Đang tải... (xem toàn văn)
đề tài luận văn thạc sĩ công nghệ thông tin tìm hiểu cơ sở toán học của lý thuyết tối ưu và một số mô hình trong kinh tế thường gặp, cách giải quyết những bài toán kinh tế này và bước đầu ứng dụng qua những ví dụ cụ thể
LỜI CÁM ƠN DANH SÁCH CÁC BẢNG DANH SÁCH CÁC HÌNH MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU -1- Chương MƠ HÌNH BÀI TỐN TỐI ƯU HĨA Trong chương này, luận văn trình bày số kiến thức mơ hình tổng qt tốn tối ưu hóa, việc phân loại tốn tối ưu sở toán học toán tối ưu Các kiến thức tham khảo tài liệu [1, 2, 3, 4] 1.1 Các khái niệm 1.1.1 Mơ hình tổng qt tốn tối ưu hóa Tối ưu hóa lĩnh vực quan trọng tốn học có ảnh hưởng đến hầu hết lĩnh vực khoa học, công nghệ kinh tế xã hội Việc tìm giải pháp tối ưu cho tốn thực tế chiếm vai trò quan trọng việc tiến hành lập kế hoạch sản xuất hay thiết kế hệ thống điều khiển trình … Nếu sử dụng kiến thức tảng toán học để giải toán cực trị, người ta đạt hiệu kinh tế cao Điều phù hợp với mục đích vấn đề đặt thực tế Bài toán tối ưu tổng quát phát biểu sau: Cực đại hóa (cực tiểu hóa) hàm: f ( X ) → max(min) Với điều kiện: gi ( X ) = bi , i ∈ J1 (1.1) g j ( X ) ≤ bj , j ∈ J2 (1.2) g k ( X ) ≥ bk , k ∈ J (1.3) x1 , x2 , , xn ≥ (1.4) Trong f ( X ) gọi hàm mục tiêu, Các điều kiện (1.1) gọi ràng buộc đẳng thức Các điều kiện (1.2), (1.3) gọi ràng buộc bất đẳng thức Các -2- điều kiện (1.4) gọi ràng buộc dấu X = ( x1 , x2 , , xn ) véc tơ thuộc không gian R n Tập véc tơ X thỏa mãn hệ ràng buộc lập nên miền D gọi miền phương án (hay miền chấp nhận được), điểm X ∈ D gọi phương án Một phương án X * ∈ D làm cho hàm mục tiêu f ( X ) đạt max (min) gọi phương án tối ưu 1.1.2 Phân loại toán tối ưu Dựa mơ hình tổng qt, người ta thường phân loại lớp toán tối ưu sau: • Qui hoạch tuyến tính: tốn mà hàm mục tiêu f ( X ) tất hàm ràng buộc gi ( X ), g j ( X ), g k ( X ) tuyến tính • Qui hoạch phi tuyến: toán hàm mục tiêu f ( X ) hàm ràng buộc gi ( X ) , g j ( X ) , g k ( X ) phi tuyến • Qui hoạch lồi: Là toán qui hoạch mà hàm mục tiêu f ( X ) lồi tập ràng buộc D lồi • Qui hoạch lõm: Là tốn qui hoạch mà hàm mục tiêu f ( X ) lõm tập ràng buộc D lõm • Qui hoạch rời rạc: Bài toán tối ưu gọi qui hoạch rời rạc miền ràng buộc D tập hợp rời rạc Trong trường hợp riêng biến nhận giá trị nguyên ta có qui hoạch ngun • Qui hoạch đa mục tiêu: Nếu miền ràng buộc ta xét đồng thời hàm mục tiêu khác Trong lĩnh vực kinh tế kỹ thuật qui hoạch phi tuyến, qui hoạch tuyến tính tốn thường gặp 1.2 Bài tốn quy hoạch tuyến tính Từ số mơ hình thực tế, ta có mơ hình tổng qt cho tốn quy hoạch tuyến tính sau: Xác định biến x j ( j = 1, 2, , n) cho: -3- n F ( x) = ∑ c j x j → Max( Min) j =1 n ∑a x j =1 ij j ≥ bi ( i ∈ I1 ⊂ M ) (1.5) j = bi ( i ∈ I = M \ I1 ) (1.6) n ∑a x j =1 ij x j ≥ 0( j ∈ J ⊂ N ) Với (1.7) M = { 1, 2, , m} , N = { 1, 2, , n} Vectơ X = ( x1 , x2 , , xn ) thỏa mãn điều kiện (1.5) - (1.7) gọi phương án toán Tập nghiệm thỏa mãn hệ ràng buộc gọi miền phương án ký hiệu D Phương án thỏa mãn điều kiện để hàm mục tiêu đạt Max(min) gọi phương án tối ưu Dạng tắc: n F ( x) = ∑ c j x j → Min j =1 n ∑a x j =1 ij j = bi ( i ∈ M ) x j ≥ 0( j ∈ N ) Dạng chuẩn tắc: n F ( x) = ∑ c j x j → Min j =1 n ∑a x j =1 ij j ≥ bi ( i ∈ M ) x j ≥ 0( j ∈ N ) Sử dụng ký hiệu vectơ ma trận, mô hình tốn quy hoạch tuyến tính tổng qt biểu diễn sau: -4- f ( X ) = C T X → Max(min) AX = b X ≥0 Trong đó: X = ( x1 , x2 , , xn ), C = (c1 , c2 , , cn ) a11 a A = 21 am1 a12 a22 am a1n x1 b1 b a2 n x2 2 X = b = , , amn xn bm 1.3 Một số thuật toán kinh điển 1.3.1 Thuật tốn đơn hình 1.3.1.1 Mơ tả thuật toán gốc Cơ sở phương pháp Dantzig cơng bố năm 1947 có tên gọi phương pháp đơn hình Xuất xứ tên gọi toán giải phương pháp có ràng buộc dạng: n ∑x j =1 Mà tập điểm x ∈ ¡ j n = 1, x j > 0, ( j = 1, 2, , n) thoả mãn ràng buộc đơn hình khơng gian n chiều 1.3.1.2 Tư tưởng chung Phương pháp đơn hình dựa hai nhận xét sau: • Nếu tốn QHTT có phương án tối ưu có đỉnh D phương án tối ưu • Đa diện lồi D có số hữu hạn đỉnh Như phải tồn thuật toán hữu hạn Thuật toán gồm bước sau: Bước 1: Tìm phương án cực biên Bước 2: Kiểm tra điều kiện tối ưu phương án -5- + Nếu điều kiện tối ưu thoả mãn phương án tối ưu không ta chuyển sang phương án cực biên cho làm tốt giá trị hàm mục tiêu + Kiểm tra điều kiện tối ưu phương án Người ta thực dãy thủ tục nhận phương án tối ưu, đến tình tốn khơng có phương án tối ưu 1.3.1.3 Cơ sở lý thuyết Xét tốn QHTT dạng tắc: f ( x ) = CT X ⇒ Min AX = b X ≥0 Trong A = ( aij ) n×m , X = ( x1 , x2 , , xn ); C = (c1 , c2 , , cn ) , giả sử hạng ma trận A m Giả sử X phương án cực biên Ta ký hiệu: J * = { j | x j > 0} (2.1) Vì véc tơ Aj , j ∈ J * độc lập tuyến tính nên | J * |≤ m Định nghĩa 1.1: Phương án cực biên X gọi không suy biến | J * |= m , suy biến | J * |< m Ta chọn hệ thống m véc tơ độc lập tuyến tính { Aj , j ∈ J } cho J ⊇ J * Hệ thống sở X , véc tơ Aj , j ∈ J biến x j , j ∈ J gọi véc tơ biến sở tương ứng Các véc tơ biến Aj , x j , ( j ∉ J ) gọi véc tơ biến phi sở Nếu X khơng suy biến tồn sở nhất, J = J * Mọi véc tơ Ak phi sở biểu diễn dạng tổ hợp tuyến tính véc tơ sở: Ak = ∑ z jk A j (2.2) j∈J -6- Trong hệ số z jk xác định việc giải hệ phương trình: a jk = ∑ z jk aij , (i = 1, 2, , m) j∈J ( 2.3) Bài toán QHTT gọi không suy biến tất phương án cực biên khơng suy biến Giả sử tốn khơng suy biến ta tìm phương án cực biên X = ( x1 , x2 , , xm , 0, , 0) sở A1 , A2 , , Am Đối với phương án cực biên ta có: m ∑x A j j =1 j = b, x j > 0, ( j = 1, 2, , m) (2.4) Với giá trị hàm mục tiêu: m ∑c x j =1 j j = Z , x j > 0, ( j = 1, 2, , m) (2.5) Ta tính đại lượng sau: m ∑z j =1 jk c j = zk (2.6) Ký hiệu: m ∆ k = zk − ck = ∑ z jk c j − ck j =1 (2.7) Định lý 1.1: Nếu phương án cực biên X = ( x1 , x2 , , xm , 0, , 0) mà điều kiện sau thỏa mãn: ∆ k ≥ 0, ∀k = 1, 2, , n (2.8) X phương án tối ưu Nhận xét: Trong (2.2) Aj véc tơ sở tồn hệ số zij = , tất hệ số khác ta có: ∆ j = c j − c j = 0, j ∈ J -7- Và thực tế để kiểm tra điều kiện tối ưu phương án cực biên X ta kiểm tra: ∆ k ≥ 0, ∀k ∉ J Người ta chứng minh tốn khơng suy biến (2.8) điều kiện cần toán tối ưu Định lý 1.2: Nếu tồn số k cho ∆ k < ta tìm phương án X ' mà Z ' > Z Trong thực tế Dantzig chứng minh số bước lặp giảm đáng kể { ∆ k | ∆ k < 0} véc tơ Ar ta thay véc tơ Ak véc tơ As thỏa mãn ∆ s = k xác định theo công thức: x x θ s = j | z js > = r zrs z js (2.9) Ta có phương án cực biên X ' mà thành phần có dạng: xr ' x − z js , j ≠ r j z rs x 'j = x r , j=r zrs Với sở là: Aj , j ∈ J ' = J \ { r} ∪ { s} Xuất phát từ sở lý thuyết trên, có thuật tốn sau 1.3.1.4 Thuật tốn đơn hình Bước 1: Tìm phương án cực biên xuất phát X sở Aj , j ∈ J Bước 2: z jk Aj + Xác định số z jk hệ thống: Ak = ∑ j∈J + Đối với k ∉ J tính ước lượng: m ∆ k = ∑ z jk c j − ck j =1 -8- (2.10) (2.11) • Nếu (∀k ∉ J ), ∆ k ≥ ⇒ x nghiệm tối ưu Thuật tốn dừng • Nếu X khơng phải nghiệm tối ưu: o (∃k ∉ J ), ∆ k < z jk ≤ 0, ∀j ∈ J ⇒ tốn QHTT khơng có nghiệm tối ưu Thuật toán dừng o Đối với k ∉ J cho ∆ k < tồn j ∈ J : z jk > ⇒ chọn ∆ s = { ∆ k | ∆ k < 0} , đưa véc tơ As vào sở xj x | z js > = r Đưa véc tơ Ar khỏi sở zrz zrs Bước 3: Xác định: θ s = Bước 4: Xác định phương án cực biên X ' với sở J ' = J \ { r} ∪ { s} Quay trở lại bước 1.3.1.5 Công thức đổi sở, bảng đơn hình Ta xét cơng thức chuyển từ phương án cực biên X với sở J , sang phương án cực biên X ' với sở J ' Xuất phát từ công thức (2.10) cho phép tính ' thành phần X ' Ta cần thiết lập cơng thức tính số z jk Ta có: As = ∑ zij Aj ⇒ Ar = j∈J ( As − ∑ z js A j ) zrs j∈J (2.12) j≠r Mặt khác: Ak = ∑ ( z jk A j + zrk Ar ) (2.13) j∈J Thay biểu thức Ar từ (2.12) vào (2.13) ta có: Ak = ∑ z jk A j + j∈J zrk ( As − ∑ z js A j ) zrs j∈J j ≠r Ak = ∑ ( z jk A j − j∈J j≠r zrk z z js )Aj + sk zrs zrs -9- Đây công thức biểu diễn Ak qua sở J ' = J \ { r} ∪ { s} Khi ta có: zrk z jk − z z js , j ≠ r rs z 'jk = z rk , j = r zrs ' ' z 'jk c j − ck Sau có z jk ta tính: ∆ k = ∑ j∈J (2.14) Để dễ tính tốn, bước lặp ta thiết lập bảng đơn hình cj Cơ Phương c1 c2… c j… cr… cm… ck …cs …ch sở án A1 A2… Aj … A r… Am… Ak …As …Ah c1 A1 x1 0… 0… 0… 0… z1k z1s z1n c2 A2 x2 0 z2k z2s z2n cj Aj xj 0 0 zjk zjs zjn cr Ar xr 0 zrk zrs zrn cm Am xm 0 0 zmk zms zmn F 0… 0… 0… 0… ∆k … ∆s … ∆n Bảng 1.1: Bảng đơn hình Sử dụng phương pháp biến đổi theo thuật toán sau -10- + Thời gian hoạt động máy ca, nên: ∑x ij j =1 =1 + Số chi tiết loại sản xuất ca: C1 : z1 = 10 x11 + 3.8 x21 + 2.5 x31 C2 : z2 = x11 + 3.3 x21 + 2.4 x31 C3 : z3 = x11 + 3.6 x21 + 2.7 x31 + Theo giả thiết, phải có: z≤ z z1 ; z ≤ z2 ; z ≤ 2 Mơ hình toán học toán là: Hãy xác định giá trị ( xij ) 3×3 z cho tổng số sản phẩm S sản xuất nhiều tức z → max ∑ xij = j =1 z ≤ x11 + 12 x21 + x31 z ≤ x12 + x22 + x32 z ≤ 4x + 9x + 7x 13 23 33 z ≥ 0; x ≥ 0; ( i, j ) ∈ ( l ) ij Bài toán đưa dạng toán (SXĐB), với ma trận suất là: 4 ÷ A = 12 9 ÷ 7÷ ' Dùng thuật tốn điều chỉnh nhân tử, tốn có PATƯ là: 85 X = 126 ÷ ÷ 41 ÷ 170 ;z = 126 ÷ 21 ÷ 11 31 ÷ 42 42 -29- Vậy, phải bố trí cho: Máy M1 sản xuất C2 toàn ca; máy M2 sản xuất C1 ca, sản xuất C3 ca; máy M3 sản xuất C2 ca, sản xuất C3 ca Tổng số sản phẩm sản xuất z = 170 21 Tổng quát: Loại máy M i ( i ∈ I m ) có ti máy tham gia vào trình sản xuất, đơn vị thành phẩm cần có k j ( j ∈ I n ) đơn vị chi tiết C j Năng suất ca máy M i sản xuất loại chi tiết C j aij Bằng phép biến đổi: aij' = ti aij kj , ( i ∈ Im , j ∈ In ) ' Bài toán đưa dạng sản xuất đồng với ma trận suất (aij ) m×n , gọi ma trận suất quy ước Tương tự thuật tốn đơn hình thuật tốn phân phối, toán sản xuất đồng thực phần mềm tính tốn lập trình ngơn ngữ lập trình 2.3 Mơ hình toán bổ nhiệm Cần phân việc n cho n người, người i làm việc j chi phí cij (i, j = n) Hãy phân công việc cho n người để tổng chi phí thấp Đặt xij = người i làm việc j; người; lại đặt xij = Mơ hình tốn học: n g(x) = n ∑ ∑C i =1 -30- j =1 ij X ij → n ∑ xij = 1, i = n j =1 m ∑ xij = 1, (j = n) i =1 xij = hay 1(i, j = n) Ma trận C = (cij)nxn gọi ma trận chi phí Thực bỏ hạn chế xij = để thay xij số tự nhiên ràng buộc đảm bảo xij = Do đó, ràng buộc xij = viết lại xij ≥ , ngun Đây mơ hình thực tốn vận tải Có thể dùng thuật tốn vị để giải với thuật tốn có 2n – ô chọn Tuy nhiên có n ô chọn khác 0, tốn suy biến Vì có nhiều bước lặp mà phương án khơng tốt Rõ ràng phương án hoán vị số n Ví dụ hốn vị (4,2,1,3) nghĩa người làm việc người làm việc Một cách viết hoán vị dạng ma trận M = (mij)nxn, với mij = người i làm việc j Định lý 2.6: Nếu ma trận chi phí tốn bổ nhiệm có phần tử khơng âm có n số 0, phương án tối ưu tồn n số năm vị trí số ma trận hoán vị Pnxn Ma trận P biểu diễn phương án tối ưu Rõ ràng, phương án có tổng chi phí khơng nhỏ 0, nên nhỏ Định lý cung cấp mục tiêu thuật toán Ta chứng tỏ thay đổi chi phí mà khơng thay đổi lời giải Thuật tốn trình bày cách sửa đổi để ma trận chi phí có chứa số dòng cột Định lý 2.7: Giải sử ma trận chi phí C = (cij)nxn Giả sử X = (xij)nxn phương án tối ưu Gọi C’ ma trận có từ C cách cộng số α vào dịng thứ r Thì X phương án tối ưu toán xác định C’ Chứng minh Hàm mục tiêu toán -31- n g(x) = å i =1 n =å i =1 n å j =1 n åC j =1 ij n C 'ij X ij = å i =1 i¹ r n å j =1 n n j =1 i =1 C ij X ij + å (C rj + a)X rj = å n å j =1 n C ij X ij + a å X rj j =1 X ij + | a Vì dịng có tổng Do giá trị nhỏ cho g(x) nhận f(x) nhỏ Hay hai toán phương án tối ưu Phát biểu tương tự cho việc cộng thêm số vào cột Do đó, chiến thuật sửa đổi C cách cộng thêm vào dịng/cột số Ví dụ 2.1: Giả sử tốn bổ nhiệm có ma trận chi phí C= 5 1 12 12 Bắt đầu rút gọn để dịng có số cách trừ dòng cho số nhỏ dịng 3 0 Cột khơng có số 0, trừ số cột cho ta có 3 0 -32- Bây có số cột/dòng Đánh dấu “*” số ma trận chi phí để biểu bổ nhiệm Phải đánh dấu “*” vị trí (4,3) dịng có số Cịn lại dòng (1,1), dòng (2,2), dòng (3,4) 0* 3 0* 0* 0* Ta thu phương án tối ưu tổng chi phí là: + + + = 13 Đây ví dụ gặp may mắn tìm phương án tối ưu cách ngẫu nhiêm nhanh chóng, nhiên khơng phải lúc gặp may để tìm phương án tối ưu cách dễ dàng Ví dụ 2.2: Giả sử tốn bổ nhiệm có ma trận chi phí C= Trừ dòng cho phần tử nhỏ ta -33- C= Trừ cột cho phần tử nhỏ ta C= 0 4 0* 0* 0* 4 Đánh dấu “*” dòng ta Ma trận không biểu diễn cách đầy đủ; người chưa có việc Có hai trường hợp: khơng thể hoàn thành việc đánh dấu “*” cho số 0, có thuật tốn chưa tìm + Lưu ý: Các số ma trận n × n có tính chất tất số phủ n dịng/cột Ví dụ, chọn n cột để phủ ma trận Giả sử số phủ với k dịng/cột, k