Đang tải... (xem toàn văn)
Taì liệu này giúp các em học sinh tóm tắt lại các công thức lý thuyết, cách giải các dạng bài tập cơ bản thường của môn toán lớp 12 ở học kỳ. Các bạn có thể tham khảo. Nếu thấy hữu ích có thể tải về để sử dụng, mong là sẽ giúp ích được cho các bạn. Chúc các bạn thành công
ƠN TẬP KIẾN THỨC TỐN HKII I) Hình Học Khơng Gian Tọa Độ Câu 1: - Để viết phương trình mặt cầu ta cần phải biết yếu tố nào? Ta cần phải biết tọa độ tâm bán kính mặt cầu - Hãy nêu pt mặt cầu có tâm I(a; b; c) bán kính R? 2 Pt: ( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c ) = R Câu 2: Phương trình dạng x + y + z − 2ax − 2by − 2cz + d = pt mặt cầu nào? Tìm tọa độ tâm I bán kính mặt cầu? Pt pt mặt cầu a + b + c − d > ; mặt cầu có tâm I(a;b;c) bán kính R = a + b2 + c2 − d Câu 3: Phương trình mặt cầu dạng x + y + z + mx + ny + tz + d = có tọa độ tâm I gì? bán kính mặt cầu tính theo cơng thức nào? 2 m n t m n t Tâm I ; ; ÷ bán kính R = ÷ + ÷ + ÷ − d −2 −2 −2 −2 −2 −2 uuu r Câu 4: - Hãy nêu cơng thức tính tọa độ AB ( vectơ AB) uuu r AB = ( xB − x A ; yB − y A ; z B − z A ) - Hãy nêu cơng thức tính độ dài ur a = a12 + a22 + a32 ur a = ( a1 ; a2 ; a3 ) ur uur - Hãy nêu cơng thức tính tích vơ hướng hai vectơ n1 = ( a1 ; b1 ; c1 ) n2 = ( a2 ; b2 ; c2 ) ? ur uu r Hoành nhân hoành cộng tung nhân tung cộng cao nhân cao ( n1.n2 = a1.a2 + b1.b2 + c1.c2 ) ur uur Câu 5: - Hãy nêu công thức tính góc hai vectơ n1 = ( a1 ; b1 ; c1 ) n2 = ( a2 ; b2 ; c2 ) ur uur ur uur ur uur n1.n2 a1.a2 + b1.b2 + c1.c2 shift cos cos n1 , n2 = ur uur = → n1 , n2 = 2 2 2 n1 n2 a1 + b1 + c1 a2 + b2 + c2 ( ) ( ) - Hãy nêu cơng thức tính góc hai đường thẳng a b có VTCP ur uur n1 = ( a1 ; b1 ; c1 ) n2 = ( a2 ; b2 ; c2 ) ? Gọi ϕ góc hai đường thẳng a b ur uu r cosϕ = cos n1 , n2 = ( ) a1.a2 + b1.b2 + c1.c2 a12 + b12 + c12 a22 + b22 + c22 Câu 6: - Hãy nêu cơng thức tính tọa độ trọng tâm G tam giác ABC ? x A + xB + xC xG = y A + yB + yC yG = z A + zB + zC zG = - Hãy nêu cơng thức tính tọa độ trung điểm M đoạn thẳng AB? x +xB xM = A y +y B yM = A z +z B zM = A Câu 7: - Để viết phương trình tổng quát mặt phẳng ta cần biết yếu tố nào? Ta cần phải biết tọa độ điểm qua tọa độ vectơ pháp tuyến - Hãy nêu phương trình mặt phẳng qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) vectơ r pháp tuyến n = ( A; B; C ) ? PT mặt phẳng: A ( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z ) = Câu 8: - Hãy nêu điều kiện để hai mặt phẳng vng góc với nhau? ur uu r ur uu r Tích vơ hướng hai vectơ pháp tuyến không ( n1.n2 = với n1 , n2 vectơ pháp tuyến hai mặt phẳng) Câu 9: - Hãy nêu cơng thức tính khoảng cách từ điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) đến mặt phẳng ( α ) có PT :Ax + By + Cz + D = d ( M ,( α ) ) = Ax + By0 + Cz0 + D A2 + B + C Câu 10: - Cho mp ( α ) : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = ( β ) : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = ( A2 , B2 , C2 ≠ ) Hãy nêu đk để hai mp cắt nhau? song song? Trùng nhau? A1 B1 A1 C1 B1 C1 ≠ ≠ ≠ hoặc A2 B2 A2 C2 B2 C2 A B C D (α) / /( β ) ⇔ = = ≠ A2 B2 C2 D2 A B C D (α) ≡ ( β ) ⇔ = = = A2 B2 C2 D2 ( α ) ( β ) cắt ⇔ Câu 11: - Để viết phương trình tham số đường thẳng ta cần biết yếu tố nào? Ta cần phải biết tọa độ điểm qua tọa độ vectơ phương - Hãy nêu phương trình tham số pt r tắc đường thẳng qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) vectơ phương u = ( u1 ; u2 ; u3 ) ? x = x0 +u1t x − x0 y − y0 z − z0 = = ( dk : u1 , u2 , u3 ≠ ) PTTS: y = y0 +u2t ; PT tắc: u1 u2 u3 z = z +u t Câu 12: Cho đường thẳng d d’ có pt: x = x0/ +u1/ t / x = x0 +u1t d : y = y0 +u2t d ' : y = y0/ +u 2/ t / z = z +u t / / / z = z0 +u3t Xét vị trí tương đối d d’ Ta kiểm tra vtcp có phương với hay ko? - ur uu r u = ku Nếu hai vtcp phương điểm M thuộc d thuộc d’ d ( d’ trùng ( ur ) uu r ) - Nếu hai vtcp phương u1 = ku2 điểm M thuộc d khơng thuộc d’ d d’ song song ur uu r u ≠ ku - Nếu hai vtcp không phương ∀k ∈ R hpt : ( ) x0 +u1t = x0/ +u1/ t / / / / y0 +u2t = y0 +u2t vô nghiệm d d’ chéo / / / z0 +u3t = z0 +u3t ( ur uu r ) - Nếu hai vtcp không phương u1 ≠ ku2 ∀k ∈ R hpt : x0 +u1t = x0/ +u1/ t / / / / y0 +u2 t = y0 +u2t có nghiệm d d’ cắt H( ) / / / z0 +u3t = z0 +u3t Câu 13: Cho đường thẳng d mp ( α ) x = x0 +u1t d : y = y0 +u 2t ( 1) ( α) :Ax +By +Cz +D =0 z = z +u t ( 2) Hãy nêu cách tìm số giao điểm d ( α ) ? Thay pt đt d vào pt mp ( α ) ( thay (1) vào (2)) ta đươc pt ẩn t - Nếu pt vơ nghiệm d ( α ) khơng có điểm chung (d ( α ) song song nhau) - Nếu pt có nghiệm d ( α ) có điểm chung (d ( α ) cắt tai H( )) - Nếu pt vơ số nghiệm d ( α ) có vơ số điểm chung (d nằm ( α ) ) Câu 14: - Hãy nêu cách tìm hình chiếu vng góc điểm M lên mp ( α ) + Gọi d đường thẳng qua M vng góc ( α ) ( d có vtcp vtpt ( α ) ) Viết ptts đường thẳng d + Gọi H giao điểm d ( α ) , tìm tọa độ điểm H Khi H hình chiếu vng góc M lên ( α ) - Hãy nêu cách tìm điểm đối xứng M qua mp ( α ) ? + Tìm tọa độ điểm H hình chiếu vng góc M lên ( α ) + Gọi M’ điểm đối xứng M qua ( α ) , H trung điểm MM’ Tìm tọa độ M’ dựa vào công thức tọa độ trung điểm đoạn thẳng Câu 15: - Hãy nêu cách tìm hình chiếu vng góc điểm M lên đường thẳng d + Gọi ( α ) mặt phẳng qua M vuông góc d ( ( α ) có vtpt vtcp d) Viết pttq mặt phẳng ( α ) + Gọi H giao điểm d ( α ) , tìm tọa độ điểm H Khi H hình chiếu vng góc M lên đường thẳng d - Hãy nêu cách tìm điểm đối xứng M qua đường thẳng d? + Tìm tọa độ điểm H hình chiếu vng góc M lên đường thẳng d + Gọi M’ điểm đối xứng M qua d, H trung điểm MM’ Tìm tọa độ M’ dựa vào cơng thức tọa độ trung điểm đoạn thẳng Câu 16: - Hãy nêu cách viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A, B, C ur uuu r uuur n = AB Ta chọn điểm qua A ( B C) vectơ pháp tuyến , AC ur uuu r uuur ur uuu r uuur n = AB, BC n = BA, BC - Hãy nêu cách viết phương trình mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB Gọi I trung điểm đoạn thẳng AB Khi mặt phẳng trung trực có điểm uuu r qua I có vectơ pháp tuyến AB - Hãy nêu cách viết phương trình mặt phẳng ( α ) tiếp xúc với mặt cầu ( S ) điểm M ? uuur Tìm tọa độ tâm I mặt cầu, mặt phẳng ( α ) qua M có vtpt IM Câu 17: Khi viết pt mp ta cần lưu ý: - VTpt mp vectơ có giá vng góc với mp - Hai mặt phẳng song song vtpt mp vtpt mp - Đường thẳng vng góc với mp vtcp đường thẳng vtpt mặt phẳng - Tích có hướng hai vectơ có giá song song nằm mp vtpt mp - Mp (Oxy) có pt: z = 0; (Oxz) có pt: y = 0; (Oyz) có pt: x = Câu 18: - Hãy nêu cách chứng minh bốn điểm A, B, C, D đỉnh tứ diện + Viết pt mặt phẳng (BCD) + Chứng tỏ điểm A không thuộc mặt phẳng (BCD) ( tọa độ điểm A vào pt mp (BCD) thấy khơng thỏa) Từ suy A, B, C, D đỉnh tứ diện - Hãy nêu cách tính độ dài đường cao hình chóp A BCD ? Độ dài đường cao hình chóp A BCD khoảng cách từ A đến mp (BCD) Câu 19: - Hãy nêu cách viết phương trình mặt cầu đường kính AB? + Gọi I trung điểm AB, tìm tọa độ điểm I + Tính độ dài đoạn thẳng AB + Khi mặt cầu có tâm I bán kính R = AB - Hãy nêu cách viết phương trình mặt cầu có tâm A qua điểm M ? + Tính độ dài AM + Khi mặt cầu có tâm A bán kính R = AM - Hãy nêu cách viết phương trình mặt cầu có tâm I tiếp xúc với mặt phẳng ( α ) ? Tính khoảng cách từ I đến mp ( α ) Khi mặt cầu có tâm I bán kính R = d ( I,( α ) ) Câu 20: - Hãy nêu cách viết ptts đường thẳng qua hai điểm A B? uuu r Đường thẳng AB có điểm qua A B, vtcp AB - Hãy nêu cách viết ptts đường thẳng qua điểm A vng góc với mp ( α ) ? Đường thẳng có điểm qua A có vtcp vtpt mp ( α ) Câu 21: Khi viết pt đường thẳng ta cần ý - Hai đường thẳng song song vtcp đt vtcp đt r - Trục Ox có vt đơn vị i = ( 1;0;0 ) ur - Trục Oy có vt đơn vị j = ( 0;1;0 ) ur - Trục Oz có vt đơn vị k = ( 0;0;1) II) Nguyên Hàm, tích phân Câu 22: Bảng nguyên hàm Nguyên hàm hàm số sơ cấp thường gặp ∫ 0dx = C ∫ dx = x + C α ∫ x dx = 1 ( ax + b ) ∫ ( ax + b ) dx = a α + + C 1 dx = ∫ ax + b a ln ax + b + C −1 ∫ ( ax + b ) dx = a ax + b + C ∫e xα +1 +C α +1 x dx = −1 +C x ∫ x dx = e + C x ∫ a dx = a +C ln a ∫ x px + q ax + b e +C a a px + q dx = +C p ln a ∫ cos( ax + b ) dx = a sin( ax + b ) + C ∫ sin xdx = − cos x + C e ax + b dx = ∫a x ∫ cos xdx = sin x + C ∫ cos α +1 α ∫ x dx = ln x + C ∫x Nguyên hàm hàm số thường gặp ∫ sin ( ax + b) dx = − a cos( ax + b) + C 1 ∫ cos ( ax + b ) dx = a tan ( ax + b ) + C dx = tan x + C dx = − cot x + C sin x ∫ 1 dx = − cot ( ax + b ) + C a sin ( ax + b ) Câu 23 Diện tích hình thang cong - Diện tích hình phẳng giới hạn đường y = f(x), x = a, x = b trục hồnh b S= ị f(x) dx a - Diện tích hình phẳng giới hạn đường y = f(x), y = g(x), x = a, x = b là: b S= ò f(x) - g(x) dx a Câu 24: Bảng đạo hàm ĐH hàm số sơ cấp thường gặp ( C) / ( x) = 0; / =1 ( xα ) = α xα −1 / ( ) / x = x / −1 ÷= x x / C −C ÷= x x ( kx ) / x / ( a x ) = a x ln a / / = x x.ln a / ( sin x ) = cos x ( log a x ) ( cosx ) / / = = − sin x cos x −1 / ( cot x ) = sin x ( tan x ) / α / ( u) = α uα −1.u ' / = u u ' / −1 ÷ = u ' u u / C −C ÷ = u ' u u ( ku ) / = k u ' ( eu ) = eu u ' (a ) u / = ex ( ln x ) (u ) / =k (e ) Đạo hàm hàm hợp = / ad − bc ax + b = ÷ cx + d ( cx + d ) ( ln u ) = a u ln a u ' = u ' u / u ' u.ln a / ( sin u ) = u '.cos u ( log a u ) / ( cosu ) = −u 'sin u ( tan u ) ( cot u ) / / = / = = u ' cos 2u −1 u ' sin u ( u ± v ) = u '± v ' / ( u.v ) = u ' v + v ' u / / u u ' v − v 'u ÷= v2 v Câu 25 Thể tích khối trịn xoay Thể tích khối trịn xoay hình phẳng giới hạn đường y = f(x) , y = ( trục ox), x = a x = b (a < b) quay quanh trục Ox b V = pò f 2(x)dx a Câu 26 Hãy nêu cách để tính nguyên hàm, tích phân? Có cách bản: - Sử dụng bảng nguyên hàm - Sử dụng pp nguyên hàm phần ( pp tích phân phần): Phương pháp sử dụng hàm số dấu tích phân có dạng tích hai lượng: log, đa, lượng , mũ (đặt u theo nguyen tắc log, đa, lượng , mũ) ∫ udv = uv − ∫ vdu (nếu nguyên hàm phần) b b b ∫a udv = uv a − ∫a vdu (nếu tích phân phần) - Sử dụng pp đổi biến số: ta sử dụng pp hàm số dấu tích phân có dạng tích mà đặt t lượng đạo hàm phải xuất lượng lượng biểu diễn theo t dt - Sử dụng công thức để biến đổi cách chẳng hạn công thức: c a = − công thức biến đổi ( ax + b ) ( cx + d ) ax + b cx + d ÷ ad − bc khác: đẳng thức, ct lượng giác III) Số Phức Câu 27 Cho số phức Z = a + bi , nêu phần thực, phần ảo, mô đun số phức liên hợp z + Phần thực z a + Phần ảo z b + z = a + b2 Z = a − bi Câu 28: Số phức Z1 = a + bi số phức Z = c + di nào? a = c a + bi = c + di ⇔ ( phần thực phần thực, phần ảo phần ảo) b = d + Câu 29: Hãy nêu cách giải phương trình bậc hai hệ số thực với trường hợp biệt thức ∆ < tập số phức Pt bặc hai hệ số thực: ax + bx + c = ( a, b, c ∈ R, a ≠ ) ∆ = b − 4ac < ⇒ Pt cho có hai nghiệm phức: x= ∆ −b + i 2a a ∆ −b x= − i 2a a Lưu ý ẩn phương trình z ta phải kết luận nghiệm z Câu 30: Hãy nêu cách giải phương trình trùng phương hệ số thực tập số phức: PT trùng phương ax + bx + c = ( a, b, c ∈ R, a ≠ ) x = x = x = ax + bx + c = ⇔ ⇔ x = x = x = Kết luận: phương trình có *Lưu ý phương trình trùng phương giải tập số phức ln có nghiệm khơng có nghiệm Câu 31: Các điều cần lưu ý số phức: * i = −1 * z ≥ ∀z ∈ £ ; z = ⇔ z = * z1.z2 = z1 z2 * Các bậc hai số thực a âm là: i a − i a * Khi thực phép toán cộng, trừ, nhân, chia số phức ta có thẻ sử dụng máy tính phải tiến hành bước: • Thực phép toán nâng lên lũy thừa ngoặc trước • Rồi nhân chia trước cộng trừ sau • Nếu phép chia phải có bước nhân liên hợp mẫu IV /LƯNG GIÁC TÓM TẮTGIÁO KHOA I hàm số lượng giác: a Các tính chất : • Với α ta có : −1≤ sinα ≤ hay sinα ≤ −1≤ cosα ≤ hay cosα ≤ π + kπ , k ∈ Z cotgα xá c định ∀α ≠ kπ b Tính tuần hoàn tanα xá c định ∀α ≠ sin(α + k2π ) = sinα cos(α + k2π ) = cosα (k ∈ Z ) tan(α + kπ ) = tanα cot(α + kπ ) = cotα II Haøm số lượng giác cung (góc) có liên quan đặc biệt: Đó cung : π π &− , Cung đối : α và-α (tổng 0) (Vd: 6 …) π 5π & Cung bù : α vàπ -α ( tổng π ) (Vd: , 6 …) π π π π & ,…) Cung phụ : α − α ( tổng ) (Vd: 2 π π π 2π & Cung : α vaø + α (Vd: ,…) 2 π 7π & Cung π : α vàπ + α (Vd: ,…) 6 Cung đối nhau: Cung buø : cos(−α ) = cosα sin(−α ) = − sinα tan(−α ) = − tanα cot(−α ) = − cotα Cung phuï : π keùm π cos( − α ) = sinα π sin( − α ) = cosα π tan( − α ) = cotα π cot( − α ) = tanα cos(π − α ) = − cosα sin(π − α ) = sinα tan(π − α ) = − tanα cot(π − α ) = − cotα Cung hôn π cos( + α ) = − sinα π sin( + α ) = cosα π tan( + α ) = −cotα π cot( + α ) = − tanα Cung π : cos(π + α ) = − cosα sin(π + α ) = − sinα tan(π + α ) = tanα cot(π + α ) = cotα Chú ý: cos đối, sin bù, phụ chéo; π tang = tang, cotang = cotang, π : sin cung lớn = cos cung nhỏ, giá trị cịn lại vừa đơi vừa chéo III Công thức lượng giác: Các hệ thức bản: cos2α + sin2 α = sinα tanα = cosα cosα cotα = sinα 1+ tan2α = 1+ cot2α = cos2α sin2 α tanα cotα =1 Ví dụ: Chứng minh rằng: cos4 x + sin4 x = 1− 2sin2 xcos2 x cos x + sin x = − sin x cos x Công thức cộng : cos(α + β ) = cosα cosβ − sinα sin β cos(α − β ) = cosα cosβ + sinα sin β sin(α + β ) = sinα cosβ + sin β cosα sin(α − β ) = sinα cosβ − sin β cosα tanα +tanβ tan(α +β ) = 1− tanα tan β tanα − tanβ tan(α − β ) = 1+ tanα tan β Công thức nhân đôi: cos2α = cos2 α − sin2 α = 2cos2 α − cos α = + cos 2α sin α = − cos 2α = 1− 2sin2 α = cos4 α − sin4 α sin2α = 2sinα cosα 2tanα tan2α = 1− tan2 α sin α cos α = sin 2α Coâng thức nhân ba: cos α = cos 3α + cos α cos 3α = cos3 α − 3cos α sin 3α = 3sin α − 4sin α sin α = sin α − sin 3α Công thức hạ bậc: cos α = + cos 2α ; sin α = 6.Công thức tính sin α ,cos α , tan α theo t = tan sinα = 2t ; 1+ t2 cosα = − cos 2α ; tan α = − cos 2α + cos 2α α 1− t2 ; 1+ t2 tanα = 2t 1− t2 Công thức biến đổi tích thành tổng : cos(α + β ) + cos(α − β ) 2 −1 cos(α + β ) − cos(α − β ) sinα sinβ = 2 sinα cosβ = sin(α + β ) + sin(α − β ) Công thức biến đổi tổng thành tích : cosα cosβ = α +β α −β cosα + cosβ = 2cos cos 2 α +β α −β cosα − cosβ = −2sin sin 2 α +β α −β sinα + sin β = 2sin cos 2 α +β α −β sinα − sin β = 2cos sin 2 sin(α + β ) tanα + tan β = cosα cosβ sin(α − β ) tanα − tan β = cosα cosβ Caùc công thức thường dùng khác: π π cosα + sinα = 2cos(α − ) = 2sin(α + ) 4 π π cosα − sinα = 2cos(α + ) = − 2sin(α − ) 4 + cos 4α + cos 4α cos α + sin α = cos α + sin α = ... giá vng góc với mp - Hai mặt phẳng song song vtpt mp vtpt mp - Đường thẳng vng góc với mp vtcp đường thẳng vtpt mặt phẳng - Tích có hướng hai vectơ có giá song song nằm mp vtpt mp - Mp (Oxy) có... d ( d’ trùng ( ur ) uu r ) - Nếu hai vtcp phương u1 = ku2 điểm M thuộc d khơng thuộc d’ d d’ song song ur uu r u ≠ ku - Nếu hai vtcp khơng phương ∀k ∈ R hpt : ( ) x0 +u1t = x0/ +u1/ t / / /... ( thay (1) vào (2)) ta đươc pt ẩn t - Nếu pt vơ nghiệm d ( α ) khơng có điểm chung (d ( α ) song song nhau) - Nếu pt có nghiệm d ( α ) có điểm chung (d ( α ) cắt tai H( )) - Nếu pt vơ số nghiệm
