PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC

PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC 1.Phương pháp chứng minh quy nạp: Ví dụ: Chứng minh : Với n∈N* + + + + ( 2n − 1) = n Giải: Bước 1: Với n = , ta có: = 12 (đúng) Vậy đẳng thức n=1 Bước 2: Giả sử đẳng thức với n = k ≥ Tức là: + + + + ( 2k − 1) = k Bước 3: Ta chứng minh đẳng thức với n = k + Tức là: + + + + ( 2k − 1) + [ 2( k + 1) − 1] = ( k + 1) Thật vậy, ta có: + + + + ( 2k − 1) + [ 2( k + 1) − 1] = [1 + + + + (2k − 1)] + 2k + − = k + 2k + − = k + 2k + = ( k + 1) Kết luận: đẳng thức với n ∈ Ν * *Phương pháp chứng minh gọi phương pháp quy nạp toán học *Muốn chứng minh mệnh đề P(n) với n∈ N* phương pháp quy nạp toán học gồm bước sau đây: Bước 1: Kiểm tra mệnh đề P(n) với Bước 2: Giả sử mệnh đề P(n) với n = n = k ≥1 (giả thiết quy nạp) Bước 3:Ta chứng minh mệnh đề P(n) với đề P(n) với n∈N* n = k + Kết luận mệnh 2.Một số ví dụ: 2.1.Ví dụ 1: Chứng minh với n ∈ Ν * thì: + + + + n = n( n + 1) Giải: Bước 1: Với n = , ta có: = 1(1 + 1) (đúng) Vậy đẳng thức n=1 Bước 2: Giả sử đẳng thức với n = k ≥ Tức là: + + + + k = k ( k + 1) Bước 3: Ta chứng minh đẳng thức với n = k + Tức là: + + + + k + ( k + 1) = ( k + 1)( k + 2) Thật vậy, ta có: + + + + k + ( k + 1) = k ( k + 1) k ( k + 1) + 2( k + 1) ( k + 1)( k + ) + k +1 = = 2 Kết luận: đẳng thức với n ∈ Ν * 2.2.Ví dụ 2: Chứng minh với n ∈ Ν * thì: n − n 3 Giải: Bước 1: Với n = , ta có: 3 (đúng) Vậy mệnh đề n=1 Bước 2: Giả sử mệnh đề với n = k ≥ Tức là: k − k 3 Bước 3: Ta chứng minh mệnh đề với n = k + Tức là: ( k + 1) − ( k + 1) 3 Thật vậy, ta có: ( k + 1) − ( k + 1) = k + 3k + 3k + − k − = k − k + 3( k + k ) 3 Kết luận: mệnh đề với n ∈ Ν * 2.3.Ví dụ 3: Chứng minh với n ≥ ( n ∈ Ν * ) thì: n >2n+1 Giải: Bước 1: Với n=3 ta có: 23>2.3+1 (đúng) Vậy bất đẳng thức n=3 Bước 2: Giả sử bất đẳng thức n = k ≥ Tức là: 2k > 2k +1 Bước 3: Ta chứng minh bất đẳng thức với n=k+1 Tức là: 2k+1 > 2(k+1)+1 Thật vậy,ta có: 2k > 2k+1 (*) Nhân vế (*) cho ta : 2.2k > 2.(2k+1) ⇔ 2k+1 > 4k+2 ⇔ 2k+1 > 2.(k+1)+1+(2k-1) ⇒ 2k+1 > 2.(k+1)+1 (vì 2k-1> 0, với k ≥ ) Vậy bất đẳng thức n=k+1 Kết luận: Bất đẳng thức với n ≥ *Chú ý: Nếu muốn chứng minh mệnh đề với số tự nhiên n ≥ p (với p∈N*) phương pháp quy nạp toán học ta thực bước sau đây: Bước 1: Kiểm tra mệnh đề với n = p Bước 2: Giả sử mệnh đề với n = k ≥ p (giả thiết quy nạp) Bước 3: Ta chứng minh mệnh đề với n = k + Kết luận mệnh đề với số tự nhiên n ≥ p (với p∈N*) 2.4.Ví dụ 4: Chứng minh với n > ( n ∈ Ν * ) thì: 1 13 + + + > n +1 n + 2n 24 Giải: Bước 1: Với n=2, ta có: 1 13 + = > (đúng) 12 24 Vậy bất đẳng thức n=2 Bước 2: Giả sử bất đẳng thức n=k >1 (k∈N*).Tức là: 1 13 + + + > k +1 k + 2k 24 Bước 3: Ta chứng minh đẳng thức n=k+1 Tức là: 1 1 13 + + + + > k +2 k +3 2k + 2.(k + 1) 24 Thật vậy, ta có: 1 1 13 + + + + > k +2 k +3 2k + 2.( k + 1) 24 1 1 1 13 ⇔ + + + + + − > k +1 k + 2k 2k + 2.( k + 1) k + 24 1 2.(k + 1) + 2k + − [ 2.( 2k + 1) ] 13 ⇔ + + + + > k +1 k + 2k 2.( k + 1)(2k + 1) 24 1 2k + + 2k + − 4k − 13 ⇔ + + + + > k +1 k + 2k 2.(k + 1)(2k + 1) 24 1 1 13 ⇔ + + + + + > k +1 k + 2k 2k + 2.( k + 1) 24 1 1 1 1 (Vì k + + k + + + 2k + 2k + + 2.(k + 1) > k + + k + + + 2k ) Vậy bất đẳng thức n=k+1 Kết luận: Bất đẳng thức với n>1 (n∈N*) 3.Bài tập: 3.1.Bài tập 1: Chứng minh rằng: Với n∈N* a) 22 + 42 + 62 + + (2n)2 = 2n.(n + 1)( 2n + 1) b) 12 + 32 + 52 + + (2n-1)2 = n.(4n − 1) 1 1 2n − c) + + + + n = n 2 3.2.Bài tập 2: Chứng minh rằng: Với n ≥ (n∈N*) ta có: n +1 > 2n + 3.3.Bài tập 3: Chứng minh rằng: Với số nguyên dương n : a) n3 + 3n2 +5n chia hết cho 3; b) 4n + 5n – chia hết cho 9; c) 7n – chia hết cho ... tự nhiên n ≥ p (với p∈N*) phương pháp quy nạp toán học ta thực bước sau đây: Bước 1: Kiểm tra mệnh đề với n = p Bước 2: Giả sử mệnh đề với n = k ≥ p (giả thiết quy nạp) Bước 3: Ta chứng minh