Ứng dụng phương pháp gần đúng giải phương trình đại số không tuyến tính

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2NGUYỄN KHẮC TRIỆU ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP GẦN ĐÚNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ KHÔNG TUYẾN TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội, 2017... TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN KHẮC TRIỆU

ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP

GẦN ĐÚNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ KHÔNG TUYẾN TÍNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội, 2017

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN KHẮC TRIỆU

ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP

GẦN ĐÚNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ KHÔNG TUYẾN TÍNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số : 60 46 01 02

Người hướng dẫn khoa học

TS Nguyễn Văn Hùng

HÀ NỘI, 2017

Mục lục

1.1 Nghiệm của phương trình một ẩn 3

1.1.1 Định nghĩa 3

1.1.2 Ý nghĩa hình học của nghiệm 3

1.1.3 Sự tồn tại nghiệm thực của phương trình (1.1) 4 1.2 Khoảng phân li nghiệm 5

1.2.1 Định nghĩa 5

1.2.2 Phương pháp tìm khoảng phân li nghiệm của phương trình f (x) = 0 6

1.3 Sai số 6

1.3.1 Khái niệm 7

1.3.2 Các loại sai số: 7

2 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GẦN ĐÚNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ PHI TUYẾN 8 2.1 Các bước giải gần đúng phương trình f (x) = 0 8

2.2 Phương pháp chia đôi 9

2.3 Phương pháp điểm sai (Method of False Position) 11

2.4 Phương pháp dây cung 13

2.6 Phương pháp lặp đơn 262.7 Đánh giá tốc độ hội tụ của các phương pháp 29

3.1 Tìm nghiệm gần đúng của phương trình đại số không

tuyến tính f (x) = 0 353.2 Giải một số phương trình bằng phần mềm Maple 503.2.1 Giới thiệu phần mềm Maple 503.2.2 Chức năng cốt lõi 503.2.3 Lập trình Maple cho một số phương pháp giải gần

đúng phương trình đại số không tuyến tính 51

Lời cảm ơn

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Văn Hùng Thầy

đã tận tình hướng dẫn và giải đáp những thắc mắc của tôi, giúp đỡ tôihoàn thành luận văn này

Qua đây, tôi xin chân thành cảm ơn tới các thầy cô giáo phòng Sauđại học, các thầy cô giáo khoa Toán cũng như các thầy cô giáo giảng dạylớp thạc sĩ K19 chuyên ngành Toán giải tích trường Đại học Sư phạm

Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập

Tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, đồngnghiệp đã luôn quan tâm, động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi chotôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn

Hà Nội, tháng 6 năm 2017

Tác giả

Nguyễn Khắc Triệu

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Văn Hùng,luận văn thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài "Ứng dụngphương pháp gần đúng giải phương trình đại số không tuyếntính" được hoàn thành bởi chính sự nhận thức của bản thân tác giả.Trong suốt quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kếthừa những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biếtơn

Hà Nội, tháng 06 năm 2017

Tác giả

Nguyễn Khắc Triệu

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Các bài toán thực tế (trong thiên văn, đo đạc ruộng đất, ) dẫn đếnviệc cần phải giải các phương trình đại số không tuyến tính (hay phươngtrình phi tuyến), tuy nhiên, các phương trình này thường phức tạp, do

đó nói chung khó có thể giải được Hơn nữa, vì các công thức nghiệmthường phức tạp, cồng kềnh, nên cho dù có công thức nghiệm, việc khảosát các tính chất nghiệm qua công thức cũng vẫn gặp phải rất nhiều khókhăn Vì vậy, ngay từ thời Archimedes, các phương pháp gần đúng giảiphương trình phi tuyến đã được xây dựng

Ngày nay các phương trình đại số phi tuyến thường được giải bằngcác phương pháp gần đúng như: Phương pháp chia đôi, phương pháplặp, phương pháp Newton

Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về việc giải phương trình đại sốphi tuyến, dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Văn Hùng, tôi đã chọn đềtài: “Ứng dụng phương pháp gần đúng giải phương trình đại sốkhông tuyến tính” để thực hiện luận văn của mình

2 Mục đích nghiên cứu

• Luận văn nghiên cứu một số phương pháp gần đúng giải phươngtrình đại số phi tuyến

• Ứng dụng một số phương pháp gần đúng giải phương trình sơ cấp

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu một số phương pháp gần đúng giải phương trình đại sốphi tuyến

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

• Đối tượng nghiên cứu:Phương trình đại số phi tuyến

• Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu các phương pháp gần đúng giảiphương trình đại số phi tuyến

5 Phương pháp nghiên cứu

• Vận dụng các kiến thức của Giải tích hàm, Giải tích số

• Thu thập các tài liệu liên quan đến phương trình đại số phi tuyến

• Phân tích, tổng hợp và hệ thống kiến thức liên quan tới phươngtrình đại số phi tuyến

6 Đóng góp của luận văn

Cố gắng xây dựng luận văn thành một tài liệu tổng quan tốt về đềtài giải gần đúng phương trình đại số không tuyến tính

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1.1 Định nghĩa

Xét phương trình một ẩn:

trong đó:

f là một hàm số cho trước của đối số x

Giá trị x0 được gọi là nghiệm của phương trình (1.1) nếu f (x0) = 0Nghiệm của phương trình (1.1) có thể là số thực hoặc số phức, nhưng

ở đây ta chỉ khảo sát các nghiệm thực

1.1.2 Ý nghĩa hình học của nghiệm

Các nghiệm của phương trình (1.1) là hoành độ giao điểm của đồ thịhàm số y = f (x) với trục hoành

1.1.3 Sự tồn tại nghiệm thực của phương trình (1.1)

Trước khi tìm cách tính gần đúng nghiệm thực của phương trình (1.1)

ta phải kiểm tra xem nghiệm thực đó có tồn tại hay không Khi đo ta

có thể sử dụng đồ thị hoặc sử dụng định lý sau

Định lí 1.1 (Bolzano - Cauchy)

Nếu hàm số f (x) liên tục trên đoạn [a,b] và thoả mãn điều kiện

f (a)f (b) < 0 thì phương trình f (x) = 0 có ít nhất một nghiệm trongkhoảng (a,b)

Chứng minh Không mất tính tổng quát giả sử f (a) < 0, f (b) > 0, tachia đôi đoạn [a,b] bởi điểm chia a + b

2TH1:f (a + b

Và khi đó định lí được chứng minh

Hoặc được một dãy vô hạn các đoạn chứa nhau Khi đó đối với đoạnthứ n, [an, bn], (n = 1, 2, 3 ) ta sẽ có f (an) < 0, f (bn) > 0 và độ dài củađoạn bằng bn− an = b − a

2n Dãy các đoạn ta lập được thoả mãn các điều kiện của bổ đề về dãycác đoạn lồng nhau, bởi vì theo trên lim

n→∞ (bn− an) = lim

n→∞ (b − a

2n ) = 0

Vì vậy cả hai dãy { an} , { bn} dần tới giới hạn chung lim

n→∞ (an) =lim

1.2.1 Định nghĩa

Định nghĩa 1.1 Đoạn [a, b] (hoặc khoảng (a, b)) được gọi là khoảngphân li nghiệm của phương trình f (x) = 0 nếu nó chứa một và chỉ mộtnghiệm của phương trình đó

Định lí 1.2 Nếu hàm số y = f (x) liên tục, đơn điệu trên [a, b] và

f (a)f (b) ≤ 0 thì [a, b] là một khoảng phân li nghiệm của phương trình

f (x) = 0

Chứng minh Theo định lí (Bolzano - Cauchy) ta có phương trình f (x) =

0 có ít nhất một nghiệm trên [a, b]

Giả sử c1, c2 là hai nghiệm phân biệt của phương trình f (x) = 0

Ta có f (c1) = f (c2) = 0 Vì hàm số y = f (x) liên tục, đơn điệu trên[a, b] nên c1 = c2 (trái với giả thiết)

Do đó phương trình f (x) = 0 có nghiệm duy nhất trên [a, b]

Vì vậy theo định nghĩa 1 thì [a, b] là một khoảng phân li nghiệm củaphương trình f (x) = 0

Nếu f (x) có đạo hàm thì điều kiện đơn điệu có thể thay bằng điềukiện không đổi dấu của đạo hàm Ta có định lí sau

Định lí 1.3 Nếu hàm số y = f (x) liên tục, đạo hàm f0(x) không đổidấu trên [a, b] và f (a)f (b) < 0 thì [a, b] là một khoảng phân li nghiệmcủa phương trình f (x) = 0

Chứng minh Ta có hàm số y = f (x) liên tục, đạo hàm f0(x) không đổidấu trên [a, b] nên hàm số y = f (x) liên tục, đơn điệu trên [a, b]

Theo định lí 1.2 hàm số y = f (x) liên tục, đơn điệụ trên [a, b] và

f (a)f (b) < 0 thì [a, b] là một khoảng phân li nghiệm của phương trình

Vẽ đồ thị của hàm số y = f (x) trên giấy kẻ ô vuông suy ra ước lượngkhoảng phân li nghiệm (hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = f (x)với trục hoành).

Trường hợp khó vẽ đồ thị của hàm số y = f (x), có thể biến đổi

1.3.1 Khái niệm

Giả sử x là số gần đúng của x∗ (x∗ là số đúng), khi đó ∆ = |x − x∗|gọi là sai số thực sự của x Vì không xác định được ∆ nên ta xét đếnhai loại sai số sau:

- Sai số tuyệt đối: Giả sử ∃∆x > 0 đủ bé sao cho |x − x∗| ≤ ∆x khi

đó ∆x gọi là sai số tuyệt đối của x

- Sai số tương đối: δx = ∆x

|x|

1.3.2 Các loại sai số:

Dựa vào nguyên nhân sai số, ta có các loại sau:

- Sai số giả thiết: Xuất hiện do việc giả thiết bài toán đạt được một

số điều kiện lí tưởng nhằm làm giảm độ phức tạp của bài toán

- Sai số do số liệu ban đầu: Xuất hiện do việc đo đạc và cung cấp giátrị đầu vào không chính xác.

- Sai số phương pháp: Xuất hiện do việc giải bài toán bằng phươngpháp gần đúng

- Sai số tính toán: Xuất hiện do quá trình làm tròn số trong quá trìnhtính toán, quá trình tính toán càng nhiều thì sai số tích luỹ càng lớn.Định lí 1.4 Với hàm số f (x) liên tục và khả vi trên [a, b], ngoài ra

Chương 2 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GẦN ĐÚNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH

ĐẠI SỐ PHI TUYẾN

2.1 Các bước giải gần đúng phương trình f (x) = 0

Để tìm nghiệm gần đúng của phương trình đại số phi tuyến, ta tiếnhành qua hai bước:

Bước 1: Tìm khoảng chứa nghiệm

Một phương trình nói chung có nhiều nghiệm Ta cần tìm khoảngchứa nghiệm, tức là khoảng (a, b) trong đó phương trình có nghiệm (códuy nhất nghiệm) Đối với bước này ta có thể dùng phương pháp đồ thịkết hợp các định lí mà toán học hỗ trợ

Bước 2: Giải gần đúng phương trình

Thu hẹp dần khoảng chứa nghiệm để hội tụ được đến giá trị nghiệmgần đúng với độ chính xác cho phép Nhằm làm cơ sở lí thuyết cho cáctính toán trong chương 3, trong chương 2 tác giả xin vắn tắt trình bàynội dung của năm phương pháp thực hiện trong bước này:

- Phương pháp chia đôi

- Phương pháp điểm sai (Method of False Position)

- Phương pháp dây cung

- Phương pháp Newton

- Phương pháp lặp đơn

a) Bài toán: Giả sử [a, b] là khoảng phân li nghiệm của phương trình

f (x) = 0 (1) Tìm nghiệm thực gần đúng của (1) trên [a, b] với sai sốkhông vượt quá ε cho trước

b) Nội dung của phương pháp

x0a

b

y = f (x)

x1

α

- Chọn x0 là điểm giữa [a, b] làm nghiệm gần đúng

+ Nếu f (x0) 6= 0 và sai số ∆x0 > ε thì xét dấu f (a)f (x0):

Nếu f (a)f (x0) < 0 thì khoảng phân li nghiệm mới là [a, x0]

Nếu f (a)f (x0) > 0 thì khoảng phân li nghiệm mới là [x0, b]

- Lặp lại phương pháp chia đôi với khoảng phân li nghiệm mới

- Quá tình lặp lần lượt cho ta các nghiệm gần đúng x0, x1, và kếtthúc khi tìm được xn với sai số ∆xn 6 ε

e) Sơ đồ tóm tắt phương pháp chia đôi

- Cho phương trình f (x) = 0

- Ấn định sai số ε cho phép.

- Xác định khoảng phân li nghiệm [a, b]

- Giải thuật của phương pháp chia đôi

f) Ưu nhược điểm của phương pháp

- Ưu điểm: Đơn giản, dễ lập trình

- Nhược điểm: Hội tụ về nghiệm chậm

2.3 Phương pháp điểm sai (Method of False

y

x

Tận dụng quan sát toán học trong hình trên, bằng kỹ thuật vẽ cát tuyến

từ giá trị của hàm tại a tới giá trị của hàm tại b Và ước lượng nghiệm khitại đó nó cắt nhau với trục hoành Dựa trên hai tam giác đồng dạng, đượctrình bày trong hình trên, ta được:

Từ đó ta có nghiệm x0 theo công thức:

b) Nội dung phương pháp

Bước 1: Lấy a1 = a, b1 = b Cho n = 1, 2, 3, ta đặt:

xn = an − an − bn

f (an) − f (bn)f (an)

Bước 2: Kiểm tra

Nếu f (an)f (xn) < 0 khi đó nghiệm nằm giữa khoảng (an, xn)

⇒ chọn an+1 = an, bn+1 = xn

Nếu f (an)f (xn) > 0 khi đó nghiệm nằm giữa khoảng (xn, bn)

⇒ chọn an+1 = xn, bn+1 = bn

Nếu f (an)f (xn) = 0 khi đó nghiệm là xn

Bước 3: Kiểm tra sai số

Đặt

|εn| =

xn+1− xn

xn+1

Nếu |εn| > ε quay lại bước 2

Nếu |εn| = ε dừng thuật toán

c) Sự hội tụ của nghiệm

Không làm giảm tính tổng quát ta giả sử:

a) Bài toán Giả sử [a, b] là khoảng phân li nghiệm của phương trình

f (x) = 0(1) Tìm nghiệm thực gần đúng của phương trình (1) trên [a, b]

với sai số không vượt quá ε cho trước

b) Nội dung phương pháp

- Nếu không, lặp lại phương pháp dây cung với khoảng phân li mới

(x1, b) hoặc (a, x1) tuỳ theo tính chất của f (x)

+ Nếu f (x1)f (a) < 0 thì (a, x1) là khoảng phân li mới

+ Nếu f (x1)f (a) > 0 thì (x1, b) là khoảng phân li mới

Với khoảng phân li nghiệm mới ta tính được nghiệm gần đúng x2 bằngphương pháp dây cung

- Quá trình lặp kết thúc khi tìm được nghiệm gần đúng xn có sai số

∆xn ≤ ε

Để xây dựng công thức tính nghiệm, ta xét thêm tính tăng giảm và lồilõm của đường cong f (x) Giả sử f và f0 không đổi dấu trên [a, b]

O

a

bα

x

y = f (x)

Trường hợp 1 f0(x) > 0, f00(x) > 0; f (a) < 0, f (b) > 0

bO

y

xα

y = f (x)a

y = f (x)A

Trong đó:

d = b, x0 = a nếu f (b) cùng dấu với f00(x) hay f0(x)f00(x) > 0

d = a, x0 = b nếu f (a) cùng dấu với f00(x) hay f0(x)f00(x) < 0

d) Đánh giá sai số của phương pháp dây cung

Gọi α là nghiệm đúng của phương trình f (x) = 0, f (x) liên tục trên

[xn, α] (hoặc [α, xn] nếu f0(x)f00(x) < 0) và f (x) có đạo hàm trên (xn, α)

(hoặc (α, xn) nếu f0(x)f00(x) < 0)

Nếu số M, m thoả mãn 0 < m ≤ f0(x) ≤ M < ∞, ∀x ∈ [a, b] thì

có thể chọn sai số tuyệt đối giới hạn cho xn là: ∆xn = |f (xn)|

m hoặc

∆xn = M − m

m |xn− xn−1|

Chứng minh : Áp dụng định lí Lagrange

"Cho hàm số f (x) liên tục trên [a, b], có đạo hàm trong khoảng (a, b)

thì tồn tại một số c ∈ (a, b) sao cho f (b) − f (a) = f0(c)(b − a)" ta có:

Vì α là nghiệm của phương trình f (x) = 0 nên ta có thể viết:

Do đó: ∆xn = |xn− α| = M − m

m |xn− xn−1|.Như vậy ta có hai công thức đánh giá sai số:

f) Ưu nhược điểm của phương pháp dây cung:

- Ưu điểm: Có thuật toán đơn giản, biết xn chỉ cần tính một giá trị của

f (xn) để tính xn+1 Nhanh hơn thuật toán chia đôi

- Nhược điểm: Tốc độ hội tụ về nghiệm chậm, chỉ hội tụ tuyến tính

g) So sánh với phương pháp điểm sai:

Phương pháp dây cung là trường hợp cụ thể của phương pháp điểm saitrong đó nó không còn đòi hỏi dấu của hàm f tại mỗi điểm mới được tạo

ra, một khoảng ban đầu cũng chẳng có Nói cách khác, nó bắt đầu với mộtcông thức tính nghiệm theo giá trị xấp xỉ ban đầu được chọn x0 Tiếp tụctheo công thức tính nghiệm ta có được kết quả cần tìm

Điều này ngăn cản hình thành của giá trị sai cố định, như trong phươngpháp điểm sai, và do đó nó hội tụ nhanh hơn Tuy nhiên, chúng ta khôngcòn có thể chắc chắn rằng trong mỗi một khoảng (xn−1; xn) mới được tạo

ra chứa ít nhất một nghiệm Điều đó chỉ ra rằng, nếu phương pháp hội tụ,

nó sẽ hội tụ với bậc hội tụ lớn hơn 1 ( nhưng nhỏ hơn 2 ) Tuy nhiên, nóhội tụ " địa phương", nghĩa là, chỉ khi xấp xỉ ban đầu x0 được lấy gầnvới nghiệm

Từ đó ta có nhận xét sau:

Phương pháp dây cung phức tạp hơn trong công thức tính nghiệm ởbước đầu nhưng lại thuận tiện hơn ở những bước sau so với phương phápđiểm sai.

Phương pháp dây cung cố tốc độ hội tụ cao so với phương pháp điểmsai (Xem mục 2.7)

a) Bài toán:

Giả sử f0(x) và f00(x) không đổi dấu trên (a, b) và f (a)f (b) < 0 Tìmnghiệm thực gần đúng của phương trình f (x) = 0 trên [a, b] với sai sốkhông vượt quá ε cho trước

b) Nội dung phương pháp:

O

x1b x

y = f (x)(T)y

Ý tưởng chủ đạo của phương pháp Newton là thay phương trìnhf (x) =

0 không tuyến tính đối với x bằng phương trình gần đúng, tuyến tính đốivới x Cụ thể:

Thay đường cong f (x) trên [a, b] bởi tiếp tuyến (T ) với đường cong tạiđiểm A hoặc điểm B Hoành độ giao điểm x1 của (T ) với trục hoành xemnhư nghiệm gần đúng của phương trình f (x) = 0

Để xây dựng công thức tính nghiệm của phương pháp Newton ta xét:

x1 xem như là nghiệm gần đúng của phương trình f (x) = 0, nếu cầnchính xác hơn ta thay x0 bởi x1, lặp lại tính toán trên để tính x2 (chínhxác hơn x1) Lặp lại cho đến khi đạt độ chính xác yêu cầu.

c1) Công thức tính nghiệm:

Giả sử ở bước thứ n, xác định nghiệm gần đúng xn thì:

Phương trình tiếp tuyến (Tn) tại điểm Bn(xn, f (xn)) là:

y

xb

c2) Công thức tính nghiệm:

Giả sử ở bước thứ n, xác định nghiệm gần đúng xn thì:

Phương trình tiếp tuyến (Tn) tại điểm An(xn, f (xn)) là:

Với x0 = a nếu f00(a) cùng dấu với f (a)

x0 = b nếu f00(b) ngược dấu với f (b)

d) Sự hội tụ đến nghiệm của phương pháp Newton:

Giả sử α là nghiệm gần đúng của phương trình f (x) = 0 trên (a, b).Dãy các nghiệm gần đúng được tìm là:

- Dãy giảm và bị chặn dưới bởi α (trường hợp 1)

e) Đánh giá sai số của phương pháp Newton

Giả sử α là nghiệm đúng của phương trình f (x) = 0, m1, m2 là các

số thoả mãn điều kiện: 0 < m1 ≤ |f0(x)| ∀x ∈ (a, b) và |f00(x)| ≤ m2 <

+∞, ∀x ∈ (a, b) ta có:

|xn − α| ≤

... tưởng chủ đạo phương pháp Newton thay phương trìnhf (x) =

0 khơng tuyến tính x phương trình gần đúng, tuyến tính đốivới x Cụ thể:

Thay đường cong f (x) [a, b] tiếp tuyến (T ) với... nhược điểm phương pháp Newton

- Ưu điểm: Phương pháp Newton hội tụ nhanh phương pháp chiađôi phương pháp dây cung

- Nhược điểm:

+ Phương pháp Newton địi hỏi đạo hàm tính trực... đến nghiệm phương pháp Newton:

Giả sử α nghiệm gần phương trình f (x) = (a, b).Dãy nghiệm gần tìm là:

- Dãy giảm bị chặn α (trường hợp 1)

e) Đánh giá sai số phương pháp Newton