mời các bạn đón đọc các bài tập về cực trị của hàm số bậc ba.. Toàn bộ tài liệu bao gồm các dạng bài tập và các lời giải chi tiết của các bài tập có trong tài liệu. Với tài liệu này tôi tin rằng các bạn sẻ nắm vững hơn kiến thức phần cực trị hàm số..
BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÀM SỐ BẬC Bài toán tổng quát: Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0, a, b, c, d phụ thuộc vào tham số) Tìm giá trị tham số để hàm số có cực đại, cực tiểu (cực trị) thỏa mãn điều kiện cho trước Phương pháp: Bước 1: Tính y’ = 3ax2 + 2bx + c, y’ = ⇔ 3ax2 +2bx + c = (1) Để hàm số có cực đại, cực tiểu ⇔ y’ = có hai nghiệm phân biệt ⇔ (1) có hai nghiệm phân biệt ⇔{ ⇔ giá trị tham số thuộc miền D (*) Bước 2: Từ điều kiện cho trước dẫn tới phương trình bất phương trình theo tham số, giải phương trình ta tham số sau đối chiếu với điều kiện (*) kết luận Một số điều kiện thường gặp: -Để hàm số y = f(x) có cực trị ⇔ { -Để hàm số y =f(x) có hai cực trị nằm phía trục hoành ⇔yCĐ.yCT < -Để hàm số y = f(x) có hai cực trị nằm phía trục tung ⇔ xCĐ.xCT > Truy cập http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! ⇔{ có nghiệm phân biệt x1, x2 Đồ thị có điểm cực đại, cực tiểu phía đường thẳng d: ⇔{ có nghiệm phân biệt x1, x2 Chú ý: Khi thay đường thẳng d trục Ox Oy đường tròn áp dụng kết Các kết khác tùy điều kiện để áp dụng VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Cho hàm số (1), m tham số thực Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị x1 x2 cho x1.x2 + 2(x1 + x2) =1 Giải Ta có: y’ = 2x2 – 2mx – 2(3m2 – 1) = 2[x2 – mx – (3m2 – 1)] Đồ thị hàm số có cực trị y’ = ⇔ x2 – mx – (3m2 – 1) = có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆= m2 + 4(3m2 – 1) > = 13m2 – > ⇔ m > √ √ (*) Gọi x1, x2 nghiệm y’ Theo định lý viet ta có { Theo giả thiết x1x2 + 2(x1 + x2) = ⇔-(3m2 – 1) + 2m = ⇔ 3m2 – 2m = ⇔ m = (loại) Vậy (thỏa mãn (*)) giá trị cần tìm Ví dụ 2: Cho hàm số y = x3 – 2(m+1)x2 + (m2 – 3m + 2)x + Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu nằm hai phía với trục tung Giải Hàm số xác định R Đạo hàm y’ = 3x2 – 2(2m + 1)x + m2 – 3m + >> Truy cập http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! Hàm số có CĐ, CT nằm hai phía trục tung ⇔ f’(x) = có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn ⇔ ⇔ Vậy với < m < thỏa mãn Ví dụ 3: Cho hàm số y = (m + 2)x3 + 3x2 + mx – , m tham số Tìm giá trị m để điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số cho có hoành độ số dương Giải Các điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số có hoành độ số dương ⇔ y’ =3(m+2)x2 + 6x +m =0 có nghiệm dương phân biệt ⇔ ⇔{ { ⇔{ Vậy ⇔ giá trị cần tìm Ví dụ 4: Cho hàm số: Tìm tất giá trị m để hàm số có xCĐ, xCT đồng thời xCĐ, xCT độ dài cạnh tam giác vuông có độ dài cạnh huyền √ Giải Ta có: y’ = x2 – mx + m2 – 3; y’ = ⇔ x2 – mx + m2 – 3=0 (*) Hàm số có CĐ, CT ⇔ phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt ⇔∆=m2 – 4(m2 – 3)>0 ⇔ -3m2 + 12 > ⇔ m2 – < ⇔ -2 < m < (1) xCĐ, xCT nghiệm (*) độ dài cạnh tam giác vuông => xCĐ > 0, xCT > =>{ { √ (2) >> Truy cập http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! xCĐ, xCT độ dài cạnh tam giác vuông có độ dài cạnh huyền √ ⇔ => ⇔ ⇔ Kết hợp với điều kiện (1)và (2) √ Vậy √ ⇔ √ √ giá trị cần tìm Ví dụ 5: Cho hàm số y = x3 – 3mx2 + (m2 – m)x + Tìm giá trị m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm hai phía đường thẳng x = Giải Ta có y’ = 3x2 – 6mx + m2 – m (1) Hàm số có CĐ, CT ⇔ y’ = có hai điểm phân biệt ⇔∆’= 9m2 – 3(m2 – m) > ⇔ 2m2 + m > ⇔[ Gọi x1, x2 hai nghiệm y’ = Khi CĐ CT nằm hai phía đường thẳng x = ⇔x1 < < x2 ⇔ x1 - < < x2 – ⇔ (x1 – 1)(x2 – 1) < ⇔ x1x2 – (x1 + x2) + < ⇔ ⇔ √ √ Kết hợp (2) ta ⇔ √ √ giá trị cần tìm Ví dụ 6: Cho hàm số y = x3 – (2m – 1)x2 + (2 – m)x + (1) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu điểm cực trị hàm số có hoành độ dương Giải Đạo hàm y’ = ⇔ 3x2 – 2(2m – 1)x + – m = (*) >> Truy cập http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! Để hàm số có hoành độ điểm cực trị dương ⇔ Phương trình (*) có hai nghiệm dương phân biệt 0< x1 < x2 ⇔ { Vậy ⇔{ ⇔{ ⇔ giá trị cần tìm Ví dụ 7: Cho hàm số y = -x3 + 3x2 + 3(m2 – 1)x – 3m2 – 1, với m tham số thực Xác định m để hàm số có cực đại cực tiểu đồng thời điểm cực đại cực tiểu cách gốc tọa độ O Giải Đạo hàm y’ = -3x2 + 6x + 3(m2 – 1), y’ = ⇔ -3x2 +6x + 3(m2 – 1) = (1) Để hàm số có cực trị ⇔ y’ = có hai nghiệm phân biệt ⇔ (1) có hai nghiệm phân biệt ⇔∆’= m2 > ⇔ m ≠ Khi tọa độ hai điểm cực trị A(1 – m, -2 – m2) B(1+m; -2 + 2m2) Theo giả thiết hai điểm cực trị cách gốc tọa độ ⇔ OA = OB ⇔ (1 – m)2 + (-2 – 2m2)2 = (1+ m)2 + (2 – 2m2)2 ⇔4m3 = m ⇔m= giá trị cần tìm Ví dụ 8: Cho hàm số y = -x3 + 3mx2 – m (1) Tìm giá trị m để hàm số có cực trị, đồng thời điểm cực trị với gốc tọa độ O tạo thành tam giác có diện tích Giải Ta có y’ = -3x2 + 6mx = ⇔ [ Đồ thị hàm số có điểm cực trị ⇔ y’ = có nghiệm phân biệt ⇔ m ≠ (*) Giả sử A(0; -m); B(2m; 4m3 – m) , với OA = |m|; BH = d(B, Oy) = |2m| Suy suy m = ± thỏa mãn (*) >> Truy cập http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! Ví dụ 9: Cho hàm số y = x3 – 3mx2 + 4m3 (m tham số) có đồ thị (Cm) Xác định m để (Cm) có điểm cực đại cực tiểu đối xứng qua đường thẳng y = x Giải Ta có: y’ = 3x2 – 6mx = ⇔ [ Để hàm số có cực đại cực tiểu m ≠ (*) Giả sử hàm số có hai điểm cực trị là: A(0; 4m3), B(2m; 0) =>⃗⃗⃗⃗⃗ Trung điểm đoạn AB I(m; 2m3) Điều kiện để AB đối xứng qua đường thẳng: y = x AB vuông góc với đường thẳng y = x I thuộc đường thẳng y = x ⇔{ √ ⇔ m = √ Kết hợp với điều kiện (*) ta được: giá trị cần tìm Hoặc: Để hai điểm A B đối xứng qua đường thẳng y = x ⇔{ ⇔ ⇔ Kết hợp với điều kiện (*) ta được: √ √ giá trị cần tìm Nhận xét: Hai điểm A, B đối xứng qua đường thẳng ∆ Gọi I trung điểm A, B ⇔ {⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ Ví dụ 10: Cho hàm số y = x3 + 3x2 + m (1) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A, B cho ̂ Giải Ta có: y’ = 3x2 + 6x = ⇔ [ Vậy hàm số có hai điểm cực trị A(0;m) B(-2; m+4) Ta có: ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ Để ̂ ̂ >> Truy cập http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! ⇔ ⇔√ √ ⇔{ ⇔{ ⇔{ √ √ Vậy √ ⇔ giá trị cần tìm Ví dụ 11: Cho hàm số y = x3 – 3x2 + m Với giá trị m hàm số có cực đại, cực tiểu cho yCĐ yCT trái dấu Giải Đạo hàm y’ = 3x2 – 6x; y’ = ⇔ 3x2 – 6x = ⇔ [ Vậy hàm số có cực đại, cực tiểu hai điểm M1(0;m), M2 (2; m -4) Để yCĐ yCT trái dấu tức yCD.yCT < ⇔ m(m – 4)< ⇔ < m < Vậy với < m 0, ∀ a R Vậy y’ = có nghiệm phân biệt Do đó, hàm số có cực đại, cực tiểu Để hàm số có cực đại, cực tiểu cách trục tung thì: x1 + x2 = (trong x1; x2 hoành độ điểm cực trị nghiệm phương trình y’ = 0) ⇔ ⇔ Vậy với a = hàm số có CĐ, CT cách trục Oy >> Truy cập http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! Ví dụ 13: Cho hàm số: y = x3 + 3x2 – Hãy tìm giá trị a để hai điểm cực trị hàm số nằm hai phía đường tròn: x2 + y2 – 2x – 4ay + a2 – = Giải Ta có: y’= 3x2 + 6x, y’ = ⇔ 3x2 + 6x = ⇔[ Hàm số có hai điểm cực trị A(0;-4) B(-2;0) Để hai điểm cực trị nằm hai phía đường tròn (C) thì: P(A,(C)).P(B,(C)) < ⇔ (15+16a+a2)(7 +a2) 0, ∀a Vậy -15 < a < -1 giá trị cần tìm Ví dụ 14: Cho hàm số y = x3 – 3mx2 + (m2 – m)x + Tìm giá trị m để hàm số có cực đại, cực tiểu trung điểm đoạn thẳng nối hai điểm cực trị đồ thị thuộc đường thẳng ∆: -2x – y + = Giải Ta có: y’ = 3x2 – 6mx + m2 – m Hàm số có CĐ, CT ⇔ y’ = có hai nghiệm phân biệt ⇔∆’ = 9m2 – 3(m2 – m) > ⇔ 2m2 + m > ⇔ [ (2) Gọi x1, x2 hai nghiệm y’ = Khi tọa độ hai cực trị A(x1,y1), B(x2, y2) Gọi I trung điểm AB => Điểm I ∆ ⇔ -2m – (-m3 – m2 + 4) + = ⇔ m3 + m2 – 2m = Giải phương trình ta m = 0, m =1, m = -2 Kết hợp (2) ta m =1, m = -2 giá trị cần tìm Ví dụ 15: Cho hàm số y = x3 – 3x2 + có đồ thị (C) Tìm m để đường thẳng qua hai điểm cực trị (C) tiếp xúc với đường tròn có phương trình: >> Truy cập http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! (x – m)2 + (y – m – 1)2 = Giải Ta có: y’ = 3x2 – 6x = ⇔ [ =>Hai điểm cực trị hàm số A((0;2) B(2; -2) Phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị ∆: 2x +y – =0 Tâm đường tròn I(m, m+1), bán kính R = √ Đường thẳng ∆ tiếp xúc với đường tròn ⇔ √ √ ⇔ ⇔[ >> Truy cập http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! ... số y = -x3 + 3x2 + 3( m2 – 1)x – 3m2 – 1, với m tham số thực Xác định m để hàm số có cực đại cực tiểu đồng thời điểm cực đại cực tiểu cách gốc tọa độ O Giải Đạo hàm y’ = -3x2 + 6x + 3( m2 – 1),... – (3m2 – 1) = có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆= m2 + 4(3m2 – 1) > = 13m2 – > ⇔ m > √ √ (*) Gọi x1, x2 nghiệm y’ Theo định lý viet ta có { Theo giả thiết x1x2 + 2(x1 + x2) = ⇔-(3m2 – 1) + 2m = ⇔ 3m2... nhất! Ví dụ 9: Cho hàm số y = x3 – 3mx2 + 4m3 (m tham số) có đồ thị (Cm) Xác định m để (Cm) có điểm cực đại cực tiểu đối xứng qua đường thẳng y = x Giải Ta có: y’ = 3x2 – 6mx = ⇔ [ Để hàm số có