Hướng dẫn học sinh giải phương trình, bất phương trình bậc hai chứa tham số và thỏa mãn điều kiện phụ

MỤC LỤC MỤC LỤC A MỞ ĐẦU I Lí chọn đề tài II Mục đích nghiên cứu III Đối tượng nghiên cứu .2 IV Phương pháp nghiên cứu B NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM .3 I Cơ sở lí luận .3 II Thực trạng vấn đề trước áp dụng SKKN .4 III Các thí dụ minh họa IV Hiệu bước đầu SKKN 19 C KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 19 TÀI LIỆU THAM KHẢO 21 HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI CHỨA THAM SỐ VÀ THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN PHỤ A MỞ ĐẦU I Lí chọn đề tài Bài tốn giải biện luận phương trình, bất phương trình bậc hai chứa tham số tốn thường gặp chương trình Tốn THPT Để giải số phương trình, bất phương trình ta thường quy phương trình bậc hai chứa tham số thỏa mãn điều kiện phụ Bài toán trước giải sử dụng định lí đảo dấu tam thức bậc hai, đưa toán so sánh số với nghiệm tam thức bậc hai Tuy nhiên, chương trình mơn Tốn THPT từ năm 2006 đến khơng có nội dung định lí đảo dấu tam thức bậc hai, điều dẫn đến khó khăn cho học sinh giải toán cần sử dụng đến nội dung kiến thức Cũng có số tài liệu tham khảo mơn tốn đưa số ví dụ dạng tốn không hệ thống thành chuyên đề, mà giới thiệu lẻ tẻ Bởi vậy, học sinh giáo viên khó khăn tiếp cận dạng tốn này, tìm tài liệu học tập, giảng dạy Để giúp học sinh hiểu, giải toán đưa toán so sánh số với nghiệm tam thức bậc hai, đồng thời trao đổi kinh nghiệm giảng dạy với bạn đồng nghiệp, lựa chọn đề tài SKKN: “Hướng dẫn học sinh giải phương trình, bất phương trình bậc hai chứa tham số thỏa mãn điều kiện phụ” II Mục đích nghiên cứu Mục tiêu nghiên cứu đề tài giúp em học sinh lớp 10 tiếp cận giải phương trình, bất phương trình chứa tham số đưa dạng toán so sánh số với nghiệm phương trình bậc hai khơng sử dụng định lí đảo dấu tam thức bậc hai Đồng thời, thơng qua tốn để phát triển lực tư phát giải vấn đề; tư sáng tạo cho học sinh III Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu đề tài phương trình, bất phương trình chứa tham số đưa phương trình bất phương trình bậc hai chứa điều kiện phụ, đưa lời giải cụ thể cho tốn Qua đó, đề tài tổng kết dạng toán hay gặp cách giải cho dạng tốn IV Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu tài liệu phương trình, bất phương trình chương trình tốn Trung học phổ thông Nghiên cứu thực tiễn: Khảo sát lực học sinh vấn đề tiếp cận giải phương trình, bất phương trình bậc hai chứa tham số thỏa mãn điều kiện phụ Thực nghiệm sư phạm: Tiến hành thực nghiệm đối tượng học sinh cụ thể nhằm đánh giá hiệu đề tài B NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM I Cơ sở lí luận Định lí Vi-et cho phương trình bậc hai ứng dụng Cho phương trình ax + bx + c = ( a ≠ ) có hai nghiệm (phân biệt b  S = x + x = −  a không) x1 , x2 , ta có:  P = x x = c  a Điều kiện để phương trình ax + bx + c = ( a ≠ ) có nghiệm x1 , x2 thỏa mãn: c  < x1 < x2 ⇔  P > S >  iii) ∆ >  x1 < x2 < ⇔  P > S <  Định lí dấu tam thức bậc hai Cho tam thức bậc hai f ( x ) = ax + bx + c ( a ≠ ) có ∆ = b − 4ac i) Nếu ∆ < f ( x ) dấu với hệ số a với ∀x ∈ ¡ ii) Nếu ∆ = f ( x ) dấu với hệ số a với ∀x ≠ − b 2a iii) Nếu ∆ > f ( x ) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 Khi f ( x ) dấu với hệ số a với ∀x ∈ ( −∞; x1 ) ∪ ( x2 ; +∞ ) ; f ( x ) trái dấu với hệ số a với ∀x ∈ ( x1; x2 ) Trong định lí trên, ta thay ∆ ∆ ' = b '2 − ac (với b ' = b ) ta có kết luận tương tự Chiều biến thiên hàm số bậc hai Xét hàm số bậc hai: f ( x ) = ax + bx + c ( a ≠ ) b   i) Nếu a > f ( x ) nghịch biến khoảng  −∞; − ÷ đồng biến 2a    b  khoảng  − ; +∞ ÷  2a  b   ii) Nếu a > f ( x ) đồng biến khoảng  −∞; − ÷ nghịch biến 2a    b  khoảng  − ; +∞ ÷  2a  II Thực trạng vấn đề trước áp dụng SKKN Trong thực tế giảng dạy, nhận thấy yêu cầu học sinh giải tốn: Tìm tất giá trị tham số a cho phương trình sau có nghiệm: x − ( a + ) x + 5a + 10 + − x = , học sinh biến đổi đến tốn:  x ≥ Tìm a để hệ  có nghiệm Đến học sinh lúng túng  x − ( a + 1) x + 5a + = giải tiếp, tốn: Tìm a để phương trình x − ( a + 1) x + 5a + = có nghiệm x ≥ , toán mà trước thường sử dụng định lí đảo dấu tam thức bậc hai để giải Chương trình mơn Tốn THPT lớp 10 khơng có nội dung Tất nhiên, tốn giải cách rút a theo hàm số biến x sử dụng đạo hàm, lập bảng biến thiên suy kết Nhưng, với em học sinh lớp 10 chưa thể giải cách này, nội dung ứng dụng đạo hàm xét chiều biến thiên hàm số đến lớp 12 học Thực tế học tập giảng dạy mơn tốn lớp 10, có nhiều tốn tương tự tốn nêu Có số tài liệu tốn có đưa số ví dụ phương trình, bất phương trình chứa tham số quy phương trình, bất phương trình bậc hai chứa điều kiện phụ giải khơng sử dụng định lí đảo dấu tam thức bậc hai Nội dung đưa chưa thành hệ thống, khó cho học sinh học tập, nữa, việc tìm tài liệu học tập liên quan đến vấn đề khu vực trường THPT Tống Duy Tân khó khăn Thực tế địi hỏi phải có hệ thống ví dụ cụ thể cho dạng tốn để học sinh giáo viên có điều kiện học tập giảng dạy chủ đề phương trình, bất phương trình chứa tham số lớp 10 tốt III Các thí dụ minh họa Thí dụ 1: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x − 2m x − − m − = Phân tích: Đặt x − = t , ta có phương trình: t − 2mt − m + = Ta thấy, với t ≥ , ta tìm nghiệm x phương trình cho Do tốn trở thành: Tìm m để phương trình t − 2mt − m + = có nghiệm t ≥ Ta có hai lời giải cho toán sau: Lời giải 1: 2 Xét tốn ngược: Tìm m để phương trình t − 2mt − m + = nghiệm t ≥ ( 1) Trường hợp 1: Phương trình (1) vơ nghiệm ∆ ' = ( m − 1) < ⇔ −1 < m < Trường hợp 2: Phương trình (1) có hai nghiệm t1 , t2 t1 ≤ t2 < Điều kiện cho trường hợp là: ∆ ' = ( m − 1) ≥ m ∈ ( −∞; −1] ∪ [ 1; +∞ )   P = − m + > ⇔ ⇔ − < m ≤ −1  − < m <  S = 2m < m <   Kết hợp hai trường hợp trên, ta có điều kiện để phương trình (1) khơng có nghiệm t ≥ là: − < m < Do đó, phương trình (1) có nghiệm t ≥ m ≤ − m ≥ Hay, điều kiện để phương trình cho có nghiệm là: m ≤ − m ≥ Lời giải 2: Điều kiện để phương trình t − 2mt − m2 + = có nghiệm là: ∆ ' = ( m − 1) ≥ ⇔ m ∈ ( −∞; −1] ∪ [ 1; +∞ ) Khi đó, (1) có hai nghiệm là: t1 = m − ( m − 1) ; t2 = m + ( m − 1) ; Rõ ràng t1 ≤ t2 , nên để phương trình (1) có nghiệm t ≥ , điều kiện là: t2 = m + ( m − 1) ≥ ⇔ ( m − 1) ≥ − m −m < ⇔( I)  ( II ) 2 m − ≥ ( )  m > • ( I) ⇔  • ( II ) ⇔  m ≥ −m ≥  2 2 ( m − 1) ≥ ( − m ) ⇔ m ≥1 m ≤ m ≥ ⇔m≤− Như vậy, điều kiện để phương trình cho có nghiệm là: m ≤ − m ≥ Thí dụ 2: Tìm tất giá trị tham số a cho phương trình sau có nghiệm: x − ( a + ) x + 5a + 10 + − x = ( 2) Phân tích: Ta có: ( 2) ⇔ x − ( a + ) x + 5a + 10 = x −  x ≥ ⇔ 2 2 x − ( a + ) x + 5a + 10 = ( x − 3)  x ≥ ⇔  x − ( a + 1) x + 5a + = ( 2.1) Đến đây, tốn trở thành: Tìm a để phương trình (2.1) có nghiệm x ≥ Ta có hai lời giải sau: Lời giải 1: Ta tìm a để phương trình (2.1) khơng có nghiệm x ≥ Có hai trường hợp: Trường hợp 1: Phương trình (2.1) vô nghiệm, điều xảy ∆ ' = ( a + 1) − ( 5a + 1) < ⇔ a − 3a < ⇔ < a < Trường hợp 2: Phương trình (2.1) có hai nghiệm x1 , x2 x1 ≤ x2 < Điều kiện là: ∆ ' ≥ ∆ ' ≥   ( x1 − 3) ( x2 − 3) > ⇔  x1 x2 − ( x1 + x2 ) + >   ( x1 − 3) + ( x2 − 3) <  x1 + x2 − < a − 3a ≥ a ∈ ( −∞;0] ∪ [ 3; +∞ )   ⇔ ( 5a + 1) − 3.2 ( a + 1) + > ⇔ a < ⇔a≤0  a <  2 ( a + 1) − < Kết hợp hai trường trên, ta có điều kiện để phương trình (2.1) khơng có nghiệm x ≥ a < Do đó, điều kiện để phương trình (2.1) có nghiệm x ≥ a ≥ Bởi vậy, giá trị cần tìm a là: a ≥ Lời giải 2: Điều kiện để phương trình (2.1) có nghiệm là: ∆ ' = a − 3a ≥ ⇔ a ∈ ( −∞;0] ∪ [ 3; +∞ ) Khi (2.1) có hai nghiệm: x1 = a + − a − 3a ; x2 = a + + a − 3a ; Nên phương trình (2.1) có nghiệm x ≥ khi: x2 = a + + a − 3a ≥ ⇔ a − 3a ≥ − a ⇔( I) a − 3a ≥  2 − a < 2 − a ≥ II ( )  2 a − 3a ≥ ( − a ) Ta có: a ∈ ( −∞;0] ∪ [ 3; +∞ ) • ( I) ⇔  • ( II ) ⇔  a > ⇔a≥3 a ≤ ⇔ a ∈∅ a ≥  Bởi vậy, giá trị cần tìm a là: a ≥ 2 Thí dụ 3: Tìm m để x − ( m + ) x + m + > với x > Phân tích: 2 Đặt f ( x ) = x − ( m + ) x + m + 1, ta chia trường hợp ∆ < 0, ∆ = ∆ > Trường hợp ∆ > f ( x ) > ⇔ x < x1 x > x2 , ta đưa tốn tìm m để f ( x ) có hai nghiệm x1 < x2 ≤ Lời giải: 2 Đặt f ( x ) = x − ( m + ) x + m + 2 Ta có: ∆ = ( m + ) − ( m + 1) = −3m + 4m Xét trường hợp: m < Trường hợp 1: ∆ < ⇔ −3m + 4m < ⇔  Khi f ( x ) > 0, m >  ∀x ∈ R nên f ( x ) > với x > Do m < m > thỏa mãn m = Trường hợp 2: ∆ = ⇔ −3m + 4m = ⇔  Khi f ( x ) > 0, m =  ∀x ≠ − b m+2 = 2a • Nếu m = 0, f ( x ) > 0, ∀x ≠ Vậy f ( x ) > với x > , suy m = thỏa mãn 5 • Nếu m = , f ( x ) > 0, ∀x ≠ Do x = > khơng nghiệm 3 f ( x ) > , suy m = không thỏa mãn Trường hợp 3: ∆ > ⇔ −3m + 4m > ⇔ < m < hai nghiệm x1 < x2 Nên f ( x ) > ⇔ x < x1 x > x2 Khi f ( x ) = có Đến đây, ta tìm điều kiện để f ( x ) = có hai nghiệm x1 < x2 ≤ Ta có: ( x1 − 1) + ( x2 − 1) < x −1 < x1 < x2 ≤ ⇒  ⇔  x2 − ≤ ( x1 − 1) ( x2 − 1) ≤ m + < x + x < ⇔ ⇔  x1 + x2 − x1.x2 ≤ m + − ( m + 1) ≤ m < ⇔ ⇔ m ∈∅ − m + m ≤  Vậy, giá trị cần tìm m là: m ≤ m > Lưu ý: Trong trường hợp f ( x) = ∆ > 0, có hai nghiệm m + − −3m + 4m m + + −3m + 4m Nên f ( x ) > ⇔ x < x x1 = ; x2 = 2 x > x2 Bởi vậy, để f ( x ) > với x > , ta cần điều kiện: m + + −3m + 4m x2 = ≤ ⇔ −3m + 4m ≤ − m −m ≥ −m ≥    ⇔ −3m + 4m > ⇔ 0 < m < ⇔ m ∈∅   2 −3m + 4m ≤ ( −m ) −3m + 4m ≤ ( − m )  Thí dụ 4: Với giá trị tham số m bất phương trình sau có nghiệm: x + x − m + m + 3m + < ( 4) Phân tích: Chia hai trường hợp x < m x ≥ m để khử dấu giá trị tuyệt đối đưa toán giải tương tự Thí dụ Lời giải: Ta có, bất phương trình (4) tương đương với ( I)  x + x + m2 + m + < ( II )  x ≥ m   x − x + m + 5m + <  x < m 10 • Từ định lí dấu tam thức bậc hai, ta suy (I) có nghiệm f ( x ) = x + x + m + m + = có hai nghiệm x1 < x2 m < x2 Do ∆′ = − m − m > ⇔ −1 < m < − (I) có nghiệm khi:  2 m < −1 + − m − m • Tương tự, (II) có nghiệm g ( x ) = x − x + m + 5m + = có hai nghiệm x1 < x2 x1 < m Do (II) có nghiệm khi: ∆′ = − m − 5m > ⇔ −1 < m < −  2 −1 − − m − 5m < m Vậy, bất phương trình có nghiệm −1 < m < − NHẬN XÉT: 1) Để tìm điều kiện tam thức bậc hai f ( x ) = ax + bx + c ( a ≠ ) có nghiệm x > α ta làm theo hai cách: Cách Ta giải toán ngược lại là: Tìm điều kiện để tam thức f ( x ) = ax + bx + c ( a ≠ ) khơng có nghiệm x > α , sau kết tốn ban đầu phần bù kết toán ngược ¡ Cách Ta đặt điều kiện để tam thức có hai nghiệm x1 , x2 x1 < x2 , f ( x ) có nghiệm x > α cần thêm điều kiện x2 > α 2) Tương tự, để tìm điều kiện tam thức bậc hai f ( x ) = ax + bx + c ( a ≠ ) có nghiệm x < α ta làm theo hai cách: Cách Ta giải toán ngược lại là: Tìm điều kiện để tam thức f ( x ) = ax + bx + c ( a ≠ ) khơng có nghiệm x < α , sau kết tốn ban đầu phần bù kết toán ngược ¡ Cách Ta đặt điều kiện để tam thức có hai nghiệm x1 , x2 x1 < x2 , f ( x ) có nghiệm x < α cần thêm điều kiện x1 < α 11 Thí dụ 5: Tìm m để x ∈ [ −4;6] nghiệm bất phương trình: ( + x) ( − x) ≤ x2 − 2x + m ( 5) Phân tích: Đặt t = ( + x ) ( − x ) , đưa bất phương trình (5) tốn biện luận bất phương trình bậc hai Ta sử dụng phương pháp hàm số để giải toán Lời giải: Đặt t = ( + x ) ( − x ) ; u = − x + x + 24 với x ∈ [ −4;6] , ta có bảng biến thiên sau: x −4 25 25 u 0 t Bất phương trình (5) trở thành: t + t − 24 − m ≤ 0 (5a) Bất phương trình (5) với x ∈ [ −4;6] (5a) với t ∈ [ 0;5] Đặt f ( t ) = t + t − 24 − m , ta có: ∆ = 4m + 97 • Nếu ∆ < ⇔ m < − 97 97 f ( t ) > 0, ∀t ∈ R nên m < − không thỏa 4 mãn • Nếu ∆ = ⇔ m = − 97 97 f ( t ) > 0, ∀t ≠ − nên m = − không thỏa 4 mãn 12 • Nếu ∆ > ⇔ m > − t2 = 97 −1 − 4m + 97 f ( t ) = có hai nghiệm t1 = −1 + 4m + 97 Nên f ( t ) ≤ ⇔ t1 ≤ t ≤ t2 Bởi vậy, (5a) với t ∈ [ 0;5] khi:  −1 − t1 =  t = −1 +  4m + 97 ≤0  4m + 97 ≥ ⇔ ⇔m≥6 4m + 97  4m + 97 ≥ 11 ≥5  Vậy, giá trị cần tìm m ≥ Chú ý: Ta tìm m để (5a) với t ∈ [ 0;5] phương pháp hàm số sau: Xét hàm số f ( t ) = t + t − 24 − m , ta có bảng biến thiên sau: t −∞ − +∞ f ( t) Từ bảng biến thiên suy (5a) với t ∈ [ 0;5] f ( 5) ≤ ⇔ − m ≤ ⇔ m ≥ 3 x + 4mx − = Thí dụ 6: Tìm m để hệ sau có nghiệm:   x < Lời giải:  f ( x ) = 3x + 4mx − = Ta tìm điều kiện để hệ sau vơ nghiệm:  −1 < x < 13 Vì với m f ( x ) ln có hai nghiệm trái dấu (do c = − < ) nên a hệ vô nghiệm hai nghiệm x1 , x2 f ( x ) thỏa mãn điều kiện x1 ≤ −1 < ≤ x2 2 Ta có: x1 = −2m − 4m + 12 ; x2 = −2m + 4m + 12 , đó: 2  −2 m −  x1 =  x1 ≤ −1 < ≤ x2 ⇔  −2 m +  x =  4m + 12 ≤ −1 4m + 12 ≥1  4m + 12 ≥ −2m + 1 ⇔ ⇔− ≤m≤ 4  4m + 12 ≥ 2m + Từ suy hệ cho có nghiệm m < − Thí dụ 7: Tìm tất giá trị m để x + 1 m > 4 1  − ( 2m + )  x + ÷ + 4m + ≥ x x  với ∀x ≠ Lời giải: Đặt x + 1 = t ⇒ t ≥ , ta có: x + = t − , nên bất phương trình trở x x thành: f ( t ) = t − ( 2m + 3) t + 4m + ≥ có ∆ = 4m − 4m − Bài tốn trở thành: Tìm m để f ( t ) ≥ với t ∈ ( −∞; −2] ∪ [ 2; +∞ ) • Nếu ∆ = 4m − 4m − ≤ ⇔ − ≤ m ≤ f ( t ) ≥ với ∀t ∈ ¡ , suy 2 f ( t ) ≥ với t ∈ ( −∞; −2] ∪ [ 2; +∞ ) Nên − ≤ m ≤ thỏa mãn 2 14 • Nếu ∆ > f ( t ) = có hai nghiệm t1 = 2m + − 4m − 4m − t2 = 2m + + 4m − 4m − Khi đó: f ( t ) ≥ ⇔ t ≤ t t ≥ t 2 Do đó: f ( t ) ≥ với t ∈ ( −∞; −2] ∪ [ 2; +∞ ) khi:  2m + − 4m − 4m − ≥ −2  t1 =   m − 4m − ≤ 2m + ⇔  2m + + 4m − 4m −   4m − 4m − ≤ − 2m ≤2 t2 = 1 − 2m ≥ 0;2m + ≥   4m − 4m − > 13 ⇔ ≤m −4  t1 =  20a + < 13 ⇔  t = + 20a + <  20a + <  2  a > − ⇔ 20 ⇔ − < a < 20 20a + < Như vậy, với a < suy a ≥ (8a) khơng có nghiệm thỏa mãn t ≥ Do giá trị thỏa mãn đề Cách 2: Ta giải phương pháp hàm số Ta có: ( 8a ) ⇔ t − 5t + = 5a ( 8b ) 16 Đặt f ( t ) = t − 5t + , ta có bảng biến thiên sau: t −∞ −4 +∞ +∞ f ( t) +∞ 42 Phương trình (8b) có nghiệm t ≥ đường thẳng y = 5a đồ thị f ( t ) có điểm chung miền t ≥ Từ bảng biến thiên ta có 5a ≥ ⇔ a ≥ NHẬN XÉT: 1) Điều kiện để tam thức f ( x ) = ax + bx + c ( a ≠ ) có hai nghiệm ∆ >  x2 > x1 > α là:  −b − ∆ −b + ∆ > α; >α  2a  2a 2) Điều kiện để tam thức f ( x ) = ax + bx + c ( a ≠ ) có hai nghiệm ∆ >  x1 < x2 < α là:  −b − ∆ −b + ∆ < α;   −b − ∆ α < x1 < x2 < β là:  > α (với giả thiết x1 < x2 ) a   −b + ∆