Đề thi Lam Sơn

Đề thi tuyển sinh vào lớp10 chuyên Lam Sơn (14) Môn Toán(đề chung) Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1(1điểm): Cho biểu thức x x x x xx xx P + + + = 3 3 1 )3(2 32 3 Rút gọn P. Bài 2(1điểm): Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng phơng trình: x 2 + (a + b + c)x + ab + bc + ca = 0 vô nghiệm. Bài 3(1điểm): Giải phơng trình sau: 2572654 +=++ xxx Bài 4(1điểm): Giải hệ phơng trình sau: =+++ =+++ 04 0252 22 22 yxyx xyxyyx Bài 5(1điểm): Chứng minh rằng: 6 8 33 3223223 > ++ Bài 6(1điểm): Cho x, y, z> 0 thoả mãn: 3 111 =++ zyx Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: zx xz yz zy xy yx P 22 2222 2 22 + + + + + = Bài 7(1điểm): Trong mặt phẳng 0xy cho đờng thẳng (d) có phơng trình 2kx + (k - 1)y = 2 (k là tham số) a) Tìm k để đờng thẳng (d) song song đờng thẳng y = x 3 . Khi đó tính góc tạo bởi đ- ờng thẳng (d) với 0x. b) Tìm k để khoảng cách từ gốc toạ độ đến đờng thẳng (d) lớn nhất. Bài 8(1điểm): Cho góc vuông x0y và 2 điểm A, B trên Ox (OB > OA >0), điểm M bất kỳ trên cạnh Oy(M O). Đờng tròn (T) đờng kính AB cắt tia MA,MB lần lợt tại điểm thứ hai: C , E . Tia OE cắt đờng tròn (T) tại điểm thứ hai F. 1. Chứng minh 4 điểm: O, A, E, M nằm trên 1 đờng tròn. 2. Tứ giác OCFM là hình gì? Tại sao? Bài 9(1điểm): Cho tam giác ABC nhọn có 3 đờng cao: AA 1 , BB 1 , CC 1 đồng qui tại H. Chứng minh rằng: 6 111 ++ HC HC HB HB HA HA . Dấu "=" xảy ra khi nào? Bài 10(1điểm): Cho 3 tia Ox, Oy, Oz không đồng phẳng, đôi một vuông góc với nhau. Lấy điểm A, B, C bất kỳ trên Ox, Oy và Oz. a) Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng: OH vuông góc với mặt phẳng ABC b) b) Chứng minh rằng: OACOBCOABABC SSSS 2222 ++= . Đáp án: Bµi Bµi gi¶i §iÓm Bµi 1 (1 ®iÓm) §iÒu kiÖn: 90 03 032 0 ≠≤⇔      ≠− ≠−− ≥ x x xx x * Rót gän: 1 8 )3)(1( 2483 )3)(1( )1)(3()3(23 2 + + = −+ −+− = −+ ++−−−− = x x xx xxxx xx xxxxx P 0.25 0.25 0.25 0.25 Bµi 2 (1 ®iÓm) Ta cã: ∆ =(a + b + c) 2 - 4(ab + bc + ca) = a 2 +b 2 +c 2 -2ab-2bc-2ca * V× a, b, c lµ 3 c¹nh ∆ ⇒ a 2 < (b + c)a b 2 < (a + c)b c 2 < (a + b)c ⇒ a 2 + b 2 + c 2 < 2ab + 2ac + 2bc ⇒ ∆ < 0 ⇒ ph¬ng tr×nh v« nghiÖm. 0.25 0.25 0.25 0.25 Bµi 3 (1 ®iÓm) * §iÒu kiÖn: 52/7 072 05 ≤≤−⇔    ≥+ ≥− x x x * Ph¬ng tr×nh ( ) ( ) 1 025 0372 025372 0)4545()972672( 22 =⇔      =−− =−+ ⇔ =−−+−+⇔ =+−−−+++−+⇔ x x x xx xxxx 0.25 0.25 0.25 0.25 Bµi 4 (1 ®iÓm) Gi¶i hÖ:      =−+++ =−+−−+ )2(04 )1(0252 22 22 yxyx yxyxyx Tõ (1) ⇔ 2x 2 + (y - 5)x - y 2 + y + 2 = 0       + = −+− = −= −−− = ⇒ −=++−−−=∆ 2 1 4 )1(35 2 4 )1(35 )1(9)2(8)5( 222 yyy x y yy x yyyy x * Víi: x = 2 - y, ta cã hÖ: 1 012 2 04 2 2 22 ==⇔    =+− −= ⇔    =−+++ −= yx yy yx yxyx yx *Víi 2 1 + = y x , ta cã hÖ:                −= −= == ⇒    =−− −= ⇔      =−+++ + = 5 13 5 4 1 045 12 04 2 1 2 22 y x yx xx xy yxyx y x VËy hÖ cã 2 nghiÖm: (1;1) vµ       −− 5 13 ; 5 4 0.25 0.25 0.25 0.25 Bài 5 (1 điểm) Đặt a = x + y, với: 33 223;223 =+= yx Ta phải chứng minh: a 8 > 3 6 Ta có: 3 cos 3333 33 .1.13.3)11(3 36)(3)( 1. 6 aa ayxxyyxyxa yx yx y >++= +=+++=+= = =+ (vì: x > 1; y > 0 a > 1) a 9 > 9 3 .a a 8 > 3 6 (đpcm). 0.25 0.25 0.25 0.25 Bài 6 (1 điểm) * áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopsky cho: 1, 2 và yx 2 , 1 )1( 21 3 112 2 2121 )21( 22 22 2 22 2 2 ++= + + ++ yxxyxy yx yxyx Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x = y Tơng tự: )3( 21 3 12 )2( 21 3 1 2 22 22 + + + + xzzx xz zyyz zy Từ (1), (2), (3) 3 333 3 1 = ++ zyx P Suy ra: P min = 3 khi: x = y = z = 3 . 0.25 0.25 0.25 0.25 Bài 7 (1 điểm) 1).* Với k = 1 suy ra phơng trình (d): x = 1 không song song: y = x3 * Với k 1: (d) có dạng: 1 2 . 1 2 + = k x k k y để: (d) // y = x3 3 1 2 = k k )32(3 = k Khi đó (d) tạo Ox một góc nhọn với: tg = 3 = 60 0 . 2)* Với k = 1 thì khoảng cách từ O đến (d): x = 1 là 1. * k = 0 suy ra (d) có dạng: y = -2, khi đó khoảng cách từ O đến (d) là 2. * Với k 0 và k 1. Gọi A = d Ox, suy ra A(1/k; 0) B = d Oy, suy ra B(0; 2/k-1) Suy ra: OA = 1 2 ; 1 = k OB k Xét tam giác vuông AOB, ta có : 5 5 2 2 5 4 5 1 5 2 125 2 111 22 222 = + = + = += k kk OH OBOAOH Suy ra (OH) max = 5 khi: k = 1/5. Vậy k = 1/5 thì khoảng cách từ O đến (d) lớn nhất. 0.25 0.25 0.25 0.25 Bài 8 (1điểm) y M a) Xét tứ giác OAEM có: F vEO 2 =+ E (Vì: vE 1 = góc nội tiếp .) Suy ra: O, A, E, M B cùng thuộc đờng tròn. O A x C b) Tứ giác OAEM nội tiếp, suy ra: = 11 EM *Mặt khác: A, C, E, F cùng thuộc đờng tròn (T) suy ra: = 11 CE Do đó: = FCOMCM // 11 Tứ giác OCFM là hình thang. 0.25 0.25 0.25 0.25 Bài 9 (1điểm) b)* Do tam giác ABC nhọn, nên H nằm trong tam giác. A * Đặt S = S ABC ; S 1 = S HBC ; S 2 = S HAC ; S 3 = S HAB . Ta có: C 1 B 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 2 1 2 1 HA HA HA AA BCHA BCAA S S +=== H Tơng tự: 12 1 HB HB S S += B A 1 C 13 1 HC HC S S += Suy ra: 3 111 )( 3 111 321 321 321111 ++++= ++=++ SSS SSS SSS S HC HC HB HB HA HA Theo bất đẳng thức Côsy: 639 9 111 )( 111 321 321 =++ ++++= HC HC HB HB HA HA SSS SSS Dấu "=" xảy ra khi tam giác ABC đều 0.25 0.25 0.25 0.25 Bài 10 (1điểm) a) Gọi AM, CN là đờng cao của tam giác ABC. Ta có: AB CN AB OC (vì: OC mặt phẳng (ABO) Suy ra: AB mp(ONC) AB OH (1). Tơng tự: BC AM; BC OA, suy ra: BC mp(OAM) OH BC (2). Từ (1) và (2) suy ra: OH mp(ABC) b) Đặt OA = a; OB = b; OC = c. Ta có: )).(( 4 1 . 4 1 . 2 1 222222 2 OBOAONOCABCNSABCNS ABCABC ++=== Mặt khác: Do tam giác OAB vuông, suy ra: 222 22222222 22 22 2 2 22 22 2 22222 4 1 4 1 4 1 )( 4 1 11111 OACOABOBC ABC SSS cabcbaba ba ba cS ba ba ON baOBOAON ++= =++=+ + += + =+=+= z C M 0.25 0.25 0.25 0.25 H B y N O A x . Đề thi tuyển sinh vào lớp10 chuyên Lam Sơn (14) Môn Toán (đề chung) Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1(1điểm): Cho. ++++= HC HC HB HB HA HA SSS SSS Dấu "=" xảy ra khi tam giác ABC đều 0.25 0.25 0.25 0.25 Bài 10 (1điểm) a) Gọi AM, CN là đờng cao của tam giác