Bài tập hệ thống truyền thông

Bài tập hệ thống truyền thông

Chương 1Khái niệm về hệ thống truyền thông1 Chương 2Xác suất và quá trình ngẫu nhiênBài tập 1. Trong một lớp học có 87 sinh viên, 43 người đi xe ô tô con, 29 người đi xe máy,10 người đi xe buýt và 5 người đi bộ. Giảng viên chỉ định ngẫu nhiên một sinh viên. Thựcnghiệm: Phương tiện di chuyển của sinh viên là gì?1. Xác định kết quả, tập kết quả có thể (tập mẫu)2. Xác suất để sinh viên được chỉ định đi xe đạp3. Xác suất để sinh viên được chỉ định đi xe buýt? xe máy? đi ô tô con? đi bộ?Lời giải• Tập mẫu: {xe buýt, xe máy, ô tô, đi bộ}• Xác suất để SV đi xe đạp: 0• 10/87;29/87;43/87;5/87;Bài tập 1Bài tập 2. Tung hai xúc xắc và quan sát tổng số điểm thu được.1. Xác định tập mẫu các giá trị có thể2. Xác định các xác suất của các phần tử thuộc tập mẫuLời giải1. Mỗi con xúc xắc có thể cho giá trị từ 1 đến 6, vậy tổng hai con xúc xắc có thể có giátrị từ 2 đến 12;2. Chỉ có 1 tổ hợp kết quả (1,1) có thể cho kết quả là 2. Có k-1 tổ hợp cho kết quả là k-1nếu k ≤ 7. Xác suất để phép gieo con xúc xắc có giá trị k là (k-1)/36. Nếu k ≥ 7, sốtổ hợp sẽ là 12-k-1, xác suất khi đó sẽ là (12-k-1)/362 3Bài tập 2Bài tập 3. Một nhà máy thuốc súng có hai mạch điện A, B kiểm soát. Nếu cả hai mạchnày hỏng, nhà máy sẽ nổ. Xác suất hỏng của từng mạch là 0.001 và 0.004. Đồng thờiP(B|A)=0.006.1. P(A|B)=?2. Xác suất nổ của nhà máy3. 2 sự kiện có độc lập thống kê hay không?Lời giải1. P (A|B) = P (A, B)/P (B) = P (B|A).P (A)/P (B) = 0.006 × 0.001/0.004 = 0.00152. Xác suất nổ của nhà máy: P(A, B) = P (B|A)P (A) = 0.0000063. 2 sự kiện không độc lập thống kê vì P (B|A) = P (B)Bài tập 3Bài tập 4. Cho 2 thực nghiệm A, B. A có 4 kết quả có thể, B có 3 kết quả có thể, Xác suấtđồng thời của các sự kiện được cho trong bảng dưới đâyA1A2A3A4B10.10 0.05 0.05 0.11B20.08 0.03 0.12 0.04B30.13 0.09 0.14 0.06Xác định xác suất của các sự kiện Ai, Bj, i = 1 − 4, j = 1− 3, các xác suất có điều kiện.Lời giải• Kẻ bảng 4x5, thêm hai cột cuối cùng là các xác suất riêng của Ai, Bj.• Các xác suất riêng được tính theo công thức: P (Ai) =3j=1P (Ai, Bj), P (Bj) =4i=1P (Ai, Bj).Xác suất có điều kiện được tính theo định nghĩa P (Ai|Bj) = P (Ai, Bj)/P (Bj), P (Bj|Ai) =P (Ai, Bj)/P (Ai)• Kết quả:A1A2A3A4P (Bi)B10.10 0.05 0.05 0.11 0.31B20.08 0.03 0.12 0.04 0.27B30.13 0.09 0.14 0.06 0.42P (Aj) 0.31 0.17 0.31 0.21Xác suất có điều kiện 4P (Ai|Bj) A1A2A3A4B10.322580645 0.161290323 0.161290323 0.35483871B20.296296296 0.111111111 0.444444444 0.148148148B30.30952381 0.214285714 0.333333333 0.142857143P (Bj|Ai) A1A2A3A4B10.322580645 0.294117647 0.161290323 0.523809524B20.258064516 0.176470588 0.387096774 0.19047619B30.419354839 0.529411765 0.451612903 0.285714286Bài tập 4Bài tập 5. Chứng minhp(x1, x2. . . xn) =p(xn|xn−1, xn−2. . . x1)p(xn−1|xn−2, xn−3. . . x1) . . . p(x2|x1)p(x1)Lời giải• Cóp(x2, x1) = p(x2|x1)p(x1)p(x3, x2, x1)p(x3|x2, x1)p(x2, x1)p(x4, x3, x2, x1)p(x4|x3, x2, x1)p(x3, x2, x1). . .p(x1, x2. . . xn) = p(xn|xn−1, xn−2. . . x1)p(xn−1, xn−2. . . x1)• Nhân tất cả các đẳng thức trên với nhau, được kết quả cần chứng minhBài tập 5Bài tập 6. Điều kiện cần và đủ để 3 sự kiện A1, A2, A3độc lập thống kê?Lời giải P(A1)P (A2)P (A3) = P (A1, A2, A3) Bài tập 6Bài tập 7. Biến ngẫu nhiên rời rạc X có các giá trị có thể là {1, 3, 5, 9, 13}, với các xácsuất tương ứng là {0.05, 0.15, 0.25, 0.40, 0.15}1. Xác định hàm mật độ xác suất của X2. Xác định xác suất P (X ≤ 7.0)Lời giải Hàm mật độ xác suất của Xp(x) =ni=1p(xi)δ(x − xi)p(x) = 0.05δ(x − 1) + 0.15δ(x − 3) + 0.25δ(x − 5) + 0.40δ(x − 9) + 0.15δ(x − 13)P (X ≤ 7.0) = 0.45 Bài tập 7Bài tập 8. Biến ngẫu nhiên Y là hàm của biến ngẫu nhiên X; Y = 2X − 6. 51. Xác định hàm mật độ xác suất của YLời giải Y là biến ngẫu nhiên nhận các giá trị rời rạc yi= 2xi− 6, với p(yi) = p(xi=(yi+ 6)/2). Hàm mật độ xác suất của Y làp(y) = 0.05δ((y + 6)/2 − 1) + 0.15δ((y + 6)/2 − 3) + 0.25δ((y + 6)/2 − 5)++0.40δ((y + 6)/2 − 9) + 0.15δ((y + 6)/2 − 13)p(y) = 0.05δ(y + 4) + 0.15δ(y) + 0.25δ(y − 4) + 0.40δ(y − 12) + 0.15δ(y − 20)Bài tập 8Bài tập 9. Cho một phép thử với tập hợp mẫu {1, 2, 3, 4, 5, 6} đẳng xác suất. Xác địnhhàm mật độ phân bố xác suất của các biến ngẫu nhiên X sau (s là giá trị của phép thử)a. X = 6s d. 3 exp(−s2)b. X = 12s2− 2s e. X = cos(πs2)c. X =s3+35f. X =1 + (s26)−1Lời giảia. X là biến ngẫu nhiên rời rạc có các giá trị {6, 12, 18, 24, 30, 36} với các xác suất lần lượtlà {1/6, 2/6, 3/6, 4/6, 5/6, 6/6} Vậy hàm mật độ phân bố xác suất của X làp(x) =6i=1i6δ(x − 6i)a. X là biến ngẫu nhiên rời rạc có các giá trị {10, 44, 90, 160, 250, 840} với các xác suất lầnlượt là {1/6, 2/6, 3/6, 4/6, 5/6, 6/6} Vậy hàm mật độ phân bố xác suất của X làp(x) =6i=1i6δ(x − 12i2+ 2i)Tổng quát, nếuX = F (s)thìp(x) =6i=1i6δ(x − F (i))Bài tập 9Bài tập 10. Yêu cầu giống bài tập trên, với tập hợp mẫu là các số thực phân bố đều trongkhoảng 2 ≤ s ≤ 5Lời giải Điểm khác biệt so với bài tập trước là biến ngẫu nhiên X có tính chất liên tục, dođó cần áp dụng công thức tổng quát Y = G(X) thì pY(y) =k1pX(xi)|g(xi)|, trong đó s1, s2, . . . sklà nghiệm của phương trình G(s) = x và là hàm số của y. Trong bài này, biến ngẫu nhiên 6S với hàm mật độ phân bố xác suất đều p(s) = 1/3 với 2 ≤ s ≤ 5 đóng vai trò biến ngẫunhiên gốc, còn X = G(S) đóng vai trò biến ngẫu nhiên hàm. Vậy có các kết quảa. X = 2S − 6; S = (X + 6)/2.pX(x) =pS((x + 6)/2)2=0, nếux < −2 hoặc x > 4−1/6, nếu − 2 ≤ x ≤ 6;b. X = 12S2− 2S; s1=1+√1+12x12, s2=1−√1+12x12pX(x) =pS(1+√1+12x12)2√1 + 12x−pS(1−√1+12x12)2√1 + 12xpX(x) =16√1+12x, nếu 52 ≤ x ≤ 3100, nếu không.nếuc. Phương trình có một nghiệm duy nhất s =3√5x − 3. VậypX(x) =5pS(3√5x − 3)(33√5x − 3)2=593√5x − 3)2nếu 11/5 ≤ x ≤ 128/5 Bài tập 10Bài tập 11. Biến ngẫu nhiên Y là hàm của biến ngẫu nhiên X;Y = T (X) trong đó T làhàm đơn điệu tăng hoặc giảm, T−1là hàm ngược của T. Chứng tỏ rằngpY(y) = pX(x)dxdytrong đó x = T−1(y)Lời giảiFY()y = P (Y ≤ y) = P (T (X) ≤ y) = P (X ≤ T−1(y)) = FX(T−1(y))VậypY(y) =dFY(y)dy= pX(T−1(y))dT−1(y)dy= pX(x)dxdyBài tập 11Bài tập 12. Cho hai biến ngẫu nhiên X, Y độc lập thống kê với 2 hàm mật độ xác suấtpX(x) và pY(y). Biến ngẫu nhiên W = X + Y . Xác định hàm mật độ phân bố xác suất củaW.Lời giảiTheo định nghĩaFW(w) = P (W ≤ w) = P (X + Y ≤ w) = P (X ≤ w − Y ) = FX(w − y)FY(y) 7Lấy đạo hàm theo w, đặt t = w − y có FT(t) = FX(t), FTY (t) = FXY (t)FW(w)dw=FTY (t, y)dt=+∞y=−∞pTY (t, y)dy =+∞y=−∞pX(w − y)pY(y)dyBài tập 12Bài tập 13. Cho hàm phân bố xác suất đồng thời của hai biến ngẫu nhiên p(x, y) =112, nếu 0 ≤ x ≤ 3và 0 ≤ y ≤ 40, Nếu không 1. Xác định hàm mật độ xác suất riêng của từng biến ngẫu nhiên2. Xác định các xác suất P(Y ≤X2), P (Y ≤ 2X)Lời giải p(x) = 1/3 nếu 0 ≤ x ≤ 3, p(y) = 1/4 nếu 0 ≤ y ≤ 4 áp dụng kết quả củabài trên, đặt X1= −X/2, p(X1) = 2/3 với −3/2 ≤ X1≤ 0.Đặt W = X1+ Y , p(w) =40pX1(w − y)pYdy = p(w) =14ww−4pX1(y)dyp(w) =0, nếu w > 4 hoặc w < −1.516w +14, nếu − 1.5 < w < 01/4, nếu 0 < w < 2.51/6(4 − w), nếu 2.5 < x < 4Bài tập 13Bài tập 14. Một sinh viên (chưa học bài) vào phòng thi CSLTTT. Bài thi trắc nghiệm có10 câu hỏi, mỗi câu có 4 phương án trả lời, trong đó 1 câu đúng. Trả lời đúng 1 câu được 1điểm, không đúng được 0 điểm. Sinh viên này chọn câu trả lời một cách ngẫu nhiên, 1 câutrả lời cho một câu hỏi. Hỏi xác suất để bạn sinh viên này được 0 điểm? 10 điểm? 2 điểm?k điểm?Lời giải áp dụng công thức tính cho phân bố nhị thức, xác suất được k điểm làCknpk(1 − p)n−k= Ck100.25k0.7510−kk=0 xác suất này là0.7510 = 0.056313515k=10 xác suất này là 0.2510 = 9.53674E − 07k=2 xác suất này là0.758.0.252.C210= 0.281567574Bài tập 14Bài tập 15. Tính các hàm phân bố xác suất và các mô men của các phân bố xác suất đều.Bài tập 16. Tính các hàm phân bố xác suất và các mô men của các phân bố xác suất nhịthức. Chương 3Thông tin và định lượng thông tinBài tập 17. Một trò chơi sử dụng 52 quân bài. Lấy 4 quân bài bất kỳ. Định nghĩa 4 sự kiện• E1: Tất cả các quân bài đều lớn hơn 9• E2: Tất cả các quân bài đều không có hình người (át được coi là có hình người)• E3: 4 quân bài có màu giống nhau• E4: 4 quân bài đều là át1. Tính lượng tin riêng của từng sự kiện2. Tính lượng tin tương hỗ I(E1;E3)3. Cần khoảng bao nhiêu bít để biểu diễn thông tin của một bộ 4 con bài như trênLời giải Cả 52 quân bài đều khác nhau. Vậy có C524= 270725 bộ 4 con bài. E1 xuất hiệntrong C164= 1820 tổ hợp (có 16 quân bài lớn hơn J). E2 xuất hiện trong C49= 126 tổ hợp.E3 xuất hiện trong 4C134= 715 tổ hợp. E4 xuất hiện trong duy nhất 1 trường hợp.Lượng tin riêng của 4 sự kiện lần lượt là 7.216745858, 11.06918867,8.564669162, 18.04646859Để biểu diễn một bộ 4 con bài, cần tối thiểu là 19 bítTrong tất cả 715 các tổ hợp mà E3 xuất hiện, có 4 tổ hợp mà E1 xuất hiện. VậyP (E1|E3) = 4/715, I(E1|E3)=7.481799432 bit, I(E1;E3)=I(E1)- I(E1|E3)=-0.265053573 bítBài tập 17Bài tập 18. Một nguồn không nhớ X gồm 3 ký hiệu x1, x2, x3, với các phân bố xác suất0.45, 0.35, 0.20 được biến đổi thành nguồn tin Y = aX + b. Tính Entropy của nguồn YLời giải Nếu a = 0, cóE(Y ) = 0.45log20.45 − 0.35log20.35 − 0.20log20.20 = 1.512887622Bài tập 18Bài tập 19. Truyền 8 ký hiệu đẳng xác suất bằng các ký hiệu nhị phânx1x2x3x4x5x6x7x80000 0011 0101 0110 1001 1010 1100 1111Xét chuỗi ký hiệu nhận được là 00008 91. Tính lượng tin tương hỗ giữa hai sự kiện: Nhận được bít đầu tiên =0 và sự kiện: đãgửi ký hiệu x1đi2. Tính lượng tin nhận được khi nhận bít thứ 2 bằng 0 tương hỗ với sự kiện: đã gửi kýhiệu x1đi3. Tính lượng tin nhận được khi nhận bít thứ 3 bằng 0 tương hỗ với sự kiện: đã gửi kýhiệu x1đi Tính lượng tin nhận được khi nhận bít thứ 4 bằng 0 tương hỗ với sự kiện:đã gửi ký hiệu x1điLời giảiLượng tin ban đầu của sự kiện X = x1làI(x1) = − log21/8 = 3(bt)Sau khi nhận được ký hiệu 0, xác suất có điều kiện của x1lúc này là:P (x1|y1= 0) =P (x1)P (x1) + P (x2) + P (x3)= 1/3Lượng tin của x1lúc này làI(x1|y1= 0) = − log23 = 1.584962501Vậy lượng tin tương hỗ của sự kiện y1= 0 và X = x1là 3 + log23 = 1.415037499Sau khi nhận được ký hiệu 0 thứ hai, xác suất có điều kiện của X = x1làP (x1|y1= 0) =P (x1)P (x1) + P (x2)= 1/2Lượng tin có điều kiện lúc này là 1 bít, vậy lượng tin tương hỗ I(y2= 0; X = x1) =0.415037499 bítNhận được ký hiệu 0 thứ 3P (x1|y1= 0) =P (x1)P (x1)= 1, lượng tin có điều kiện I(y3= 0|X = x1) = 0. Vậy lượng tin tương hỗ I(y3= 0; X = x1) = 1Cuối cùng, nhận được ký hiệu 0 thứ 4, lượng tin có điều kiện =1, không thay đổi, vậylượng tin tương hỗ I(y4= 0; X = x1) = 0 Bài tập 19Bài tập 20. Cho n quả cân, trong đó có một quả cân nhẹ hơn. Mỗi lần cân cân được haitập con a,b bất kỳ các quả cân. Kết quả thu được có thể là a < b, a = b, a > b. Xác định sốlần cân cần thiết để có thể tìm ra quả cân nhẹ.Lời giải Đánh số các quả cân từ 1 đến n, và định nghĩa biến ngẫu nhiên X=i, i là số thứ tựcủa quả cân nhẹ. Độ bất định trung bình của X có giá trị lớn nhất là log2n khi xác suất đểcác quả cân là quả cân nhẹ bằng nhau. Vậy lượng tin cần thiết để tìm ra quả cân là log2n 10Đánh số các lần cân. Mỗi lần cân cho kết quả là một biến ngẫu nhiên Xjcó 3 giá trị. Rõràng là độ bất định trung bình của mỗi lần cân nhỏ hơn log23, và đạt giá trị lớn nhất khi 3kết quả đẳng xác suất, có nghĩa là chia thành 3 khối có xác suất như nhauLượng tin tương hỗ giữa Xjvà X: I(Xj; X) = H(Xj)−H(Xj|X) = H(Xj) Điều này cũngđúng cho nhiều lần cân I(X1, .Xm; X) = H(X1, X2 Xm) − H(Xj|X) = H(X1, . . . , Xm)Do đóH(X1, . . . , Xm) = log2nhaymlog23 ≥ log2n; m ≥ log3nDấu bằng đạt được khi và chỉ khi• Tất cả các lần cân không phụ thuộc lẫn nhau (không bao giờ hai quả cân được cân 2lần)• Mỗi lần cân chia đều các quả cân thành 3 khối như nhauBài tập 20Bài tập 21. Cho một nguồn tin 8 ký hiệu với các xác suất lần lượt là 1/2, 1/4, 1/8, 1/16,1/32, 1/64, 1/128, 1/128. Nguồn có thể truyền 100 ký hiệu /s. Xác định tốc độ lập tin củanguồn. Chỉ ra cách mã hóa để tốc độ lập tin của nguồn có thể đạt giá trị tối đa?Lời giải 1,01,001,0001,00001,000001,0000001,0000000 Bài tập 21Bài tập 22. Xét một kênh truyền tin với đầu vào A và đầu ra B. Xác suất đồng thời củacác đầu vào và đầu ra làA1A2A3A4B10.10 0.05 0.05 0.11B20.08 0.03 0.12 0.04B30.13 0.09 0.14 0.06Tính H(A), H(B), H(A,B), H(A|B), H(B|A) Nguồn A có tốc độ truyền 100 ký hiệu/S. Xácđịnh tốc độ lập tin của nguồn và độ dư. Kênh này là kênh có nhiễu?. Độ dư của nguồn?Lời giải H(B)=1.55946239H(A)=1.954999136H(A,B)=3.446710865H(A|B) = 1.887248475H(B|A) = 1.491711729Tốc độ lập tin của nguồn 100.1.954999136 = 195.4999136bit/sđộ dư của nguồn 2.25%(Xem file excel kèm theo) Bài tập 22Bài tập 23. Cho một kênh truyền tin, đầu vào có 4 ký hiệu, đầu ra có 4 ký hiệu, với cácxác suất chuyển đổi cho trong bảng dưới đây [...]... lượng kênh Bài tập 26. Tính thông lượng của kênh nhị phân báo 1 lỗi cho trong hình vẽ 26 Bài tập 27. Cho 2 kênh truyền tin trong hình 27 Tính thơng lượng 2 kênh nói trên và thông lượng kênh tạo thành bởi việc đấu đối tiếp hai kênh này. Chương 3 Thông tin và định lượng thông tin Bài tập 17. Một trò chơi sử dụng 52 quân bài. Lấy 4 quân bài bất kỳ. Định nghĩa 4 sự kiện • E1: Tất cả các quân bài đều lớn... thành 3 khối như nhau Bài tập 20 Bài tập 21. Cho một nguồn tin 8 ký hiệu với các xác suất lần lượt là 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64, 1/128, 1/128. Nguồn có thể truyền 100 ký hiệu /s. Xác định tốc độ lập tin của nguồn. Chỉ ra cách mã hóa để tốc độ lập tin của nguồn có thể đạt giá trị tối đa? Lời giải 1,01,001,0001,00001,000001,0000001,0000000 Bài tập 21 Bài tập 22. Xét một kênh truyền tin với đầu vào... F (i)) Bài tập 9 Bài tập 10. Yêu cầu giống bài tập trên, với tập hợp mẫu là các số thực phân bố đều trong khoảng 2 ≤ s ≤ 5 Lời giải Điểm khác biệt so với bài tập trước là biến ngẫu nhiên X có tính chất liên tục, do đó cần áp dụng cơng thức tổng qt Y = G(X) thì p Y (y) = k  1 p X (x i ) |g  (x i )| , trong đó s 1 , s 2 , . . . s k là nghiệm của phương trình G(s) = x và là hàm số của y. Trong bài này,... p(x n |x n−1 , x n−2 . . . x 1 )p(x n−1 , x n−2 . . . x 1 ) • Nhân tất cả các đẳng thức trên với nhau, được kết quả cần chứng minh Bài tập 5 Bài tập 6. Điều kiện cần và đủ để 3 sự kiện A 1 , A 2 , A 3 độc lập thống kê? Lời giải P(A 1 )P (A 2 )P (A 3 ) = P (A 1 , A 2 , A 3 ) Bài tập 6 Bài tập 7. Biến ngẫu nhiên rời rạc X có các giá trị có thể là {1, 3, 5, 9, 13}, với các xác suất tương ứng là {0.05, 0.15, 0.25,... I(E1|E3)=7.481799432 bit, I(E1;E3)=I(E1)- I(E1|E3)=-0.265053573 bít Bài tập 17 Bài tập 18. Một nguồn không nhớ X gồm 3 ký hiệu x 1 , x 2 , x 3 , với các phân bố xác suất 0.45, 0.35, 0.20 được biến đổi thành nguồn tin Y = aX + b. Tính Entropy của nguồn Y Lời giải Nếu a = 0, có E(Y ) = 0.45log 2 0.45 − 0.35log 2 0.35 − 0.20log 2 0.20 = 1.512887622 Bài tập 18 Bài tập 19. Truyền 8 ký hiệu đẳng xác suất bằng các ký hiệu nhị... lớn hơn 9 • E2: Tất cả các qn bài đều khơng có hình người (át được coi là có hình người) • E3: 4 qn bài có màu giống nhau • E4: 4 qn bài đều là át 1. Tính lượng tin riêng của từng sự kiện 2. Tính lượng tin tương hỗ I(E1;E3) 3. Cần khoảng bao nhiêu bít để biểu diễn thơng tin của một bộ 4 con bài như trên Lời giải Cả 52 quân bài đều khác nhau. Vậy có C 5 2 4 = 270725 bộ 4 con bài. E1 xuất hiện trong C 1 6 4 =... H(B|A) Nguồn A có tốc độ truyền 100 ký hiệu/S. Xác định tốc độ lập tin của nguồn và độ dư. Kênh này là kênh có nhiễu?. Độ dư của nguồn? Lời giải H(B)=1.55946239 H(A)=1.954999136 H(A,B)=3.446710865 H(A|B) = 1.887248475 H(B|A) = 1.491711729 Tốc độ lập tin của nguồn 100.1.954999136 = 195.4999136bit/s độ dư của nguồn 2.25% (Xem file excel kèm theo) Bài tập 22 Bài tập 23. Cho một kênh truyền tin, đầu vào có... suất lỗi ký hiệu Bài tập 24. Cho kênh truyền tin nhị phân, đầu vào biểu diễn bằng biến ngẫu nhiên X, có hai giá trị 1, 0 phân bố xác suất là 1/3 và 2/3. đầu ra là biến ngẫu nhiên Y với 2 giá trị 0,1. Các xác suất chuyển đổi được cho như sau:  P Y / X  =  1 / 5 4 / 5 4 / 5 1 / 5  Khi nhận được ký hiệu 1 ở đầu ra, có thể xác định ký hiệu đầu vào là 0,1 hay không? Bài tập 25. Cho kênh truyền tin trong... 6)/2 − 1) + 0.15δ((y + 6)/2 − 3) + 0.25δ((y + 6)/2 − 5)+ +0.40δ((y + 6)/2 − 9) + 0.15δ((y + 6)/2 − 13) p(y) = 0.05δ(y + 4) + 0.15δ(y) + 0.25δ(y − 4) + 0.40δ(y − 12) + 0.15δ(y − 20) Bài tập 8 Bài tập 9. Cho một phép thử với tập hợp mẫu {1, 2, 3, 4, 5, 6} đẳng xác suất. Xác định hàm mật độ phân bố xác suất của các biến ngẫu nhiên X sau (s là giá trị của phép thử) a. X = 6s d. 3 exp(− s 2 ) b. X = 12s 2 −... x i ) p(x) = 0.05δ(x − 1) + 0.15δ(x − 3) + 0.25δ(x − 5) + 0.40δ(x − 9) + 0.15δ(x − 13) P (X ≤ 7.0) = 0.45 Bài tập 7 Bài tập 8. Biến ngẫu nhiên Y là hàm của biến ngẫu nhiên X; Y = 2X − 6. 11 B1 B2 B3 B4 A1 0.97 0.01 0.01 0.01 A2 0.01 0.97 0.01 0.01 A3 0.01 0.01 0.97 0.01 A4 0.01 0.01 0.01 0.97 1. Xác định thông lượng của kênh 2. Cho phân bố xác suất của nguồn là 1/2, 1/4, 1/8, 1/8. Xác định entropy của đầu . chứng minhBài tập 5Bài tập 6. Điều kiện cần và đủ để 3 sự kiện A1, A2, A3độc lập thống kê?Lời giải P(A1)P (A2)P (A3) = P (A1, A2, A3) Bài tập 6Bài tập 7.. (i) )Bài tập 9Bài tập 10. Yêu cầu giống bài tập trên, với tập hợp mẫu là các số thực phân bố đều trongkhoảng 2 ≤ s ≤ 5Lời giải Điểm khác biệt so với bài tập