PHƯƠNG PHÁP GIẢN ĐỒ VECTO

TRUNG TÂM LUYỆN THI HỒNG ĐỨC - THẦY CHU VĂN BIÊN-Website: violet.vn/bienhongduc Sử dụng giản đồ vecto giải bài toán điện xoay chiều Chu Văn Biên – GV. ĐH Hồng Đức – Thanh Hoá Đa số học sinh thường dùng phương pháp đại số các bài toán điện còn phương pháp giản đồ véc tơ thì học sinh rất ngại dùng. Điều đó là rất đáng tiếc vì phương pháp giản đồ véc tơ dùng giải các bài toán rất hay và ngắn gọn đặc biệt là các bài toán liên quan đến độ lệch pha. Có nhiều bài toán khi giải bằng phương pháp đại số rất dài dòng và phức tạp còn khi giải bằng phương pháp giản đồ véc tơ thì tỏ ra rất hiệu quả. Trong các tài liệu hiện có, các tác giả hay đề cập đến hai phương pháp, phương pháp véc tơ buộc và phương pháp véc tơ trượt. Hai phương pháp đó là kết quả của việc vận dụng hai quy tắc cộng véc tơ trong hình học: quy tắc hình bình hành và quy tắc tam giác. Theo chúng tôi, một trong những vấn đề trọng tâm của việc giải bài toán bằng giản đồ véc tơ là cộng các véc tơ. 1) Các quy tắc cộng véc tơ Trong toán học để cộng hai véc tơ bvµ   a , SGK hình học 10, giới thiệu hai quy tắc: quy tắc tam giác và quy tắc hình bình hành. a) Quy tắc tam giác Nội dung của quy tắc tam giác là: Từ điểm A tuỳ ý ta vẽ véc tơ aAB  = , rồi từ điểm B ta vẽ véc tơ bBC  = . Khi đó véc tơ AC được gọi là tổng của hai véc tơ bvµ   a (Xem hình a) . b) Quy tắc hình bình hành Nội dung của quy tắc hình bình hành là: Từ điểm A tuỳ ý ta vẽ hai véc tơ bADaAB   == vµ , sau đó dựng điểm C sao cho ABCD là hình bình hành thì véc tơ AC được gọi là tổng của hai véc tơ bvµ   a (xem hình b) . Ta thấy khi dùng quy tắc hình bình hành các véc tơ đều có chung một gốc A nên gọi là các véc tơ buộc. Vận dụng quy tắc hình bình hành để cộng các véc tơ trong bài toán điện xoay chiều ta có phương pháp véc tơ buộc, còn nếu vận dụng quy tắc tam giác thì ta có phương pháp véc tơ trượt (“các véc tơ nối đuôi nhau”). 2) Cơ sở vật lí của phương pháp giản đồ véc tơ Xét mạch điện như hình a. Đặt vào 2 đầu đoạn AB một hiệu điện thế xoay chiều. Tại một thời điểm bất kì, cường độ dòng điện ở mọi chỗ trên mạch điện là như nhau. Nếu cường độ dòng điện đó có biểu thức là: ( ) AtsinIi ω= 0 thì biểu thức hiệu điện thế giữa hai điểm AM, MN và NB lần lượt là: ( ) ( ) ( )                −= =       += VtUu VtUu VtUu CNB RMN LAM 2 sin2 sin2 2 sin2 π ω ω π ω . + Do đó hiệu điện thế hai đầu A, B là: NBMNAMAB uuuu ++= . + Các đại lượng biến thiên điều hoà cùng tần số nên chúng có thể biểu diễn bằng các véc tơ Frexnel: 1 TRUNG TÂM LUYỆN THI HỒNG ĐỨC - THẦY CHU VĂN BIÊN-Website: violet.vn/bienhongduc CRLAB UUUU  ++= (trong đó độ lớn của các véc tơ biểu thị hiệu điện thế hiệu dụng của nó). + Để thực hiện cộng các véc tơ trên ta phải vận dụng một trong hai quy tắc cộng véc tơ. 3) Vẽ giản đồ véc tơ bằng cách vận dụng quy tắc tam giác - phương pháp véc tơ trượt Vẽ giản đồ véc tơ theo phương pháp véc tơ trượt gồm các bước như sau (Xem hình b): + Chọn trục ngang là trục dòng điện, điểm đầu mạch làm gốc (đó là điểm A). + Vẽ lần lượt các véc tơ: NB,MN,AM “nối đuôi nhau” theo nguyên tắc: R - đi ngang, L - đi lên, C - đi xuống. + Nối A với B thì véc tơ AB biểu diễn hiệu điện thế u AB . Tương tự, véc tơ AN biểu diễn hiệu điện thế u AN , véc tơ MB biểu diễn hiệu điện thế u NB . Một số điểm cần lưu ý: + Các hiệu điện thế trên các phần tử được biểu diễn bởi các vecto mà độ lớn của các vecto tỉ lệ với hiệu điện thế hiệu dụng của nó. + Độ lệch pha giữa các hiệu điện thế là góc hợp bởi giữa các vecto tương ứng biểu diễn chúng. Độ lệch pha giữa hiệu điện thế và cường độ dòng điện là góc hợp bởi vecto biểu diễn nó với trục I. Véc tơ “nằm trên” (hướng lên trên) sẽ nhanh pha hơn véc tơ “nằm dưới” (hướng xuống dưới). + Nếu cuộn dây không thuần cảm (trên đoạn AM có cả L và r (Xem hình a dưới đây)) thì CRrLAB UUUUU  +++= ta vẽ L trước như sau: L - đi lên, r - đi ngang, R - đi ngang và C - đi xuống (xem hình b) hoặc vẽ r trước như sau: r - đi ngang, L - đi lên, R - đi ngang và C - đi xuống (Xem hình c). + Nếu mạch điện có nhiều phần tử (Xem hình d) thì ta cũng vẽ được giản đồ một cách đơn giản như phương pháp đã nêu (Xem hình e). + Góc hợp bởi hai vec tơ bvµ   a là góc BAD (nhỏ hơn 180 0 ). Việc giải các bài toán là nhằm xác định độ lớn các cạnh và các góc của các tam giác hoặc tứ giác, nhờ các hệ thức lượng trong tam giác vuông, các hệ thức lượng giác, các định lí hàm số sin, hàm số cos và các công thức toán học. 2 TRUNG TÂM LUYỆN THI HỒNG ĐỨC - THẦY CHU VĂN BIÊN-Website: violet.vn/bienhongduc + Trong toán học một tam giác sẽ giải được nếu biết trước 3 (hai cạnh một góc, hai góc một cạnh, ba cạnh) trong số 6 yếu (ba góc trong và ba cạnh). Để làm điều đó ta sử dụng các định lí hàm số sin và định lí hàm số cosin (xem hình bên).          −+= −+= −+= == Ccos.abbac Bcos.caacb Acos.bccba Csin c Bsin b Asin a 2 2 2 222 222 222 . Tìm trên giản đồ véctơ tam giác biết trước ba yếu tố (hai cạnh một góc, hai góc một cạnh), sau đó giải tam giác đó để tìm các yếu tố chưa biết, cứ tiếp tục như vậy cho các tam giác còn lại. Độ dài cạnh của tam giác trên giản đồ biểu thị hiệu điện thế hiệu dụng, độ lớn góc biểu thị độ lệch pha. 4) Vẽ giản đồ véc tơ bằng cách vận dụng quy tắc hình bình hành - phương pháp véc tơ buộc Vẽ giản đồ véc tơ theo phương pháp véc tơ buộc gồm các bước như sau: + Chọn trục ngang là trục dòng điện, điểm O làm gốc. + Vẽ lần lượt các véc tơ: CLR UU,U  “cùng chung một gốc O” theo nguyên tắc: R U  - trùng với I  , L U  - sớm hơn I  là 2 π , C U  - trễ hơn I  là 2 π . + Cộng hai véc tơ cùng 3 TRUNG TÂM LUYỆN THI HỒNG ĐỨC - THẦY CHU VĂN BIÊN-Website: violet.vn/bienhongduc phương ngược chiều C U vµ  L U trước sau đó cộng tiếp với véc tơ R U  theo quy tắc hình bình hành (xem hình trên). + Chú ý đến một số hệ thức trong tam giác vuông:        = += += 'c'.bh cbh cba 2 222 222 111 Bài 1: Cho mạch điện xoay chiều như hình vẽ. Cuộn dây thuần cảm. Cho biết hiệu điện thế hiệu dụng giữa hai điểm A, B là ( ) VU AB 200= , giữa hai điểm A, M là ( ) VU AM 2200= và giữa M, B là ( ) VU MB 200= . Tính hiệu điện thế hiệu dụng giữa hai đầu điện trở và hai đầu tụ điện. Giải: Cách 1: Phương pháp véctơ buộc (xem hình a). + Vì ( ) VUU MBAB 200== nên tam giác MBAB UOU là tam giác cân tại O. Chú ý ( ) 2 22 2200200200 =+ nên tam giác đó là tam giác vuông cân tại O. + Do đó tam giác MBR UOU cũng là tam giác vuông cân tại R U : 2100 2 ===⇒ MB CR U UU . Cách 2: Phương pháp véctơ trượt (xem hình b). + Dễ thấy ( ) 2 22 2200200200 =+ nên ∆ABM vuông cân tại B, suy ra 0 45= α →=⇒ 0 45 β ∆MNB vuông cân tại N 2100 2 ===⇒ MB UU CR . ĐS: 2100== CR UU Bài 2: Cho mạch điện như hình vẽ bên. Điện trở ( ) Ω= 80R , các vôn kế có điện trở rất lớn. Đặt vào hai đầu đoạn mạch một hiệu điện thế ( ) 240 2 100 AB u cos t V π = thì dòng điện chạy trong mạch có giá trị hiệu dụng )(3 AI = . Hiệu điện thế tức thời hai đầu các vôn kế lệch pha nhau 2 π , còn số chỉ của vôn kế 2 V là )(380 2 VU V = . Xác định L, C, r và số chỉ của vôn kế 1 V . 4 TRUNG TÂM LUYỆN THI HỒNG ĐỨC - THẦY CHU VĂN BIÊN-Website: violet.vn/bienhongduc Giải Cách 1: Phương pháp đại số      −=ϕϕ == 1. ; 2 MBAN V MB AB AB tgtg I U Z I U Z ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )          Ω= Ω= Ω= ⇒          −= −− =−+ =−++ ⇔ 3 80 3 200 40 1. 80 3 380 3 240 80 2 2 22 C L CLC CL CL Z Z r r ZZZ ZZr ZZr ( ) ( ) ( )    ==Ω=⇒ − FCHLr π π 8 10.3 , 3 2 ,40 3 + Số chỉ của V 1 : ( ) VZRIZIU CANV 160. 22 1 =+== . Cách 2: Phương pháp véc tơ buộc (xem hình a). Sử dụng định lí hàm số cosin cho tam giác thường: ( ) ( ) 2 3 = 3802402 380−380+240 =ϕ 22 2 cos 00 30=α⇒30=ϕ⇒ 5 TRUNG TÂM LUYỆN THI HỒNG ĐỨC - THẦY CHU VĂN BIÊN-Website: violet.vn/bienhongduc + ( ) ( ) Ω==⇒=α= 3 80 80 I U ZVtgUU C CRC . ( ) ( ) Ω 3 200 ==⇒200=ϕ2380+= I U ZVUU L LCL sin + Số chỉ của Vôn kế V 1 : ( ) V cos U UU R ANV 160 1 = α == . Cách 3: Phương pháp véc tơ trượt. Vẽ giản đồ véc tơ (xem hình b). Gọi các góc như trên hình. Theo bài ra: ( ) VRIU R 380. == . Sử dụng định lí hàm số cosin cho tam giác thường ∆ABN: 2 3 380.240.2 240 2 cos 2222 == −+ = AMAB MBAMAB ϕ 000 609030 =−=⇒=⇒ ∧ MBA βϕ 00 3060 =−=⇒ ϕα + Xét ∆AMN: ( ) ( )      === === V cos AM ANU ,VAMtgMNU V C 160 30 8030 0 1 0 . + Xét ∆ABG: ( ) Vsin.ABUGBUU CCL 200=ϕ+=+= . ( ) ( ) ( ) ( )        =⇒=Ω== =⇒=Ω== ⇒ − FC CI U Z HLL I U Z C C L L ππ π π 8 10.3 100 1 3 80 3 2 100 3 200 3 ( ) Ω= − = − ==⇒ 40 cos. I AMAB I AMAG I U r r ϕ . ĐS: ( ) ( ) FCHL π8 103 = π3 2 = 3− . , , ( ) Ω= 40r , số chỉ vôn kế V 1 là ( ) V80 . Bài 3: Cho mạch điện như hình vẽ bên. Giá trị của các phần tử trong mạch ( ) ( ) rRFCHL 2, 50 , 1 === ππ . Hiệu điện thế giữa hai đầu đoạn mạch ( ) 0 s100u U co t V π = . Hiệu điện thế hiệu dụng giữa hai điểm A, N là ( ) VU AN 200= và hiệu điện thế tức thời giữa hai điểm MN lệch pha so với hiệu điện thế tức thời giữa hai điểm AB là 2 π . Xác định các giá trị rRU ,, 0 . Viết biểu thức dòng điện trong mạch. Giải: Cách 1: Phương pháp đại số. 6 TRUNG TÂM LUYỆN THI HỒNG ĐỨC - THẦY CHU VĂN BIÊN-Website: violet.vn/bienhongduc + Tính: ( ) ( )        Ω=== Ω=== − 200 10.50 .100 11 100 1 .100 6 π π ω π πω C Z LZ C L + Vì hiệu điện thế tức thời giữa hai điểm MN lệch pha so với hiệu điện thế tức thời giữa hai điểm AB là 2 π nên: 1−= ABMN tgtg ϕϕ ( ) ( ) Ω==Ω=⇒ −= + − ⇔−= + − ⇔ 3 200 2, 3 100 1 2 200100 . 100 1. rRr rrrrR ZZ r Z CL L . + Cường độ hiệu dụng: ( ) ( ) ( ) A ZrR U Z U I L AN AN AN 1 1003100 200 2 2 2 2 = + = ++ == . + Theo định luật Ôm: ( ) ( ) ( ) ( ) VU VZZrRIZIU CLABAB 2200 200. 0 22 =⇒ =−++== + Độ lệch pha u AB so với dòng điện: 6 3 1 3 100 3 200 200100 π ϕϕ −=⇒−= + − = + − = AB CL AB rR ZZ tg + Vậy, biểu thức dòng điện: ( ) Ati       += 6 100sin2 π π . Cách 2: Phương pháp véc tơ trượt. + Vẽ giản đồ véc tơ (xem hình b). + M là trực tâm của ABN ∆ . + Vì      =⇒ =⇒ = OBNO UU ZZ LC LC 2 2 . Do đó, AO là đường trung tuyến của ABN ∆ . Vì AOMOUUrR rR 3 1 22 =⇒=⇒= . Suy ra, M là trọng tâm của ABN ∆ . + Vậy, M vừa là trọng tâm vừa là trực tâm của ABN ∆ , do đó ABN ∆ đều, tức là: ( ) VNBANAB 200=== . + Tính được: ( ) VABUU AB 220022 0 === + Cường độ hiệu dụng: )(1 200 200 A Z NB Z U I CC C ==== + Từ giản đồ tính được: )( 3 100 2 ),( 3 200 )( 3 200 60sin200. 3 2 3 2 0 Ω==Ω==⇒ === R r I U R VAOU R R 7 TRUNG TÂM LUYỆN THI HỒNG ĐỨC - THẦY CHU VĂN BIÊN-Website: violet.vn/bienhongduc + Từ giản đồ nhận thấy, AB i sớm pha hơn AB u là 6 π . + Vậy, biểu thức dòng điện: ( ) Ati       += 6 100sin2 π π . Cách 2: Phương pháp véc tơ buộc (xem hình c). + Tương tự như cách 2, ta thấy tam giác OFE là tam giác đều vì G vừa là trọng tâm vừa là trực tâm, suy ra: ( ) 0 30,200 ==== ϕ VUUU ANCAB . + Tính được: ( ) VUU AB 22002 0 == + Cường độ hiệu dụng: )(1 200 200 A Z U I C C === + )( 3 200 30cos200. 3 2 cos 3 2 3 2 0 VUOHU ABR ==== ϕ )( 3 100 ),( 3 200 Ω=Ω==⇒ r I U R R . Từ giản đồ nhận thấy, AB i sớm pha hơn AB u là 6 π . Vậy, biểu thức dòng điện: ( ) Ati       += 6 100sin2 π π . ĐS: ( ) )( 3 100 ),( 3 200 ,2200 0 Ω=Ω== rRVU , ( ) Ati       += 6 100sin2 π π Nhận xét: + Cách 1: phức tạp vì phải giải hệ phương trình. Nếu độ lệch pha u MN so với u AB không phải là π/2 thì không có được phương trình 1−=ϕϕ ABMN tgtg … và thế là phải bó tay, ướt mắt! + Cách 3: Một học sinh có học lực trung bình để có lời giải phải ba bữa quên cơm. + Cách 2: Dễ dàng thấy được nếu học sinh đã học môn hình học lớp 7 mà phụ huynh ngủ yên ăn ngon. Bài 4: Cho mạch điện như hình vẽ bên. Điện trở thuần ( ) Ω= 3120R , cuộn dây có điện trở thuần ( ) Ω= 330r . Hiệu điện thế hai đầu đoạn mạch có biểu thức: ( ) VtUu AB π 100sin 0 = , hiệu điện thế hiệu dụng giữa hai điểm A, N là ( ) VU AN 300= , và giữa hai điểm M, B là ( ) VU MB 360= . Hiệu điện thế tức thời AN u lệch pha so với MB u là 2 π . Xác định U 0 , độ tự cảm của cuộn dây L và điện dung của tụ điện C. Viết biểu thức dòng điện trong mạch. Giải: Cách 1: Phương pháp đại số. 8 TRUNG TÂM LUYỆN THI HỒNG ĐỨC - THẦY CHU VĂN BIÊN-Website: violet.vn/bienhongduc ( ) ( ) ( )          −= − + =−+ =++ ⇔          −= = = 1. 1. 2 2 22 r ZZ rR Z I U ZZr I U ZrR tgtg I U Z I U Z CL L MB CL AN L MBAN MB MB AN AN ϕϕ ( ) ( ) ( )        −= − + = −+ ++ ⇒ 1. 2 2 22 r ZZ rR Z U U ZZr ZrR CL L MB AN CL L ( ) ( ) ( ) ( )          −= − = −+ + ⇒ 1 330 . 3150 360 300 330 3150 2 2 2 2 CL L CL L ZZ Z ZZ Z ( ) ( )    Ω= Ω= ⇒ 240 150 C L Z Z ( ) ( ) ( )          = = == ⇒ − FC HL A Z U I AN AN π π 24 10 5,1 1 3 ( ) ( ) 22 0 2. CLAB ZZrRIZIU −++==⇒ ( ) ( ) ( ) V42609031502 2 2 =+= + Độ lệch pha u AB so với dòng điện: 5 3 3303120 240150 −= + − = + − = rR ZZ tg CL AB ϕ πϕ 106,0−≈⇒ AB + Biểu thức dòng điện: ( ) ( ) AtIi ϕ−π= 100sin 0 ( ) ( ) Ati π+π= 106,0100sin2 Cách 2: Phương pháp véc tơ trượt (hình a). + Kẻ )(60 4 1 // VANMEANME ==⇒ + Vì rR 4= nên AOMOUU rR 5 1 4 =⇒= + Xét MBE∆ : 0 30 3 1 =⇒== αα MB ME tg . + Xét )(90cos: VMBOBMOB ==∆ α 9 TRUNG TÂM LUYỆN THI HỒNG ĐỨC - THẦY CHU VĂN BIÊN-Website: violet.vn/bienhongduc + Xét    == === ∆ )(3150cos )(150sin : VANOA VANONU AOB L α α )(1)(330 5 A r U IV OA U r r ==⇒==⇒ )( 5,1 100)(150)(150 HLL I U ZVU L LL π =⇒π=Ω==⇒= )( 24 10 )(240)(240 3 FCZVUOBU CLC π =⇒Ω=⇒=+= − + )(426022 22 0 VOBAOUU AB =+== + Độ lệch pha u AB so với dòng điện: π−≈ϕ⇒−= + − =ϕ 106,0 5 3 AB CL AB rR ZZ tg + Biểu thức dòng điện: ( ) ( ) Ati ππ 106,0100sin2 += Cách 3: Phương pháp véc tơ buộc (hình b). + Xét tam giác vuông phía trên (chú ý rR UU 4= ): 60300 5 300 cos rrrR UUUU == + = α + Xét tam giác vuông phía dưới: 360 sin r U = α + Suy ra: 0 30 3 1 =⇒= αα tg + Từ đó tính ra: ( ) ( ) A r U IVU r r 1330sin.360 ==⇒== α ( ) VU L 150sin.300 == α ( ) Ω==⇒ 150 I U Z L L ( ) ( ) Ω=⇒=+= 240240cos.360 CLC ZVUU α . + ( ) VZIUU ABAB 42602.2 0 === . + Độ lệch pha u AB so với dòng điện: π−≈ϕ⇒−= + − =ϕ 106,0 5 3 AB CL AB rR ZZ tg + Biểu thức dòng điện: ( ) ( ) Ati ππ 106,0100sin2 += ĐS: ( ) VU 4260 0 = ; )( 5,1 ),( 24 10 3 HLFC ππ == − ; ( ) ( ) Ati ππ 106,0100sin2 += Bài 5: Cho mạch điện như hình vẽ: ( ) 0 s100u U co t V π = , hiệu điện thế hiệu dụng giữa hai điểm MN là ( ) VU MN 120= , u AM lệch pha so với u MN là 0 140 , u AM lệch pha so với u MB là 0 110 , u AM lệch pha so với u AB là 0 90 . 1) Viết biểu thức hiệu điện thế tức thời giữa hai điểm NB. 2) Biết ( ) Ω= 340R , tính r, L, C. 10 [...]...TRUNG TÂM LUYỆN THI HỒNG ĐỨC - THẦY CHU VĂN BIÊN -Website: violet.vn/bienhongduc Giải Cách 1: Phương pháp đại số ???? phức tạp quá vì độ lệch pha 140 0 và 110 0 Cách 2: Phương pháp véc tơ trượt (Xem hình b) 1) Xét tam giác vuông MNB: 1 = 40 3 (V ) 3 + Dễ thấy hiệu điện thế uNB sớm pha hơn hiệu điện thế 2π uAB là 400 (hay rad) 9 + Do... = 80 3 ( V ) 0 cos 30 cos 30 0 + Xét tam giác vuông MNB: ˆ AM = MB cos AMN = 80 3 cos 70 0 ( V ) I= U L = AM cos 40 0 ≈ 36,3 (V )  + Từ đó tính ra:  U r = AM sin 40 0 ≈ 30,5 (V )  Cách 3: Phương pháp véc tơ buộc (xem hình c) 1 0 = 40 3 (V ) + U NB = U R = U MN tg 30 = 120 3 + Dễ thấy hiệu điện thế uNB sớm pha hơn hiệu điện 2π thế uAB là 400 (hay rad) 9 + Do đó biểu thức hiệu điện thế trên . số các bài toán điện còn phương pháp giản đồ véc tơ thì học sinh rất ngại dùng. Điều đó là rất đáng tiếc vì phương pháp giản đồ véc tơ dùng giải các bài. hiện có, các tác giả hay đề cập đến hai phương pháp, phương pháp véc tơ buộc và phương pháp véc tơ trượt. Hai phương pháp đó là kết quả của việc vận dụng