Bài 1: Dãy số có giới hạn 0 - Đại Số 11NC

Sở Giáo dục đào tạo hoá Trờng THPT triƯu s¬n -*** - Ch­¬ng­IV:­­­Giíi hạn Đ DÃy số có giới hạn (Tiết 60)ư Giáoưviên:ưNguyễn Th Thức ThứcưưTrườngưTHPTưTriệuưSơnư2ưưThanhưHoá Kiểm tra cũ: NhắcưlạiưđịnhưnghĩaưdÃyưsố: N * Mộtưhàmưsốưuưxácưđịnhưtrênưtậpưhợpưcácưsốưnguyênưdươngưưưư ưưưđượcưgọiưlàưmột dÃy số vô hạn (ưhayưcònưgọiưtắtưlàưdÃy số) Đ DÃy số có giới hạn (Tiết 60) 1) Định nghĩa dÃy số có giới hạn 0: un Ví dụ:ưưChoưdÃyưsốư(ưưưưư)ưvớiư un n n Làmưthếưnàoưđểưxácưđịnhưđượcưsốưhạngưu1ưcủaưdÃyưsốưtrên? TừưsốưhạngưtổngưquátưcủaưdÃyưsốưthayưnư=ư1,ưtaưđư ợc: 11 u1 HÃyưxácưđịnhưcácưsốưhạngưu2,ưu3,ưu10,ưu11,ưu23,ưu24ưcủaưdÃyưsốư trªn?  1 ; 1 1 1 1  u  ; u10  ; u11  ; u 23  ; u 24  u2 2 10 11 23 24 HÃyưbiểuưdiễnưdÃyưsốưtrênưdướiưdạngưkhaiưtriển? 1) Định nghĩa dÃy số có giới hạn 0: 1n Cho­d·y­sè­(un) VÝ dơ:­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­víi­ un  n BiĨu­diƠn­(un)­d­íi­d¹ng­khai­triĨn:  1  1  1   1, , , , , , , , , , , 10 11 23 24 BiểuưdiễnưcácưsốưhạngưcủaưdÃyưsốư(un)ưtrênưtrụcưsốư: 1 23 24 | | | | | | | 1 1    11 10  | 1 | | *ưưKhiưnưtăngưdầnưthìưkhoảngưcáchưtừưưu Khiưnưtăngưthìưcácưđiểmưbiểuưdiễnưchụmưlạiưquanhưđiểmư0,ư nưđếnưđiểmư0ưthayưđổiư khoảngưcáchư|u nhưưthếưnàoư? n|ưtừưđiểmưunưđếnưđiểmư0ưtrởưnênưnhỏưbaoưnhiêuư cũngưđượcưmiễnưlàưnưđủưlớn Điềuưnàyưđượcưgiảiưthíchưrõưtrongưbảngưsau: n 10 11 11 12 12 … … 23 23 24 24 25 25 … … 50 50 51 51 52 52 … … 1 1 |un| 11 … 10 11 1 1 1 … 23 24 … 12 12 23 24 11 1 11 … 50 51 52 … … … 25 25 50 51 52 ?ưMọiưsốưhạngưcủaưdÃyưsốưđÃưchoưcóưgiáưtrịưtuyệtưđốiưnhỏưhơnư1/10ư *ưưMọiưsốưhạngưcủaưdÃyưsốưcóưgiáưtrịưtuyệtưđốiưnhỏưhơnư1/10,ưkểư kểưtừưsốưhạngưthứưmấyưtrởưđiư? từưsốưhạngưthứư11ưtrởưđi vớiưmọiưnư>ư10 un 10 ?ưMọiưsốưhạngưcủaưdÃyưsốưđÃưchoưcóưgiáưtrịưtuyệtưđốiưnhỏưhơnư1/23ư kểưtừưsốưhạngưthứưmấyưtrởưđiư? n 10 11 12 … 23 24 25 … 50 51 … 52 … 11 1 1 1 1 … … |un| … … … 12 11 23 25 50 51 24 10 24 52 *ưưMọiưsốưhạngưcủaưdÃyưsốưcóưgiáưtrịưtuyệtưđốiưnhỏưhơnư 1/23,ưkểưtừưsốưhạngưthứư24ưtrởưđi ưưưưMọiưsốưhạngưcủaưdÃyưsốưđềuưcóưgiáưtrịưtuyệtưđốiưnhỏưhơnưmộtư Quaưvíưdụưtrênưemưcóưnhậnưxétưgìư? sốưdươngưnhỏưtuỳưýưchoưtrước,ưkểưtừưmộtưsốưhạngưnàoưđóưtrởưđi Taưnói:ưdÃy số có giới hạn § D·y sè cã giíi h¹n (tiÕt­60) 1) Định nghĩa dÃy số có giới hạn 0: DÃy số (un) có giới hạn 0ư(hayưcóưgiớiưhạnưlàư0)nếuưvớiưmỗiư sốưdươngưnhỏưtuỳưýưchoưtrước,ưmọiưsốưhạngưcủaưdÃyưsố,ưkểưtừư mộtưsốưhạngưnàoưđóưtrởưđi,ưđềuưcóưgiáưtrịưtuyệtưđốiưnhỏưhơnưsốư dươngưđó.ư Kíưhiệu:ư lim(un ) 0­hc­ lim un 0­hc­un  KÝ­hiƯu:­" lim un " ưcònưđư ợcưviếtư" lim u n =0", n đọcưlà:ưDÃyưsốưcóưgiớiưhạnưlàư0ưkhiưnưdầnưđếnưvôưcực ( 1) n VD:ưDÃyưsốưun ưcóưgiớiưhạnưlàư0 n (  1)n ­­­­­­­­­­­­­­­Ta­viÕt:­ lim 0 n * NhËn xÐt:  lim u n 0  lim u n 0 VÝ­dô: lim 0 n   1 n  n Vìư: lim n n n +ưDÃyưsốưkhôngưđổiư(un),ưvớiưunư=ư0ưcóưgiớiưhạnư0 Định nghĩa dÃy số có giới hạn 1) Mọiư|un | đềuưnhỏưhơnưmộtưsốư lim un ưưưdư ơngưnhỏưtuỳưýưchoưtrư ớc, kểưtừưmộtưsốưhạngưnàoưđóưtrởưđi    lim 2) 0 n Mét sè d·y sè cã giíi h¹n a).lim n 0­­­­­­­­­­­­­­­­­b).lim n *ưĐịnh lí 1:ư(SGK) ChoưhaiưdÃyưsốư(un)ưvàư(vn) un vn , n  lim un 0   lim Chứng minh định lí Choưmộtưsốưdươngưnhỏưtuỳưý Vìưlimvnư=ư0ưnênưmọiưsốưhạngưcủaư ? Với limvn = 0, ta có điều gì? dÃyưsốư(vn)ưnhỏưhơnưmộtưsốưdươngư nhỏưtuỳưýưchoưtrước,ưkểưtừưsốưhạngư thứưNưnàoưđóưtrởưđi ưưưưưưVìư|u vưnênưmọiư|u ơngư n |ưnhỏưhơnưsốưdư Vìư un | ưnênưtaưcóưkếtưlu ậnưgì? n n nhỏưtuỳưýưchoưtrư ớcưđó,ưkểưtừưsốưhạngưthứưNưtrởưđi Vy: limy:ưlimunư=ư0 1) Định nghĩa dÃy số có giới hạn VD1:ưChứngưminhưrằng:ưlim Mọiư|un | đềuưnhỏưhơnưmộtưsốư lim un ưưưdư ơngưnhỏưtuỳưýưchoưtrư ớc kểưtừưmộtưsốưhạngưnàoưđóưtrởưđi    lim Gi¶i: Ta­cã 0 n 2) Mét sè d·y sè cã giíi h¹n a).lim n 0ưưưưưưưưưưưưưưưưưb).lim n *ưĐịnhưlíư1:ư(SGK) un , n  lim un 0   lim 0 0 sin n 0 n Vµ:­ lim sin n < n n =ư0 Theoưđịnhưlíư1ưtaưcó: sinn =ư0 lim n n 1) Định nghĩa dÃy số có giới hạn VD2:ưChứngưminhưrằng:ưlim Mọiư|un | đềuưnhỏưhơnưmộtưsốư lim un 0   ­­­d­ ¬ng­nhá­t­ý­cho­tr­ íc  ­  kểưtừưmộtưsốưhạngưnàoưđóưtrởưđi lim 2) Một số dÃy số có giới hạn n 0ưưưưưưưưưưưưưưưưưb).lim Giải: Taưcó 0 n a).lim 0, k  Z k n n *ưĐịnhưlíư1:ư(SGK) un , n  lim un 0   lim 0 1  Víi­mäi­n = nk n nk Vì:ưlim =ư0,ưưư n Nênưtheoưđịnhưlíư1ưtaưcó: lim 1k = n 1) Định nghĩa dÃy số có giới hạn Mọiư|un | đềuưnhỏưhơnưmộtưsốư lim un ưưưdư ơngưnhỏưtuỳưýưchoưtrư ớc kểưtừưmộtưsốưhạngưnàoưđóưtrởưđi lim 0 n 2) Mét sè d·y sè cã giíi h¹n a).lim n 0­­­­­­­­­­­­­­­­­b).lim n *ưĐịnh lí 1:ư(SGK) un , n lim un lim *ưĐịnh lí 2:ư(SGK) n Nếuư q