ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TÌM CLIQUE CỰC ĐẠI VÀO TỐI ƯU HOÁ LẬP LỊCH NHÓM TRÊN MẠNG CHUYỂN MẠCH CHÙM QUANG

ỨNG DỤNG PHƢƠNG PHÁP TÌM CLIQUE CỰC ĐẠI VÀO TỐI ƢU HOÁ LẬP LỊCH NHÓM TRÊN MẠNG CHUYỂN MẠCH CHÙM QUANG Nguyễn Hồng Quốc, Dƣơng Phƣớc Đạt, Nguyễn Chí Công, Võ Viết Minh Nhật Đại học Huế Tóm tắt: Lập lịch nhóm mạng chuyển mạch chùm quang xem l| giải ph{p hiệu nhằm tối đa số chùm đến lập lịch nút lõi OBS, v| giảm đ{ng kế lượng liệu bị đ{nh rơi Đã có số đề xuất lập lịch nhóm OBS-GS, MWIS-OS, LGS kênh (không có chuyển đổi bước sóng) v| SSF, LIF, SLV, MCF, GreedyOPT, BATCHOPT, LGS-MC đa kênh (với hỗ trợ c{c chuyển đổi bước sóng ho|n to|n) B|i viết n|y đề xuất hướng tiếp cận ứng dụng phương ph{p tìm clique cực đại có tổng trọng số lớn v|o tối ưu ho{ lập lịch nhóm c{c chùm đến đa kênh nút lõi mạng OBS Từ khóa: Mạng OBS, lập lịch nhóm, tối ưu hóa, clique cực đại, tổng trọng số lớn Giới thiệu Chuyển mạch chùm quang (Optical Burst Switching, OBS) xem l| thay hiệu chuyển mạch gói, m| cần có chuyển dịch từ chuyển mạch kênh quang sang chuyển mạch gói quang nhằm khai th{c tốt tiềm băng thông c{c sợi dẫn quang Hơn nữa, với hạn chế công nghệ quang nay, chưa thể sản xuất c{c đệm quang (như nhớ RAM) v| c{c chuyển mạch quang tốc độ nano gi}y, kỹ thuật OBS xem l| mô hình khả thi chuyển mạch gói quang tương lại gần *1+ Một đặc trưng quan trọng mạng OBS l| gói điều khiển (Burst Header Packet, BHP) gửi trước kênh điều khiển d|nh riêng để đặt trước t|i nguyên; sau khoảng thời gian bù đắp (offsettime), chùm liệu tương ứng gửi theo sau kênh liệu khả dụng Bởi t|i nguyên đặt trước gói điều khiển BHP, chùm liệu không chịu chờ đợi n|o nút trung gian, nên không cần đệm quang Mặt kh{c, kích thước chùm l| kh{ lớn so với c{c gói mạng bên trong, nên việc sử dụng c{c chuyển mạch có tốc độ micro gi}y không l|m giảm sử dụng băng thông Tuy nhiên, c{ch truyền thông n|y đặt {p lực việc l|m n|o để gói điều khiển BHP đặt trước t|i nguyên v| cấu hình chuyển mạch th|nh công c{c nút lõi, đảm bảo cho việc truyền tải chùm quang sau Hoạt động đặt trước t|i nguyên nêu thực tế l| phần tiến trình lập lịch *1+ Lập lịch xem l| hoạt động quan trọng mạng OBS Khi chùm đến nút, tùy thuộc v|o đích đến chùm, t|i nguyên d|nh riêng tương ứng cổng ra, bao gồm bước sóng chuyên chở v| thời gian đến chùm, cấp ph{t Việc lập lịch l| trực tuyến (online), tức l| lập lịch thực gói điều khiển chùm liệu đến, LAUC *2+ hay LAUC-VF [3], hay theo nhóm (group), tức l| c{c gói điều khiển c{c chùm liệu đến khe thời gian (timeslot) lập lịch đồng thời c{c kênh tương ứng, SSF, LIF, SLV, MCF [4], GreedyOPT, BATCHOPT [5] LGS-MC [6] C{c b|i viết n|y chứng minh lập lịch nhóm hiệu hơn, dựa số chùm bị loại bỏ không lập lịch được, so với lập lịch trực tuyến Tuy nhiên c{c nút lõi trang bị c{c chuyển đổi bước sóng vấn đề lập lịch nhóm c{c chùm đến khe thời gian trở th|nh vấn đề phức tạp tìm tập tối ưu c{c chùm lập lịch c{c kênh Vì lập lịch nhóm nút mạng OBS sử dụng c{c chuyển đổi bước sóng đầy đủ mô hình hóa việc lập lịch c{c công việc cho c{c m{y thực lý thuyết h|ng đợi *7+, kênh liệu xem l| m{y v| c{c chùm đến tương ứng với c{c công việc Đã có nhiều nghiên cứu kh{c b|i to{n lập lịch công việc, mà hướng tiếp cận chuyển b|i to{n lập lịch công việc th|nh đồ thị khoảng v| sau thực tìm kiếm clique cực đại lớn có trọng số lớn nhất, m| l| lời giải tối ưu lập lịch Một hướng tiếp cận m| đề xuất b|i viết n|y l| ứng dụng giải thuật tìm clique cực đại có tổng trọng số lớn v|o tối ưu ho{ lập lịch nhóm c{c chùm đến đa kênh nút lõi OBS Phần lại b|i viết tổ chức sau: phần trình b|y số kh{i niệm đồ thị v| c{c th|nh phần liên quan Phần tóm lược c{c đề xuất trước lập lịch nhóm v| c{c hạn chế chúng Trên sở đó, phần trình b|y chi tiết hướng tiếp cận ứng dụng việc tìm kiếm clique cực đại có tổng trọng số lớn lập lịch nhóm đa kênh C{c ph}n tích v| kết mô trình b|y phần v| phần l| phần kết luận Một số khái niệm Cho đồ thị l| tập c{c đỉnh v| định nghĩa l{ng giềng u l| hiệu l| , l| kích thước tập Một clique đồ thị không tồn clique khác l| tập c{c cạnh G Với đỉnh Bậc đỉnh , đồ thị G, ký l| tập cho cho Một clique l| cực đại Đồ thị G l| đồ thị khoảng (interval graph) tồn tương ứng một-một c{c đỉnh v| c{c khoảng thời gian thực, cho đỉnh l| kề v| c{c khoảng tương ứng chồng lấp Trong b|i viết n|y, xem xét trường hợp ngược lại: đỉnh l| kề v| c{c khoảng thời gian tương ứng không chồng lấp Đồ thị khoảng sử dụng với mục đích nhằm tìm giải ph{p cho vấn đề lập lịch Giả sử ta có tập hợp I = {b1,b2,…,bn } l| tập c{c công việc muốn sử dụng t|i nguyên, ví dụ m{y, công việc thực thời điểm Mỗi công việc bi có thời điểm bắt đầu l| si, thời điểm kết thúc l| ei li l| trọng số (li=ei-si) với điều kiện ≤ si < ei < ∞ Nếu công việc bi chọn, độc chiếm t|i nguyên khoảng thời gian [si, ei] Công việc bi bj gọi l| tương thích khoảng thời gian [si, ei] [sj, ej] không giao (si ≥ ej sj ≥ ei) Nếu tất c{c m{y rỗi thời điểm zero, vấn đề lập lịch l| thực c{c m{y đồng (the scheduling problem on identical machines, S-IM), tồn (hay số công việc) lập lịch m{y bất kỳ, vấn đề lập lịch công việc trở th|nh không đồng (the scheduling problem on non-identical machines, S-NIM) Mục tiêu chung vấn đề lập lịch công việc l| tìm tập I’ công việc tương thích cho tổng trọng số chúng l| lớn Lập lịch nhóm mạng OBS có khả chuyển đổi bước sóng ho|n to|n xem mô hình lập lịch công việc, kênh nút lõi OBS xem l| m{y v| chùm đến tương ứng với công việc Giả sử có danh s{ch c{c chùm đến I = {b1,b2,…,bn }, bi l| hai [si,ei] l| thời gian đến kết thúc chùm Chiều d|i chùm thứ i l| li (li=ei-si)) Vấn đề lập lịch nhóm c{c chùm đến tập c{c kênh cổng nút lõi OBS trở th|nh b|i to{n x{c định tập I’I tương thích cho tổng trọng số (chiều d|i c{c chùm lập lịch) l| lớn Các nghiên cứu trƣớc Đã có số mô hình lập lịch nhóm mạng OBS đề xuất bao gồm: Hướng tiếp cận heuristics đề xuất *4+ gồm giải thuật: SSF (Smallest Start-time First), LIF (Largest Interval First), SLV (Smallest-Last Vertex), MCF (Maximal Cliques First), mà mục đích chúng l| tìm kiếm thứ tự hợp lý c{c chùm đến v| dựa giải thuật LAUC-VF gọi để lập lịch chúng lên kênh bước sóng Đầu tiên, SSF xếp c{c chùm dựa thời gian đến chúng C{ch l|m n|y đơn giản không đảm bảo kế hoạch tối ưu tìm thấy Cải tiến hơn, LIF xếp c{c chùm đến dựa trọng số (độ d|i) chúng v| chọn chùm lớn để lập lịch trước C{ch l|m n|y rõ r|ng nhằm tối đa tổng trọng số c{c chùm lập lịch, thực tế c{ch xếp thứ tự n|y không đảm bảo đạt đến kế hoạch tối ưu (xem hình 1) Với SLV, đồ thị khoảng G x}y dựng v| dựa c{c chùm đến xếp giảm dần theo bậc c{c đỉnh tương ứng SLV cho chùm tương ứng với đỉnh có bậc lớn l| chùm d|i chồng lấp với nhiều chùm kh{c Tuy nhiên, điều n|y luôn thực tế, nên kết lập lịch SLV không tốt LIF (xem hình 1) Tương tự SLV, MCF x}y dựng đồ thị khoảng G v| sau cố gắng tô G với m m|u (số m|u số kênh liệu khả dụng) Để l|m điều đó, MCF tìm tất c{c clique cực đại có kích thước lớn m Với clique cực đại có thời gian bắt đầu sớm nhất, MCF loại bỏ c{c đỉnh có thời gian kết thúc sớm kích thước clique nhỏ m Việc loại bỏ đỉnh n|y rõ r|ng l|m ảnh hưởng đến kích thước c{c clique cực đại kh{c, nên MCF phải lặp lại tiến trình không tìm thấy clique cực đại n|o có kích thước lớn m Hiệu MCF chủ yếu đến từ c{ch loại bỏ đỉnh c{c clique có kích thươc lớn m Tuy nhiên việc chọn đỉnh có thời gian kết thúc sớm nhất, cho tương ứng với chùm ngắn nhất, thực tế không đảm bảo kế hoạch tối ưu đạt (xem hình 2) Khác với c{c giải thuật heuristics, c{ch tiếp cận GreedyOPT v| BATCHOPT *5+ l| chuyển b|i to{n từ S-NIM S-IM Để l|m điều đó, thay cố gắng ph}n bổ c{ch tối ưu c{c chùm đến lên c{c phần băng thông khả dụng c{c chùm lập lịch trước đó, GreedyOPT v| BATCHOPT gở tất c{c chùm lập lịch n|y v| lập lịch lại chúng đồng thời với việc lập lịch c{c chùm đến Với GreedyOPT việc lập lịch nhóm dựa nguyên tắc tham lam, m| không quan t}m đến tổng trọng số c{c chùm lập lịch có đạt tối đa hay không Nếu có yêu cầu đ{p ứng, GreedyOPT cố gắng thay với chùm lập lịch có thời gian kết thúc sau Mục đích h|nh vi n|y nhằm tìm kiếm hội lập lịch cho chùm đến thời v| cho c{c chùm đến sau (có thời gian bắt đầu lớn hơn) với mục đích giảm số lượng chùm bị loại bỏ Một nhược điểm lớn GreedyOPT l| không đảm bảo tất c{c chùm bị gở lập lịch lại hết Điều n|y thể kết mô Bảng 1, mật độ luồng đến c|ng tăng x{c suất lập lịch lại không th|nh công c|ng lớn Với giải thuật BATCHOPT, đồ thị khoảng biểu diễn trạng th{i c{c chùm đến v| c{c chùm lập lịch trước l| x}y dựng Tiếp giải thuật tìm tất c{c clique cực đại đồ thị v| xếp chúng theo thời gian bắt đầu tăng dần Một đồ thị luồng sau tạo th|nh dựa c{c clique cực đại xếp, cung đặc trưng c{c tham số: chi phí, khả thông qua trọng số (độ d|i) Cuối BATCHOPT tìm luồng có chi phí tối thiểu v| loại bỏ c{c cung tương ứng Bảng Xác suất chùm đƣợc gỡ lập lịch lại không kênh không lập lịch lại đƣợc mật độ luồng đến tăng (với hình thái mạng tham số mô mô tả phần 5) Tải (Erlang) X{c xuất 0.2 0.3 0.4 0.5 0.04277 0.051224 0.059742 0.06465 0.6 0.7 0.8 0.065941 0.064961 0.062219 Rõ r|ng c{ch l|m n|y giúp BATCHOPT đạt đến lời giải tối ưu với c{c luồng lại cực đại Hơn nữa, c{ch g{n gi{ trị trọng số vô cho c{c chùm bị gỡ nên BATCHOPT đảm bảo chúng lập lịch lại hết Tuy nhiên, nhược điểm BATCHOPT, v| GreedyOPT, l| l|m tăng độ phức tạp hệ thống phải lập lịch lại c{c chùm lập lịch trước đó, sinh nhiều gói điều khiển để thông b{o thay đổi tình trạng lập lịch v| yêu cầu cải tiến cấu trúc giao thức Độ phức tạp BATCHOPT chứng minh l| O(N2log(N)) [5+, N l| tổng số c{c chùm đến v| c{c chùm bị gở Một giải thuật lập lịch nhóm kh{c, có tên gọi LGS-MC, đề xuất *6+, cho kết lập lịch xấp xỉ tối ưu LGS-MC dựa nguyên tắc tối ưu lập lịch nhóm kênh với hy vọng đạt kết lập lịch tối ưu tất c{c kênh Mặc dù kết lập lịch giải thuật n|y không hiệu BATCHOPT LGS-MC có độ phức tạp tính to{n thấp (O(nlog(n))) v| không thực lập lịch lại c{c chùm lập lịch trước nên không l|m tăng độ phức tạp hệ thống Một so s{nh dựa x{c xuất rơi gói tin c{c giải thuật nêu mô tả hình với tốc độ lưu lượng luồng đến thay đổi Xác suất gói 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 SLV 0.011741034 0.025185715 0.058227108 0.096248856 0.172500809 0.215510168 0.259740935 LIF 0.009580661 0.017164599 0.035513779 0.062902565 0.117654902 0.157320762 0.194298618 MCF 0.007850617 0.014453678 0.031808995 0.057821278 0.123653644 0.167862616 0.190685101 SSF 0.006591611 0.013448835 0.031245973 0.05783744 0.119141443 0.150534788 0.186966525 GreedyOPT 0.006366269 0.011976828 0.030716209 0.054277094 0.114705128 0.15013999 0.185026301 LGS-MC 0.006302301 0.013784762 0.028221805 0.052086275 0.109050581 0.149226965 0.184118963 BATCHOPT 0.003692698 0.00829828 0.020936958 0.040632858 0.091673094 0.128557045 0.164950685 Hình Một so sánh dựa xác xuất gói SLV, LIF, MCF, SSF, GreedyOPT, LGS-MC BATCHOPT (với hình thái mạng tham số mô mô tả phần 5) B|i viết đề xuất ứng dụng giải thuật tìm clique cực đại có trọng số lớn để tối ưu hóa việc lập lịch nhóm c{c chùm đến đa kênh nút lõi OBS Giải thuật lập lịch n|y cải tiến từ giải thuật đề xuất *8+ với độ phức tạp chứng minh không vượt qu{ O(|V|4) Do đề xuất khắc phục nhược điểm BATCHOPT đạt kết lập lịch tối ưu v| có độ phức tạp đa thức Giải thuật lịch tối ƣu dựa tìm clique cực đại có trọng số lớn Xét tập c{c gói điều khiển đến I={b1,b2,…,bn} timeslot v| cần lập lịch cho c{c chùm theo sau tập c{c kênh liệu khả dụng W={1,2,…,w} Một chùm đặc trưng (si,ei,li) Hai chùm bi bj cho l| lập lịch kênh thứ k (1≤k≤w) chúng không chồng lấp (si ≥LAUTk, sj≥LAUTk (si ≥ ej sj ≥ ei)) Như vậy, chùm đến, tuỳ thuộc v|o vị trí LAUT kênh v| khả chồng lấp với c{c chùm kh{c, m| có nhiều khả lập lịch kh{c Để trực quan ho{, mô hình ho{ khả lập lịch c{c chùm đến c{c kênh dạng đồ thị khoảng G(V,E), đỉnh bikV biểu diễn khả lập lịch chùm bi kênh k v| cạnh (bik,bjh)E tương ứng với trường hợp: chùm bi bj lập lịch kênh (k=h) mà có thời gian không chồng lấp chúng lập lịch kênh ph}n biệt (k≠h) Xét ví dụ trạng th{i c{c chùm đến hình 2a; đồ thị khoảng thể khả lập lịch chúng c{c kênh hình 3a Timeslot Kênh điều khiển BHP1 BHP6 b4(3) b1(3) b6(4) b2(4) LAUT1 b3(5) b5(6) Kênh liệu LAUT1 Kênh liệu (a) LAUT1 b5(6) b1(3) Kênh liệu LAUT2 b6(4) b3(5) Kênh liệu (b) Hình Một ví dụ (a) chùm đến (b) kết lập lịch tối ƣu kênh Vấn đề tìm giải ph{p lập lịch tối ưu (chẳng hạn có tổng trọng số/độ d|i lớn nhất) c{c chùm đến c{c kênh liệu lúc n|y trở th|nh b|i to{n tìm clique cực đại có tổng trọng số lớn (maximum weight clique, MWC), gọi Cmax, G Tập c{c chùm I’ I tương ứng với c{c đỉnh Cmax l| lời giải lập lịch tối ưu hình 3b trường hợp m| MWC tìm thấy tương ứng với chùm b1, b5 lập lịch kênh v| chùm b3, b6 lập lịch kênh mô tả hình 2b Lưu ý rằng, đỉnh tập I’ chứa đầy đủ thông tin việc lập lịch kênh n|o; việc lập lịch lúc n|y đơn giản l| ph}n phối lần lược c{c chùm I’ lên kênh W b11 b21 b31 b41 b51 b61 b22 b32 b42 b52 b62 b11 (a) b21 b31 b41 b51 b61 b22 b32 b42 b52 b62 (b) Hình (a) Đồ thị khoảng biểu diễn khả lập lịch chùm đến hình 2a (b) MWC đƣợc tìm thấy tƣơng ứng với kết lập lịch tối ƣu hình 2b Giải thuật lập lịch nhóm dựa tìm MWC bao gồm bước chính: Giải thuật MWC-GS Vào: Tập c{c chùm đến I ={b1,b2, ,bn} Tập c{c kênh liệu W={1,2,…,w} Ra: Tập c{c chùm lập lịch I’I Bắt đầu // X}y dựng đồ thị khoảng biểu diễn c{c khả lập lịch G=constructGraph(I,W) // Tìm clique cực đại có tổng trọng số lớn G Cmax=findMWC(G) // Lập lịch c{c chùm tương ứng với c{c đỉnh C max I’= scheduleBurstsfromMWC(Cmax) Kết thúc Sau đ}y l| mô tả chi tiết hàm 4.1 Xây dựng đồ thị khoảng biểu diễn khả lập lịch Một chùm biI xem xét lập lịch kênh kW thời gian đến (si) sau LAUT kênh k (si>LAUTk) Khả lập lịch n|y biểu diễn th|nh đỉnh đồ thị khoảng G với trọng số l| độ d|i chùm bi (wik=ei-si) Một cạnh nối đỉnh thể khả chùm lập lịch: kênh khác (kh) kênh (k=h) m| không chồng lấp (si>ej ei>sj) Hàm constructGraph(I,W) mô tả sau Hàm constructGraph(I,W) Vào: Tập c{c chùm đến I ={b1,b2, ,bn} Tập c{c kênh liệu W={1,2,…,w} Ra: Đồ thị G(V,E) Bắt đầu Với chùm bi I Với kênh liệu k W: Nếu si>LAUTk Sinh đỉnh bik với trọng số wik=ei-si VV{bik} Với chùm bjh V ij Nếu (kh) hay ((k=h) (si>ej or ei>sj)) Tạo cạnh (bik,bjh) EE{(bik,bjh)} Trả G(V,E) Kết thúc Giải thuật x}y dựng đồ thị khoảng biểu diễn khả lập lịch (constructGraph(I,W)) có độ phức tạp l| O(|V|2)) 4.2 Tìm clique cực đại có trọng số lớn Giải thuật tìm clique cực đại có tổng trọng số lớn cải tiến từ giải thuật [8] Ý tưởng giải thuật l| tỉa đồ thị để đạt clique cực đại Giải thuật xuất ph{t từ đỉnh có bậc thấp bước Trước loại bỏ đỉnh, điều cần thiết l| tính to{n clique cực đại có chứa đỉnh n|y Điều n|y thực thông qua phương ph{p đệ quy Hàm findMWC(G) mô tả sau Hàm findMWC(G) Vào: Đồ thị khoảng G(V,E), (khởi tạo Wmax=0, Cmax=) Ra: Clique cực đại có tổng trọng số lớn Cmax Bắt đầu Nếu G l| clique cực đại (tất c{c đỉnh G có bậc |V|-1) Tính tổng trọng số c{c đỉnh G ký hiệu l| WG Nếu (WG>Wmax) Gán Wmax=WG Cmax=V Nếu không Tìm đỉnh có bậc nhỏ nhất: đỉnh u Tìm đồ thị lớn G có chứa u: G´(V´,E´) findMWC(G´) Nếu (V\{u} ≠ ) findMWC(G\{u}) 10 11 Trả Cmax Kết thúc Bắt đầu lần thực hiện, giải thuật kiểm tra xem đồ thị v|o l| clique cực đại Nếu đúng, hay nói c{ch kh{c, bậc đỉnh G |V|-1, clique cực đại l| tìm thấy Trong trường hợp n|y, giải thuật tính tổng trọng số c{c đỉnh đồ thị G, với gi{ trị WG, WG>Wmax, Wmax=WG Cmax=V l| tập đỉnh đồ thị G vừa tìm thấy Trong trường hợp G l| clique cực đại, giải thuật tỉa đạt clique cực đại Thuật to{n tiếp tục tìm clique cực đại hai đồ thị kh{c Đầu tiên tìm đỉnh có bậc thấp Bước l| tìm clique cực đại m| đỉnh nêu tồn Điều n|y dễ d|ng thực c{ch xem xét tất c{c đỉnh, kết nối với đỉnh n|y v| tất c{c cạnh có liên quan Cách làm n|y tạo th|nh đồ thị m| dẫn đến clique cực đại có chứa đỉnh u Đồ thị thứ hai G\{u} Việc ph{t clique cực đại đỉnh dẫn đến việc tìm kiếm clique cực đại to|n đồ thị Độ phức tạp giải thuật findMWC(G) chứng minh báo [8+ l| không vượt qu{ O(|V|4) 4.3 Lập lịch chùm tƣơng ứng với đỉnh Cmax đƣợc tìm thấy từ giải thuật MWC Do đỉnh bik Cmax chứa đầy đủ thông tin kênh m| lập lịch nên h|m scheduleBurstsfromMWC(Cmax) đơn ph}n phối chùm bi lên kênh k tương ứng Độ phức tạp O(|V|) Tóm lại, độ phức tạp giải thuật MWC-GS không vượt qu{ O(|V|4) 4.4 Một mở rộng MWC-GS với lấp đầy khoảng trống Giải thuật MWC-GS mô tả xem xét trường hợp không lấp đầy khoảng trống, tức l| điều kiện để lập lịch chùm đến b i kênh k l| thời gian đến bi sau LAUT kênh k Tuy nhiên, trường hợp có lấp đầy khoảng trống, phần băng thông nh|n rỗi sinh c{c chùm lập lịch trước xem xét để sử dụng Cải tiến MWC-GS với lấp đầy khoảng trống đơn giản thực x}y dựng đồ thị khoảng (h|m constructGraph(I,W)) Các hàm lại, findMWC(G) scheduleBurstsfromMWC(Cmax) thay đổi n|o Trong giải thuật MWC-GS có lấp đầy khoảng trống, gọi l| MWC-GS-VF, chùm đến so s{nh với với khoảng trống kênh Như mô tả hình 4, điều kiện si>e1k (si+wi)e1k) ((si+wi)