Điều kiện cần cực trị của bài toán biến phân (LV thạc sĩ)

Điều kiện cần cực trị của bài toán biến phân (LV thạc sĩ)Điều kiện cần cực trị của bài toán biến phân (LV thạc sĩ)Điều kiện cần cực trị của bài toán biến phân (LV thạc sĩ)Điều kiện cần cực trị của bài toán biến phân (LV thạc sĩ)Điều kiện cần cực trị của bài toán biến phân (LV thạc sĩ)Điều kiện cần cực trị của bài toán biến phân (LV thạc sĩ)Điều kiện cần cực trị của bài toán biến phân (LV thạc sĩ)Điều kiện cần cực trị của bài toán biến phân (LV thạc sĩ)Điều kiện cần cực trị của bài toán biến phân (LV thạc sĩ)Điều kiện cần cực trị của bài toán biến phân (LV thạc sĩ)Điều kiện cần cực trị của bài toán biến phân (LV thạc sĩ)Điều kiện cần cực trị của bài toán biến phân (LV thạc sĩ)Điều kiện cần cực trị của bài toán biến phân (LV thạc sĩ)Điều kiện cần cực trị của bài toán biến phân (LV thạc sĩ)Điều kiện cần cực trị của bài toán biến phân (LV thạc sĩ)Điều kiện cần cực trị của bài toán biến phân (LV thạc sĩ)Điều kiện cần cực trị của bài toán biến phân (LV thạc sĩ)Điều kiện cần cực trị của bài toán biến phân (LV thạc sĩ)

I HC THI NGUYấN TRNG I HC KHOA HC HONG TH QUNH NH IU KIN CN CC TR CA BI TON BIN PHN Chuyờn ngnh: Toỏn ng dng Mó s: 60.46.01.12 LUN VN THC S TON HC NGI HNG DN KHOA HC PGS TS T DUY PHNG Thỏi Nguyờn - 2017 Mc lc Chng Kin thc chun b 1.1 Khụng gian tuyn tớnh nh chun 1.1.1 Khỏi nim v khụng gian tuyn tớnh 1.1.2 Khỏi nim v khụng gian tuyn tớnh nh 1.2 Phộp tớnh vi phõn 1.2.1 Di vi phõn ca hm li 1.2.2 o hm Gõteaux 1.2.3 o hm Frộchet chun 5 7 Chng iu kin cn cc tr cho bi toỏn ti u khụng gian vụ hn chiu 13 2.1 nh lớ Fermat 14 2.1.1 Bi toỏn trn khụng cú rng buc 14 2.1.2 Bi toỏn li khụng cú rng buc 16 2.2 Qui tc nhõn t Lagrange 19 Chng iu kin cn cho bi toỏn bin phõn 30 3.1 Bi toỏn bin phõn c s 33 3.2 Phng trỡnh Euler 34 3.3 B Du Bois-Reymond v bi toỏn Bolza 42 3.4 Vớ d ca Hilbert 49 3.5 iu kin Weierstrass 51 3.6 iu kin Legendre 53 3.7 iu kiờn Jacobi 55 3.8 Bi toỏn ng chu 59 3.9 Bi toỏn iu khin ti u v nguyờn lý cc i Pontriagin 62 3.9.1 Dn ti bi toỏn iu khin ti u 62 3.9.2 Bi toỏn iu khin ti u 63 Ti liu tham kho 66 Li núi u iu kin cn cc tr cho bi toỏn ti u c Fermat phỏt biu cỏch õy hn 300 nm Lớ thuyt iu kin cn cc tr khụng gian hu hn chiu cho bi toỏn cú hn ch c phỏt trin qua nhiu thi kỡ bi cỏc nh toỏn hc Lagrange, Euler, Kuhn, Tucker, Nm 1696, Johann I Bernoulli ó phỏt biu bi toỏn ng on thi (brachistochrone): Cho trc hai im A v B trờn mt mt phng thng ng Hóy xỏc nh ng AM B di tỏc ng ca lc trng trng mt vt th M chuyn ng trờn ú t A n B thi gian ngn nht Vn ny bt ngun t thc nghim ca G Galilei: Nu cho hai viờn bi ging ln trờn dõy cung v trờn cung trũn thỡ viờn bi ln trờn cung trũn cú th n im cui nhanh hn (mc dự ng i di hn, nhng tc ln hn) Gi s y(x) l hm mụ t ng cong chuyn ng ca viờn bi trờn h trc ta (x, y) vi y(x0 ) = 0, y(x) x x0 im A cú ta l A(x0 , 0) v im B cú ta l B(x1 , y1 ) cho trc Gi thit lc ma sỏt l khụng ỏng k, theo nh lut ri Galilei, ta cú tc ca viờn bi l 2gy(x), ú g 9, 8m/s2 l gia tc ri t Quóng ng i c sau thi gian dt l ds = + y (x)dx ds Vỡ v(t) = nờn dt 2gy(x) = + y (x)dx hay dt = dt x1 Thi gian i t A(x0 , 0) n B(x1 , y1 ) s l: T = x0 + y (x) 2gy(x) + y (x) 2gy(x) dx dx Bi toỏn tr thnh: Trong s tt c cỏc qu o (ng cong) y(x) ni hai im A(x0 , 0) n B(x1 , y1 ) cho trc, hóy tỡm ng cong x1 + y (x) lm cc tiu phim hm 2gy(x) x0 dx õy l bi toỏn cc tr cú rng buc: x1 + y (x) T = 2gy(x) x0 dx inf (1) y(x0 ) = 0, y(x1 ) = y1 (2) Bi toỏn (1)(2) l bi toỏn ti u khụng gian vụ hn chiu (khụng gian tt c cỏc ng cong trn ni hai im cho trc) Sau Bernoulli, bi toỏn ny c tng quỏt thnh bi toỏn bin phõn: t1 L(t, x(t), x(t))dt inf J(x(.)) = t0 (x(t0 ), x(t1 )) , ú [t0 , t1 ] R cho trc, Rn ì Rn , L l hm liờn tc trờn no ú ca R ì Rn ì Rn Mc ớch ca lun l trỡnh by cỏc khỏi nim nghim yu v nghim mnh a phng v ton cc ca bi toỏn bin phõn, cỏc iu kin cc tr cp mt v cp hai ca bi toỏn bin phõn Tỏc gi xin by t lũng bit n sõu sc ti PGS.TS T Duy Phng ó tn tỡnh hng dn v giỳp em sut quỏ tỡnh hc v nghiờn cu Em cng xin by t lũng bit n chõn thnh ti cỏc Giỏo s, Phú giỏo s, Tin s, quý thy cụ giỏo ging dy ti i hc Khoa hc, i hc Thỏi Nguyờn v ti Vin Toỏn hc, Vin Hn lõm Khoa hc v Cụng ngh Vit Nam, ó mang n cho em nhiu kin thc b ớch nghiờn cu khoa hc ng thi, tụi xin gi li cm n ti gia ỡnh v cỏc bn ng mụn ó luụn giỳp v ng viờn tụi thi gian hc v quỏ trỡnh hon thnh lun Thỏi Nguyờn, thỏng 05 nm 2017 Tỏc gi Hong Th Qunh Nh Chng Kin thc chun b 1.1 1.1.1 Khụng gian tuyn tớnh nh chun Khỏi nim v khụng gian tuyn tớnh nh ngha 1.1.1 Tp X = gm cỏc i tng no ú c gi l mt khụng gian tuyn tớnh trờn trng s thc R, nu trờn ú: (I) Cú qui tc cho ng vi hai phn t x, y bt k thuc X mt phn t z cng thuc X c gi l tng ca x v y, ký hiu z = x + y; (II) Cú qui tc cho ng vi mt phn t R v mt phn t x X mt phn t p cng thuc X gi l tớch gia vi x, ký hiu l p = x (III) Cỏc qui tc cho (I) v (II) phi tha tỏm tiờn sau õy: (1) x, y X : x + y = y + x (tớnh giao hoỏn); (2) x, y, z X : (x + y) + z = x + (y + z) (tớnh kt hp); (3) (phn t 0) cho x X : + x = x + = x; (4) x X : x (phn t i) cho: x + x = x + x = ; (5) x X : 1x = x; (1 R); (6) R, x, y X : (x + y) = x + y; (7) , R, x X : ()x = (x); (8) , R, x X : ( + )x = x + x Vớ d 1.1.2 Khụng gian cỏc hm liờn tc t [a, b] vo R, kớ hiu l C[a, b] l mt khụng gian tuyn tớnh Tng t, khụng gian cỏc hm kh vi liờn tc trờn [a, b], kớ hiu l C1 [a, b] cng l khụng gian tuyn tớnh Tht vy, vi nh ngha (i) z = x + y z(t) = x(t) + y(t) t [a, b]; (ii) z = .x z(t) = x(t) t [a, b] thỡ tỏm tiờn trờn c tha Vy khụng gian cỏc hm liờn tc hoc cỏc hm kh vi liờn tc trờn [a, b] l mt khụng gian tuyn tớnh 1.1.2 Khỏi nim v khụng gian tuyn tớnh nh chun Khụng gian tuyn tớnh X trờn R c gi l khụng gian (tuyn tớnh) nh chun, nu trờn ú cú qui tc cho ng vi mi phn t x X bt k mt s thc khụng õm gi l chun (hoc di) ca x, ký hiu l x , tha cỏc tớnh cht sau õy: (i) x X : x v x = x = (tớnh khụng õm); (ii) x X, R : x = || x (tớnh ng nht); (iii) x, y X : x + y x + y (Bt ng thc tam giỏc) Vớ d 1.1.3 Khụng gian C[a, b] cỏc hm liờn tc : R R v khụng gian C1 [a, b] l khụng gian tuyn tớnh nh chun vi chun tng ng l x C[a,b] = max |x(t)| v atb x C1n [a,b] = max{ x C[a,b] , x C[a,b] = max{max |x(t)|, max |x(t)|} atb atb Khi y ba tiờn v chun c tha x1 (t) n Vớ d 1.1.4 Gi s: x(ã) : [a, b] R , tc l: x(t) = xn (t) x (t) Rn t [a, b], ta nh ngha x(t) = x n (t) Kớ hiu: C n [a, b] v C1n [a, b] l cỏc khụng gian tuyn tớnh trờn [a, b] vi nh ngha thụng thng v phộp toỏn cng vộct v nhõn mt s vi mt vộct Ta nh ngha: x C n [a,b] = max { xi 1in C[a,b] } v x C1n [a,b] = max { xi 1in C1 [a,b] } Khi y C n [a, b] v C1n [a, b] l cỏc khụng gian tuyn tớnh nh chun 1.2 Phộp tớnh vi phõn 1.2.1 Di vi phõn ca hm li Cho f l mt hm li tht (hm li chớnh thng) trờn X Tp f (x) := {x X | f (z) f (x) x , z x z X} (1.1) c gi l di vi phõn ca f ti x Vớ d 1.2.1 (Di vi phõn ca hm ch) Vi mi x A thỡ (x|A) khỏc rng vỡ nú u cha T nh ngha ta suy (x | A) = N (x | A), (1.2) N (x|A) := {x X | x , z x z A} (1.3) ú l nún phỏp tuyn (normal cone) ca A ti im x 1.2.2 o hm Gõteaux Cho X v Y l hai khụng gian tụ pụ tuyn tớnh, V l mt lõn cn ca x X v F : X Y Nu F (x, h) := lim t1 (F (x + th) F (x)) t0 tn ti vi mi h X thỡ ỏnh x h F (x, h) c gi l bin phõn bc nht ca F ti x Nu tn ti mt toỏn t tuyn tớnh liờn tc : X Y cho h = F (x, h) h X thỡ c gi l o hm Gõteaux, ký hiu l FG (x) Khi y ta núi: F kh vi Gõteaux ti x iu ny xy v ch tn ti toỏn t tuyn tớnh liờn tc : X Y cho F (x + th) = F (x) + th + o(t) h X Vớ d 1.2.2 Cho r v l ta cc ca x R2 v f (x) = r cos Ta cú f (0.h) = f (h) Vỡ f (0.h) khụng tuyn tớnh nờn f khụng kh vi Gõteaux ti R2 Trong Gii tớch li, di vi phõn úng vai trũ ca o hm Nu mt hm li kh vi Gõteaux ti mt im thỡ di vi phõn ti im ú cú mt phn t nht l o hm Gõteaux 1.2.3 o hm Frộchet Nu X v Y l khụng gian Banach, F : X Y kh vi Frộchet ti x nu tn ti toỏn t tuyn tớnh liờn tc : X Y cho F (x + h) = F (x) + h + r(h) lim vi h X r(h) Y = h X Khi ú l o hm Frộchet, ký hiu l FF (x) hay F (x) nh x F c gi l chớnh qui ti x nu nú kh vi Frộchet ti x v ImF (x) = Y Kớ hiu L(X, Y ) khụng gian ca cỏc toỏn t tuyn tớnh liờn tc t X v Y, trang b chun = sup x x Y X =1 Nu F : X Y kh vi Frộchet ti mi im m V v ỏnh x x F (x) liờn tc trờn V (hay ti x0 V ) theo tụ pụ L(X, Y ) thỡ ta núi F kh vi liờn tc trờn V (hay ti x0 ,) hay F thuc vo lp C1 Nu F l mt phim hm v F (x) = thỡ x c gi l mt im dng Vớ d 1.2.3 (o hm Frộchet ca ỏnh x afin) Mt ỏnh x A : X Y t khụng gian tuyn tớnh X vo khụng gian tuyn tớnh Y cú dng A(x) = x + a, vi a X v l mt ỏnh x tuyn tớnh t X vo Y , c gi l ỏnh x afin Nu X v Y l khụng gian Banach v liờn tc thỡ A kh vi Frộchet khp ni v AF (x) = Mnh 1.2.4 a) Nu F kh vi Frộchet ti x thỡ F liờn tc v kh vi Gõteaux ti õy FG (x) = FF (x) b) Nu F kh vi Gõteaux ti x thỡ F bin phõn bc nht tn ti ú v F (x, h) = FG (x)h Chng minh: Xem [4], p 35 Vớ d 1.2.5 Hm nu x = (x )2 v x = 0, 2 f (x1 , x2 ) = trng hp cũn li kh vi Gõteaux ti (0, 0) R2 nhng khụng liờn tc ti ú nờn theo Mnh 1.2.4 thỡ nú khụng th kh vi Frộchet c Ta cú nh lý 1.2.6 (nh lớ giỏ tr trung bỡnh) Cho X v Y l cỏc khụng gian tụ pụ tuyn tớnh, U l mt m ca X, ỏnh x F : U Y kh vi Gõteaux ti mi im trờn on ni [x, x + h] U Khi ú ta cú: a) Nu ỏnh x z FG (z) l mt ỏnh x liờn tc ca [x, x + h] vo Y thỡ F (x + h) F (x) = FG (x + th)h dt b) Nu X v Y l khụng gian Banach thỡ F (x + h) F (x) sup FG (x + th) ã h 0t1 v vi mi L(X, Y ) : F (x + h) F (x) h sup FG (x + th) ã h 0t1 52 Theo iu kin Weierstrass (3.22) thỡ L(t, x (t), ) L(t, x (t), x (t), ))Lx (t, x (t), x (t), )) (3.23) Cú ngha l: th ca hm L(t, x (t), ) : R R nm phớa trờn ng tip tuyn ti = x (t) Ngi ta d t cõu hi: t c t giỏ tr cc tiu ca tớch phõn t01 L(t.x (t), x (t))dt, ti khụng chn x (t) l im cc tiu ca L(t, x (t), ) vi mi t [t0 , t1 ]? iu ú cú c khụng, vỡ nh vy thỡ khụng th tha iu kin x (t0 ) = x0 v x (t1 ) = x1 S d phi ũi hi (3.5.1) ỳng vi mi R l vỡ: cú khụng gian C[0, 1], mc dự x(ã) C n rt nh nhng |x(t)| th ln tựy ý D thy rng: iu kin Weierstrass (3.22) hin nhiờn c tha nu hm L ta chớnh qui, tc l L(t.x, ã) li (theo bin th ba) vi mi t v x Quay li vớ d 3.2.4, ta cú x (t) = t, x (t) = v (t, x (t), x (t), ) = ( 1)3 = ( 1)2 ( + 2) < < Nh vy, nghim x (t) = t khụng tha iu kin Weierstrass, nờn nú khụng th l nghim ti u a phng mnh ca bi toỏn (3.7) chng minh nh lớ trờn K Weierstrass ó s dng mt loi hm nhiu c bit: / [, + ] cho t h(t, , ) := cho t = + , R, (3.24) afin trờn on [, + ] v [ + , + ], gi l bin phõn Weierstrass Hm ny cú phn th (khỏc 0) l mt hỡnh tam giỏc, m di ỏy tin ti thỡ tam giỏc ú tin dn n trit tiờu ( hm b nhiu x (ã) + h(., , ) tin dn n x (ã) theo chun C n ), nhng nghiờng x = ca cnh trờn on [, + ] 53 khụng thay i Nh vy, tam giỏc nhiu ú cng ging mt cỏi kim Vỡ vy, ngi ta cũn gi hm nhiu y l bin phõn hỡnh kim Vi bt kỡ thuc (t0 , t1 ) v > 0, kho sỏt t1 := , ))dt L(t, x (t) + h(t, , ), x (t) + h(t, t0 ta cú lim (+0) = L(, x ( ), x ( ), )L(, x ( ), x ( ))Lx (, x ( ), x ( )) Do (+0) (vi mi > 0) nờn ng thc va ri cho ta kt lun ca nh lớ 3.5.1 (xem [1], trang 54) 3.6 iu kin Legendre Khỏc vi hai iu kin ó xột, iu kin Legendre l iu kin cn bc hai C th, ta cú: nh lý 3.6.1 (iu kin Legendre cho nghim cc tiu yu) Gi thit rng L kh vi liờn tc ba ln U R3 , (t, x (t), x (t)) U vi mi t [t0 , t1 ], hm x (ã) kh vi liờn tc hai ln trờn [t0 , t1 ] Nu x (ã) l nghim ti u a phng yu ca bi toỏn (3.3) thỡ A(t) := Lx x (t, x (t), x (t)) t [t0 , t1 ] (3.25) (3.25) c gi l iu kin Legendre Nú núi lờn rng qu o ti u ch i qua nhng im m L khụng lừm theo bin th ba Bõy gi ta xột mt bi toỏn gn ging vi (3.7) Vớ d 3.2.4, ch thay i mt chỳt iu kin biờn Vớ d 3.6.2 (Nghim ca Phng trỡnh Euler khụng tha iu kin Legendre) x (t)dt inf; F(x(ã)) = x(0) = 0, x(1) = , (3.26) 54 Tng t nh Vớ d 3.2.4, Phng trỡnh Euler v iu kin biờn 6x(t)ă x(t) = 0, x(0) = 0, x(1) = , cho nghim nht l x (t) = t Khi ú L = x dn n A(t) = Lx x (t, x (t), x (t)) = 6x (t) = Rừ rng, iu kin Legendre c tha v ch Do ú, theo cỏc nh lớ 3.2.2 v 3.6.1, bi toỏn (3.26) khụng cú nghim ti u a phng yu nờn < Chng minh nh lớ (3.6.1): Kớ hiu B(t) = Lxx |x (t) , C(t) = Lxx |x (t) (3.27) Ta cú bin phõn bc hai ca F(ã) ti x (ã) F(x (ã), x(ã)) t1 = t0 t1 = (A(t)x (t) + B(t)x2 (t) + 2C(t)x(t)x(t))dt (A(t)x (t) + (B(t) t0 d C(t))x2 (t)dt dt (3.28) (3.29) cho x(ã) L0 , ú L0 = {x(ã) C1 [t0 , t1 ] | x(t0 ) = x(t1 ) = 0} Vỡ x (ã) l nghim ti u a phng ca bi toỏn (3.3) nờn theo nh lớ 3.2 (iu kin cn bc cao) ta cú F(x (ã), x(ã)) 0, x(ã) L0 (3.30) Gi s iu kin (3.25) khụng tha thỡ gi thit kh vi ca L v x (ã) kộo theo s tn ti ca mt im (t0 , t1 ) cho A( ) < ch iu ny dn n mõu thun vi (3.30), ta s dng phộp bin 55 phõn sau: h(t, , ) = |t | cho |t | , cho |t | Bin phõn ny cú nột c bit l h(t, , ) , , )| |h(t, , )h(t, = , h (t, , )dt = |t |/2 Vỡ vy, thay vo (3.28) ta cú F(x (ã), h(., , )) max A(t) + max |B(t)| + max |C(t)| |t |/2 |t |/2 |t |/2 A( ) < Nh vy, nh thỡ F(x (ã), h(., , )) < Cú iu h(., , ) khụng kh vi liờn tc nờn nú khụng thuc v L0 Tuy nhiờn, ch , ) L0 tha cn lm trn h(., , ) thỡ ta s thu c h(., , )) < iu ny mõu thun vi (3.30) Do ú, x (ã) F(x (ã), h(., phi tha iu kin (3.25) 3.7 iu kiờn Jacobi Trong cỏc phn trờn, ta thng dựng cỏch hm bin phõn ch khỏc trờn mt khong nh gõy nhiu cc b Vỡ vy, iu kin cn thu c cng ch a m bo mang tớnh cht cc b Ngha l: trờn tng khong nh thỡ nghim tha iu kin cn cng tt Song, cng nh cuc sng hng ngy, nhiu cỏi tt din hp gp li vi cha chc ó cho thnh phm ti u din rng Vớ d sau õy s minh iu ú Vi hai im A v B cho trc trờn b mt mt qu cu, ta phi tỡm ng ngn nht chy trờn mt cu v ni hai im ú Khi hai im A v B gn thỡ ng ni ngn nht phi l on 56 nm gia, thuc giao ca mt cu v mt phng i qua tõm cu cựng hai im ú Rừ rng, õy l mt iu kin cn cc tt, n mc A v B gn thỡ nú ch cho mt nghim nht, chớnh l nghim ti u Nhng A v B nm xa nhau, gn i xng qua tõm, thỡ ta bt u lỳng tỳng vi khỏi nim nm gia, bi l cú hai on cong khỏc cựng trờn mt phng qua tõm v nm gia hai im ú Tr trng hp A v B thc s i xng qua tõm, cũn li mt hai ng c viờn m iu kin cn a khụng th l ng ni ngn nht Lm th no khc phc tỡnh trng trờn? Ta cú th thờm ũi hi sau õy vo iu kin cn: Ngoi im B ra, on ni cn tỡm khụng cú im no i xng vi A qua tõm cu! iu kin ny giỳp loi bt trng hp xu hn Vi kinh nghim ny, ta cú th hiu hn phn no v s xut hin ca iu kin Jacobi, l iu kin cn mang tớnh cht ton cc quan trng nht cho nghim cc tiu a phng Hóy ý rng: Bin phõn dựng chng minh iu kin ny cú th khỏc trờn gn khp khong kho sỏt [t0 , t1 ] t K(x(ã)) = F(x (ã), x(ã)), (3.29)-(3.30) cho ta t1 K(x(ã)) = (A(t)x (t) + B(t) t0 d C(t)x2 (t))dt x(ã) L0 dt (3.31) Nu tn ti mt bin phõn x(ã) L0 khụng tm thng (;tc l x(ã) ng nht 0), cho giỏ tr cc tiu ca K(ã), ngha l nú gõy nh hng ớt nht ti F(x (ã)), thỡ x(ã) phi tha phng trỡnh Euler sau: d d (A(t)x) + B(t) C(t) x = dt dt (3.32) Ngi ta gi õy l Phng trỡnh Jacobi Vi cỏc gi thit v tớnh kh vi nh nh lớ 3.6.1, (3.32) cú 57 dng x + (B(t) C(t))x A(t)ă x A(t) = Nu thờm vo ú l iu kin Legendre ngt A(t) = Lx x (t, x (t), x (t)) > t [t0 , t1 ] (3.33) c tha thỡ ta cú th a (3.32) v dng sau xă P (t)x Q(t)x = 0, ú P (t) = A1 (t)A(t), Q(t) = A1 (t)(B(t) C(t)) (3.34) Gi (., t0 ) l nghim ca phng trỡnh (3.34) vi iu kin ban u (t0 , t0 ) = 0, , t0 ) = (t (ta bit rng bi toỏn Cauchy ny cú nht nghim) Mt im > t0 c gi l im liờn hp ca t0 nu (, t0 ) = nh lý 3.7.1 (iu kin cn Jacobi) Gi thit rng: L kh vi liờn tc ba ln U R3 , (t, x (t), x (t)) U vi mi t [t0 , t1 ], hm L kh vi liờn tc hai ln trờn [t0 , t1 ] v tha iu kin Legendre ngt (3.33) Nu x (ã) l nghim ti u a phng yu ca bi toỏn (3.3) thỡ khụng th tn ti mt im liờn hp ca t0 khong (t0 , t1 ) Cú th so sỏnh vai trũ im liờn hp ca t0 nh im i xng qua A ca tõm cu (trong vớ d k trờn) Cho nờn, iu kin khụng th tn ti mt im liờn hp ca t0 khong (t0 , t1 ) cng ging nh ũi hi on ni cn tỡm khụng cú im no i xng vi A qua tõm cu (ngoi im B ra) Chng minh (túm tt): Gi s ngc li: tn ti (t0 , t1 ) vi (, t0 ) = (3.35) 58 Do phng trỡnh (3.34) ch cú mt nghim nờn (, t0 ) = (3.36) Chn (t, t ) h(t) = cho t [t0 , ], cho t [, t1 ] Thc hin tớch phõn tng phn ri s dng (3.32) v (3.35), ta nhn c (A(t) (t, t0 ) + (B(t) C(t)) (t, t0 ))dt K(h(ã)) = t0 = t0 d t0 )] + (B(t) C(t))(t, [A(t)(t, t0 ) (t, t0 )dt dt = ch mõu thun, dựng bin phõn sau ca hm h(ã) : h(t) cho t0 t , h(t, , , ) = afin trờn [ , + ], cho t + , vi v l cỏc thụng s nguyờn dng nh Vi () = K(h(., , , )), cú th ch rng (+0) = A( ) (, t0 ) (xem chi tit [4], bn ting Anh: P 133) Do iu kin Legendre ngt (3.33) v (3.36), ta cú (+0) < 0, ngha l tn ti > v > nh K(h(., , , )) < Bõy gi ta ch cn lm trn h(., , , ) nhn c h(ã) L0 vi K(h(ã)) < iu ny mõu thun vi (3.31) 59 Vớ d 3.7.2 T (x (t) x2 (t))dt inf; F(x(ã)) = x(0) = x(T ) = 0 Phng trỡnh Euler cho bi toỏn ny l xă + x = Trc ht, xột trng hp T = Tt c cỏc hm cú dng xc (t) = c sin t u tha phng trỡnh ny v iu kin biờn x(0) = x(2) = Tuy nhiờn, khụng mt hm no s ú l nghim ti u a phng yu, vỡ i vi chỳng, phng trỡnh (3.34) tng ng u l xă + x = 0, x(0) = 0, x(0) =1 v cho nghim (t, 0) = sin t Do (, 0) = nờn l im liờn hp ca 0, li nm khong (0, 2) Ngha l mi xc (ã) u khụng tha iu kin cn Jacobi Trong trng hp T < , hm x (t) tha phng trỡnh Euler v iu kin biờn x(0) = x(T ) = Nú cng tha iu kin cn Jacobi, vỡ mi im liờn hp ca u ln hn T Trờn thc t, nú l ti u a phng yu, vỡ cú th ch rng T T F(x(ã)) = (x(t) x(t) cot t)2 dt (x (t) x (t))dt = 0 T < v x(ã) L0 3.8 Bi toỏn ng chu Phộp tớnh bin phõn khụng dng li cỏc bi toỏn c s n gin nh (3.2) hay (3.3) Trong phn ny, ta xột mt lp rng hn, gi l bi toỏn ng chu: t1 F(x(ã)) = f0 (t, x, x)dt inf; t0 t1 fj (t, x, x)dt = j , j = 1, , m, (3.37) t0 h0 (x(t0 )) = h1 (x(t1 )) = 0, fj : R ì Rn R, j = 1, , m, hi : Rn Rsi , i = 0, (3.38) 60 ng chu (isoperimetric) cú ngha l chu vi khụng thay i Nhng chu vi no? Thc bi toỏn ng chu c in, iu kin chu vi khụng thay i c th hin di dng: tớch phõn biu din chu vi bng mt hng s cho trc V sau, ngi ta dựng luụn tờn ng chu cho nhng bi toỏn m rng hay cú dng tng t S dng qui tc nhõn t Lagrange (nh lớ 3.4), ta cú th chng minh c nh lớ sau: nh lý 3.8.1 Gi thit rng cỏc hm xut hin bi toỏn u kh vi liờn tc Nu x (ã) l mt nghim ti u a phng yu ca (3.37) thỡ tn ti cỏc nhõn t Lagrange j R, j m, li Rsi , i = 0, 1, cho chỳng khụng cựng trit tiờu v hm Lagrange m L(t, x, x) = j fj (t, x, x) j=0 tha phng trỡnh Euler d Lx + Lx |x (t) = dt vi cỏc iu kin biờn T Lx|x (t0 ) = h (x (t0 ))l0 , T Lx|x (t1 ) = h (x (t1 )) Vớ d 3.8.2 Xỏc nh hỡnh dỏng ca mt si dõy ng u c treo lờn hai u Bi toỏn ny cú ý ngha thc t: Khi cng dõy in, ngi ta cn bit dỏng iu xỏc nh vừng ca nú iu ny thc s cn thit cho vic m bo an ton ng in Ta biu din hỡnh dỏng si dõy h trc ta (t, x) n gin, ch xột trng hp hai u treo cao bng nhau, tc l ti hai im (t0 , 0) v (t0 , 0) Ta cú s = x + t = t + x t 61 Suy ds = + x (t)dt di v th nng ca si õy l t0 t0 s= 1+ ds = x dt + x dt (g 9.8m/s2 ) gx v t0 t0 Gi l l di cho trc ca si dõy, ta cú bi toỏn bin phõn sau õy: t0 x + x dt inf; t0 t0 + x dt = l, x(t0 ) = x(t0 ) = t0 Bõy gi ta ỏp dng nh lớ 3.8.1 Hm Lagrange tng ng l L = x + x + 1 + x = + x (0 x + ) Vỡ vy L khụng ph thuc vo t, theo H qu 3.2.3, phng trỡnh Euler cú tớch phõn nng lng H(t) = Lx (x (t), x (t))x (t) L(x (t), x (t)) = x (1 + x )1/2 (0 x + ) + x (0 x + ) x = (0 x + ) + x 2 + x (1) = (0 x + ) = const, + x tc l x + = C + x Nu = thỡ + x = + x = x = C x = const C C 2 = const 62 iu kin biờn kộo theo x v l = 2t0 Nu l > 2t0 thỡ ta cú th t = v = Sau gii phng trỡnh ta cú + x x+=C x + = C cosh t +D C Do iu kin biờn i xng nờn D = di si dõy x = C cosh(t/C), t0 t t0 , l 2C sinh(t0 /C) Gi C0 l nghim ca phng trỡnh C sinh(t0 /C) = = C0 cosh(t0 /C0 ), ta nhn c dng ca si dõy l/2 v x(t) = C0 cosh(t/C0 ) + 3.9 Bi toỏn iu khin ti u v nguyờn lý cc i Pontriagin 3.9.1 Dn ti bi toỏn iu khin ti u Mt bc phỏt trin mi ca bi toỏn cc tr l Bi toỏn iu khin ti u Phn ny trỡnh by bi toỏn iu khin ti u nh l s phỏt trin ca bi bin phõn c in Xột hp cỏc hm liờn tc tuyt i AC([0, T ], Rn ) := x(.) : [0, T ] Rn |x(.)liờn tc tuyt i Bi toỏn t l: Tỡm mt hm x(t) AC([0, T ], Rn ), vi cỏc iu kin cho trc x(0) = x0 , x(T ) = x1 , cho hm T J(x) = L(t, x(t), x(t))dt, ú L : R ì Rn ì Rn R l hm liờn tc, t giỏ tr nh nht Nu ta t x(t) = u(t), t [0, T ] v coi u(t) ( l mt hm o c x(t) liờn tc tuyt i) nh l mt bin iu khin, thỡ ta cú bi toỏn iu khin ti u: Trong s tt c cỏc hm o c u(t) trờn [0, T ], 63 hóy tỡm mt qu o tng ng x(t) ca h x(t) = u(t), t [0, T ] x(0) = x0 , x(T ) = x1 cho T J(x, u) = L(t, x(t), u(t))dt, t cc tiu Nh vy, bi toỏn bin phõn c in núi trờn c a v bi toỏn tỡm cc tiu ca hm mc tiờu J(u) trờn cỏc iu khin chp nhn c u(.) a trng thỏi x0 v x1 bi phng trỡnh iu khin x(t) = u(t) Vớ d trờn cho thy cn thit nghiờn cu bi toỏn iu khin ti u mụ t bi h phng trỡnh vi phõn tng quỏt 3.9.2 Bi toỏn iu khin ti u Trong mc ny, ta xột bi toỏn iu khin ti u vi khong thi gian [t0 , t1 ] c nh v trng thỏi kt thỳc x(t1 ) hon ton t C th l: t1 L(t, x(t), u(t))dt inf, F(x, u) := (3.39) t0 x(t) = f (t, x(t), u(t)) Rn , (3.40) u(t) U Rr , (3.41) x(t0 ) = x0 (3.42) ú L v f liờn tc theo mi bin v kh vi liờn tc theo x So vi mụ hỡnh tng quỏt xem [1] trang 70 thỡ õy ta cú (t, x) = x x0 , (t, x) chng minh Nguyờn lớ cc i Pontryagin mt cỏch n gin, ta s s dng mt gi thit quan trng l: iu khin ti u liờn tc tng khỳc Cựng vi gi thit x(t1 ) t do, ta cú th s dng bin phõn hỡnh kim, 64 nh ó tng lm chng minh iu kin Weierstrass cho nghim cc tiu a phng mnh ca bi toỏn bin phõn (nh lớ 3.5.1) nh lý 3.9.1 (Nguyờn lớ cc i Pontryagin) Cho x (ã), u (ã) l mt quỏ trỡnh ti u ca bi toỏn (3.39)-(3.42) v iu khin ti u u (ã) liờn tc tng khỳc Lỳc ú tn ti mt hm vector p(ã) cho: a) hm p(ã) tha phng trỡnh liờn hp p(t) = Hx (t, x (t), u (t), p(t), 1) = fxT (t, x (t), u (t))p(t) + Lx (t, x (t), u (t)) (3.43) v iu kin honh p(t1 ) = 0; (3.44) b) iu kin cc i H(t, x (t), u (t), p(t), 1) = sup H(t, x (t), u.p(t), 1) (3.45) uU c tha hu khp trờn [t0 , t1 ] Nhc li rng H(t, x, u, p, 1) = (p| f (t, x, u)) L(t, x, u) Kt lun trờn l mt trng hp c bit ca mụ hỡnh tng quỏt xem [1] trang 66 õy khụng cn nhc n hai vector l0 vl1 c bit, = 0, vỡ gi s = thỡ p(ã) phi l nghim ca phng trỡnh vi phõn p(t) = fxT (t, x (t), u (t))p(t), p(t1 ) = 0, tc l p(t) 0, mõu thun vi iu kin rng cỏc nhõn t Lagrange khụng ng thi trit tiờu, Vỡ vy, cú th t = Chng minh:Xem [1] trang 75-78 65 Kt lun Lun ó trỡnh by iu kin cn ca bi toỏn cc tr, bt u t in kin cn Fermat cho bi toỏn ti u mt hm trn n bi toỏn cc tr cú rng buc, cho cỏc hm mc tiờu trn hoc li khụng gian hu hn chiu c bit, lun ó trỡnh by cỏc iu kin cn ti u cho bi toỏn bin phõn (bi toỏn ti u khụng gian vụ hn chiu) Trong lun ó trỡnh by cỏc chng minh chi tit iu kin cn ti u cho bi toỏn bin phõn c s v bi toỏn bin phõn Bolza, cựng vi cỏc chng minh chi tit B Lagrange v B Du Bois-Reymond 66 Ti liu tham kho Ting Vit [1] Hong Xuõn Phỳ (1997), Bi ging cao hc Lý thuyt cỏc bi toỏn cc tr, H Ni [2] Hong Ty (2005), Hm thc v gii tớch hm, NXB HQG H Ni Ting Anh [3] V M Alekseev, V M Tikhomirov, S V Formin (1979), Optimal Control, ting Nga: Nauka, Moscow [4] A D Ioffe, V M Tikhomirov (1974) Theory of Extremal Problems, ting Nga: Nauka, Moscow; ting Anh (1979), NorthHolland, Amsterdam [5] L S Pontryagin, V G Boltyasli, R V Gamkrelidze, E F Mishchenko (1961), The mathematical Theory of Optimal Processes, ting Anh (1961), Fizmatgiz, Moscow; ting Nga (1962), Interscience, New York [6] Mike Mesterton-Gibbons (2009), STUDENT MATHEMATICAL LIBRARY Volume 50 A Primer on the Calculus of Variations and Optimal Control Theory [7] Richard Vinter (2000), Optimal Control, Birkhauser, Boston, Basel, Berlin ... Chương Điều kiện cần cực trị cho toán tối ưu không gian vô hạn chiều Chương trình bày điều kiện cần cực trị cho toán tối ưu không gian hữu hạn chiều, kiến thức chuẩn bị cầu nối để hiểu toán tối... đầu Điều kiện cần cực trị cho toán tối ưu Fermat phát biểu cách 300 năm Lí thuyết điều kiện cần cực trị không gian hữu hạn chiều cho toán có hạn chế phát triển qua nhiều thời kì nhà toán học... lúc giao [y, z] hình tròn đơn vị tập nghiệm tối ưu 30 Chương Điều kiện cần cho toán biến phân Nghiên cứu điều kiện cần cho toán biến phân nguyên nhân quan trọng dẫn đến hình thành Giải tích không