bai giang phương pháp phần tử hữu hạn

Phương pháp phần tử hữu hạn NGUYỄN TIẾN DŨNG Bộ môn Cơ học kết cấu - Đại học Xây dựng Hà nội Hà nội 06-2009 Mục lục Mở 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 đầu Phương pháp phần tử hữu hạn Cơ sở ten sơ Chuyển trục toạ độ Giải tích véc tơ Đại số tuyến tính Cơ sở lý thuyết đàn hồi Bài tập Phương trình sở phương trình biến thiên 2.1 Phương trình sở 2.1.1 Thanh chịu kéo nén 2.1.2 Thanh chịu uốn ngang phẳng 2.1.3 Vật thể đàn hồi 2.1.4 Tấm chịu uốn 2.2 Thiết lập phương trình biến thiên từ ngun lý cơng 2.2.1 Nguyên lý công 2.2.2 Thanh chịu kéo nén 2.2.3 Thanh chịu uốn ngang phẳng 2.2.4 Vật thể đàn hồi 2.2.5 Tấm chịu uốn 2.3 Thiết lập phương trình biến thiên từ phương pháp hàm thử 2.3.1 Thanh chịu kéo nén 2.3.2 Thanh chịu uốn ngang phẳng 2.3.3 Vật thể đàn hồi 2.3.4 Tấm chịu uốn 2.4 Bài tập i 1 9 11 13 13 13 14 15 16 18 18 19 19 19 19 19 20 20 21 21 22 ii Mục lục Hệ 3.1 Hàm chuyển vị 3.1.1 Thanh chịu kéo nén dọc trục 3.1.2 Thanh chịu uốn ngang phẳng 3.1.3 Thanh chịu xoắn tuý 3.2 Dạng ma trận toán 3.2.1 Thanh chịu kéo nén dọc trục 3.2.2 Thanh chịu uốn ngang phẳng 3.2.3 Thanh chịu xoắn tuý 3.3 Dàn phẳng 3.4 Khung phẳng 3.4.1 Thanh hai đầu nút cứng (N-N) 3.4.2 Thanh đầu trái khớp, đầu phải nút cứng (K-N) 3.4.3 Thanh đầu trái nút cứng, đầu phải khớp (N-K) 3.5 Khung không gian 3.6 Ma trận độ cứng véc tơ lực nút hệ kết cấu 3.7 Xác định chuyển vị nội lực 3.8 Bài tập Bài toán phẳng lý thuyết đàn hồi 4.1 Hàm chuyển vị 4.1.1 Phần tử tam giác ba điểm nút 4.1.2 Phần tử tứ giác bốn điểm nút 4.1.3 Phần tử hữu hạn bậc cao 4.2 Phần tử sở hoán chuyển đẳng hướng 4.2.1 Phần tử sở tứ giác 4.2.2 Phần tử sở tam giác 4.3 Ma trận độ cứng véc tơ lực nút 4.4 Tích phân số 4.5 Bài tập Tấm vỏ 5.1 Tấm chịu uốn 5.1.1 Hàm chuyển vị 5.1.2 Biến dạng 5.1.3 Ma trận độ cứng véc tơ lực nút 23 23 23 25 29 30 31 32 35 37 38 39 40 41 42 44 45 45 49 49 50 52 53 54 57 58 59 60 62 63 64 64 65 66 Mục lục 5.3 5.1.4 Ví dụ phân tích uốn Vỏ mỏng 5.2.1 Phần tử vỏ phẳng 5.2.2 Phần tử vỏ cong 5.2.3 Phần tử vỏ nội suy Bài tập Bài 6.1 6.2 6.3 6.4 toán động lực học Phương trình động lực học Dạng ma trận Dao động tự khơng có lực cản Bài tập 5.2 iii Tài liệu tham khảo 66 66 68 68 69 71 75 75 76 78 79 81 Chương Mở đầu Chương giới thiệu số khái niệm mở đầu, ký hiệu, quy uớc, sở toán học học sử dụng tài liệu 1.1 Phương pháp phần tử hữu hạn Phương pháp phần tử hữu hạn (the Finite Element Method - FEM) phương pháp số để phân tích phương trình vi phân đạo hàm riêng sử dụng để mô tả tốn học Q trình tính theo phương pháp phần tử hữu hạn thường thường dẫn đến việc giải hệ phương trình đại số tuyến tính, biểu diễn theo ngơn ngữ ma trận, tự động hố máy tính Để biết thêm lịch sử, sở lý thuyết ứng dụng phương pháp phần tử hữu hạn, người đọc tham khảo thêm tài liệu tác giả Zienkiewicz (1971), Bathe (1996), Bernadou (1996), Hughes (2000), Engel et al (2002), Chapelle and Bathe (2003) Wells (2006) Trong phân tích kết cấu Phương pháp phần tử hữu hạn, vật thể liên tục xấp xỉ tổ hợp phần tử hữu hạn Các phần tử có kích thước hữu hạn liên kết với số hữu hạn điểm nút Sau mối quan hệ ứng suất - biến dạng phần tử hữu hạn thiết lập lắp ghép với nhau, trạng thái ứng suất - biến dạng hệ kết cấu xác định Các công thức phương pháp phần tử hữu hạn thường thiết lập tảng nguyên lý lượng công thức biến thiên Khi thiết lập cơng thức, chọn trường biến dạng hay trường ứng suất làm ẩn số chính, tương ứng với phương pháp phần tử hữu hạn mơ hình Mở đầu chuyển vị mơ hình ứng suất sử dụng Trong thực hành, phương pháp phần tử hữu hạn mơ hình chuyển vị thường sử dụng Việc phân tích kết cấu phương pháp phần tử hữu hạn theo mơ hình chuyển vị thường gồm bước sau: • Rời rạc hố kết cấu thành phần tử hữu hạn; • Chọn hàm chuyển vị mô tả chuyển vị phần tử hữu hạn; • Lập ma trận độ cứng véc tơ lực nút phần tử hữu hạn hệ toa độ địa phương; • Lập ma trận độ cứng véc tơ lực nút phần tử hữu hạn hệ toạ độ chung; • Lập ma trận độ cứng véc tơ lực nút hệ kết cấu; • Thi hành điều kiện biên; • Giải hệ phương trình cân để tìm véc tơ chuyển vị nút hệ toạ độ chung; • Tìm véc tơ chuyển vị nút hệ toạ độ địa phương; • Tính nội lực, biến dạng, ứng suất phần tử Độ xác kết tính phụ thuộc vào độ mịn lưới chia, bậc hàm xấp xỉ sử dụng để mô tả phần tử hữu hạn độ xác việc giải hệ phương trình đại số 1.2 Cơ sở ten sơ Trong phân tích kết cấu thường gặp đại lượng véc tơ ten sơ Ví dụ chuyển vị hay ngoại lực điểm đại lượng véc tơ, ứng suất hay biến dạng điểm đại lượng ten sơ Một đại lượng véc tơ ten sơ đưọc biểu diễn hệ toạ độ (hay hệ sở) khác Trong phần lớn nội dung tài liệu này, hệ toạ độ đề (Cartesian), trực chuẩn (orthonormal) sử dụng Điều làm đơn giản hoá triển khai Một đại lượng véc tơ ten sơ biểu diễn đầy đủ qua thành phần chúng, với véc tơ sở có chiều dài đơn vị 1.2 Cơ sở ten sơ x3 a3 a e3 (0, 0, 1) e2 (0, 1, 0) x2 a2 e1 (1, 0, 0) a1 x1 Hình 1.1: Hệ sở trực chuẩn Trong tài liệu, đại lượng vô hướng ký hiệu ký tự in thường (l, a, E ), đại lượng véc tơ, ten sơ ma trận ký hiệu ký tự in đậm (u, σ, M, ) Một véc tơ a không gian thực d chiều R d thường biểu diễn qua thành phần véc tơ , i = → d, sau:    a=  a1 a2 ad      (1.1) Nhân vơ hướng hai véc tơ a b có chiều d định nghĩa đại lượng vô hướng: d s = a·b = ∑ bi , (1.2) i =1 (·) ký hiệu phép nhân vô hướng Einstein (1916) đề xuất ký hiệu phép tổng (Einstein summation) để biểu diễn rút gọn phép tính véc tơ ten sơ dạng số, xem thêm Hughes (2000) Để biểu diễn số hạng sau biểu thức trên, ký hiệu phép tổng bỏ qua Khi số thừa số phép tính trùng (chỉ số i), phép tổng thực lặp lại theo số (i = → d) Ví dụ, d = 3: s = bi = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 (1.3) Mở đầu Chiều dài véc tơ định nghĩa từ kết phép nhân vơ hướng véc tơ với nó: √ √ (1.4) a = k a k = a · a = ai Rd Tương tự véc tơ, ten sơ bậc hai A không gian thực d chiều thường biểu diễn qua thành phần véc tơ Aij , i, j = → d, sau:    A = Aij =   A11 A12 A21 A22 Ad1 Ad2 A1d A2d Add Véc tơ ten sơ liên hệ với sau:      (1.5) a = = Ab = Aij b j , (1.6) C = Cik = AB = Aij b jk (1.7) Một ten sơ bậc hai A có chuyển vị đưọc ký hiệu A T định nghĩa bởi: b · Ac = Ac · b = c · A T b, (1.8) Hay ký hiệu dạng số: bi ( Aij c j ) = ( Aij c j )bi = c j ( A ji bi ) (1.9) AijT = A ji (1.10) Dạng tường minh: Phép tính sau hay sử dụng, liên quan tới chuyển vị ten sơ: ( AB) T = BT AT (1.11) Một ten sơ bậc hai nhận từ phép nhân ten sơ hai véc tơ: A = a ⊗ b, (1.12) Aij = b j (1.13) hay Vết ten sơ bậc hai định nghĩa tổng số hạng đường chéo chính: tr ( A) = Aii , (1.14) 1.3 Chuyển trục toạ độ Tích vơ hướng hai ten sơ bậc hai định nghĩa bởi:   T s = A : B = tr A B = Aij Bij (1.15) Ten sơ bậc hai đơn vị I đưọc định nghĩa bởi: a = I · a, (1.16) I = δij ei ⊗ e j , (1.17) xác định bởi: δij Kronecker-delta, δij = i = j δij = i 6= j Nhân hữu hướng (nhân véc tơ) hai véc tơ không gian R3 định nghĩa bởi:   a2 b3 − a3 b2   (1.18) c = a × b =  a3 b1 − a1 b3  a1 b2 − a2 b1 Một ten sơ bậc ba định nghĩa từ phép nhân ten sơ ten sơ bậc hai véc tơ Ten sơ bậc ba hay sử dụng ten sơ hốn vị vịng quanh (permutation) E :
E = Eijk = ei · e j × ek (1.19) Ten sơ có đặc điểm: số lặp lại, Eijk = 0; hoán vị (i, j, k) chẵn (thuận), Eijk = 1; hoán vị (i, j, k) lẻ (nghịch), Eijk = −1 Sử dụng ten sơ hoán vị vịng quanh, phép nhân có hướng hai véc tơ định nghĩa bởi: c = a × b = E : ( a ⊗ b) (1.20) Ten sơ bậc bốn thường gặp ten sơ đàn hồi vật liệu: C = Cijkl (1.21) 1.3 Chuyển trục toạ độ Trong tính tốn thực hành, ngồi hệ trục toạ độ chung (tổng thể) cho toàn hệ kết cấu, phần tử hữu hạn gắn với hệ toạ độ riêng (địa phương) Mối quan hệ đại lượng hệ toạ độ chung riêng thực qua ma trận chuyển trục toạ độ Xét hai hệ toạ độ ei e′j , i = → d Ma trận chuyển trục T hai hệ toạ độ định nghĩa: Tij = ei · e′j (1.22) Mở đầu x2′ x2 x1 e2′ (0, 1, 0) e2 (−sinα, cosα, 0) α x3 x3′ e1 (cosα, sinα, 0) x1′ ′ e1 (1, 0, 0) e3 (0, 0, 1) e3′ (0, 0, 1) Hình 1.2: Chuyển trục toạ độ Trong phạm vi toán phẳng, ma trận chuyển trục có dạng:    e1 · e1′ e1 · e2′ e1 · e3′ cosα sinα     T =  e2 · e1′ e2 · e2′ e2 · e3′  =  −sinα cosα  0 e3 · e1′ e3 · e2′ e3 · e3′  (1.23) Chú ý ma trận T ma trận trực giao: T T T = T T T = I, (1.24) T T = T −1 (1.25) hay Một đại lượng véc tơ biểu diễn hai hệ toạ độ ei e′j qua hai véc tơ a a′ có mối quan hệ sau: a = Ta′ = Tij a′j , (1.26) a′ = T T a = Tji a j (1.27) Một đại lượng ten sơ bậc hai biểu diễn hai hệ toạ độ qua hai ten sơ A A′ có mối quan hệ sau: A = TA′ T T = Aij = Tik A′km Tjm , (1.28) A′ = T T AT = Aij′ = Tki Akm Tmj (1.29) ... cấu Phương pháp phần tử hữu hạn, vật thể liên tục xấp xỉ tổ hợp phần tử hữu hạn Các phần tử có kích thước hữu hạn liên kết với số hữu hạn điểm nút Sau mối quan hệ ứng suất - biến dạng phần tử hữu. .. sở toán học học sử dụng tài liệu 1.1 Phương pháp phần tử hữu hạn Phương pháp phần tử hữu hạn (the Finite Element Method - FEM) phương pháp số để phân tích phương trình vi phân đạo hàm riêng sử... Phần tử tam giác ba điểm nút 4.1.2 Phần tử tứ giác bốn điểm nút 4.1.3 Phần tử hữu hạn bậc cao 4.2 Phần tử sở hoán chuyển đẳng hướng 4.2.1 Phần tử sở tứ giác 4.2.2 Phần tử