Đề chọ đội tuyển HSG Đức Thọ Năm học 2016-2017

Đề chọ đội tuyển HSG Đức Thọ Năm học 2016-2017 tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về t...

Trường Chuyên Lê Quý Đôn ĐỀ CHỌN ĐỘI TUYỂN TOÁN LỚP 12 NĂM HỌC 2008-2009 Thời gian làm bài: 120 phút - Câu 1. Giải hệ phương trình 2 2 2 8 2 18 x y z yz 2zx 3xy x y z         Câu 2. Cho dãy số (x n ) xác định bởi điều kiện   1 n 1 2 n 1 x 1;x 2008 2 x 1      với n=1; 2; …. Chứng minh rằng dãy số này có giới hạn hữu hạn khi n   Câu 3. Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp đường tròn (O). Gọi I là điểm giữa của cung BC không chứa điểm A và K là trung điểm của BC. Hai tiếp tuyến của (O) tại B, C cắt nhau ở M; AM cắt BC tại N. a) Chứng minh rằng AI là phân giác của góc  MAK b) Chứng minh rằng 2 NB AB NC AC        Câu 4. Tìm tất cả các hàm số f : R R liên tục trên R và thỏa mãn điều kiện       2 f x 2f 2x f 4x x x , x R      Câu 5. Cho a, b, c là các số không âm phân biệt. Chứng minh rằng         2 2 2 2 2 2 1 1 1 11 5 5 a b c 2 a b b c c a                  Câu 6. Trên bàn cờ vua kích thước 8x8 được chia thành 64 ô vuông đơn vị, người ta bỏ đi một ô vuông đơn vị nào đó ở vị trí hàng thứ m và cột thứ n   1 m 8;1 n 8    . Gọi S(m;n) là số hình chữ nhật được tạo bởi một hay nhiều ô vuông đơn vị của bàn cờ sao cho không có ô nào trùng với vị trí của ô bị xóa bỏ ban đầu. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của S(m;n). HẾT Trường Chuyên Lê Quý Đôn LỜI GIẢI ĐỀ CHỌN ĐỘI TUYỀN HSG NĂM HỌC 2008-2009 MÔN TOÁN LỚP 12 Câu 1. Hệ phương trình bài ra tương đương với:       2 2 2 2 2 2 2 2 2 x x y z xyz 8 y x y z 2xyz 2 z x y z 3xyz 18                    Cách 1. Đặt a = x 2 + y 2 + z 2 và b = xyz. Bình phương 2 vế của từng phương trình trong hệ rồi cộng lại ta thu được       2 2 2 3 3 2 a b 8 2b 2 3b 18 a 10b 114b 392          (1) Nhân 3 phương trình bài ra theo vế được:       3 a b b 8 2b 2 3b 18    (2) Từ (1) và (2) ta có:         2 b 10b 114b 392 b 8 2b 2 3b 18      3 2 4b 19b 94b 144 0 b 2        Thay vào (1) được a 3 = 216 tức là b=6. Thay vào hệ phương trình ban đầu giải được x = 1, y = -1, z = 2 Cách 2. Nhân 2 vế của các phương trình ban đầu lần lượt với 7; 1; -3 rồi cộng theo vế thu được (7x + y – 3z) (x 2 + y 2 + z 2 ) =0. Mà x, y, z không đồng thời bằng 0 nên 7x + y – 3z =0. Thay y = 3z + 7x vào 2 phương trình trong hệ ta thu được một hệ phương trình đẳng cấp bậc 3 ( giải ra nghiệm duy nhất x = 1, y = -1, z = 2) Câu 2. Xét hàm số           2 2 2 1 x 1 f x 2008 f ' x f ' x x R 2 2 x 1 x 1            Xét hàm số         2 2 x g x f x x g' x 1 0 x R x 1           Nên phương trình g(x) = 0 có không quá 1 nghiệm mà     g 2008 0 và g 0 0   nên phương trình g(x) = 0 có nghiệm duy nhất x = c. Áp dụng định lý Lagrange tồn tại số y n sao cho       n 1 n n n n 1 x c f x f c x c f ' y x c 2         Do đó 1 n n 1 x c x c 2     . Theo nguyên lý kẹp thì lim x n =c. Vậy dãy (x n ) có giới hạn hữu hạn. (Lưu ý: Có thể chứng minh từ n=2 trở lên thì x n <0 và do đó xét hàm f(x) như trên với x>0, hàm số đồng biến. Dễ chứng minh được dãy số giảm khi n>2 và x n >c với mọi n>2. Do đó dãy có giới hạn hữu hạn theo nguyên lý Weierstrass) Câu 3. a) Gọi E là giao điểm khác A của MA với đường tròn (O). Ta có 2 M\(O) ME.MA MB  Tam giác MBO vuông tại B có đường cao BK nên 2 MB MK.MO MK.MO ME.MA   Do đó tứ giác AOKE nội tiếp được    EAK EOK 2EAI   Nên AI là phân giác góc  MAK . b) Do AI là phân giác chung của các góc   BAC , NAK , nên ta có     BAN KAC , BAK NAC  . Áp dụng công thức tính diện tích   ANB ANC S NB ABsin BAN NC S ACsinCAN   (1)       AKB AKC S KB ABsin KAB ABsin NAC UBND HUYN C TH PHềNG GIO DC & O TO CHNH THC THI CHN HC SINH GII HUYN NM HC 2016 2017 MễN THI: VT Lí LP - THCS Thi gian lm bi : 150 phỳt (Khụng k thi gian giao ) *** Cõu Hai xe mỏy ng thi xut phỏt, chuyn ng u i li gp nhau, mt i t thnh ph A n thnh ph B v mt i t thnh ph B n thnh ph A Sau gp ti C cỏch A 30km, hai xe tip tc hnh trỡnh ca mỡnh vi tc c Khi ó ti ni quy nh, c hai xe u quay tr v v gp ln th hai ti D cỏch B 36 km Coi quóng ng AB l thng Tỡm khong cỏch AB v t s tc ca hai xe Cõu Ngi ta m1 gam nc núng vo m2 gam nc lnh thỡ thy cõn bng nhit, nhit ca nc lnh tng 50C Bit chờnh lch nhit ban u ca nc núng v nc lnh l 800C m1 a) Tỡm t s m b) Nu thờm m1 gam nc núng na vo hn hp m ta va thu c thỡ cõn bng R R nhit thỡ nhit ca hn hp ú tng thờm bao nhiờu ? (Cho rng ch cú nc trao i nhit vi nhau) Cõu 3: Cho mch in cú s nh hỡnh A V K Bit R1= 2R2, ampe k ch 0,5A, vụn k ch 3V, am pe k v cỏc dõy ni cú in tr khụng ỏng k, A B vụn k cú in tr vụ cựng ln Hỡnh Hóy tớnh: a) in tr R1 v R2 R1 R3 M b) Hiu in th gia hai im A,B v hai u in tr R1 + Cõu Cho mch in nh hỡnh v A Cho: R1 = , R2 = , R3 = , UAB = V B A b qua in tr ampe k v dõy ni R2 a) Cho R4 = Xỏc nh chiu v cng dũng in qua ampe k? N Hỡnh R4 b) Bit dũng in qua ampe k cú chiu t N ti M, cng IA = 0,9 A Tớnh R4? Cõu Mt bỡnh hỡnh tr cú tit din ỏy S = 100 cm2 ng nc Th vo bỡnh mt g hỡnh tr cú chiu cao h = 20 cm, tit din ỏy S = 50 cm2 thy chiu cao ca nc bỡnh l H = 20 cm Bit lng riờng ca nc v ca g ln lt l: D1 = 1000 kg/m3, D2 = 750 kg/m3 a) Tớnh chiu cao phn g chỡm nc b) Cn nhn g i xung quóng ng nh nht l bao nhiờu nú chỡm hon ton nc? === Ht === II P N V THANG IM CU NI DUNG IM Gi v1 l tc ca xe xut phỏt t A, v2 l tc ca xe xut phỏt t B, t1 l khong thi gian t lỳc xut phỏt n lỳc gp ln 1, t2 l khong thi gian t lỳc gp ln 1n lỳc gp ln 2, x = AB Gp ln 1: v1t1 = 30 , v2t1 = x 30 v Cõu 0,25 0,25 30 suy v = x 30 (1) 0,25 Gp ln 2: v1t2 = ( x 30) + 36 = x + 0,25 v2t2 = 30 + ( x 36) = x v 0,25 x+6 0,25 suy v = x (2) 0,25 T (1) v (2) suy x = 54km v v Thay x = 54 km vo (1) ta c v = 1, 25 hay v = 0,8 0,25 a)(1,5) Nớc nóng có nhiệt độ t1 0,25 Nớc lạnh có nhiệt độ t2 Sau có cân nhiệt, nhiệt độ hỗn hợp t Ta có PTCBN m 1C(t1-t) = m2C( t-t2) => 0,5 m1 t t m2 = t1 t Theo : t - t2 = t1 t2 = 80 => t1 = 75 + t Cõu 2,5 Thay vào 0,25 0,5 m1 t t = = m t t 75 b)(1)Khi đổ thêm vào m1 nớc nóng vào hỗn hợp 0,25 cân nhiêt , nhiệt độ hỗn hợp t Ta có pt cân nhiệt: 0,25 m1(t1- t) = (m1 + m2)(t- t) mà t1 = 75 + t Thay vào m1(75 +t - t) = (m1 + m2)(t- t) 0,25 75m m1 5m = m1 = Rút gọn ta có t ' t = mà 2m + m m 75 75 0,25 Thay số vào tính đợc: t- t 4,412 Vậy cân nhiệt hỗn hợp tăng 4,4120C a) Vỡ R1nt R2 nờn I A = I = I1 = I = 0,5A Cõu 1,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Uv = I in tr R1 = R2 = 2.6 = 12 b) U AB = I ( R1 + R2 ) = 9V U1 = I1 R1 = 0,5.12 = 6V in tr R2 = a)(1) Mch in: (R1//R2) nt (R3//R4) 0,5 R1 R2 R12 = R + R = 1,6 R3 R4 R34 = R + R = RAB = R12 + R34 = 3,6 0,5 U AB Cng dũng in mch chớnh: I = R = 2,5A AB 0,5 UAM = U12 = I.R12 = 4V UMB = U34 = I.R34 = 5V U AM Cng dũng in qua R1: I1 = R = 0,5A 0,25 U MB Cng dũng in qua R3: I3 = R = 1,25A > I1 Vy: dũng in qua ampe k cú chiu t N lờn M v cú cng : IA = I3 - I1 = 0,75A b)(1) t R4 = x Ta cú R34 = Cõu 4x 4+ x RAB = R12 + R34 = 1,6 + U AB 9(4 + x) 0,25 4x 5,6 x + 6,4 = 4+ x 4+ x I = R = 5,6 x + 6,4 AB 14,4(4 + x) U AM 1,8(4 + x) 36 x U MB 9x UAM = I.R12 = 5,6 x + 6,4 I1 = R = 5,6 x + 6,4 UMB = I.R34 = 5,6 x + 6,4 I3 = R = 5,6 x + 6,4 Theo IA cú chiu t N n M nờn: I1 + IA = I3 1,8(4 + x) 9x + 0,9 = 5,6 x + 6,4 5,6 x + 6,4 Gii ta c: R4 = x = Cõu a) (1)Khi g nm cõn bng cỏc lc tỏc dng lờn g l: Trng lc P, Lc y Ac-si-một FA cú phng chiu c biu din 0,25 nh hỡnh v: Gi x l chiu cao phn g chỡm nc Vỡ g nm cõn bng trờn mt nc nờn: P = FA 10.D2 S2.h = 10.D1.S2.x x= 0,25 D2 750 h = 0,2 = 0,15(m) = 15cm D1 1000 b)(0,5) Chiu cao phn ni ca g l: h - x = 5cm Gi quóng ng nh nht g dch chuyn h xung l a v chiu cao ct nc dõng lờn l b Ta cú : S2.a = ( S1 - S2 ) b Suy a = b g chỡm hon ton nc: a + b = h - x = 5cm Do ú a = 2,5cm 0,25 S2 FA P S1 H 0,25 TRƯỜNG THPT VÂN CỐC ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG ( ĐỘI TUYỂN HSG KHỐI 12) BỘ MÔN HÓA HỌC NĂM HỌC 2010- 2011 Gv: Vũ Duy Khôi Thời gian làm bài: 180 phút ……… ……… ……… ……… Câu I: (3 điểm) Sục khí A vào ddB ta được chất rắn C màu vàng và ddD. Sục tiếp khí A vào ddD không thấy xuất hiện kết tủa, nhưng nếu thêm CH 3 COONa vào ddD rồi mới sục khí A vào thì thu được kết tủa đen E. Khí X có màu vàng lục tác dụng với khí A tạo ra chất C và F. Nếu khí X tác dụng với khí A trong nước tạo ra chất Y và F, thêm BaCl 2 vào thấy xuất hiện kết tủa trắng. Xác định A, B, C, D, E, F. viết các ptpư xẩy ra. Giải thích tại sao khi cho dd CH 3 COONa vào ddD thì mới có kết tủa? Câu II: (4 điểm) Cho hỗn hợp A gồm 3 oxit ( Fe 2 O 3 , Fe 3 O 4 và FeO ) với số mol bằng nhau. Lấy m 1 gam A cho vào 1 ống sứ chịu nhiệt, nung nóng nó rồi cho 1 luồng khí CO đi qua ống, CO phản ứng hết, toàn bộ khí CO 2 ra khỏi ống được hấp thụ hết vào bình đựng lượng dư dd Ba(OH) 2 , thu được m 2 gam kết tủa trắng. Chất rắn còn lại trong ống sứ sau phản ứng có khối lượng là 19,2 gam gồm Fe, FeO và Fe 3 O 4 . Cho hỗn hợp này tác dụng hết với dd HNO 3 , đun nóng được 2,24 lít khí NO là sản phẩm khử duy nhất (đktc). a) Viết các ptpư xẩy ra. b) Tính khối lượng m 1 , m 2 và số mol HNO 3 đã phản ứng. Câu III: (3 điểm) Trộn 2 dd axit: HCl 1M và HNO 3 0,5M với thể tích bằng nhau thu được ddA. Thêm từ từ Mg vào 200 ml ddA cho tới khi khí ngừng thoát ra, thu được ddB ( thể tích vẫn là 200 ml) chỉ chứa các muối của Mg và 963 ml hỗn hợp D gồm 3 khí không màu, cân nặng 0,772 gam. Trộn khí D với 1 lít khí O 2 , sau khi phản ứng hoàn toàn, cho khí còn lại đi từ từ qua ddNaOH dư thì thể tích của hỗn hợp khí còn lại là 1291 ml. a) Hỏi hỗn hợp khí D gồm các khí gì? Biết rằng trong khí D có 2 khí chiếm % thể tích như nhau, các thể tích khí đo ở đktc. b) Viết ptpư hòa tan Mg dưới dạng ion. Tính nồng độ mol các ion trong ddB và tính khối lượng Mg đã bị hòa tan. Câu IV: (4 điểm) 1) Hợp chất C 6 H 14 O khi bị đun nóng với H 2 SO 4 đặc ở 170 0 C tạo ra chất A có khả năng làm mất màu ddKMnO 4 và ddBr 2 . Khi đun nóng A trong dd hỗn hợp gồm K 2 Cr 2 O 7 và H 2 SO 4 thu được axeton và axit propionic. Mặt khác khi cho A hợp nước với sự có mặt của H 2 SO 4 loãng thì được đúng chất C 6 H 14 O ban đầu. Xác định tên gọi của C 6 H 14 O và viết các ptpư xẩy ra. 2) Từ 1 loại tinh dầu, người ta tách được chất A chứa 76,92%C; 12,82%H; 10,26%O về khối lượng. M A = 156 đvC. Biết A được điều chế bằng cách hiđro hóa có xúc tác chất 2- iso Propyl- 5- Metyl Phenol. a) Xác định CTCT của A. b) Đun A với H 2 SO 4 đặc thu được 2 chất có cùng CTPT là C 10 H 18 . Viết CTCT của 2 chất đó. Câu V: (3 điểm) 1) Hoàn thành các ptpư sau: ( Biết chất A có cấu tạo thẳng và đối xứng) (1) C 9 H 17 O 4 N + NaOH C 5 H 7 O 4 NNa 2 + C 2 H 6 O (2) C 5 H 7 O 4 NNa 2 + ClH C 5 H 10 O 4 NCl (3) C 2 H 6 O C 4 H 6 (4) C 4 H 6 xt B + Ni, t H 2 0 Etyl xicloHexan 2) Hãy nêu cách thức để tách riêng từng chất ra khỏi hỗn hợp sau: a) Phenol và rượu Benzylic. b) Phenol và axit Axetic. c) p – Crezol và anizol ( Metyl Phenyl ete). Câu VI: (3 điểm) Hợp chất hữu cơ X chứa C, H, O có tỉ khối hơi so với He là 34. Khi đốt cháy hoàn toàn 1,36 gam X sinh ra 1,08 gam H 2 O và 2,2 gam CO 2 . Cho hơi của X đi qua ống sứ chứa CuO nung nóng thì thu được chất hữu cơ Y có khối lượng mol nhỏ hơn khối lượng mol của X là 8 gam. Khi cho 2,56 gam Y tác dụng hết với dd AgNO 3 / NH 3 thu được 17,28 gam Ag. Cho X vào dd NaBr bão hòa, sau đó thêm từ từ H 2 SO 4 đặc vào hỗn hợp thì được chất hữu cơ Z không chứa oxi. Hãy xác định CTCT của X, Y, Z. Viết các ptpư xảy ra. *************** Hết *************** ðỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 - HUYỆN QUỐC OAI NĂM HỌC 2006 – 2007 Thời gian làm bài : 150 phút Bài 1 : Chứng minh Znnnnn ∈∀−−+ 2422 234 ⋮ Bài 2 : Cho ña thức ( ) ( ) 23,33 2234 +−=+++−= xxxgbaxxxxxf a) Khi a = 7, b = -4, tìm dư khi chia f cho g b) Tìm a, b ñể f chia hết cho g Bài 3 : Giải các phương trình a) ( ) 1 3 1 1 1 1 2422 ++ = +− − − ++ + xxxxx x xx x b) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1204321 xxxxx =++++ Bài 4: Một tổ theo kế hoạch mỗi ngày phải dệt 500 chiếc khăn, trên thực tế mỗi ngày dệt vượt kế hoạch 60 chiếc nên hoàn thành trước kế hoạch 3 ngày và dệt thêm ñược 1200 chiếc. Hỏi theo kế hoạch tổ phải dệt bao nhiêu chiếc khăn ? Bài 5 :Tìm số nguyên a sao cho 2006,1945 + + aa ñều là số chính phương Bài 6 : Chứng minh rằng ( ) *, 2 2 2 2 Qba a b b a a b b a ∈+≥+ Bài 7 : Cho tam giác ABC cân tại A, lấy D bất kỳ trên BC, qua D kẻ ⊥ BC cắt AC tại F, AB tại E, vẽ các hình chữ nhật BDEH và CDFK, gọi I, J lần lượt là giao ñiểm AB và HD, AC và KD a) Chứng minh AIDJ là hình bình hành b) Tính AC AJ AB AI + c) Chứng minh A là trung ñiểm HK d) Tìm vị trí của D ñể tổng diện tích hai hình chữ nhật nhỏ nhất Bài 1 : Chứng minh Znnnnn + 2422 234 Giải - Ta có : ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( )( ) 211 1222 2222 22 23234 ++= +=++= +=+ nnnn nnnnnnn nnnnnnnn - Vì tích hai số chẵn liên tiếp chia hết cho 8 và tích ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 3 mà UCLN(8;3) = 1 nên Znnnnn + 2422 234 2 điểm 1 điểm 1 điểm Bài 2 : Cho đa thức ( ) ( ) 23,33 2234 +=+++= xxxgbaxxxxxf c) Khi a = 7, b = -4, tìm d khi chia f cho g d) Tìm a, b để f chia hết cho g Giải a) Ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6101 6102323 4733 2 222 234 ++= ++++= ++= xxgx xxxxxx xxxxxf - Vì vậy thơng trong phép chia f cho g là 10x 6 b) Ta có : ( ) ( ) ( ) 2123 2 =+= xxxxxg nên nhận 1, 2 là nghiệm do đó f chia hết cho g khi và chỉ khi f nhận chúng là nghiệm - Nếu 1 là nghiệm của f thì 10331 = + = + + + baba - Nếu 2 là nghiệm của f thì 4202122416 = + = + + + baba - Từ đó suy ra : 2,3 = = ba 2 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm Bài 3 : Giải các phơng trình c) ( ) 1 3 1 1 1 1 2422 ++ = + ++ + xxxxx x xx x d) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1204321 xxxxx =++++ Giải a) Điều kiện : x 0 do 01,01,01 2422 >++>+>++ xxxxxx - Mẫu thức chung : ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) 1111 242 2 222 ++=+=+++ xxxxxxxxxxx - Phơng trình đã cho ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) tmdkxx xxxx xxxxxxxx 2 3 32 011 31111 33 22 == =+ =++++ b) Phơng trình đã cho ( ) ( ) 222 1206567 xxxxx =++++ - Dễ thấy x 0, chia cả hai vế cho 2 x ta đợc : ( )( ) == = = =+= + =+ =++ = ++ = ++= ++ ++ 3,2 2 265 2 17 032 4 265 4 289 6 2 17 065 0617 11 6 6 1201 6 6120 6 5 6 7 2 2 2 2 xx x xx x xx xx x x x x x x x x 3 điểm 0,25 điểm 0,5 điểm 0,75 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,5 điểm 0,25 điểm Bài 4: Một tổ theo kế hoạch mỗi ngày phải dệt 500 chiếc khăn, trên thực tế mỗi ngày dệt vợt kế hoạch 60 chiếc nên hoàn thành trớc kế hoạch 3 ngày và dệt thêm đợc 1200 chiếc. Hỏi theo kế hoạch tổ phải dệt bao nhiêu chiếc khăn ? Giải - Gọi số khăn phải dệt theo kế hoạch là x ( x N, x > 1200) - Số ngày dệt theo kế hoạch : 500 x (ngày) - Số ngày dệt thực tế : 560 1200 + x (ngày) - Theo bài ra ta có phơng trình : 3 560 1200 500 + + = xx - Giải phơng trình : )(24000 560 1 500 1 560 1200 3 560 1200 3 560 1 500 1 3 560 1200 500 tmdkx x xx = + = += + + = - Vậy theo kế hoạch tổ phải dệt 24000 chiếc khăn 3 điểm 0,5 điểm 1,75 điểm 0,5 điểm 0,25 điểm Bài 5 :Tìm số nguyên a sao cho 2006,1945 + + aa đều là số chính phơng Giải - Giả sử ( )( ) ( ) 1045 30 31 1 61 6161 2006,1945 22 22 = = = >+ = =+ =+= =+=+ a l k Nlklkdo lk lk lklklk kala 3 điểm 1 điểm 1 điểm 1 điểm Bài 6 : ðỀ THI CHỌN ðỘI TUYỂN TOÁN 9 HUYỆN QUỐC OAI NĂM HỌC 2008 – 2009 Bài 1 (4 ñiểm) a) Phân tích thành nhân tử : ( ) 2 3 2 x x 7 36x − − b) Chứng minh ña thức sau luôn không âm với mọi giá trị của x : ( ) ( ) ( ) x x 1 x 2 x 3 1 + + + + Bài 2 (3 ñiểm) Một công ty may giao cho tổ A may 16800 sản phẩm, tổ B may 16500 sản phẩm và bắt ñầu thực hiện công việc cùng lúc. Nếu sau sáu ngày tổ A ñược hỗ trợ 10 công nhân may thì họ hoàn thành công việc cùng lúc với tổ B, nếu tổ A ñược hỗ trợ thêm 10 công nhân ngay từ ñầu thì họ hoàn thành công việc trước tổ B một ngày. Xác ñịnh số công nhân ban ñầu của mỗi tổ biết mỗi công nhân may mỗi ngày ñược 20 sản phẩm. Bài 3 (4 ñiểm) Cho tứ giác lồi ABCD, AB = b, CD = a, AD = BC và   0 ADC DCB 90 + = . Gọi I, N, J, M lần lượt là trung ñiểm các cạnh AB, AC, CD, BD. a) Tứ giác INJM là hình gì ? b) Giả thiết   ADC BCD > và A, B chuyển ñộng sao cho AD = BC, hỏi ñiểm I di chuyển trên ñường nào ? Bài 4 (5 ñiểm) a) Tìm các số x, y, z thỏa mãn : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y z x y y z 1, x y z 12 y z x y z x y   + +     + + = + + + + =       + +       b) Cho các số tự nhiên thỏa mãn hệ thức 2 2 2x x 3y y + = + . Chứng minh rằng 2x 2y 1, x y, 3x 3y 1 + + − + + là các số chính phương. Bài 5 (4 ñiểm) Cho tam giác ABC có các phân giác AA’, BB’, CC’ ñồng qui tại O a) Chứng minh OA OB OC 1 AA' AB' AC' + + = ? b) Chứng tỏ rằng 2bc AA' b c < + (trong ñó AC = b, AB = c) ? HƯỚNG DẦN GIẢI Bài 1 (4 ñiểm) a) Phân tích thành nhân tử : ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )( )( )( ) 2 2 3 2 2 2 2 2 3 3 3 3 2 2 x x 7 36x x x x 7 36 x x x 7 6 x x 7 6 x x 7x 6 x 7x 6 x x 6x x 6 x 6x x 6 x x x 1 x 1 6 x 1 x x 1 x 1 6 x 1 x x 1 x x 6 x 1 x x 6 x x 1 x 1 x 3 x 2 x 3 x 2   − − = − −         = − + − −     = − + − − = − − + − − − = − + − − − + − +         = − + − + − − = − + + − − + b) Chứng minh ña thức sau luôn không âm với mọi giá trị của x : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 x x 1 x 2 x 3 1 x 3x x 3x 2 1 t t 2 1 t x 3x t 2t 1 t 1 0 + + + + = + + + + = + + = + = + + = + ≥ Bài 2 (3 ñiểm) Một công ty may giao cho tổ A may 16800 sản phẩm, tổ B may 16500 sản phẩm và bắt ñầu thực hiện công việc cùng lúc. Nếu sau sáu ngày tổ A ñược hỗ trợ 10 công nhân may thì họ hoàn thành công việc cùng lúc với tổ B, nếu tổ A ñược hỗ trợ thêm 10 công nhân ngay từ ñầu thì họ hoàn thành công việc trước tổ B một ngày. Xác ñịnh số công nhân ban ñầu của mỗi tổ biết mỗi công nhân may mỗi ngày ñược 20 sản phẩm. Giải Gọi x là số công nhân tổ A ban ñầu ( ) x N * ∈ Mỗi ngày tổ A may ñược 20x (sản phẩm) Sau sáu ngày tổ A may ñược 120x (sản phẩm) Nếu ñược hỗ trợ thêm 10 công nhân thì số công nhân tổ A là x + 10 (công nhân) Số sản phẩm mà số công nhân này may ñược là 16800 – 120x (sản phẩm) Thòi gian may số sản phẩm này là ( ) 16800 120x 20 x 10 − + (ngày) Thời gian tổ B hoàn thành công việc là ( ) 16800 120x 6 20 x 10 − + + (ngày) Nếu ñược hỗ trợ 10 công nhân ngay từ ñầu thì tổ A sẽ hoàn thành công việc trong ( ) 16800 20 x 10 + (ngày) Do tổ B hoàn thành công việc sau tổ A một ngày nên thời gian ñể tổ B hoàn thành công việc là ( ) 16800 1 20 x 10 + + (ngày) Ta có phương trình : ( ) ( ) 16800 16800 120x 1 6 20 x 10 20 x 10 − + = + + + Giải phương trình : ( ) ( ) ( ) 16800 16800 120x 1 6 20 x 10 20 x 10 840 480 6x 5 x 10 x 10 5 x 10 840 840 6x x 10 x 10 x 10 840 5x 50 840 6x x 50 − + = + + + − ⇔ = + + + + − ⇔ = + + + + ⇔ = + + − ⇔ = Vậy tổ A ban ñầu có 50 công nhân Số ngày tổ A hoàn thành công việc nếu có 60 công nhân là 16800 : 1200 = 14 ngày Số ngày tổ B hoàn thành công việc là 15 ngày Số công nhân ban ñầu của tổ B là 16500 : 300 = 55 (công nhân) ðáp số : Tổ A – 50 công nhân; Tổ B – 55 công nhân Bài 3 (4 ñiểm) Cho tứ giác lồi ABCD, AB = b, CD = a, AD = BC và   0 ADC DCB 90 + = . Gọi I, N, J, M lần lượt là trung ñiểm các cạnh AB, AC, CD, PHÒNG GIÁO DỤC ðÀO TẠO QUỐC OAI HỘI ðỒNG THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 ðỀ THI MÔN TOÁN Thời gian làm bài 120 phút Câu 1 : (1 ñiểm) Rút gọn biểu thức 3 1 2 1 2x x 3 3 27     − − −         Câu 2 : (1 ñiểm) Phân tích ña thức sau thành nhân tử : 3 1 0,001x 64 + Câu 3 : (3 ñiểm) Chứng minh rằng nếu 2 2 2 a b c ab bc ca + + = + + thì a = b = c. Câu 4 : (3 ñiểm) So sánh 16 7 1 − và ( ) ( ) ( ) 8 4 2 8 7 1 7 1 7 1 + + + . Câu 5 : (2 ñiểm) Giải phương trình x 4 x 1 9 − + + = . Câu 6 : (2 ñiểm) Một ñội xe cần chở 120 tấn hàng, nhưng sau ñó có 2 xe của ñội phải ñiều ñi làm việc khác nên ñể chở hết số hàng mỗi xe còn lại phải chở thêm 16 tấn nữa. Hỏi ñội xe trên có bao nhiêu chiếc xe ? Câu 7 : (4 ñiểm) Cho tam giác ABC, M và N lần lượt là trung ñiểm của BC và AC, trọng tâm G, trực tâm H, O là giao ñiểm các ñường trung trực của tam giác ABC. a) Chứng minh ABH ~ MNO ∆ ∆ và AH 2MO = ? b) Chứng minh AHG ~ MOG ∆ ∆ và H, G, O thẳng hàng ? c) Gọi D, E, F lần lượt là chân ñường cao kẻ từ A, B, C của tam giác nhọn ABC. Chứng minh H là giao ñiểm các ñường phân giác góc trong của DFE ∆ ? Câu 8 : (2 ñiểm) Có thể xếp 9 hình chữ nhật cạnh 1x4 kín một hình vuông có kích thước 6x6 không ? Tại sao ?