Đề Casio THPT_2

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MTBT LỚP 11 THPT Lê Quốc Bảo – THPT Cao Thắng đề nghị 1. a)Tìm số tự nhiên 17 8 728A x y = biết rằng nó là lập phương của một số tự nhiên. b) Tìm 4 số tự nhiên lẻ liên tiếp biết rằng tích của chúng bằng 21335145 c) Tìm tất cả các số có dạng efabcd sao cho 2 ef ( ef )abcd abc d = + a) b) c) 2. Cho đa thức P(x)= x 5 +ax 4 +bx 3 +cx 2 +dx+e, biết P(1)=-4; P(2)=3; P(3)=14; P(4)= 239; P(5)=1224 a) Viết lời giải tìm đa thức P(x) b) Tìm số nguyên dương nhỏ nhất sao cho P(x) -1814 là một số chính phương Giải 3. a) Giải phương trình 6 2 4 1 3 1 2 3 5 5 4 4 7 6 9 x x + = + + + + + + x= 3b) Giải hệ phương trình 1 4 1 3 2 5 2 2 3 2 6 3 3 2 1 4 2 2 3 1 2 3 2 1 2 x x y y x y x y −  =  + +   − −  + +   − = −   + +  +  +   4. Gọi S và p lần lượt là diện tích và chu vi của n- giác đều nội tiếp đường tròn (O; 2,34567), S’ và C là diện tích hình tròn và chu vi đường tròn. a)Tìm n để 0,0111≤ S’-S ≤ 0,0114 b) Tìm n nhỏ nhất để 0,025 ≤ C-p ≤0,028 a) b) 5. Cho hình 10 cạnh đều A 1 A 2 …A 10 nội tiếp đường tròn (O; R), trên các đoạn OA i lấy các điểm M i sao cho 1 i i OM R i = + . Tính S=M 1 M 2 +M 2 M 3 +…+M 9 M 10 + M 10 M 1 , biết R=20cm. Giải 6. Cho các hàm số f 0 (x)= 2x 2 +1 và 2 2 1 ( ) 2 x f x x + = + Tính a) A=f 0 (1)+f 0 (2)+… +f 0 (10) b) Đặt u 1 = f 0 (1); u 2 = f 2 (1); u 3 = f 0 (f 2 (1)), …., u n = f 1+(-1) n (u n-1 ), với n ≥3. Viết quy trình bấm phím để tính u 1 +u 2 +… +u 20. a) A= Giải 7. Cho dãy số u 1 =-3 ; u 2 =5 , u n = -2u n-1 +u n-2 , với n ≥3. a) Tính u 13 ; u 14 ; u 15 ; u 16 b) Tính S 12 = u 1 u 2 +u 2 u 3 + …+u 11 u 12 a) b)Giải 8. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho parabol (P): y =x 2 + 3x+2 và đường thẳng d: 3x-y+5=0. Quay đường thẳng (d) quanh điểm I(-1; 2) ta được đường thẳng (d’). Gọi A, B, C, D là các giao điểm của (d) và (d’) với (P).Tính diện tích tứ giác lồi có bốn đỉnh là các điểm trên. Giải 9.Một lô hàng chứa nhiều sản phẩm với tỉ lệ phế phẩm p=0,02. Cần phải lấy ít nhất bao nhiêu sản phẩm để xác suất có ít nhất một phế phẩm trong các sản phẩm lấy ra không bé hơn 0,95. Giải 10. Cho đường thẳng (d) : 2x+3y-5=0 và parabol (P): x 2 -2x+1=0. (P’) là ảnh của (P) qua phép quay tâm I(1, 1) góc 90 0 . Tìm toạ độ giao điểm của (d) và (P’) Giải ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MTBT LỚP 11 THPT Lê Quốc Bảo – THPT Cao Thắng đề nghị 1.(2đ) a)Tìm số tự nhiên 17 8 728A x y = biết rằng nó là lập phương của một số tự nhiên. b) Tìm 4 số tự nhiên lẻ liên tiếp biết rằng tích của chúng bằng 21335145 c) Tìm tất cả các số có dạng efabcd sao cho 2 ef ( ef )abcd abc d = + a) x=9; y=4 b) 65, 67, 69, 71 c) 494209 2.(2đ) Cho đa thức P(x)= x 5 +ax 4 +bx 3 +cx 2 +dx+e, biết P(1)=-4; P(2)=3; P(3)=14; P(4)= 239; P(5)=1224 a) Viết lời giải tìm đa thức P(x) b) Tìm số nguyên dương nhỏ nhất sao cho P(x) -1814 là một số chính phương Giải a) Ta tìm đa thức Q(x) =mx 2 +nx+p sao cho P(x)- Q(x) có các nghiệm là x 1 =1; x 2 =2; x 3 =3. Ta có hệ phương trình 4 4 2 3 9 3 14 m n p m n p m n p + + = −   + + =   + + =  Giải hệ trên ta có Q(x) = 2x 2 +x-7. Do đó P(x)-Q(x) =(x-1)(x-2)(x-3)(x 2 +kx+h) Thế x=4, và x=5 ta được các hệ phương trình 4 19 5 24 h k h k + =   + =  Giải được h=5, k=-1. Vậy P(x)=x 5 -x 4 -20x 3 +57x 2 -40x-1 b) x=12 3.(2đ) a) Giải phương trình 6 2 4 1 3 1 2 3 5 5 4 4 7 6 9 x x + = + + + + + + x=-17,14871341 3b) Giải hệ phương trình 1 4 1 3 2 5 2 2 3 2 6 3 3 2 1 4 2 2 3 1 2 3 2 1 2 x x y y x y x y −  =  + +   − −  + +   − = −   + +  +  +   Đặt ẩn phụ 2 4 3 ; 3 2 2 t x u x y y = − = + + + , ta giải được 26 52 ; 15 31 x y − = = 4.(2đ) Gọi S và p lần lượt là diện tích và chu vi của n- giác đều nội tiếp đường tròn (O; 2,34567), S’ và C là diện tích hình tròn và chu vi đường tròn. a)Tìm n để 0,0111≤ S’-S ≤ 0,0114 b) Tìm n nhỏ nhất để 0,025 ≤ C-p ≤0,028 a) n=100 b) n= 22 5.(2đ) Cho hình 10 cạnh đều A 1 A 2 …A 10 nội tiếp đường tròn (O; R), trên các đoạn OA i lấy các điểm M i sao cho 1 i i OM R i = + . Tính S=M 1 M 2 +M 2 M 3 +…+M 9 M 10 + M 10 M 1 , biết R=20cm. Giải Chọn O là gốc toạ độ trong mặt phẳng Oxy, A 1 là đỉnh nằm trên Ox. Khi đó i 1 2 2 20 20 ( os36(i-1); sin36(i-1)) 1 1 M 20( 1) 20 20( 1) 20 ( cos36 cos36( 1)) ( sin 36 sin 36( 1)) 2 1 2 1 i i i i M c i i M i i i i i i i i i i i i + + + = + + − − + − − + + + + 0 2 0 2 10 1 200 200 ( cos324 10) ( sin 324 ) 11 11 M M = − + Đáp số: 107,9687832 6.(2đ) Cho các hàm số f 0 (x)= 2x 2 +1 và 2 2 1 ( ) 2 x f x x + = + Tính c) A=f 0 (1)+f 0 (2)+… +f 0 (10) d) Đặt u 1 = f 0 (1); u 2 = f 2 (1); u 3 = f 0 (f 2 (1)), …., u n = f 1+(-1) n (u n-1 ), với n ≥3. Viết quy trình bấm phím để tính u 1 +u 2 +… +u 20. a) A=780 Giải Bấm theo quy trình A=2; B=4; D=1; C=2D 2 +1; A=A+1; B=B+C; D=(2C+1):(C+2); A=A+1; B=B+D. Kết quả 87,91790163. 7.(2đ) Cho dãy số u 1 =-3 ; u 2 =5 , u n = -2u n-1 +u n-2 , với n ≥3. a) Tính u 13 ; u 14 ; u 15 ; u 16 b) Tính S 12 = u 1 u 2 +u 2 u 3 + …+u 11 u 12 a) u 13 = -86.523 u 14 = 208885 u 15 = 504293 u 16 =1.217.471 b) Giải Bấm theo quy trình 2 sto A; -3 Sto B; 5 Sto C; B.C Sto D; A=A+1; B=-2C+B; D=D+B.C; A=A+1; C=-2B+C; D=D+B.C. S 12 =-642216963 8.(2đ) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho parabol (P): y =x 2 + 3x+2 và đường thẳng d: 3x-y+5=0. Quay đường thẳng (d) quanh điểm I(-1; 2) ta được đường thẳng (d’). Gọi A, B, C, D là các giao điểm của (d) và (d’) với (P). Tính diện tích tứ giác lồi có bốn đỉnh là các điểm trên. Giải Điểm I(-1; 2) thuộc đường thẳng (d). Đường thẳng (d’) vuông góc với (d) tại I nên phương trình (d’) là x+3y -5=0. Hoành độ các giao điểm A và B của (d) với (P) là nghiệm của phương trình 3x+5 = x 2 +3x+2 ⇔ x 2 -3=0 120AB = Hoành độ của hai điểm C và D là nghiệm của phương trình 3x 2 +10x+1=0 CD= 3,492496366 S=AB.CD:2=6,049181151( đvdt) 9.(2đ) Một lô hàng chứa nhiều sản phẩm với tỉ lệ phế phẩm p=0,02. Cần phải lấy ít nhất bao nhiêu sản phẩm để xác suất có ít nhất một phế phẩm trong các sản phẩm lấy ra không bé hơn 0,95. Giải Gọi A là biến cố trong n sản phẩm lấy ra có ít nhất một phế phẩm. Theo bài ra ta có P(A) ≥0,95. Gọi B là biến cố trong n sản phẩm lấy ra không có phế phẩm khi đó P(A) = 1-P(B). Xác suất để chọn ra một sản phẩm tốt là 0, 98. Do đó P(B) = 0,98 n ⇒ 1-0,98 n ≥ 0,95 hay 0, 98 n ≤0, 05. Bẩm máy liên tục theo quy trình: O Sto A; A=A+1: B=0,98 A -0,05 ta được n ≥ 149 10.(2đ) Cho đường thẳng (d) : 2x+3y-5=0 và parabol (P): x 2 -2x+1=0. (P’) là ảnh của (P) qua phép quay tâm I(1, 1) góc 90 0 . Tìm toạ độ giao điểm của (d) và (P’) Giải 6 4 2 -2 -4 -5 5 I d' d B C B' C' Gọi B và C là các giao điểm của (P’) với (d). Gọi (d’) là đường thẳng vuông góc với (d) tại I, gọi B’ và C’ là ảnh của B và C qua phép quay tâm I góc -90 0 khi đó B’, C’ là các giao điểm của (P) với (d’). Phương trình của đường thẳng (d’) là 3x-2y -1= 0. Toạ độ của B’ và C’ là nghiệm của hệ phương trình 2 2 1 3 2 1 0 y x x x y  = − +  − − =  Ta có B’=(3, 4), C’ =(0,5; 0,25) B và C là ảnh của phép quay tâm I của B và C góc 90 0 , ta có B’=(-2; 3); C’=(1.75; 0.5) . 1 4 1 3 2 5 2 2 3 2 6 3 3 2 1 4 2 2 3 1 2 3 2 1 2 x x y y x y x y −  =  + +   − −  + +   − = −   + +  +  +   Đặt ẩn phụ 2 4 3 ; 3 2 2 t x u. phương trình 6 2 4 1 3 1 2 3 5 5 4 4 7 6 9 x x + = + + + + + + x= 3b) Giải hệ phương trình 1 4 1 3 2 5 2 2 3 2 6 3 3 2 1 4 2 2 3 1 2 3 2 1 2 x x y y x y