CHÚNG TA BIẾT gì và CHƯA BIẾT gì về số NGUYÊN tố

W Sierpinski CHÚNG TA BIẾT GÌ VÀ CHƯA BIẾT GÌ VỀ SỐ NGUYÊN TỐ ? Page of 80 Page of 80 TÓM TẮT Trong sách nhà toán học Ba Lan tiếng Waclaw Sierpinski có kết quan trọng liên quan tới lý thuyết số nguyên tố, thú vị dễ tiếp cận nhiều bạn đọc Cũng sách cho ta biết lĩnh vực nhiều vấn đề chưa giải Việc chứng minh định lý sách đưa chúng sơ cấp không phức tạp Về sách cung cấp cho ta thông tin liên quan tới số nguyên tố Cuốn sách học sinh phổ thông yêu toán, sinh viên giáo viên sử dụng Cuối bạn đọc tìm thấy sách nhiều tư liệu hay việc đào tạo toán học nói chung Page of 80 LỜI TỰA Mục đích sách để thông báo cách dễ tiếp cận biết chưa biết số nguyên tố Các số nguyên tố gặp số học sơ cấp, chúng có vai trò quan trọng nhiều lĩnh vực toán học khác nhau, chủ yếu lý thuyết số đại số Toán học coi (và vậy) khoa học suy luận Mặc dù gọi phép quy nạp đầy đủ phép quy nạp dựa quan sát số lượng lớn trường hợp dẫn người ta tới định lý không đúng, không làm giảm vai trò phép quy nạp toán học Đặc biệt điều áp dung cho việc giảng dạy số nguyên tố, phương pháp người ta phát nhiều định lý quan trọng mà việc chứng minh định lý sau thực Nhưng phương pháp thường dẫn tới mệnh đề sai lầm Ngoài có hàng loạt giả thuyết mà chúng kiểm tra nhiều trường hợp riêng, chưa biết chúng thật hay không Tất điều thảo luận sách Cuốn sách sách giáo khoa lý thuyết số nguyên tố, chủ yếu cung cấp thông tin Trong sách chứng minh số định lý, cụ thể chứng minh hoàn toàn sơ cấp không phức tạp Người đọc muốn tìm hiểu chứng minh định lý khác muốn có hiểu biết sâu sắc số nguyên tố xin tham khảo phần thứ hai sách “Lý thuyết số” (xem W Sierpinski, Teoria liczb II, Warszawa, 1959.), có dẫn tài liệu bổ sung Warsawa, tháng năm 1961 Wacław Sierpiński Số nguyên tố ? Page of 80 Khái niệm số nguyên tố có liên quan tới toán đơn giản số học sơ cấp ví dụ phép nhân số tự nhiên (tức số nguyên dương) chẳng hạn Như bạn biết tích hai số tự nhiên số tự nhiên Cho nên tồn số tự nhiên lớn tích hai số tự nhiên Nhưng tồn số tự nhiên lớn tích hai số tự nhiên lớn 1, ví dụ số 2, 3, 13 chẳng hạn Những số ta gọi số nguyên tố Vậy số tự nhiên lớn ta gọi số nguyên tố tích hai số tự nhiên lớn Một câu hỏi đặt là: liệu số tự nhiên ta biết có phải số nguyên tố hay không ? Hóa định nghĩa số nguyên tố cho ta câu trả lời câu hỏi Thực vậy, số tự nhiên số nguyên tố phải tích hai số tự nhiên a b lớn 1, tức , từ ta suy Vì số tự nhiên số nguyên tố tích hai số tự nhiên nhỏ n Những số ta gọi hợp số Nếu n hợp số , a b số tự nhiên Thương số số tự nhiên ước số a số tự nhiên n phải lớn nhỏ n Vì ta khẳng định số tự nhiên số nguyên tố ước số tự nhiên Để biết số tự nhiên phải số nguyên tố không ta cần thực có phép chia số n cho số đủ Nếu phép chia có số dư số n số nguyên tố Như lý thuyết ta có khả để kết luận số tự nhiên n có phải nguyên tố hay không qua số hữu hạn phép chia.Tuy nhiên thực tế phương pháp gặp khó khăn lớn n số lớn Chẳng hạn ngày ta đưa phép tính dài dòng áp dụng phương pháp số , phương pháp khác ta chứng minh số hợp số Tuy nhiên tận ngày chưa biết liệu có phân tích số Page of 80 thành tích hai số tự nhiên lớn hay không (mặc dù biết phân tích tồn tại) Cũng ta chưa biết số (là số có 39.457 chữ số) có phải số nguyên tố hay không Ước số nguyên tố số tự nhiên Bây ta chứng minh vài định lý không phức tạp số nguyên tố Định lý Mỗi số tự nhiên có ước số nguyên tố Chứng minh: Giả sử n số tự nhiên Số có ước số lớn 1, ví dụ số n chẳng hạn Trong ước số lớn số n tồn số nhỏ Ký hiệu số nhỏ p Nếu p số nguyên tố theo định nghĩa số nguyên tố p tích hai số tự nhiên lớn 1: Trong trường hợp a ước số lớn số p a lớn ước số n, mật khác a lại nhỏ p nên mâu thuẫn với định nghĩa số p Định lý chứng minh Định lý Mỗi hợp số n có ước số nguyên tố a b số tự nhiên Chứng minh: Nếu n hợp số Tất nhiên ta giả thiết Nhưng a số Khi Cho nên theo Định lý số a có ước số nguyên tố p, đương nhiên tố số n p ước số nguyên Vậy Định lý chứng minh Có số nguyên tố ? Để trả lời cho câu hỏi chứng minh định lý sau Page of 80 Định lý 3: Nếu n số tự nhiên số nguyên tố Chứng minh: Bởi n n! chứa số nguyên theo Định lý có ước số nguyên tố p, mà Nếu ta giả thiết đương nhiên p thừa số tích điều có nghĩa p ước số số n! Nhưng p ước số số N, nên p phải ước số hiệu hai số đó: điều có Vì ta làm rõ nên ta có , nghĩa Định lý chứng minh Vậy số tự nhiên tồn số nguyên tố lớn Từ suy số số nguyên tố nhiều vô hạn, điều biết tới từ thời Euclide Đặc biệt từ suy tồn số nguyên tố viết hệ thập phân có ngàn chữ số Tuy nhiên năm 1960 ta chưa biết tới số nguyên tố Cùng năm ta biết số nguyên tố lớn số có 969 chữ số Trong thập kỷ qua có nhiều tiến đáng kể việc tính toán số nguyên tố lớn Bắt đầu từ năm 1951 số nguyên tố lớn biết tới số có 39 chữ số (số chứng minh số nguyên tố vào năm 1876) Ở thời đại số nguyên tố lớn mà ta biết số có 1332 chữ số Liên quan tới Định lý ta lưu ý năm P L Chebyshev chứng minh định lý mạnh (thường gọi Định đề Bertran):”Đối với số tự nhiên n 2n-2 chứa số nguyên tó” Từ ta thấy Định lý số n! thay số 2n Ở thời đại ta chứng minh cách sơ cấp cho định lý này, dài dòng Cũng chứng minh rằng: “Đối với số tự nhiên n 2n chứa hai số nguyên tó” Từ định lý Chebyshev ta suy số tự nhiên s tồn số nguyên tố mà số nguyên tố có s chữ số Thật vậy, số số có s chữ số, định lý Chebyshev cho Page of 80 tồn số p, q r Và số số p, q, r có s chữ số Đối với ta có số nguyên tố có chữ số là: 2, 3, Số số nguyên tố có chữ số 21, số số nguyên tố có chữ số 143 Tồn số nguyên tố mà số có 100 chữ số Gần P M Robinson tìm thấy số Cho tới ta chưa tìm số nguyên tố có 1000 chữ số, biết tồn số Có thể tìm tất số nguyên tố nhỏ số cho trước ? Phương pháp mà ta thảo luận biết tới từ thời cổ đại: gọi sàng Eratosthenes Giả sử ta muốn tìm tất số nguyên tố không vượt số tự nhiên a Với mục tiêu viết dãy tất số tự nhiên từ tới a gạch dãy tất số số nguyên tố: Đầu tiên số 1, sau số tự nhiên ta gạch số lớn n chia hết cho n Dễ dàng thấy phương pháp gạch hợp số lại số nguyên tố Vậy từ dãy số 1, 2, 3, 4, …, a gạch số 1, sau gạch số lớn chia hết cho 2, tiếp tục gạch số lớn chia hết cho Việc gạch số chia hết cho không cần phải làm chúng bị gạch số lớn chia hết cho Bởi gạch số lớn chia hết cho v.v… Khi gạch số Thật n hợp số theo Định lý số n có ước số nguyên tố số n bị gạch số lớn p chia hết cho p Ví dụ muốn nhận tất số nguyên tố ta gạch dãy số 1, 2, 3, 4, …, 100 số 1, sau gạch số cho 2, tiếp tục gạch số chia hết chia hết cho 3, gạch tiếp số chia hết cho 5; cuối gạch số Page of 80 chia hết cho Tất số lại dãy ta số nguyên tố Phương pháp cho ta nhận dãy số sau (trong dãy tất số nguyên tố tô đậm): 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21,22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30,31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100 Khi Ta ký hiệu theo thứ tự số nguyên tố thứ n Có thể dễ dàng tính Năm 1909 người ta thiết lập bảng số nguyên tố nhỏ 10 triệu (10.000.000) Năm 1951 công bố bảng số nguyên tố không vượt 11 triệu J P Kulik (1793-1863) thiết lập bảng số nguyên tố 100 triệu số Bảng kiểm tra sử dụng để lập bảng số nguyên tố không vượt 11 triệu công bố năm 1951 Gần (năm 1959) K L Beiker F Yu Grunberger thiết lập vi phim mà có chứa tất số nguyên tố Các số nguyên tố dinh đôi Đối với dãy vô hạn số nguyên tố, tức dãy số 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, nảy sinh loạt vấn đề Chỉ có số vấn đề dễ dàng cho câu trả lời Ví dụ chẳng hạn hai số nguyên tố nhỏ số tự nhiên liên tiếp Điều đặt câu hỏi có tồn hai số tự nhiên liên tiếp khác mà hai số số nguyên tố hay không Dễ dàng chứng minh số Thật vậy, cặp số tự nhiên liên tiếp có số chẵn số chẵn số phải hợp số Page of 80 Tuy nhiên lại tồn nhiều cặp số lẻ liên tiếp mà hai số số nguyên tố, ví dụ cặp số 5, 7, 11 13, 17 19, 29 31, 41 43 Các cặp số ta gọi cặp số sinh đôi Trong 30 triệu số tự nhiên có tới 152892 cặp số sinh đôi Nảy sinh vấn đề cặp số nguyên tố sinh đôi có nhiều vô hạn hay không Vấn đề chưa có câu trả lời Như số số nguyên tố mà hiệu hai số nguyên tố có nhiều vô hạn hay không Có giả thuyết cho số chẵn có vô số cách biểu diễn hiệu hai số nguyên tố liên tiếp Thậm chí ta chứng minh số chẵn có cách biểu diễn hiệu hai số nguyên tố lẻ liên tiếp, ví dụ 2=5-3, 4=11-7, 6=29-23, 8=97-89, 10=149139, 12=211-199, 14=127-113, 16=1847-1831, 18=541-523, 20=907-887 Hơn ta chứng minh số chẵn hiệu hai số nguyên tố Nhưng ta tìm tất số lẻ mà số biểu diễn dạng hiệu hai số nguyên tố Thật số tự nhiên lẻ n hiệu hai số nguyên tố, n=p-q, hai số nguyên tố phải số chẵn số lẻ Do dễ thấy hai số p q, chẳng hạn q phải Vì ta có n=p-2, p số nguyên tố lẻ Như tất số tự nhiên lẻ, mà hiệu hai số nguyên tố, nhỏ số nguyên tố lẻ lượng 2, số lẻ 1, 3, 5, 9, 11, … Các số có nhiều vô hạn Tuy nhiên tồn vô số số lẻ mà hiệu hai số nguyên tố, ví dụ số có dạng 6k+1 k số tự nhiên Thật đẳng thức 6k+1=p-2 (trong p số nguyên tố) có, từ ta suy p=6k+3=3(2k+1) tức p hợp số Giả thuyết Goldbach Năm 1742 Goldbach Ch đưa giả thuyết cho số chẵn tổng hai số nguyên tố Giả thuyết chưa chứng minh hay bác bỏ Nó kiểm tra với tất số chẵn tới 100000 Page 10 of 80 Các nguyên tố có dạng biết có số: với n = 1, 2, 3, … (trong n = 1, 2, 3, … ) Các nguyên tố có dạng ) ta biết có 12 Đối với số tự nhiên số: (trong , ngoại trừ k=47 k=94 biết số tự nhiên n cho số số nguyên tố Tuy nhiên ta chứng minh tồn vô số số tự nhiên k mà chúng số số hợp số Bây ta ý tới số nguyên tố có dạng số tự nhiên, , m n Ví dụ số là: , , , Chúng ta chưa biết liệu có tồn tập vô hạn số nguyên tố hay không Nhưng ta lại dễ dàng chứng minh tồn vô số hợp số có dạng Điều suy trực tiếp từ đẳng thức từ nhận xét số chia hết cho 5, số với số tự nhiên k l chia hết cho Ta có phân tích Richner A phát với với số số nguyên tố Dễ chứng minh số có vô số hợp số, cụ thể số với số chia hết cho 19 Cũng số tất số chia hết cho Ta có nhận xét số | với chia hết cho 13 có nghĩa hợp số Chúng ta chưa biết dãy số Page 66 of 80 tất với số có hữu hạn số nguyên tố hay không Nhưng ta lại dễ dàng chứng minh dãy số số nguyên tố nào, số chia hết cho Thật vậy, số tự nhiên k số chia cho dư (trong t số tự nhiên) Từ rõ ràng số chia hết cho Ta chưa biết có tồn hay không số tự nhiên k mà có nhiều vô số số nguyên tố có dạng số tự nhiên Ta chưa biết có vô số số nguyên tố có dạng hay không (trong n số tự nhiên) Bốn số nguyên tố nhỏ có dạng là: Như nhận xét Makowski A tồn số nguyên tố (cụ thể số 5) có dạng , n số tự nhiên Thật vậy, n số chẵn Giả sử , k số tự nhiên Nhưng hợp số Schinzel A chứng minh số tự nhiên a, tồn số tự nhiên để cho số hợp số Nếu vào kết ta mạnh dạn nêu nên giả thuyết với số tự nhiên cho số tồn số tự nhiên n hợp số, từ giả thuyết ta suy tồn vô số số Fermat hợp số với (Nhận xét với thuyết khó bị bác bỏ) ta có thêm lần giả Dễ dàng chứng minh tồn tập vô hạn số tự nhiên a mà tất số có dạng ( ) hợp số Ví dụ Page 67 of 80 số tất số số lẻ b số tự nhiên m Mặt khác ta chưa biết có hay không số tự nhiên mà ta chứng minh tồn vô số số nguyên tố có dạng ( ) Từ giả thuyết Schinzel A (sẽ thảo luận mục 30) ta suy số tự nhiên m tồn số tự nhiên cho tất m số ) số nguyên tố Đối với m=4 ta ( lấy a=2 Nhưng ta gặp khó khăn tìm số với m=5 24 Ba định lý sai lầm Fermat P Fermat thư gửi cho Mersenne M năm 1641 nêu ba định lý sau: 1) Không có số nguyên tố có dạng số 2) Không có số nguyên tố có dạng số lại ước số 3) Không có số nguyên tố có dạng số lại ước số lại ước số Ta chứng tỏ định lý định lý đủng Với định lý ví dụ | , | Với định lý thứ hai | Còn định lý thứ ba | Như Schinzel A chứng minh với định lý định lý tồn vô số số nguyên tố mà chúng định lý không Vì tình hình có phần khác biệt so với định lý Fermat cho số số số nguyên tố, ta biết số hữu hạn ví dụ để bác bỏ định lý Page 68 of 80 Ngoài định lý trích dẫn trên, thư gửi cho Mersenne M Fermat phát biểu định lý sau: “Không có số nguyên tố có dạng lại ước số số ” Định lý sau chứng minh 25 Các số Mersenne M Các số có dạng gọi số Mersenne Các số quan tâm hai quan điểm sau Thứ số nguyên tố lớn mà ta biết số Mersenne; thứ hai với trợ giúp số Mersenne tìm tất số gọi số hoàn hảo chẵn (Số tự nhiên tổng ước số tự nhiên, nhỏ nó, gọi số hoàn hảo) Số Mersenne thứ n xác định tổng n số hạng cấp số nhân Vì vậy, ta có Dễ chứng minh số n số hợp số Thật vậy, hợp số số , a b số tự nhiên số chia hết cho hợp số Vậy số tố, ( ta ) số nguyên tố số n phải số nguyên mệnh đề ngược lại Người ta chứng minh p số nguyên tố ước số số cần phải có dạng , k số nguyên Cho nên ví dụ ước số số số dạng Cũng ước số số dạng , phải số có Thật không may tận ngày ta chưa tìm ước số nguyên tố số Page 69 of 80 (rõ ràng số k lớn), phương pháp khác (mà ta thảo luận đây) ta chứng tỏ số hợp số tích hai số nguyên tố khác Người ta chứng minh q số nguyên tố có dạng | Điều chứng tổ số , p số nguyên tố, có nhiều số hợp số Ví dụ | , | , | , | , | , | Có giả thuyết (cho tới chưa chứng minh) cho có vô số hợp số Cho tới ta biết 20 số nguyên tố Mersenne Đó số với Tám số nguyên tố Mersenne lớn tìm thập kỷ vừa qua với trợ giúp máy tính điện tử Bây ta xem người ta chứng minh tám số Mersenne lớn số nguyên tố phương pháp Điều thực định lý Định lý Lucas – Lehmer D H Số nguyên tố , p số nguyên tố lẻ, số ước số số hạng thứ (p-1) dãy số xác định điều kiện sau: (do theo số hạng dãy số 4, 14, 194, 37634, ) Dễ chứng minh | thứ (p-1) dãy số điều kiện: phụ thuộc vào ước số phần tử xác định phần dư phép chia số Page 70 of 80 cho Vì để chứng minh số số nguyên tố hợp số ta phải thực phép toán nâng lũy thừa hai phép chia số nhỏ Đặc biệt để chứng minh số (có 31 chữ số) số nguyên tố ta cần phải tính toán chắn phải có | Sau thực loạt tính toán cần thiết ta thấy không chia hết cho Do hợp số Để chứng minh số chứng tỏ (có 969 chữ số) số nguyên tố ta cần phải | Để làm điều ta phải thực vài ngàn phếp nâng lũy thừa hai vài ngàn phép chia cho số có không 969 chữ số Tất phép tính toán thực máy tính điện tử Có giả thuyết cho số Mersenne số nguyên tố số số nguyên tố Điều số nguyên tố Mersenne nhỏ nhất, số nguyên tố thứ năm vào năm 1953 Wheeler D J chứng minh giả thuyết không đúng: Số (có 2466 chữ số) hợp số Lưu ý ta chưa biết ước số nguyên tố số Năm 1957 người ta chứng minh số nguyên tố số và số lại hợp số, chúng chia hết cho (tương ứng): Cũng có giả thuyêt (cho tới ngày chưa bị bác bỏ) cho số với tất số nguyên tố Điều với sô đề số số có nhiều , với chữ số ta không giải vấn số nguyên tố hợp số Chúng ta đề cập tới mối liên quan số Mersenne với số hoàn hảo chẵn Thêm vào Euclide phương pháp đẻ nhận tất số hoàn hảo chẵn Tính tổng phần tử liên tiếp cấp số nhân Nếu tổng số nguyên tố nhân số nguyên tố với phần tử cuối tổng ta nhận số hoàn hảo chẵn Page 71 of 80 Mặt khác ta biết tất số hoàn hảo chẵn số có dạng số nguyên tố Mersenne (Mãi tới kỷ XVIII L Euler chứng minh tính đắn định lý này) Từ suy biết số hoàn hảo chẵn ta biết chừng số nguyên tố Mersenne tức 20 số Số hoàn hảo bé số số hoàn hảo lớn số Chúng ta chưa biết có số hoàn hảo lẻ hay không Chỉ biết chúng tồn số cực lớn Ta đề cập tới giả thuyết số Mersenne Jakóbczyк F nêu giả thuyết cho p số nguyên tố số Mersenne không chia hết cho bình phương số nguyên tố Schinzel A nêu vấn đề liệu có tồn tập vô số số Mersenne tích số nguyên tố khác hay không [ND: Tính tới năm 2016 20 số nguyên tố Mersenne lớn tìm thấy là: STT Số nguyên tố Số chữ số Năm tìm Ghi 274207281 - 22338618 01/2016 Số Mersenne thứ 49 257885161 - 17425170 02/2013 Số Mersenne thứ 48 243112609 - 12978189 08/2008 Số Mersenne thứ 47 42643801 -1 12837064 06/2009 Số Mersenne thứ 46 37156667 -1 11185272 09/2008 Số Mersenne thứ 45 32582657 2 -1 9808358 09/2006 Số Mersenne thứ 44 230402457 - 9152052 12/2005 Số Mersenne thứ 43 225964951 - 7816230 02/2005 Số Mersenne thứ 42 24036583 -1 7235733 05/2004 Số Mersenne thứ 41 20996011 -1 6320430 11/2003 Số Mersenne thứ 40 13466917 -1 4053946 12/2001 Số Mersenne thứ 39 12 26972593 - 2098960 06/1999 Số Mersenne thứ 38 13 23021377 - 909526 01/1998 Số Mersenne thứ 37 14 22976221 - 895932 08/1997 Số Mersenne thứ 36 10 11 15 16 17 2 2 1398269 -1 420921 11/1996 Số Mersenne thứ 35 1257787 -1 378632 09/1996 Số Mersenne thứ 34 859433 -1 258716 01/1994 Số Mersenne thứ 33 Page 72 of 80 18 2756839 - 227832 02/1992 Số Mersenne thứ 32 19 2216091 - 65050 09/1985 Số Mersenne thứ 31 39751 09/1983 Số Mersenne thứ 30 132049 20 -1 Thông tin tập hợp Internet] 26 Số nguyên tố dãy số vô hạn khác Câu hỏi “Một dãy số vô hạn cho trước có chứa vô hạn số nguyên tố hay không ?” nói chung câu hỏi khó Như nói ta chưa biết dãy số (với ) có chứa vô hạn số nguyên tố hay không Chúng ta chưa biết dãy số có chứa vô hạn số nguyên tố hay không Tình dãy Fibonacci xác định điều kiên: Các phần tử dãy Người ta chứng minh số Các số số số nguyên tố với khác số nguyên tố ta chưa biết Số nguyên tố lớn số số có 10 chữ số Có thể chứng minh không số nguyên tố số n phải số nguyên tố, ta có mệnh đề ngược lại, ví dụ Ta chưa biết số , p số nguyên tố, có chứa vô số hợp số hay không Xét dãy số xác định điều kiện sau: Page 73 of 80 Các phần tử dãy số Số số nguyên tố với nguyên tố Số lớn mà ta biết số chưa biết số nguyên tố Chúng ta có nhiều vô hạn hay không Tôi thêm dãy số nhiều nhà toán học quan tâm năm gần Việc xây dựng dựa dãy tất số lẻ: Đặt , số nhỏ dãy số lớn số ta đặt Gạch dãy số ta số thứ ba (tức gạch số nằm vị trí thứ 3, thứ 6, thứ v.v… dãy số ta) Bằng phương pháp ta nhận dãy số mới: Số nhỏ dãy số lớn số ta đặt Bây ta gạch dãy số nhận số thứ ta nhận dãy số Số nhỏ dãy số lớn số ta đặt Từ dãy số vừa nhận ta gạch số thứ Tiếp tục lặp lại trình ta nhận dãy vô hạn mà số hạng nhỏ 100 dãy số số: Các số dãy số ta gọi số hạnh phúc Ta chưa biết dãy số có vô hạn số nguyên tố hay không Người ta ước tính số hạnh phúc nhỏ 98600 có 715 số nguyên tố 27 Giải phương trình số nguyên tố Chúng ta biết nhiều phương trình đơn giản (thậm chí bậc 1) mà chúng ta chưa biết liệu tập nghiệm số nguyên tố có phải vô hạn hay không Ví dụ phương trình Dễ dàng chứng minh câu hỏi “Phương trình có vô số nghiệm số nguyên tố x, y, z hay không” tương đương với câu hỏi “Số cặp số nguyên tố sinh đôi có phải vô hạn hay không” Thật vậy, p, q r số nguyên tố Page 74 of 80 rõ ràng số p q số lẻ cho (bởi tổng số chẵn nên tổng hợp số) Do hai số p q phải số chẵn 2, ví dụ Nhưng số p số lập nên cặp số nguyên tố sinh đôi Mặt khác, số p số lập nên cặp số nguyên tố sinh đôi, số số nguyên tố nghiệm phương trình Chúng ta chưa biết phương trình phương trình có vô số nghiệm só nguyên tố x, y hay không (đây giả thuyết), cho dù ta biết nhiều nghiệm nguyên tố chúng Ví dụ với phương trình với phương trình Van der Corput J G chứng minh phương trình có vô số nghiệm số nguyên tố x, y, z Người ta chứng minh phương trình có vô số nghiệm số nguyên tố x, y, z, t Và với phương trình Ví dụ Dễ dàng chứng minh phương trình tố x, y, z, t nghiệm số nguyên Chúng ta chưa biết tập hợp tam giác vuông có độ dài cạnh số tự nhiên mà cạnh có cạnh có độ dài số nguyên tố có phải tập vô hạn hay không Ta chứng minh câu hỏi tương đương với câu hỏi phương trình có vô số nghiệm số nguyên tố p, q hay không Ví dụ tam giác vuông có cạnh Dễ dàng tìm nghiệm x, y số nguyên tố phương trình Thật vậy, số tự nhiên x, y thỏa mãn phương trình rõ ràng x phải số lẻ số nguyên, từ Page 75 of 80 , k nên y phải số chẵn Bởi y số nguyên tố nên , từ suy phương trình ta có nghiệm số nguyên tố: Chúng ta chưa biết phương trình số nguyên tố x,y Ta vậy: biết có nghiệm nghiệm Dễ chứng minh n số tự nhiên phương trình nghiệm số nguyên tố p, q, r Cho dến giả thuyết Fermat cho p số nguyên tố phương trình nghiệm số tự nhiên x, y, z (Giả thuyết chứng minh với nguyên tố lẻ ) [ND: Năm 1993 giả thuyết Fermat Andrew Wiles chứng minh sau gần ròng nghiên cứu, phát triển từ chứng minh giả thiết có liên quan Tuy nhiên chứng minh thiếu sót đến năm 1995 Wiles hoàn tất, công bố chứng minh trọn vẹn.] 28 Các ma phương thiết lập từ số nguyên tố Ma phương (theo nghĩa rộng) với n dòng đựoc gọi bảng thiết lập từ số tự nhiên khác viết thành n dòng (và n cột) cho tổng số dòng, cột số đường chéo Ta biết ma phương vuông với dòng thiết lập từ số nguyên tố Ví dụ ma phương vuông Page 76 of 80 Trong ma phương vuông tổng số dòng, cột đường chéo 1077 Còn ma phương vuông thứ hai tổng 798 Có giả thuyết cho số tự nhiên tồn vô số ma phương vuông (theo nghĩa rộng) thiết lập từ số nguyên tố khác 29 Một số toán chưa giải liên quan tới số nguyên tố 1) Chúng ta chưa biết liệu có tồn vô số cặp số tự nhiên liên tiếp mà số cặp số có ước số nguyên tố (ví dụ cặp 3, 4, 5, 8, 9, 16 17, 31 32) Chúng ta biết có 26 cặp số vậy, mà cặp cặp lớn (xem toán đây) Nhưng ta chứng minh phương trình p, q số nguyên tố, m, n số tự nhiên , có nghiệm 2) Chúng ta chưa biết liệu có tồn tập vô hạn ba số tự nhiên liên tiếp mà số ba tích hai số nguyên tố khác hay không (Ví dụ ba Page 77 of 80 ba số: ba ) Có giả thuyết cho có vô số ba 3) Chúng ta chưa biết liệu có tồn vô số số nguyên tố p cho số tự nhiên chia số cho số p cho ta số dư khác (Ví dụ số nguyên tố ) Có giả thuyết cho có vô số số nguyên tố p 4) Chúng ta chưa biết từ số tự nhiên ta thay đổi hai chữ số ta nhận số nguyên tố hay không (Đối với số có hai chữ số điều rõ ràng Đối với số có ba chữ số sau chuyển ta nhận số nguyên tố là: ) 5) Chúng ta chưa biết giả thuyết Schinzel A có hay không, mà theo giả thuyết số thực tồn số nguyên tố p nằm Giả thuyết Schinzel A kiểm tra tất số thực x mà 6) Dễ dàng chứng minh sáu số tự nhiên liên tiếp có số có hai ước số nguyên tố khác (bởi sáu số có số chia hết cho có nghĩa số có ước số nguyên tố 3) Ta chứng minh ba số tự nhiên liên tiếp có số mà số có hai ước số nguyên tố khác Nhưng ta lại cặp số tự nhiên liên tiếp đủ lớn có số mà số có hai ước số nguyên tố khác Nói cách khác, chưa biết có tồn hay không số tự nhiêm m cho có hai số n n+1 mà số có hai ước số nguyên tố khác Chúng ta biết số m tồn ta cần phải có số số có ước số nguyên tố Người ta chứng minh số m tồn tồn số hữu hạn số nguyên tố Fermat có số hữu hạn số nguyên tố Mersenne M 30 Giả thuyết Schinzel A Page 78 of 80 Đa thức biến x với hệ số nguyên ta gọi tối giản tích hai đa thức với hệ số nguyên mà chúng có bậc nhỏ bậc đa thức xét Đối với đa thức f(x) với hệ số nguyên có xuất câu hỏi đa thức với giá trị tự nhiên x cho ta vô số số nguyên tố Dễ dàng chứng minh điều kiện cần cho tồn đa thức phải đa thức tối giản Tuy nhiên điều kiện đủ ta dễ dàng chứng minh đa thức đa thức tối giản, giá trị tự nhiên x mà đa thức lại cho ta số nguyên tố: số tự nhiên x giá trị đa thức số chẵn Ta dễ dàng chứng minh tính tối giản đa thức f(x) cần phải thỏa mãn thêm điều kiện sau nữa: Không tồn só tự nhiên mà ước số f(x) với giá trị x nguyên Điều kiện có phải điều kiện đủ hay không để đa thức với hệ số nguyên, hệ số x có bậc cao số dương, cho ta vô số số nguyên tố với số tự nhiên x ? Trong kỷ trước B Ya Buniacopxki dã nêu giả thuyết Từ giả thuyết ta suy tồn vô số số nguyên tố có dạng , x số tự nhiên Từ giả thuyết ta suy tồn vô số số tự nhiên x mà số nguyên tố Từ giả thuyết Schinzel A., mà thảo luận đây, suy số tự nhiên n tồn vô số số tự nhiên x mà nố tất số số nguyên tố Schinzel A đưa giả thuyết P tổng quát sau đây: Nếu s số tự nhiên, đa thức với hệ số nguyên, có hệ số x có bậc cao dương, đa thức tối giản thỏa mãn điều kiện S sau: “Không tồn số tự nhiên mà ước số tích giá trị nguyên x” tồn vô số số tự nhiên x mà chúng số số , số nguyên tố Đặc biêt, giả sử 2k số tự nhiên chẵn cho trước Ở ta có: Page 79 of 80 Nếu tồn số tự nhiên cho số và điều không nguyên x ta cần phải có ta biết hai số lẻ liên tiếp ước số chung Vì điều kiện S thỏa mãn từ giả thuyết P ta suy tồn vô số số tự nhiên x cho số số nguyên tố, , p, q số nguyên tố, từ Cho nên từ giả thuyết P ta suy số tự nhiên chẵn có vô số cách biểu diễn thành dạng hiệu hai số nguyên tố Đặc biệt với từ kết ta suy tồn tập vô hạn cặp số nguyên tố sinh đôi Từ giả thuyết P Schinzel A ta rút thêm nhiều định lý khác số nguyên tố mà chúng chưa chứng minh Hà Nội, tháng 11 năm 2016 Dịch từ tiếng Nga: Hoàng Đức Tân Page 80 of 80 ... 80 tồn số p, q r Và số số p, q, r có s chữ số Đối với ta có số nguyên tố có chữ số là: 2, 3, Số số nguyên tố có chữ số 21, số số nguyên tố có chữ số 143 Tồn số nguyên tố mà số có 100 chữ số Gần... ta tìm ước số nguyên tố bé Ước số số có 587 chữ số Nhưng ta chưa biết phân tích thừa số nguyên tố số chưa biết ước số nguyên tố khác Nảy sinh câu hỏi phân tích (2) số tự nhiên thành thừa số nguyên. .. số cuối số nguyên tố ? Chữ số cuối số nguyên tố (có nhiều chữ số) số chẵn được, số số số chẵn nên phải hợp số; chữ số cuối số ta có số chia hết phải hợp số Vì chữ số cuối số nguyên tố số 1, 3,