on tap ly thuyet toan lop 12

Taì liệu này giúp các em học sinh tóm tắt lại các công thức lý thuyết, cách giải các dạng bài tập cơ bản thường của môn toán lớp 12 ở học kỳ. Các bạn có thể tham khảo. Nếu thấy hữu ích có thể tải về để sử dụng, mong là sẽ giúp ích được cho các bạn. Chúc các bạn thành công

ÔN TẬP KIẾN THỨC TOÁN HKII

I) Hình Học Không Gian Tọa Độ

Câu 1: - Để viết phương trình mặt cầu ta cần phải biết những yếu tố nào?

Ta cần phải biết tọa độ của tâm và bán kính của mặt cầu

- Hãy nêu pt mặt cầu có tâm I(a; b; c) và bán kính R?

Pt: x a 2  y b 2z c 2 R2

Câu 2: Phương trình dạng x2 y2z2 2ax 2by 2cz d 0 là pt mặt cầu khi nào? Tìm tọa độ tâm I và bán kính mặt cầu?

Pt trên là pt mặt cầu khi a2 b2 c2  d  0; mặt cầu có tâm I(a;b;c) và bán kính

2 2 2

R  a b c  d

Câu 3: Phương trình mặt cầu dạng x2y2z2mx ny tz d   0 có tọa độ tâm I là gì? bán kính mặt cầu tính theo công thức nào?

2 2 2

m n t

I 

  

R         d

Câu 4: - Hãy nêu công thức tính tọa độ của  AB

( vectơ AB)

 B A; B A; B A

AB  x  x y  y z  z

- Hãy nêu công thức tính độ dài của a    a a a1; ;2 3

a  a12 a22 a32

- Hãy nêu công thức tính tích vô hướng của hai vectơ n 1 a b c v n1; ;1 1 à 2 a b c2; ;2 2

?

Hoành nhân hoành cộng tung nhân tung cộng cao nhân cao ( n n 1 2 a a1 2b b1 2c c1 2

)

Câu 5: - Hãy nêu công thức tính góc giữa hai vectơ n               1   a b c v n1; ;1 1 à               2   a b c2; ;2 2

shift c

 

 

- Hãy nêu công thức tính góc giữa hai đường thẳng a và b có VTCP lần lượt là

n                a b c v n                a b c

?

Gọi  là góc giữa hai đường thẳng a và b

.

a a b b c c

 

Câu 6: - Hãy nêu công thức tính tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC ?

3

3

3

G

G

G

x x x x

y y y y

z z z z

 









 









 









- Hãy nêu công thức tính tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB?

2 2 2

M

M

M

x

y

z































Câu 7: - Để viết phương trình tổng quát của mặt phẳng ta cần biết những yếu tố nào?

Ta cần phải biết tọa độ của một điểm đi qua và tọa độ của một vectơ pháp tuyến

- Hãy nêu phương trình của mặt phẳng đi qua điểm M x y z 0; ;0 0và vectơ

pháp tuyến n A B C; ; ?

PT mặt phẳng: A x x  0B y y  0C z z  0 0

Câu 8: - Hãy nêu điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc với nhau?

Tích vô hướng của hai vectơ pháp tuyến bằng không ( n n  1 2 0

với n n  1, 2

là vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng)

Câu 9: - Hãy nêu công thức tính khoảng cách từ điểm M x y z 0; ;0 0đến mặt phẳng

  c PTó :Ax By Cz D   0

Ax

d M

Câu 10: - Cho 2 mp   :A x B y C z D1  1  1  1  0 àv   :A x B y C z D2  2  2  2  0A B C2 , 2 , 2  0

Hãy nêu đk để hai mp cắt nhau? song song? Trùng nhau?

  à  cắt nhau 1 1

    1 1 1 1

    1 1 1 1

      

Câu 11: - Để viết phương trình tham số của đường thẳng ta cần biết những yếu tố nào?

Ta cần phải biết tọa độ của một điểm đi qua và tọa độ của một vectơ chỉ phương

- Hãy nêu phương trình tham số và pt chính tắc của đường thẳng đi qua điểm M x y z 0; ;0 0và vectơ chỉ phương uu u u1; ;2 3 ?

PTTS:

0 1

0 2

0 3

x x u t

y y u t

z z u t









x x y y z z

dk u u u

Câu 12: Cho 2 đường thẳng d và d’ có pt:

/ / /

/ / /

/ / /







Xét vị trí tương đối giữa d và d’

Ta kiểm tra 2 vtcp có cùng phương với nhau hay ko?

- Nếu hai vtcp cùng phương u              1 ku              2

và điểm M thuộc d cũng thuộc d’ thì d và d’ trùng nhau

- Nếu hai vtcp cùng phương u              1 ku              2

và điểm M thuộc d nhưng không thuộc d’ thì

d và d’ song song nhau

- Nếu hai vtcp không cùng phương u1 ku2  k R

 

và hpt :

/ / /

/ / /

/ / /









vô nghiệm thì d và d’ chéo nhau

- Nếu hai vtcp không cùng phương u1 ku2  k R

 

và hpt :

/ / /

/ / /

/ / /









có một nghiệm duy nhất thì d và d’ cắt nhau tại H( )

Câu 13: Cho đường thẳng d và mp  











Hãy nêu cách tìm số giao điểm giữa d và   ?

Thay pt đt d vào pt mp   ( thay (1) vào (2)) ta đươc pt ẩn t

- Nếu pt vô nghiệm thì d và   không có điểm chung (d và   song song nhau)

- Nếu pt có 1 nghiệm thì d và   có 1 điểm chung (d và   cắt nhau tai H( ))

- Nếu pt vô số nghiệm thì d và   có vô số điểm chung (d nằm trong   )

Câu 14: - Hãy nêu cách tìm hình chiếu vuông góc của điểm M lên mp  

+ Gọi d là đường thẳng qua M và vuông góc   ( d có vtcp là vtpt của   ) Viết ptts của đường thẳng d

+ Gọi H là giao điểm giữa d và   , tìm tọa độ điểm H Khi đó H là hình chiếu vuông góc của M lên  

- Hãy nêu cách tìm điểm đối xứng của M qua mp  ?

+ Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của M lên  

+ Gọi M’ là điểm đối xứng của M qua   , khi đó H là trung điểm của MM’ Tìm tọa độ M’ dựa vào công thức tọa độ trung điểm của đoạn thẳng

Câu 15: - Hãy nêu cách tìm hình chiếu vuông góc của điểm M lên đường thẳng d

+ Gọi   là mặt phẳng qua M và vuông góc d (  có vtpt là vtcp của d) Viết pttq của mặt phẳng  

+ Gọi H là giao điểm giữa d và   , tìm tọa độ điểm H Khi đó H là hình chiếu vuông góc của M lên đường thẳng d

- Hãy nêu cách tìm điểm đối xứng của M qua đường thẳng d?

+ Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của M lên đường thẳng d

+ Gọi M’ là điểm đối xứng của M qua d, khi đó H là trung điểm của MM’ Tìm tọa

độ M’ dựa vào công thức tọa độ trung điểm của đoạn thẳng

Câu 16: - Hãy nêu cách viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C

Ta chọn điểm đi qua là A ( hoặc B hoặc C) và vectơ pháp tuyến n AB AC, 

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

hoặc

,

n AB BC

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

hoặc n BA BC, 

  

- Hãy nêu cách viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB

Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB Khi đó mặt phẳng trung trực có điểm đi qua là I có và vectơ pháp tuyến là  AB

- Hãy nêu cách viết phương trình mặt phẳng   tiếp xúc với mặt cầu ( S ) tại điểm M ?

Tìm tọa độ tâm I của mặt cầu, khi đó mặt phẳng   đi qua M và có vtpt là IM

Câu 17: Khi viết pt mp ta cần lưu ý:

- VTpt của mp là vectơ có giá vuông góc với mp

- Hai mặt phẳng song song nhau thì vtpt của mp này cũng là vtpt của mp kia

- Đường thẳng vuông góc với mp thì vtcp của đường thẳng là vtpt của mặt phẳng

- Tích có hướng của hai vectơ có giá song song hoặc nằm trong mp sẽ là vtpt của mp

- Mp (Oxy) có pt: z = 0; (Oxz) có pt: y = 0; (Oyz) có pt: x = 0

Câu 18: - Hãy nêu cách chứng minh bốn điểm A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện

+ Viết pt mặt phẳng (BCD)

+ Chứng tỏ điểm A không thuộc mặt phẳng (BCD) ( thế tọa độ điểm A vào pt mp (BCD) thấy không thỏa) Từ đó suy ra A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện

- Hãy nêu cách tính độ dài đường cao của hình chóp A BCD ?

Độ dài đường cao của hình chóp A BCD bằng khoảng cách từ A đến mp (BCD) Câu 19: - Hãy nêu cách viết phương trình mặt cầu đường kính AB?

+ Gọi I là trung điểm AB, tìm tọa độ điểm I

+ Tính độ dài đoạn thẳng AB

+ Khi đó mặt cầu sẽ có tâm là I và bán kính

2

AB

R 

- Hãy nêu cách viết phương trình mặt cầu có tâm A và đi qua điểm M ?

+ Tính độ dài AM

+ Khi đó mặt cầu có tâm là A và bán kính RAM

- Hãy nêu cách viết phương trình mặt cầu có tâm I và tiếp xúc với mặt

phẳng   ?

Tính khoảng cách từ I đến mp   Khi đó mặt cầu có tâm I và bán kính

 

 , 

R d I 

Câu 20: - Hãy nêu cách viết ptts của đường thẳng đi qua hai điểm A và B?

Đường thẳng AB có điểm đi qua là A hoặc B, vtcp là AB

- Hãy nêu cách viết ptts của đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với mp  ?

Đường thẳng có điểm đi qua là A và có vtcp là vtpt của mp  

Câu 21: Khi viết pt của đường thẳng ta cần chú ý

- Hai đường thẳng song song nhau thì vtcp của đt này cũng là vtcp của đt kia

- Trục Ox có vt đơn vị là i  1;0;0

- Trục Oy có vt đơn vị là j 0;1;0

- Trục Oz có vt đơn vị là k  0;0;1

II) Nguyên Hàm, tích phân

Câu 22: Bảng nguyên hàm

Nguyên hàm của những hàm số sơ cấp

thường gặp

0dx C



C x

dx 



1 1

x













1

ln

dx x C



2





C e

dx

e x x







ln

x

a



C x xdx 

C x xdx  

C x dx

cos12 tan

C x dx

sin12 cot

1 1

1

ax b

a















ln

dx ax b C

ax b a  



 2

.

a ax b

ax b









C e

a dx





1 ln

px q







a dx b

a dx b

axbdxa axbC

cos2 1 1tan

axbdx a axbC

sin

1 2

Câu 23 Diện tích hình thang cong

- Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x), x = a, x = b và trục hoành là

b

a

S = ò f(x) dx

- Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x), y = g(x), x = a, x = b là:

b

a

Câu 24: Bảng đạo hàm

Câu 25 Thể tích khối tròn xoay

ĐH của những hàm số sơ cấp thường gặp

Đạo hàm của hàm hợp

  C /  0;   x /  1

  x / x 1

 



  x / 2 1

x



/

2



 



 

 

/

2



 



 

 

  kx /  k

  ex /  ex

  ax /  ax.ln a

 ln x / 1

x



 log / 1

.ln

a x

x a



 sin x /  cos x

 c x os /  sin x

 tan / 12

os

x

c x



 cot / 21

sin

x

x





/

2





  u / u 1 ' u

 



 / 1 '

2

u

 / 2

' u



 



 

 

/

2 '

u



 



 

 

 ku /  k u '

  eu /  e uu '

  au /  au.ln ' a u

 ln u / 1 ' u

u



 log / 1 '

.ln

u a



 sin u /  u '.cos u

 c osu /  u 'sin u

 tan / 12 '

os

c u



sin

u





 u v  /   u v ' '

 u v /  u v v u '  '

/

2

u u v v u





Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y =f(x),y = 0 ( trục ox),

x = a và x = b (a<b) quay quanh trục Ox là

b 2 a

V = p ò f (x)dx

Câu 26 Hãy nêu các cách cơ bản để tính nguyên hàm, tích phân?

Có 4 cách cơ bản:

- Sử dụng bảng nguyên hàm

- Sử dụng pp nguyên hàm từng phần ( pp tích phân từng phần): Phương pháp này chỉ sử dụng khi hàm số dưới dấu tích phân có dạng tích của hai trong 4 lượng:

log, đa, lượng , mũ (đặt u theo nguyen tắc log, đa, lượng , mũ)

udv uv  vdu

b udv uv vdu

a

- Sử dụng pp đổi biến số: ta chỉ sử dụng pp này khi hàm số dưới dấu tích phân có dạng tích mà nếu đặt t bằng lượng này thì đạo hàm của nó phải xuất hiện lượng kia hoặc lượng kia biểu diễn được theo t và dt

- Sử dụng các công thức để biến đổi về 1 trong 3 cách trên chẳng hạn như công thức:

   

.

b cx d ax b cx d ad bc

khác: như các hằng đẳng thức, các ct lượng giác

III) Số Phức

Câu 27 Cho số phức Z a bi  , hãy nêu phần thực, phần ảo, mô đun và số phức liên hợp của z

+ Phần thực của z là a

+ Phần ảo của z là b

+ z  a2  b2

+ Z a bi 

Câu 28: Số phức Z1  a bi và số phức Z2  c di bằng nhau khi nào?

a c

a bi c di

b d







 ( phần thực bằng phần thực, phần ảo bằng phần ảo)

0

  trên tập số phức

Pt bặc hai hệ số thực: ax2 bx c 0 a b c R a, ,  , 0

2 4 0

b ac

 Pt đã cho có hai nghiệm phức:

2 2

b

b









Lưu ý nếu ẩn của phương trình là z thì ta phải kết luận nghiệm là z

Câu 30: Hãy nêu cách giải phương trình trùng phương hệ số thực trên tập số phức:

PT trùng phươngax4 bx2  c 0 a b c R a, ,  , 0

2

2

x

bx c

x x

x









 











Kết luận: vậy phương trình có

*Lưu ý phương trình trùng phương giải trên tập số phức luôn có 4 nghiệm nếu không

có nghiệm nào bằng 0.

Câu 31: Các điều cần lưu ý về số phức:

2

1 2 1 2

i

z z z z







* Các căn bậc hai của số thực a âm là: i a và  i a

* Khi thực hiện các phép toán cộng, trừ, nhân, chia số phức ta có thẻ sử dụng máy tính nhưng phải tiến hành từng bước:

 Thực hiện các phép toán nâng lên lũy thừa và trong ngoặc trước

 Rồi kế đến là nhân chia trước cộng trừ sau

 Nếu là phép chia thì phải có bước nhân liên hợp của mẫu

IV /LƯỢNG GIÁC

TÓM TẮTGIÁO KHOA

I hàm số lượng giác:

a Các tính chất :

 Với mọi  ta có :

1 sin  1 hay sin  1

1 cos  1 hay cos  1



cotg xác định    k

b Tính tuần hoàn

sin( 2 ) sin cos( 2 ) cos tan( ) tan cot( ) cot

k k k k

) (k  Z

II Hàm số lượng giác của các cung (góc) có liên quan đặc biệt:

Đó là các cung :

1 Cung đối nhau :  và - (tổng bằng 0) (Vd: & 6

6





 ,…)

2 Cung bù nhau :  và -  ( tổng bằng  ) (Vd: &56

6





,…)

3 Cung phụ nhau : và 2    ( tổng bằng 2 ) (Vd: 6 & 3





,…)

4 Cung hơn kém 2 : và 2



   (Vd: &23

6





,…)

5 Cung hơn kém  :  và    (Vd: &76

6





,…)

1 Cung đối nhau: 2 Cung bù nhau :

 

cos( ) cos

sin( ) sin

tan( ) tan

cot( ) cot

cos( ) cos sin( ) sin tan( ) tan

3 Cung phụ nhau : 4 Cung hơn kém 2









cos( ) sin

2

sin( ) cos

2

tan( )

2

cot( ) tan

2

cot









cos( ) sin 2

sin( ) cos 2

tan( ) 2

2

cot

5 Cung hơn kém  :

cos( ) cos

sin( ) sin

tan( ) tan

cot( ) cot

Chú ý: cos đối, sin bù, phụ chéo; hơn kém  tang = tang, cotang = cotang, hơn kém

2



: sin cung lớn

= cos cung nhỏ, các giá trị cịn lại vừa đơi vừa chéo.

III Công thức lượng giác:

1 Các hệ thức cơ bản:













sin tan =

cos cos cot =

sin













2

2

2

2

1

1 tan =

cos 1

1 cot =

sin tan cot = 1

Ví dụ: Chứng minh rằng:

1 cos 4 x sin 4 x  1 2sin cos 2 x 2x

2 cos 6x sin 6x 1  3 sin 2xcos 2x

2 Công thức cộng :

 









cos( ) cos cos sin sin cos( ) cos cos sin sin sin( ) sin cos sin cos sin( ) sin cos sin cos

tan +tan tan( + ) =

1 tan tan tan tan tan( ) =

1 tan tan

3 Công thức nhân đôi:











 







2 2

2

cos2 cos sin 2cos 1

1 2sin cos sin sin2 2sin cos

2tan tan2

1 tan

4 Công thức nhân ba:

3

3

cos3 4cos 3cos sin 3 3sin 4sin

2

2 cos 1

2

2 cos 1





2

1 cos

4

cos 3 3 cos

4

3 sin sin

3

5 Công thức hạ bậc:

2 1 cos 2 2 1 cos 2 2 1 cos 2





6.Công thức tính sin ,cos ,tan   theo ttan2

      

2

sin ; cos ; tan

7 Công thức biến đổi tích thành tổng :



1

2 1

2 1

2

8 Công thức biến đổi tổng thành tích :

   

   

   

   

 

 

 

 

 





cos cos 2cos cos

cos cos 2sin sin

sin sin 2sin cos

sin sin 2 cos sin

sin( ) tan tan

cos cos sin( ) tan tan

cos cos

9 Các công thức thường dùng khác:

8

4 cos 3 5 sin

cos

4

4 cos 3 sin

cos

6 6

4 4























