) ]  [ (xy  hay xy  2) (xy  hay x3  y2) ]  [ (xy  2) (xy  hay x3  y2) ] 4.8/ LUẬT TRUNG HÒA (của  ): (E  1)  E ; (E  O)  E Ví dụ: Cho x, y  R Ta có ( 2x + y > 4x2 + ey   1)  ( 2x + y > ) [ 8sinx  5cos(y3) = 14 hay x  9y + ]  ( x6  9y + ) 4.9/ LUẬT THỐNG TRỊ (của  ): (E  O)  O ; (E  1)  Ví dụ: Cho a, b  R Ta có ( | a |  lnb = b2 < sin2b)  O (không có a, b thỏa hệ)  (hệ vô nghiệm) [ acos(ab) > hay eab + eab  ]  (a, b thỏa hệ)  (a, b thực tùy ý) 4.10/ LUẬT BÙ (của  ): (E  E )  O ; (E  E )  Ví dụ: Cho u, v  R Ta có ( uv  uv < )  O ( u, v thỏa hệ )  ( hệ vô nghiệm ) (7u4  2v + hay 7u4 = v + 3)  ( u, v thỏa hệ )  ( u, v thực tùy ý ) 4.11/ CÁC DẠNG TƯƠNG ĐƯƠNG VÀ PHỦ ĐỊNH CỦA MỆNH ĐỀ KÉO THEO: a) (E  F)  ( E  F) ( dùng để xóa dấu  ) b) (E  F)  ( F  E ) (dùng để suy luận theo dạng phản đảo) c) (E  F) không tương đương với dạng phản ( E  F ) d) (E  F) không tương đương với dạng đảo (F  E) e) E  F  (E  F ) [ Từ a), dùng (4.4) (4.1) ta có E  F  E  F  ( E  F )  (E  F ) ] Ví dụ: A = “ Nếu (An học tốt) (An thi đạt) ” (E  F) A  B với B = “ (An học không tốt) hay (An thi đạt) ” ( E  F) A  C với C = “ Nếu (An thi không đạt) (An học không tốt) ” ( F  E ) A  D với D = “ Nếu (An học không tốt) (An thi không đạt) ” ( E  F ) A  E với E = “ Nếu (An thi đạt) (An học tốt) ” (F  E) Để ý A D, E sai nên A không tương đương với D E 4.12/ ÁP DỤNG: Các luật logic sử dụng để  Rút gọn dạng mệnh đề  Chứng minh dạng mệnh đề sai  Chứng minh hai dạng mệnh đề tương đương với Ví dụ: Cho biến mệnh đề p, q r a) Rút gọn A = [ (p  q)  ( p  q)  (p  q ) ] A  [ (p  q)  ( p  q) ]  (p  q )  [ (p  p )  q ]  (p  q )   (  q )  (p  q )  q  (p  q )  (q  p)  (q  q )   (q  p)   (q  p) b) Chứng minh B = { [ p  (q  r) ]  [ (p  q)  (p  r) ] } B  p  (q  r )  p  q  p  r  p  (q  r )  ( p  p )  (q  r)   p  (q  r )  [ p  (q  r) ]  G  G  với G = [ p  (q  r) ] c) Chứng minh C = { [ p  (q  r) ]  ( p  q)  r } sai C  [ (p  q)  (p  r) ]  p  q  r   (H  K)  ( H  r ) với H = (p  q) K = (p  r) Suy C  (H  H  r )  (K  H  r )  (O  r )  (K  H  r )  O  (K  H  r )  K  H  r  H  K  r  ( H  p)  (r  r )  ( H  p)  O  O d) Cho E = { [ q  (p  r) ]  ( p  r )  q } F = ( p  r )  q Chứng minh E  F E  [ q  (p  r) ]  (p  r)  q  ( q  u)  q  (p  r) với u = (p  r)  [ ( q  u)  q ]  (p  r)  q  (p  r)  (p  r)  q  ( p  r)  q = F V MỆNH ĐỀ LƯỢNG TỪ: 5.1/ LƯỢNG TỪ: Cho tập hợp A biến x lấy giá trị A a) Lượng từ phổ biến ( với mỗi, với mọi, với tất ) x  A : với (với mọi, với tất cả) phần tử x thuộc tập hợp A b) Lượng từ tồn  ( tồn tại, có một, có đó, có ) x  A : tồn (có một) phần tử x thuộc tập hợp A 5.2/ VỊ TỪ: Cho tập hợp Aj biến xj  Aj (1  j  n) p(x1, x2, …, xn) câu phát biểu có nội dung liên quan đến biến xj chân trị p(x 1, x2, …, xn) phụ thuộc theo biến xj (1  j  n) Ta nói p(x1, x2, …, xn) vị từ theo n biến xj  Aj (1  j  n) Ví dụ: a) p(x) = “ 3x2  4x > ” với x  R Ta có p(0) sai p(2) Ta gọi p(x) vị từ biến b) q(y,z) = “ (4y  7z)  ” với y  Z z  Q Ta có q(2, 1 ) sai q(6, ) Ta gọi q(y,z) vị từ biến 7 5.3/ MỆNH ĐỀ LƯỢNG TỪ : Cho tập hợp Aj biến xj  Aj (1  j  n), vị từ theo n biến p(x1, x2, …, xn) lượng từ 1, 2, , n  { ,  } a) Ta xây dựng mệnh đề lượng từ theo n biến x1, x2, …, xn A = “ 1x 1 A1 , 2x 2 A2 , , nxn An , p(x1, x2, …, x n) ” b) Qui ước   ,   , ta có dạng phủ định mệnh đề lượng từ A A = “ 1 x 1 A1 ,  x2 A2 , ,  n xn An , p ( x1 , x2 , , xn ) ” c) Ta xét trực tiếp chân trị A (nếu đơn giản) xét gián tiếp chân trị A suy chân trị A (nếu chân trị A dễ xét A) Ví dụ: a) A = “ x  Q, x3 = x ” có A = “ x  Q, x3  x ” A 1  Q, 13 = b) B = “ x  R, x > sinx ” có B = “ x  R, x  sinx ” B 0  R,  sin0 = Suy B sai c) C = “ x  R, y  R, x  2y  ” có C = “ x  R, y  R, x > 2y  ” C (3)  Z, y  Q, 3  2y  (để ý 2y > y  Q) d) D = “ x  Z, y  Q, 2y3 > 5x4 + ” có D = “ x  Z, y  Q, 2y3  5x4 + ” Ta giải thích trực tiếp D giải thích gián tiếp D sai D x  Z, y  Q thỏa y > x  > 0, nghĩa 2y3 > y3 > 5x4 + D sai Thật vậy, D có x nguyên thỏa 2y  5x + y  Q Cho y  + (lúc 2y3  +) có mâu thuẫn 5x4 + cố định e) E = “ x  R, y  R, (x2 > y2)  (x > y) ” Ta có E  E’ = “ x  R, y  R, (x  y2) hay (x > y) ” (xóa dấu ) 2 E = “ x  R, y  R, (x > y ) (x  y) ” Ta khẳng định D cách giải thích gián tiếp E’ hay giải thích gián tiếp E sai E’ x  R, y = x  R, (x2  y2 = x2) 2 E sai Thật vậy, E có x thực cố định thỏa y < x y  R Cho y  + (lúc y2  +) có mâu thuẫn x2 cố định f) F = “ Họ (chúng tôi, bạn) du lịch Rome ” (lượng từ phổ biến tiềm ẩn) F = “ Có số họ (chúng tôi, bạn) không du lịch Rome ” g) G = “ (Tất cả) nghệ sĩ không muốn tạo scandal ” G = “ Có nghệ sĩ muốn tạo scandal ” h) H = “ Có bạn lớp đạt điểm 10 môn Toán ” H = “ Cả lớp không đạt điểm 10 môn Toán ” = “ Không có bạn lớp đạt điểm 10 môn Toán ” k) K = “ Không có đến trễ ” = “ Mọi người không đến trễ ” K = “ Có đến trễ ” 5.4/ HOÁN ĐỔI LƯỢNG TỪ: Cho tập hợp A, B vị từ biến p(x,y) với x  A y  B Ta có a) Có thể hoán đổi lượng từ loại đứng cạnh “ x  A, y  B, p(x,y) ”  “ y  B, x  A, p(x,y) ” “ x  A, y  B, p(x,y) ”  “ y  B, x  A, p(x,y) ” b) Không hoán đổi lượng từ khác loại đứng cạnh “ x  A, y  B, p(x,y) ”  “ y  B, x  A, p(x,y) ” (chiều  sai) Vế trái : có x cố định A, y tùy ý B Vế phải : với y tùy ý B, có x A x phụ thuộc theo y Ví dụ: a) “ x  R, y  R, ex + siny  ”  “ y  R, x  R, ex + siny  ” Cả hai vế có chân trị sai b) “ x  Z, y  Q, 3x + y =  ”  “ y  Q, x  Z, 3x + y =  ” Cả hai vế có chân trị c) “ x  Q, y  R, y = sinx ” (chân trị hàm sin xác định Q) “ y  R, x  Q, y = sinx ” (chân trị sai y = sin0 = y = sin1 > 0) VI CÁC QUI TẮC SUY DIỄN (CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH) Cho mệnh đề P, Q, R, S, P1, P2, … Pn 6.1/ QUI TẮC PHẢN ĐẢO (Phản chứng dạng 1): ( P  Q )  ( Q  P ) ( Ta chứng minh vế phải thay cho chứng minh vế trái việc chứng minh vế phải đơn giản ) Ví dụ: Cho số nguyên a b Chứng minh “ ( ab lẻ )  ( a b lẻ ) ” a) Chứng minh trực tiếp : Viết a = 2c + r b = 2d + s c, d số nguyên r, s  { 0, 1} Do ab = 2(2cd + cs + dr) + rs lẻ nên rs = Suy r = s = 1, nghĩa a b lẻ b) Chứng minh phản chứng : “ ( a hay b chẵn )  ( ab chẵn ) ” Giả sử a hay b chẵn, nghĩa a = 2c b = 2d với c, d số nguyên Ta có ab = 2(cb) hay ab = 2(ad) nên ab chẵn 6.2/ QUI TẮC NÊU MÂU THUẪN (Phản chứng dạng 2): ( P  Q )  [ ( P  Q )  O ] O thể mâu thuẫn hay vô lý ( Ta chứng minh vế phải thay cho chứng minh vế trái việc chứng minh vế phải đơn giản ) Ví dụ: Cho số thực a b Chứng minh “ ( a hữu tỉ b vô tỉ )  ( a + b vô tỉ ) ” a) Chứng minh trực tiếp : không thuận lợi b) Chứng minh phản chứng : “ (a hữu tỉ, b vô tỉ a + b hữu tỉ )  O ” Giả sử a hữu tỉ, b vô tỉ a + b hữu tỉ, nghĩa a = p r a + b = q s p, q, r, s số nguyên với q   s Suy b = (a + b)  a = qr  ps số hữu tỉ : mâu thuẫn với giả thiết b vô tỉ qs 6.3/ QUI TẮC HỘI TUYỂN ĐƠN GIẢN: a) [ ( P  Q )  P ] ( hội đơn giản để xóa bớt thông tin Q không cần thiết) b) [ P  ( P  Q ) ] ( tuyển đơn giản để thêm vào thông tin Q gây nhiễu) Ví dụ: (An học Anh văn Pháp văn)  (An học Anh văn) Cho số thực a ta có ( a > )  [ ( a > ) hay (sina < ) ] 6.4/ QUI TẮC KHẲNG ĐỊNH (Modus – Ponens): P  Q  Q  P  a) Dạng 1:   P  Q  b) Dạng 2:   Q  P  Ví dụ: a) [ ( Nếu An rảnh An xem phim) (An rảnh) ]  (An xem phim) b) [ ( Tú hay Vy ăn gà quay ) ( Tú ăn chay trường ) ]   [ (Tú hay Vy ăn gà quay) (Tú không ăn gà quay) ]  (Vy ăn gà quay) 6.5/ QUI TẮC PHỦ ĐỊNH (Modus – Tollens):  P  Q     P  Q  Ví dụ: [ ( Nếu An giàu An mua xe hơi) (An không mua xe ) ]  (An chưa giàu) 6.6/ QUI TẮC TAM ĐOẠN LUẬN (Syllogism): P  Q    ( P  R) ( bỏ bớt suy luận trung gian Q ) Q  R  Ví dụ: [ (Nếu trời mưa lớn đường bị ngập) (nếu đường bị ngập An nhà trễ) ]   [ (Nếu trời mưa lớn An nhà trễ) ] 10 6.7/ QUI TẮC CHỨNG MINH THEO CÁC TRƯỜNG HỢP:  P1 P [ (P1  P2  …  Pn)  Q ]     Pn  Q  Q      Q  ( Ta chứng minh trường hợp riêng lẻ vế phải thay cho chứng minh vế trái việc chứng minh vế phải đơn giản chứng minh trường hợp tổng quát vế trái ) Ví dụ: Cho số nguyên k a) Chứng minh k2 chia dư Ta chứng minh theo trường hợp k chẵn k lẻ Nếu k = 2r (r  Z) k2 = 42 r chia dư Nếu k = 2r + (r  Z) k2 = [ 4(r2 + r) + ] chia dư b) Chứng minh [ k3 + (k + 1)3 + (k + 2)3 ] chia hết cho Ta chứng minh theo trường hợp tương ứng với số dư chia k cho Ta có [ k3 + (k + 1)3 + (k + 2)3 ] = 3k( k2 + 5) + 9( k2 + 1) Nếu k = 3r (r  Z) k3 + (k + 1)3 + (k + 2)3 = 9[ r( k2 + 5) + ( k2 + 1) ] chia hết cho Nếu k = 3r  (r  Z) k3 + (k + 1)3 + (k + 2)3 = 9[ k(3r2  2r + 2) + ( k2 + 1) ] chia hết cho 6.8/ HỆ QUẢ: P  Q   [ ( P  R )  (Q  S) ] R  S  a)  P  Q   [ ( P  R )  (Q  S) ] R  S  b)  6.9/ ÁP DỤNG: Cho dạng mệnh đề E1 , E2 , … , En F a) Giải thích trình suy luận đúng: Ta muốn chứng minh [ (E1  E2  …  En)  F ] Lúc ta ký hiệu E1 E2  En -F Nếu dùng bảng chân trị dùng luật logic biến đổi phức tạp, đặc biệt n lớn Ta dùng hai cách chứng minh sau để đơn giản có hiệu hơn: Cách 1: chia toán thành nhiều bước suy luận trung gian bước ta dùng luật logic (mục IV) qui tắc suy diễn nêu 11 Cách : dùng qui tắc phản chứng dạng (6.2), nghĩa xuất phát từ (E1  E2  …  En  F ), ta mâu thuẫn b) Giải thích trình suy luận sai: Ta muốn khẳng định [ (E1  E2  …  En)  F ] sai Ta cần gán cho biến mệnh đề chân trị cho E1 , E2 , … , En F sai Ví dụ: Cho biến mệnh đề p, q, r, s, t u Xem xét suy luận hay sai giải thích ? a) p  t (1) b) p  r (1) c) ( p  q)  (r  s) (1) d) p (1) r  q (2) p  q (2) u (2) t (2) p (3) s  t (3) r  t (3) (q  r)  s (3) t  q (4) t  r (4) s  r (4)  s  p (4) -t  u (5) - r  s (5)  s  t (5)  p  q (6) Ta chứng minh a) cách 1: Từ (1) (3), ta có t (6) Từ (6) (4), ta có q (7) Từ (7) (2), ta có r (8) Từ (8), ta có r (9) Từ (9), ta có r  s (5) Như Như suy luận a) Ta chứng minh b) cách 2: Giả sử (1), (2), (3), (4), (5) (6) sai Từ (2) (6), ta có p u, q sai Từ (1) ta có r Từ (5), ta có t sai Từ (3) ta có s sai Do s sai r đúng, ta có (4) sai : mâu thuẫn với điều giả sử Như suy luận b) Ta chứng minh c) cách 1: Từ (2) (3), ta có r (5) Từ (5), ta có r  s (6) Từ (6), ta có r  s (7) Từ (7) (1), ta có p  q (8) Từ (8), ta có p  q (9) Từ (9), ta có p  q (10) Từ (10), ta có p (11) Từ (11), ta có s  p (12) Từ (12), ta có s  p (4) Như suy luận c) Ta chứng minh d) sai cách gán chân trị đặc biệt cho biến mệnh đề Gán chân trị cho p, r, t gán chân trị cho q, s (1), (2), (3), (4) (5) sai Như suy luận d) sai VII PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH QUI NẠP: Cho m  N Giả sử ta có dãy vô hạn mệnh đề Pn (n  m) ta muốn chứng minh chúng Ta dùng phương pháp chứng minh qui nạp 7.1/ QUI NẠP GIẢ THIẾT YẾU (ÍT GIẢ THIẾT): * Kiểm tra Pn n = m * Chứng minh k  m, (Pk  Pk + đúng) * Kết luận: Pn n  m n( n  1)(2n  1) n( n  1)(2n  1) Ta chứng minh Pn = “ 12 + 22 + … + n2 = ” n  Ví dụ: Chứng minh n  1, 12 + 22 + … + n2 = 12 * P1 = “ 12 = 1(1  1)(2.1  1) ” hiển nhiên * Xét k  giả sử Pk đúng, nghĩa + 22 + … + k2 = k ( k  1)(2k  1) (*) Ta chứng minh Pk + Viết Pk + = “ 12 + 22 + … + k2 + (k + 1)2 = ( k  1)[(k  1)  1][(2( k  1)  1] ” Ta kiểm tra vế trái Pk + vế phải Pk + k (k  1)(2k  1) + (k + 1)2 [ sử dụng (*) ] ( k  1) ( k  1)(k  2)(2k  3) = [ k(2k + 1) + 6(k + 1) ] = = Vế phải 6 Vế trái = 12 + 22 + … + k2 + (k + 1)2 = * Vậy Pn n  7.2/ QUI NẠP GIẢ THIẾT MẠNH (NHIỀU GIẢ THIẾT): * Kiểm tra Pn n = m * Chứng minh k  m, [ ( Pm, Pm + 1, … Pk )  Pk + ] * Kết luận: Pn n  m Ví dụ: Chứng minh n  2, n tích số nguyên tố dương (số nguyên tố dương số nguyên dương có ước số dương nó) Ta chứng minh Pn = “ n tích số nguyên tố dương ” n  * P2 = “ tích số nguyên tố dương ” hiển nhiên * Xét k  giả sử P2, P3, … , Pk đúng, nghĩa t  { 2, 3, … , k }, t tích số nguyên tố dương (*) Ta chứng minh Pk + cách xét trường hợp [ xem (6.7) ] Viết Pk + = “ (k + 1) tích số nguyên tố dương ” Khi (k + 1) số nguyên tố đương nhiên (k + 1) tích số nguyên tố dương Khi (k + 1) số không nguyên tố (k + 1) = uv với u, v  { 2, 3, … , k } Theo (*), u = p1p2…p r v = q1q2…q s với p1 , p2 , …, pr , q1 , q2 , … , qs số nguyên tố dương Suy (k + 1) = uv = p1p2…pr q1q2…qs tích số nguyên tố dương * Vậy Pn n  13 ... b) ]  [ (a  4) (2a  b) ] [ (a < 1) hay (a < 2 hay a = 2cosb) ]  [ (a < 1 hay a < 2) hay a3 = 2cosb ]  [ (a < 1) hay (a3 = 2cosb) ] 4.7/ LUẬT PHÂN PHỐI (giữa  ): [ E  (F  G) ]  [... (E  F)  ta viết E  F nói F hệ logic E Đây kéo theo thực c) E  F tương đương hình thức E  F không thiết d) Nếu (E  F)  ta viết E  F nói E F tương đương logic với Đây tương đương thực Ví... (p  r )  (p  q  s) ] { [ p  (p  q) ]  [ p  (p  q) ]  p } IV CÁC LUẬT LOGIC (TÍNH CHẤT CỦA CÁC PHÉP NỐI LOGIC) : Cho dạng mệnh đề E = E(p1, p2, , pn), F = F(p1, p2, , pn) G = G(p 1,