Đang tải... (xem toàn văn)
hướng tiếp cận phương trình lượng giác dễ áp dụng, dành cho học sinh cấp 3 trung học phổ thông bao gồm các biến thể của phương trình lượng giác , rất hay.....................................................................................................................................................
Hướng tiếp cận phương trình lượng giác Trong chương trình toán phổ thông, phương trình lượng giác phần làm cho nhiều học sinh lúng túng có nhiều công thức biến đổi Để lựa chọn công thức phù hợp cho bước biến đổi, học sinh cần phải nắm rõ công thức có số định hướng cụ thể Ở lớp 11, học sinh học trang bị phương pháp giải dạng phương trình thường gặp: phương trình lượng giác bản; phương trình bậc nhất, bậc hai hàm số lượng giác; phương trình bậc hai sin x cos x; phương trình bậc sin x cos x; phương trình đối xứng sin x cos x Cả dạng có điểm đặc trưng là: có loại góc, chứa tối đa hàm số lượng giác, bậc cao Các kỳ thi quan trọng đại học, cao đẳng phân loại tuyển chọn sinh viên có kiến thức khả ứng biến linh hoạt cho ngành nghề Chính thế, dạng phương trình thường gặp biến đổi khác xa so với nguyên gốc ban đầu để thử thách thí sinh Thông thường người ta dùng công thức liên hệ góc để làm cho phương trình có nhiều loại góc khác nhau, nhiều hàm số lượng giác, làm cho bậc phương trình tăng lên Bên cạnh đó, người ta nhân phương trình thường gặp (trong số phương trình ) lại với xếp thành phương trình lạ lẫm Chúng ta xem xét số ví dụ sau Ví dụ Từ dạng phương trình bậc hai hàm số lượng giác sin2 x − sin x + = (1) Sử dụng công thức hạ bậc ta biến đổi phương trình (1) thành − cos 2x − sin x + = ⇔ cos 2x + sin x − = (2) Như vậy, ban đầu phương trình (1) có hàm số lượng giác sin x loại góc x ta tạo phương trình có chứa nhiều hàm số lượng giác có loại góc: x; 2x Rõ ràng phương trình (2) gây nhiều khó khăn cho học sinh Ví dụ Xuất phát từ phương trình lượng giác π = cos 4x (3) cos 3x − Sử dụng công thức cos(a−b) = cos a cos b+sin a sin b, sin(a+b) = sin a cos b+cos a sin b, 1−2 sin2 a = cos 2a phép biến đổi tương đương để biến đổi phương trình (3) sau π = cos 4x cos 3x − √ ⇔ cos 3x + sin 3x = cos 4x √2 ⇔ cos 3x + sin(x + 2x) = cos 4x √ ⇔ cos 3x + sin x cos 2x + cos x sin 2x = cos 4x √ ⇔ cos 3x + sin x(1 − sin2 x) + cos x sin 2x = cos 4x √ ⇔ cos 3x + sin x − sin3 x + cos x sin 2x = cos 4x √ ⇔ sin x + cos x sin 2x + cos 3x = 2(cos 4x + sin3 x) (4) π 4x ta biến đổi thành phương trình có loại góc: x, 2x, 3x, 4x Phương trình (4) câu Đề thi tuyển sinh đại học khối B năm 2009 Bộ giáo dục đào tạo Vậy từ phương trình (3) có loại góc: 3x − Qua ví dụ 2, ta "phát hiện" phương pháp tạo đề toán từ loại góc người đề lựa chọn công thức để biến đổi thành nhiều loại góc Do đó, ta có định hướng giải phương trình lượng giác dùng công thức cho đưa phương trình dạng phương trình có loại góc tối đa loại góc Quan sát lại ví dụ 2, ta nhận thấy phương trình ban đầu có loại hàm số lượng giác, qua trình biến đổi phương trình cuối có loại hàm số lượng giác Và dĩ nhiên, phương trình có nhiều loại hàm số lượng giác phức tạp Như thế, ta có định hướng biến đổi cho phương trình sau có loại hàm số lượng giác phương trình trước, biến đổi hàm số lượng giác tốt Chắc chắn phương trình có bậc cao gây nhiều khó khăn cho học sinh Vì thế, hướng tạo toán lượng giác cách biến đổi phương trình cho phương trình cuối có bậc cao bình thường lựa chọn mà người đề hay dùng Ví dụ Với phương trình bậc sin 4x cos 4x sin 4x + cos 4x = −1, (5) ta dùng công thức nhân đôi để biến đổi thành sin 2x cos 2x + cos2 2x − sin2 2x = −1 ⇔ sin 2x(2 cos 2x − sin 2x) + cos2 x − = −1 ⇔ sin 2x(2 cos 2x − sin 2x) + cos4 x − cos2 x = −2 (6) Tới đây, ta có thêm định hướng phải tiến hành hạ bậc gặp phương trình có bậc cao Bên cạnh hướng tạo đề toán trên, ta tạo toán cách nhân phương trình lượng giác thường gặp lại với khai triển để giấu gốc phương trình tích Ví dụ Nhân phương trình sin x − cos x = (7) sin x + cos x + sin x cos x − = (8) với khai triển ta thu sin2 x + sin x cos x + sin2 x cos x − sin x − cos x sin x − cos2 x − sin x cos2 x + cos x = ⇔ sin2 x − cos2 x + sin2 x cos x + cos x − sin x = sin x cos2 x ⇔ sin2 x cos x + cos x − sin x = sin x cos2 x + cos 2x (9) Học sinh giải dễ dàng phương trình (7), (8) phương trình (9) chắn em phải nhiều thời gian Vậy hướng tiếp cận biến đổi ta phải hướng việc phân tích thành nhân tử Qua ví dụ trên, ta rút số định hướng giải phương trình lượng giác 3 Đưa loại góc tối đa loại góc Đưa hàm số lượng giác Hạ bậc Biến đổi phương trình tích Một số công thức đặc biệt thường dùng biến đổi đưa phương trình tích • sin2 x = (1 − cos x)(1 + cos x) • cos2 x = (1 − sin x)(1 + sin x) • cos 2x = (cos x − sin x)(cos x + sin x) • + sin 2x = (sin x + cos x)2 • − sin 2x = (sin x − cos x)2 = (cos x − sin x)2 Ví dụ Giải phương trình cos 2x + sin x − = Giải Phương trình có loại góc x 2x Do đó, ta dùng công thức nhân đôi để đưa loại góc x Tuy nhiên cos 2x có đến công thức biến đổi (cos 2x = cos2 x−sin2 x = cos2 x−1 = 1−2 sin2 x), ta phải lưu ý lựa chọn công thức cho phù hợp với hàm số lượng giác lại phương trình Với định hướng ta có lời giải sau cos 2x + sin x − = ⇔ − sin2 x + sin x − = ⇔ −2 sin2 x + sin x − = π sin x = ⇔ x = + k2π (k ∈ Z) ⇔ sin x = (vô nghiệm) Ví dụ Giải phương trình sin2 x + sin2 2x = cos2 3x + cos2 4x Giải Nhận thấy số hạng có phương trình có bậc nên trước tiên, ta dùng công thức hạ bậc Khi ta thu phương trình − cos 2x − cos 4x + cos 6x + cos 8x + = + 2 2 ⇔ cos 6x + cos 8x + cos 2x + cos 4x = Đến ta có phương trình chứa hàm số cosin, nhiên có đến loại góc khác là: 2x, 4x, 6x, 8x Việc biến đổi loại góc loại góc khó khăn làm bậc phương trình tăng lên Cho nên, ta nghĩ đến việc biến đổi phương trình tích Để ý loại góc có mối liên hệ 8x + 2x = 6x + 4x = 10x, đó, ta nhóm số hạng sau (cos 8x + cos 2x) + (cos 6x + cos 4x) = ⇔2 cos 5x cos 3x + cos 5x cos x = ⇔2 cos 5x(cos 3x + cos x) = ⇔4 cos 5x cos 2x cos x = cos 5x = 5x = π2 + kπ x= π ⇔ cos 2x = ⇔ 2x = + kπ ⇔ x = cos x = x = π2 + kπ x= π + k π5 10 π + k π2 π + kπ Ví dụ Giải phương trình sin3 x + cos 2x + cos x = Giải Phương trình có chứa số hạng bậc có loại góc: x, 2x Nếu ta hạ bậc sinh thêm loại góc 3x Khi phương trình phức tạp Như vậy, ta dùng công thức nhân đôi để đưa loại góc x sin3 x + − sin2 x + cos x = Một câu hỏi đặt không dùng công thức cos 2x = cos2 x − sin2 x = cos2 x − 1? Do phương trình có chứa sin3 x nên ta lựa chọn công thức có chứa hàm số sin để gộp với sin3 x thành nhóm hy vọng xuất nhân tử chung để thuận lợi cho định hướng chuyển phương trình tích sau Vậy không dùng cos 2x = cos2 x − sin2 x? Rõ ràng, với định hướng đưa hàm số lượng giác − sin2 x tốt cos2 x − sin2 x Hơn nữa, sin3 x kèm với hệ số nên chọn − sin2 x hợp lý Ta tiếp tục biến đổi phương trình thành (2 sin3 x − sin2 x) + (1 + cos x) = ⇔2 sin2 x(sin x − 1) + (1 + cos x) = ⇔2(1 + cos x)(1 − cos x)(sin x − 1) + (1 + cos x) = ⇔(1 + cos x) [2(1 − cos x)(sin x − 1) + 1] = ⇔(1 + cos x) [2(sin x + cos x) − sin x cos x − 1] = ⇔ + cos x = 2(sin x + cos x) − sin x cos x − = Đến đây, phương trình ta biết cách giải nên chắn tìm nghiệm phương trình cho Ví dụ Giải phương trình cos2 x + sin3 x + cos x = Giải Điểm thuận lợi phương trình có góc x Chính ta không nên hạ bậc số hạng cos2 x, sin3 x, không góc lệch Do ta hướng suy nghĩ: đưa hàm số lượng giác, đưa phương trình tích Nếu đưa hàm số lượng giác có biến đổi sin thành cos (do số hạng lại hàm số cosin) Nhưng sin3 x chuyển lại thành cosin mà không làm thay đổi góc x Vậy hướng phân tích phương trình tích hợp lý 5 Nhìn vào phương trình, không khó để nhận cos2 x "bắt cặp" với cos x Như ta có biến đổi sau cos2 x + sin3 x + cos x = ⇔ cos x(cos x + 1) + sin3 x = ⇔ cos x(cos x + 1) + sin x sin2 x = ⇔ cos x(cos x + 1) + sin x(1 − cos x)(1 + cos x) = ⇔(1 + cos x) [cos x + sin x(1 − cos x)] = ⇔ (1 + cos x) (cos x + sin x − sin x cos x) = ⇔ + cos x = cos x + sin x − sin x cos x = Việc giải phương trình thành phần đơn giản √ Ví dụ Giải phương trình sin x + cos x sin 2x + cos 3x = 2(cos 4x + sin3 x) (Đề toán khối B 2009) Giải Nhìn vào phương trình ta thấy có loại góc: x, 2x, 3x, 4x Việc biến đổi loại góc thực khó khăn (chỉ biến đổi góc chung x) Như định hướng đưa loại góc không khả thi phương trình Tiếp đến, phương trình có số hạng sin3 x bậc 3, số hạng gây ý đặc biệt cho ta (vì thông thường, phương trình bậc cao khó giải hơn) Do ta phải "xử lý" số hạng có chứa sin3 x Nhìn vế trái phương trình ta thấy có chứa sin x nên ta gộp sin3 x với sin x xem thử điều xảy √ sin x + cos x sin 2x + cos 3x = 2(cos 4x + sin3 x) √ ⇔(sin x − sin3 x) + cos x sin 2x + cos 3x = cos 4x √ ⇔ sin x(1 − sin2 x) + cos x sin 2x + cos 3x = cos 4x √ ⇔ sin x cos 2x + cos x sin 2x + cos 3x = cos 4x Đến đây, không khó để nhận sin x cos 2x + cos x sin 2x = sin(x + 2x) = sin 3x Như phương trình trở thành √ sin 3x + cos 3x = cos 4x Cuối cùng, bạn giải thành thạo phương trình bậc sin x cos x tự động "bật" cách giải phương trình Bài tập Giải phương trình sau 1) sin x + cos x = sin 2x + 1, 3) sin x + cos x − sin 2x + cos 2x = 8, 5) cos3 x − sin3 x = sin x − cos x, 7) cos x + sin x = sin x cos2 x, 2) cos 7x + sin 8x = cos 3x − sin 2x, π π π 4) cos2 x + + cos2 2x + + cos2 3x − 2 6) sin2 2x + sin 7x − = sin x, 8) cos 2x + sin 2x + sin x − cos x = 3 = , √ π Bài tập Giải phương trình + tan x = 2 sin x + (A 2013) Bài tập Giải phương trình sin 5x + cos2 x = (B 2013) Bài tập Giải phương trình sin 3x + cos 2x − sin x = (D 2013) √ sin 2x + cos 2x = cos x − √ √ Bài tập Giải phương trình 2(cos x + sin x) cos x = cos x − sin x + √ Bài tập Giải phương trình sin 3x + cos 3x − sin x + cos x = cos 2x Bài tập Giải phương trình Bài tập Giải phương trình + sin 2x + cos 2x √ = sin x sin 2x + cot2 x Bài tập Giải phương trình sin 2x cos x + sin x cos x = cos 2x + sin x + cos x Bài tập 10 Giải phương trình sin 2x + cos x − sin x − √ =0 tan x + Bài tập 11 Giải phương trình (1 + sin x + cos 2x) sin x + + tan x π (A 2012) (B 2012) (D 2012) (A 2011) (B 2011) (D 2011) = √ cos x (A 2010) Bài tập 12 Giải phương trình (sin 2x + cos 2x) cos x + cos 2x − sin x = (B 2010) Bài tập 13 Giải phương trình sin 2x − cos 2x + sin x − cos x − = (D 2010) √ (1 − sin x) cos x = (1 + sin x)(1 − sin x) √ Bài tập 15 Giải phương trình cos 5x − sin 3x cos 2x − sin x = Bài tập 14 Giải phương trình 7π + = sin −x 3π sin x sin x − √ √ Bài tập 17 Giải phương trình sin3 x − cos3 x = sin x cos2 x − sin2 x cos x Bài tập 16 Giải phương trình (A 2009) (D 2009) (A 2008) (B 2008) Bài tập 18 Giải phương trình sin x(1 + cos 2x) + sin 2x = + cos x (D 2008) Bài tập 19 Giải phương trình + sin2 x cos x + + cos2 x sin x = + sin 2x (A 2007) Bài tập 20 Giải phương trình sin2 2x + sin 7x − = sin x (B 2007) Bài tập 21 Giải phương trình sin x x + cos 2 + √ cos x = 2 cos6 x + sin6 x − sin x cos x √ Bài tập 22 Giải phương trình =0 − sin x x Bài tập 23 Giải phương trình cot x + sin x + tan x tan =4 (D 2007) (A 2006) (B 2006) Bài tập 24 Giải phương trình cos 3x + cos 2x − cos x − = (D 2006) Bài tập 25 Giải phương trình cos2 3x cos 2x − cos2 x = (A 2005) Bài tập 26 Giải phương trình + sin x + cos x + sin 2x + cos 2x = (B 2005) Bài tập 27 Giải phương trình cos4 x + sin4 x + cos x − π π sin 3x − − =0 4 (D 2005)