Công Phá đề thi môn Toán

Mục lục The best or nothing MỤC LỤC CHỦ ĐỀ 1: HÀM SỐ VÀ CÁC ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM 19 I Tính đơn điệu hàm số 19 A Lý thuyết 19 B Các dạng toán tính đơn điệu hàm số 20 Dạng 1: Bài toán không chứa tham số 20 Bài tập rèn luyện kỹ 26 Dạng 2: Bài toán chứa tham số 28 Bài tập rèn luyện kỹ 39 II Cực trị hàm số giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số 48 A Lý thuyết cực trị hàm số 48 B Các dạng toán liên quan đến cực trị 50 Dạng 1: Xác định điểm cực trị hàm số, điểm cực trị đồ thị hàm số, tìm giá trị cực trị hàm số 50 Dạng 2: Tìm điều kiện để hàm số cho có điểm cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước 56 Đọc thêm: Phương pháp sử dụng máy tính cầm tay để giải nhanh tập định tham số m để hàm f(x) đạt cực đại (cực tiểu) x0 71 Bài tập rèn luyện kỹ 73 C Lý thuyết giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số 85 Đọc thêm 1: Phương pháp giải nhanh tập tìm giá trị lớn – giá trị nhỏ đoạn [a; b] 97 Đọc thêm 2: Phương pháp giải nhanh tập xác định m để hàm số đạt giá trị lớn – giá trị nhỏ đoạn [a; b] 99 Bài tập rèn luyện kỹ 100 D Ứng dụng GTLN, GTNN vào thực tiễn, giải vấn đề tối ưu 110 Bài tập rèn luyện kỹ 116 III Đường tiệm cận 128 A Lý thuyết đường tiệm cận ngang đồ thị hàm số 128 B Lý thuyết đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số 130 C Một số dạng toán thường gặp liên quan đến đường tiệm cận đồ thị hàm số 135 Công Phá Toán Ngọc Huyền LB Bài tập rèn luyện kỹ 138 IV Các dạng đồ thị hàm số thường gặp 148 Bài tập rèn luyện kỹ 156 V Sự tương giao hai đồ thị hàm số 166 Bài tập rèn luyện kỹ 175 VI Tổng ôn tập chủ đề 179 Bài kiểm tra số 179 Bài kiểm tra số 183 Bài kiểm tra số 187 CHỦ ĐỀ 2: HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT 191 I Lũy thừa – Hàm số lũy thừa 191 A Khái niệm lũy thừa 191 B Hàm số lũy thừa 192 II Logarit – Hàm số logarit 193 A Logarit 193 B Hàm số logarit 193 III Hàm số mũ 194 IV Ứng dụng hàm số mũ, hàm số logarit thực tế 195 Bài tập rèn luyện kỹ 205 V Phương trình mũ phương trình logarit 214 A Đưa số logarit háo – mũ hóa 215 B Phương pháp đặt ẩn phụ 220 C Phương pháp logarit hóa, mù hóa 226 D Phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số 228 VI Các toán biến đổi logarit 229 A Tính logarit theo logarit cho 229 B Tính logarit theo hai logarit cho 229 C Sử dụng máy tính cầm tay 230 Bài tập rèn luyện kỹ 231 Dạng 1: Các dạng toán tìm tập xác định, toán đồ thị tính chất hàm logarit 231 Dạng 2: Các phép biến đổi mũ, logarit 234 Mục lục The best or nothing Dạng 3: Giải phương trình bất phương trình mũ, logarit 236 VII Tổng ôn tập chủ đề 251 Bài kiểm tra số 251 Bài kiểm tra số 254 CHỦ ĐỀ 3: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 257 I Nguyên hàm tính chất 257 II Hai phương pháp để tìm nguyên hàm 258 III Các dạng toán nguyên hàm 261 IV Bổ sung số vấn đề nguyên hàm 266 Bài tập rèn luyện kỹ 272 V Khái niệm tính chất tích phân 276 VI Hai phương pháp tính tích phân 277 VII Ứng dụng hình học tích phân 280 VIII Một số toán tích phân gốc thường gặp 284 Bài tập rèn luyện kỹ 294 IX Ứng dụng nguyên hàm, tích phân thực tế 304 Bài tập rèn luyện kỹ 305 X Tổng ôn tập chủ đề 309 Bài kiểm tra số 309 Bài kiểm tra số 313 CHỦ ĐỀ 4: SỐ PHỨC 317 I Số phức 317 II Các phép toán với số phức 318 Đọc thêm: Giới thiệu số tính tính toán số phức máy tính Casio 319 Bài tập rèn luyện kỹ 324 Đọc thêm: Các toán số phức vận dụng cao 332 VI Tổng ôn tập chủ đề 345 CHỦ ĐỀ 5: KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH CỦA MỘT SỐ KHỐI ĐA DIỆN QUEN THUỘC 348 I Khái niệm hình đa diện khối đa diện 348 II Khối đa diện lồi khối đa diện 351 III Thể tích khối đa diện 352 Công Phá Toán Ngọc Huyền LB Bài tập rèn luyện kỹ 364 IV Tổng ôn tập chủ đề 383 CHỦ ĐỀ 6: MẶT CẦU, MẶT TRỤ, MẶT NÓN 387 I Mặt cầu, khối cầu 387 Bổ sung số vấn đề mặt cầu ngoại tiếp, nội tiếp hình đa diện 390 Bài tập rèn luyện kỹ 398 II Mặt nón, hình nón, khối nón 404 III Mặt trụ, hình trụ, khối trụ 409 Bài tập rèn luyện kỹ 412 IV Tổng ôn tập chủ đề 423 CHỦ ĐỀ 7: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 429 I Hệ tọa độ không gian 429 II Phương trình mặt phẳng 431 III Phương trình đường thẳng 436 Đọc thêm: Bài toán cực trị không gian 441 Bài tập rèn luyện kỹ 444 IV Mặt cầu 469 Bài tập rèn luyện kỹ 472 VI Tổng ôn tập chủ đề 480 Tra cứu thuật ngữ 484 Chủ đề 1: Hàm số ứng dụng đạo hàm The best or nothing II Cực trị hàm số giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y A Lý thuyết cực trị hàm số điểm cực đại điểm cực tiểu O Hình 1.7 x Ở phần I.I ta vừa học cách sử dụng đạo hàm để tìm khoảng đơn điệu hàm số hàm số Ở phần ta xác định điểm nằm khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số, ngược lại Những điểm gọi điểm cực trị đồ thị hàm số Điểm cực trị bao gồm điểm cực đại điểm cực tiểu đồ thị hàm số Đồ thị hàm số hình 1.7 có điểm cực đại điểm phía bên trái điểm cực tiểu phía bên phải (điểm đánh dấu) Định nghĩa Cho hàm số y  f  x  xác định liên tục khoảng  a; b  (có thể a  ; b  ) điểm xo   a; b  a, Nếu tồn số h  cho f  x   f  x0  với x   x0  h; x0  h  x  x0 ta nói hàm số f  x  đạt cực đại x b, Nếu tồn số h  cho f  x   f  x0  với x   x0  h; x0  h  x  x0 ta nói hàm số f  x  đạt cực tiểu x Với hàm liên tục hàm số đạt cực trị điểm làm cho y '  y ' không xác định thể hình 1.8 y O điểm cực đại c y x điểm cực đại không xác định c O x Hình 1.8 Nếu hàm số đạt cực đại cực tiểu x  c x  c điểm làm cho y ' STUDY TIP Điểm cực trị hàm số x  c ; điểm cực trị đồ thị hàm số điểm    có tọa độ M c; f c Chú ý Trong trắc nghiệm thường có câu hỏi đưa để đánh lừa thí sinh phải phân biệt điểm cực trị hàm số điểm cực trị đồ thị hàm số y ' không xác định Chú ý   Nếu hàm số f x đạt cực đại (cực tiểu)   x0 x0 gọi điểm cực đại (điểm cực tiểu) hàm số ; f x0 gọi giá trị cực đại (giá trị cực     tiểu) hàm số, kí hiệu fCD fCT , điểm M x0 ; f  x0  gọi điểm cực đại (điểm cực tiểu) đồ thị hàm số Các điểm cực đại cực tiểu gọi chung điểm cực trị Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) gọi cực đại (cực tiểu) gọi chung cực trị hàm số Dễ dàng chứng minh rằng, hàm số y  f  x  có đạo hàm khoảng  a; b  đạt cực đại cực tiểu x f   x0   LOVEBOOK.VN| 48 Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB Điều kiện đủ để hàm số có cực trị STUDY TIP Ở định lý ta hiểu sau: Ta thừa nhận định lí sau Định lý Giả sử hàm số y  f  x  liên tục khoảng K   x0  h; x0  h  có * Khi f   x  đổi dấu từ đạo hàm K K \x0  , với h  dương sang âm qua x  c x  c gọi điểm cực đại hàm số a Nếu f   x   khoảng  x0  h; x0  f   x   khoảng x ; x * Khi f   x  đổi dấu từ âm 0  h  x điểm cực đại hàm số f  x  b Nếu f   x   khoảng  x0  h; x0  f   x   khoảng sang dương qua x  c x  c gọi điểm cực tiểu hàm số x ; x 0  h  x điểm cực tiểu hàm số f  x  Hình 1.9 mô tả điều kiện đủ để hàm số có cực trị: điểm cực đại y y điểm cực tiểu O y STUDY TIP Nếu x  c điểm cực trị hàm f 'c   y  f x x c O y Không phải điểm cực trị x c Không phải điểm cực trị f 'c  không xác định, f 'c   chưa x  c điểm cực trị hàm số O c O x c x Hình 1.9 Quy tắc để tìm cực trị Quy tắc 1 Tìm tập xác định   Tính f ' x Tìm điểm f ' x không xác định Lập bảng biến thiên Từ bảng biến thiên suy cực trị Quy tắc Tìm tập xác định  Tính f ' x Giải phương trình f '  x   kí hiệu xi  i  1, 2, 3, , n nghiệm Tính f ''  x  f ''  xi  ,  i  1; 2; 3; n LOVEBOOK.VN | 49 Chủ đề 1: Hàm số ứng dụng đạo hàm The best or nothing   Dựa vào dấu f '' xi suy tính chất cực trị điểm Nếu f   xi   xi điểm cực tiểu xi Nếu f   xi   xi điểm cực đại B Các dạng toán liên quan đến cực trị Xác định điểm cực trị hàm số, điểm cực trị đồ thị Dạng hàm số, tìm giá trị cực trị hàm số Phương pháp chung Sử dụng hai quy tắc quy tắc phần lý thuyết Ví dụ 1: Điểm cực trị hàm số f  x   A x  1; x  C x  1; x  5 x  x2  3x  3 22 10 B x   ; x  3 D x  4; x  Đáp án A Lời giải Cách 1: Xét hàm số f  x   x  x  3x  3 x  Có TXĐ: D  Ta có f   x   x  x  3; y      x  1 Bảng biến thiên x f   x 1  + f  x    10    22 Từ BBT ta thấy hàm số có điểm cực đại x  1 điểm cực tiểu x  Cách 2: Sử dụng MTCT Ta sử dụng chức tính đạo hàm điểm máy tính Ấn qyY máy hình bên Nhập hàm số phương án) Tại x  1 y   suy x  1 điểm cực trị hàm số Chú ý Trong STUDY TIP trang 35 có ý chưa điểm cực trị hàm số, ta cần thử xem có đổi dấu qua hay không X  X  3X  giá trị X  1 (Ta thử 3 Tương tự ta giữ nguyên hình thay x  1 thành x  kết tương tự Từ ta chọn A Ví dụ 2: Điểm cực trị hàm số f  x   x3  3x2  3x  A x  1; x  3 B x  1; x  3 C x  0; x  D hàm số điểm cực trị Đáp án D Lời giải TXĐ: D  Ta có y    x  1  0, x  LOVEBOOK.VN| 50  hàm số đồng biến Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB Ta có BBT: x f   x Xét STUDY TIP hàm số bậc với  ba a   có  y   b  3ac * Nếu b  3ac  hàm số có hai cực trị * Nếu b  3ac  hàm số cực trị  f  x f  x   ax  bx  cx  d  Từ BBT suy hàm số cực trị Từ ví dụ ví dụ ta nhận thấy với hàm số bậc ba có dạng f  x   ax  bx  cx  d, a   tìm cực trị hàm số ta nên giải cách (xét phương trình y  ) thay sử dụng máy tính phương trình y  phương trình bậc hai giải nhanh chóng việc bấm máy thử trường hợp, tham khảo STUDY TIP bên cạnh để suy luận nhanh toán Ví dụ 3: Xét hai hàm số f  x   x4  2x2  hàm số g  x    x4  x2  4 Chọn mệnh đề mệnh đề sau: A Hàm số f  x  có hai điểm cực đại A 1;  B  1;  B Hàm số f  x  có điểm cực tiểu x  hàm số g  x  có giá trị cực đại y  C Hàm số f  x  có hai điểm cực tiểu điểm cực đại, hàm số g  x  có điểm cực đại D Hàm số f  x  hàm số g  x  có điểm cực tiểu x  Đáp án B Lời giải Từ toán xét biến thiên tổng quát hàm số bậc bốn trùng phương mà giới thiệu trang 21 trang 22 trước ta có: Hàm số f  x   x4  2x2  có b  2  nên phương trình f   x   có ba a  x   b  nghiệm phân biệt  x     1 2a   b 1 x   2a  Kết hợp với STUDY TIP trang 22 ta có f  x  có hệ số a  1  ta có nhanh bảng biến thiên x f   x f  x 1    0      * Từ ta loại C hàm số f  x  có hai điểm cực đại điểm cực tiểu LOVEBOOK.VN | 51 Chủ đề 1: Hàm số ứng dụng đạo hàm The best or nothing * Ta loại A hàm số f  x  có hai điểm cực đại x  1 x  Còn A  1;  B 1;  hai điểm cực đại đồ thị hàm số, hàm số (xem lại ý (phần mở đầu chủ đề cực trị hàm số) phân biệt khái niệm) * Để loại hai phương án B D lại ta tiếp tục xét hàm số g  x  TXĐ: D  Ta có y    x  x; y    x  Bảng biến thiên: x f   x   f  x 0     Từ BBT ta loại D x  điểm cực đại hàm số g  x  Vậy ta chọn B  Đối với hàm bậc bốn trùng phương dạng y  ax  bx  c a  STUDY TIP Đối với hàm bậc bốn trùng phương có dạng y  ax  bx  c,  a   nếu: ab  hàm số có điểm cực trị x  ab  hàm số có ba điểm cực trị x  0;x    b 2a STUDY TIP Đối với hàm bậc bốn trùng phương có dạng  x  Ta có y '  4ax  2bx     2ax  b   x   b 2a  Số điểm cực trị phụ thuộc vào nghiệm phương trình ax  b  b b a Nếu  (tức a; b trái dấu) hàm số có ba điểm cực trị x  0; x    2a 2a b b Nếu  (tức a; b dấu b  hàm số có điểm 2a cực trị x  Tiếp tục toán áp dụng kết vừa thu Ví dụ 4: Cho hàm số y   x  x  Mệnh đề đúng? A Hàm số có cực đại hai cực tiểu B Hàm số có hai cực đại cực tiểu C Hàm số có cực đại cực tiểu D Hàm số có cực đại cực tiểu y  ax4  bx2  c, Đáp án B  a   có ab  , Lời giải Áp dụng kết vừa thu ta có kết luận hàm số có ba điểm cực trị hai hệ số a, b trái dấu Mặt khác hệ số a  1  nên đồ thị hàm số có dạng chữ M (mẹo nhớ), hàm số có hai điểm cực đại cực tiểu Đến ta tiếp tục thu kết luận phần STUDY TIP nếu: a a  x  điểm cực tiểu; x    b 2a hai điểm cực đại hàm số b a  ngược lại x  điểm cực đại; x  b hai điểm 2a cực tiểu hàm số Ví dụ 5: Cho hàm số y   x  x  x  Kết luận sau đúng? A Hàm số đạt cực đại x  2 đạt cực tiểu x  B Hàm số có giá trị cực đại y  25 giá trị cực tiểu y  2 C Hàm số có điểm cực trị x  2 điểm cực đại D Đồ thị hàm số cho có điểm cực tiểu A  2; 25 Đáp án C Lời giải LOVEBOOK.VN| 52 Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB  x  2 TXĐ: D  Ta có y   4 x  12 x  8; y     x  BBT Từ ví dụ ta thấy đạo hàm x  qua điểm y  không đổi dấu nên điểm x  điểm cực trị hàm số 2  x f   x +  f  x   25  Hàm số đạt cực đại x  2 Từ ta chọn C  Nhận xét: Đối với hàm bậc 4, đạo hàm đa thức bậc nên hàm có cực trị ba cực trị Hàm số có cực trị phương trình y   có nghiệm nghiệm (1 nghiệm đơn nghiệm kép), hàm số có cực trị phương trình y   có nghiệm phân biệt Ví dụ 6: Cho hàm số y  f ( x) xác định, liên tục \2 có bảng biến thiên phía dưới: Khẳng định sau khẳng định ? A Hàm số đạt cực đại điểm x  đạt cực tiểu điểm x  B Hàm số có cực trị C Hàm số có giá trị cực tiểu D Hàm số có giá trị lớn giá trị nhỏ -15 x  y’ y   + +  15     Đáp án C Lời giải Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy có hai giá trị x mà qua y  đổi dấu, x  x  , hai điểm cực trị hàm số Ta thấy y’ đổi dấu từ âm sang dương qua x  , x  điểm cực tiểu hàm số, ngược lại x  lại điểm cực đại hàm số Từ ta loại A, B D sai giá trị cực trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số Ta chọn C x  hàm số có giá trị cực tiểu y  Ví dụ 7: Hàm số y  f  x  liên tục có bảng biến thiên hình vẽ bên Mệnh đề sau đúng? A Hàm số cho có hai điểm cực trị B Hàm số cho giá trị cực đại C Hàm số cho có điểm cực trị D Hàm số cho giá trị cực tiểu LOVEBOOK.VN | 53 Chủ đề 7: ĐT MP không gian Quan hệ song song The best or nothing CHỦ ĐỀ 7: ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ SONG SONG Đại cương đường thẳng mặt phẳng A Lý thuyết Mặt phẳng Mặt bảng, mặt bàn, mặt nước hồ yên lặng cho ta hình ảnh phần mặt phẳng Mặt phẳng bề dày giới hạn Để kí hiệu mặt phẳng, ta thường dùng chữ in hoa chữ Hy Lạp đặt dấu ngoặc () Ví dụ mặt phẳng  P  , Q ,    ,  Để biểu diễn mặt phẳng, ta thường dùng hình bình hành miền góc ghi tên mặt phẳng vào góc hình biểu diễn P Đường thẳng mặt phẳng tập hợp điểm Do đó: - Nếu điểm A thuộc đường thẳng a, ta kí hiệu A  a nói đường thẳng a qua điểm A P - Nếu điểm A thuộc mặt phẳng   , ta kí hiệu A    nói mặt phẳng   qua điểm A - Nếu đường thẳng a chứa mặt phẳng   , ta kí hiệu a     nói mặt phẳng   qua (hoặc chứa) đường thẳng a Quy tắc để vẽ hình biểu diễn hình không gian - Hình biểu diễn đường thẳng đường thẳng, đoạn thẳng đoạn thẳng - Hình biểu diễn hai đường thẳng song song hai đường thẳng song song, hai đường thẳng cắt hai đường thẳng cắt Hai đoạn thẳng song song phải vẽ song song Trung điểm đoạn thẳng phải lấy điểm đoạn thẳng - Hình biểu diễn phải giữ nguyên quan hệ thuộc điểm đường thẳng - Dùng nét vẽ liền để biểu diễn cho đường nhìn thấy nét đứt đoạn biểu diễn cho đường bị che khuất Các tính chất thừa nhận hình học không gian - Tính chất 1: Có đường thẳng qua hai điểm phân biệt - Tính chất 2: Có mặt phẳng qua ba điểm không thẳng hàng Như vậy, mặt phẳng không gian xác định cách thức sau: - Mặt phẳng qua ba điểm không thẳng hàng A, B, C Kí hiệu mp ABC  - Mặt phẳng qua đường thẳng a điểm A không thuộc đường thẳng a Kí hiệu: mp  A, a  - Mặt phẳng qua hai đường thẳng cắt a b Kí hiệu: mp  a, b - Mặt phẳng qua hai đường thẳng song song a, b LOVEBOOK.VN | 384 Công Phá Toán – Lớp 11 B Nếu có số điểm thuộc mặt phẳng ta nói điểm đồng phẳng Tính chất cho thấy ba điểm luôn đồng phẳng Nhưng bốn điểm, tính chất cho thấy điều tương tự b a C Nhận xét a b a A A More than a book - Tính chất 3: Trong không gian có bốn điểm không thuộc mặt phẳng - Tính chất 4: Trong không gian, hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung chúng có đường thẳng chung chứa tất điểm chung hai mặt phẳng - Tính chất 5: Nếu đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc mặt phẳng điểm đường thẳng thuộc mặt phẳng - Tính chất 6: Trong mặt phẳng không gian, kết biết hình học phẳng Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng không gian a) Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng Cho đường thẳng d mặt phẳng   Có thể xảy khả d sau: - Đường thẳng d mặt phẳng   điểm chung Trong trường hợp ta nói đường thẳng d song song với mặt phẳng   , kí hiệu d d //    - Đường thẳng d mặt phẳng   có điểm chung Trong trường hợp ta nói đường thẳng d cắt mặt phẳng   điểm A, ta kí d hiệu d      A - Đường thẳng d mặt phẳng   có nhiều điểm chung Trường hợp ta nói đường thẳng d nằm mặt phẳng   , ta kí hiệu d     b) Vị trí tương đối hai mặt phẳng Cho hai mặt phẳng phân biệt      Có thể xảy khả sau: α - Hai mặt phẳng    điểm chung Trong trường hợp ta nói mặt phẳng    song song với nhau, kí hiệu    //  β - Hai mặt phẳng    có điểm chung Trong trường α hợp ta nói mặt phẳng    có phần chung đường thẳng, giả sử đường thẳng d, ta kí hiệu      d β d Đường thẳng d gọi giao tuyến hai mặt phẳng Như vậy, việc xác định giao tuyến hai mặt phẳng tương ứng với việc xác định hai điểm thuộc đồng thời hai mặt phẳng phân biệt Ngoài ra, biết ba điểm phân biệt thuộc đồng thời hai mặt phẳng ba điểm phải nằm đường thẳng LOVEBOOK.VN| 385 Chủ đề 7: ĐT MP không gian Quan hệ song song The best or nothing + Do cạnh thiết diện đoạn giao tuyến mặt phẳng   với mặt T Do số cạnh nhiều mà thiết diện có số mặt T - Đối với hình chóp tam giác (hoặc tứ diện), thiết diện cắt mặt phẳng   tam giác tứ giác (ở ta quy ước không xét trường hợp suy biến thiết diện mặt cạnh hình chóp) - Đối với hình chóp tứ giác, thiết diện tam giác, tứ giác ngũ giác Các toán liên quan tới thiết diện gồm dạng: + Dựng thiết diện + Xác định hình dạng thiết diện + Tính diện tích thiết diện + Tính tỉ số thể tích hai phần thiết diện phân chia khối thể tích cho (sẽ trình bày Công phá toán tập 3) Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành tâm O Gọi M N trung điểm SA SC Gọi  P  mặt phẳng qua điểm M, N, B a) Tìm giao tuyến  P  SAB ;  P  SBC  b) Tìm giao điểm I đường thẳng SO với mặt phẳng  P  giao điểm K đường thẳng SD với mặt phẳng  P  c) Xác định giao tuyến mặt phẳng  P  với mặt phẳng SAD  mặt phẳng SDC  Từ suy thiết diện hình chóp S.ABCD cắt  BMN  d) Xác định giao điểm E, F đường thẳng DA, DC với  P  Chứng minh E, B, F thẳng hàng Lời giải a) Ta có: M SA,SA  SAB  M  SAB (1) S Lại có M   BMN  (2) K M Từ (1) (2) suy M  SAB   BMN  (3) N I Ta có: B  SAB   BMN  (4) A D E O C B F Từ (3) (4) suy BM  SAB   BMN  Tương tự ta suy BN  SBC    BMN  b) Trong mặt phẳng SAC  , gọi I giao điểm SO với MN Ta có: I  MN , MN   BMN   I   BMN   I giao điểm SO với  BMN  Trong mặt phẳng SBD gọi K giao điểm BI với SD Ta có: K  BI , BI   BMN   K   BMN  Suy K giao điểm SD với  BMN   K   BMN   K   BMN    SAD  c) Ta có:   K   SAD  Ta lại có: M   BMN   SAD Do đó: MK   BMN   SAD Tương tự ta có: NK   BMN   SDC  Như tứ giác BMKN thiết diện hình chóp SABCD cắt mp  BMN  d) Trong mặt phẳng SAD  , gọi E  MK  AD Ta có E   BMN  Vậy E giao điểm AD với  BMN  LOVEBOOK.VN | 388 MK   BMN  nên Công Phá Toán – Lớp 11 More than a book C Bài tập rèn luyện kỹ S S Câu 1: Trong mệnh đề sau mệnh đề sai? E A Dùng nét đứt để biểu diễn cho đường bị che khuất B Hình biểu diễn đường thẳng đường thẳng C Hình biểu diễn phải giữ nguyên quan hệ thuộc E B A B A D C D C A B điểm đường thẳng S S D Hình biểu diễn hai đường cắt hai đường song song A B B biểu diễn hình tứ diện? (Chọn câu nhất) C A A D sang hình 2D), hình chiếu (nhìn từ xuống B D C (có thể nhìn từ lên)), hình chiếu cạnh (từ từ trái sang (có thể nhìn từ phải sang)) thể (II) sau: A A C từ trước vào (có thể nhìn từ sau) để từ hình 3D chuyển D (I) D C D Câu 5: Một hình không gian có hình chiếu đứng (nhìn C B A E E Câu 2: Trong hình vẽ sau hình hình Hình chiếu cạnh Hình chiếu đứng C B C D D B Hình chiếu (IV) (III) A (I), (II) B (I), (II), (III), (IV) C (I), (II), (III) D (I) Hãy vẽ hình biểu diễn hình đó? Câu 3: Hình sau vẽ quy tắc? A C B D Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang, đáy lớn AB gấp đôi đáy nhỏ CD, E trung điểm đoạn AB Hình vẽ sau vẽ quy tắc? A B C D Câu 6: Mệnh đề sau đúng? A Qua ba điểm xác định mặt phẳng B Qua ba điểm phân biệt xác định mặt phẳng C Qua ba điểm phân biệt không thẳng hàng xác định hai mặt phẳng phân biệt D Qua ba điểm phân biệt không thẳng hàng xác định mặt phẳng Câu 7: Xét mệnh đề sau đây: (I) Có đường thẳng qua hai điểm phân biệt (II) Có mặt thẳng qua ba điểm phân biệt (III) Tồn bốn điểm không thuộc mặt phẳng LOVEBOOK.VN| 391 Chủ đề 7: ĐT MP không gian Quan hệ song song (IV) Nếu hai mặt phẳng có điểm chung chúng có điểm chung khác Số mệnh đề sai mệnh đề là: A B C D Câu 8: Cho n điểm phân biệt không gian (n  4) Biết bốn điểm n điểm cho thuộc mặt phẳng Khẳng định sau đúng? A Tất n điểm thuộc mặt phẳng B Có n  điểm thuộc mặt phẳng C Có n điểm thuộc mặt phẳng D Không tồn mặt phẳng chứa tất n điểm Câu 9: Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? A Có hai mặt phẳng cắt theo đường thẳng cho trước B Hai mặt phẳng có điểm chung C Hai mặt phẳng chứa hai cạnh tam giác trùng D Có hai mặt phẳng phân biệt qua ba điểm phân biệt Câu 10: Cho tứ giác lồi ABCD điểm S không thuộc mặt phẳng  ABCD Có mặt phẳng qua S hai số bốn điểm A, B, C, D? A B C D Câu 11: Cho năm điểm A, B, C, D, E phân biệt điểm nằm mặt phẳng Hỏi có mặt phẳng tạo ba năm điểm cho? A B 10 C 60 D Câu 12: Cho n ( n  3, n  ) đường thẳng phân biệt đồng quy O ba đường thẳng nằm mặt phẳng Có mặt phẳng qua hai số n đường thẳng trên? n! n! n! B A C D n ! n  2! n  2! Câu 13: Cho mặt phẳng   hai đường thẳng a, b cắt nằm  The best or nothing SN  2NB , O giao điểm AC BD Cặp đường thẳng sau cắt nhau: A SO AD B MN SO C MN SC D SA BC Câu 16: Cho bốn điểm A, B, C, D không nằm mặt phẳng Trên AB, AD lấy điểm M N cho MN cắt BD I Điểm I không thuộc mặt phẳng đây: A  ACD B  BCD  C CMN  D  ABD  Câu 17: Cho tứ diện ABCD Gọi M, N trung điểm CD, AB Khi BC MN hai đường thẳng: A chéo B có hai điểm chung C song song D cắt Câu 18: Cho tứ diện ABCD Gọi M trung điểm cạnh AC, N điểm thuộc cạnh AD cho AN  2ND O điểm thuộc miền tam giác BCD Mệnh đề sau mệnh đề đúng? A Mặt phẳng OMN  qua giao điểm hai đường thẳng MN CD B Mặt phẳng OMN  chứa đường thẳng AB C Mặt phẳng OMN  qua điểm A D Mặt phẳng OMN  chứa đường thẳng CD Câu 19: Ba điểm phân biệt thuộc hai mặt phẳng phân biệt A Cùng thuộc đường tròn B Cùng thuộc đường thẳng C Cùng thuộc elip D Tạo thành tam giác Câu 20: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang ABCD (AB đáy lớn, CD đáy nhỏ) Khẳng định sau sai: A Hình chóp S.ABCD có bốn mặt bên B Giao tuyến hai mặt phẳng SAB SCD SK K điểm thuộc mặt phẳng  ABCD Gọi A điểm C Giao tuyến hai mặt phẳng (SAC) (SBD) thuộc đường thẳng a không thuộc đường SO O giao điểm hai đường thẳng AC BD thẳng b P điểm nằm    Khẳng định sau đúng: A PA b chéo B PA b song song C PA b cắt D PA b trùng Câu 14: Cho tứ diện ABCD, I, J trung điểm AD BC Khẳng định sau đúng: A AJ, BI song song B AJ, BI trùng C AJ, BI cắt D AJ, BI chéo Câu 15: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD tứ giác (AB không song song với CD) Gọi M trung điểm SD, N điểm nằm cạnh SB cho D Giao tuyến hai mặt phẳng SAD SBC  SI I giao điểm AD BC Câu 21: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD tứ giác (AB không song song với CD) Gọi M trung điểm SD, N điểm nằm cạnh SB cho SN  2NB , O giao điểm AC BD Giả sử đường thẳng d giao tuyến SAB SCD Nhận xét sau sai: A d cắt CD B d cắt MN C d cắt AB D d cắt SO Câu 22: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang ( BC // AD ) Mặt phẳng  P  di động chứa đường LOVEBOOK.VN | 392 Công Phá Toán – Lớp 11 More than a book Đường thẳng song song với đường thẳng A Lý thuyết Định nghĩa Trong phần vị trí tương đối hai đường thẳng không gian, ta biết hai đường thẳng phân biệt chéo song song cắt Nếu hai đường thẳng phân biệt đồng phẳng không cắt ta nói hai đường thẳng song song song với Định nghĩa: Hai đường thẳng phân biệt a, b không gian gọi song song với nhau, kí hiệu a // b chúng đồng phẳng không cắt Tính chất Định lí 1: Trong không gian, cho đường thẳng d điểm A d Lúc tồn A đường thẳng a qua A song song với đường thẳng d Chú ý: Định lí cho ta thêm cách xác định đường thẳng không gian: đường thẳng qua điểm song song với đường thẳng cho trước không chứa điểm Kết hợp với định lí cho ta cách để xác định giao tuyến hai mặt phẳng a c b Định lí (về giao tuyến ba mặt phẳng): Nếu ba mặt phẳng phân biệt đôi cắt theo ba giao tuyến phân biệt ba giao tuyến đồng quy đôi song song với Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng phân biệt chứa hai đường thẳng song song giao tuyến chúng (nếu có) song song với hai đường thẳng trùng với hai đường thẳng a c b Đến ta bổ sung phương pháp tìm giao tuyến hai mặt phẳng: Bước 1: Chỉ hai mặt phẳng    ,  chứa hai đường thẳng song song a b Bước 2: Tìm điểm chung M hai mặt phẳng Bước 3: Khi       Mx // a // b Định lí 3: Hai đường thẳng phân biệt song song với đường thẳng thứ ba song song với a // c Như vậy, cho hai đường thẳng phân biệt thỏa mãn   a // b b // c Góc hai đường thẳng không gian a) Định nghĩa Góc hai đường thẳng a b không gian góc hai đường thẳng a’, b’ qua điểm song song với a b LOVEBOOK.VN| 403 Chủ đề 7: ĐT MP không gian Quan hệ song song The best or nothing b) Phương pháp tính góc hai đường thẳng không gian Bước 1: Dựng góc - Tìm hình vẽ xem góc hai đường thẳng có sẵn hay không? - Nếu sẵn ta tiến hành: + Chọn điểm O không gian + Qua O dựng đường thẳng a // a , b // b Góc nhọn hay góc vuông tạo a’, b’ góc a b - Lưu ý: + Ta thường lấy điểm O thuộc hai đường thẳng a b + Chọn O cho góc a’, b’ góc tam giác mà độ dài cạnh biết tính dễ dàng Bước 2: Tính góc Dùng hệ thức lượng tam giác: tỉ số lượng giác hay định lí cosin, sin Trường hợp góc hai đường thẳng a, b 900 ta nói a  b B Dạng toán đường thẳng song song với đường thẳng Dạng Chứng minh hai đường thẳng song song không gian Phương pháp: Để chứng minh hai đường thẳng song song không gian ta sử dụng cách sau: Cách 1: Chứng minh hai đường thẳng đồng phẳng, sau áp dụng phương pháp chứng minh song song hình học phẳng tính chất đường trung bình, định lí Thales đảo, tính chất song song hai đường thẳng phân biệt vuông góc với đường thẳng thứ ba…) Cách 2: Sử dụng tính chất bắc cầu: Chứng minh hai đường thẳng phân biệt song song với đường thẳng thứ ba Cách 3: Áp dụng định lí giao tuyến ba mặt phẳng Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD Gọi I, J trọng tâm tam giác ABC, ABD Đường thẳng IJ song song với đường thẳng: A CM M trung điểm BD B AC C DB D CD Đáp án D Lời giải Cách 1: (Đưa mặt phẳng vận dụng kiến thức hình học phẳng) I  CE Gọi E trung điểm AB Ta có:  nên suy IJ CD đồng phẳng  J  DF EI EJ   Do I, J trọng tâm tam giác ABC ABD nên ta có: EC ED Suy IJ // CD Cách 2: (Sử dụng tính chất bắc cầu) Gọi M, N trung điểm BD BC Suy ra: MN // CD (1) Do I , J trọng tâm tam giác ABC ABD nên ta có: Suy IJ // MN (2) Từ (1) (2) suy IJ // CD Cách 3: (Sử dụng định lí giao tuyến ba mặt phẳng) LOVEBOOK.VN | 404 AI AJ   AN AM Chủ đề 8: Vectơ không gian Quan hệ vuông góc The best or nothing CHỦ ĐỀ 8: VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ VUÔNG GÓC Vectơ không gian A Lý thuyết Cho vectơ tùy ý a , b , c k , l  Cộng vectơ A Lấy O tùy ý không gian, vẽ OA  a , AB  b OB  a  b B O Quy tắc ba điểm: Cho ba điểm M, N, K MN  MK  KN Trừ vectơ:   a  b  a  b Quy tắc ba điểm: MN  KN  KM Quy tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD ta có: AB  AD  AC Quy tắc AB AD hình AA hộp: Cho hình hộp ABCD.A B C D ta có AC Tích vectơ: Tích vectơ a với số thực k vectơ Kí hiệu ka + Cùng hướng với a k  + Ngược hướng với a k  + ka  k a Hệ quả: Nếu I trung điểm A, B, O tùy ý OA  OB  2OI Tích vô hướng hai vectơ   - Định nghĩa: a.b  a b cos a, b B - Hệ quả: a  b  a.b  - a  a.a  a A C - Với điểm A, B, C ta có: AB.AC  AB2  AC  BC 2 - Quy tắc hình chiếu: Cho hai vectơ a b Gọi a hình chiếu vuông góc a đường thẳng chứa vecto b thì: a.b  a.b Định nghĩa Ba vectơ a , b , c gọi đồng phẳng giá chúng song song nằm mặt phẳng Các định lí a) Cho a , b không phương: a , b , c đồng phẳng   m, n  : c  ma  nb (m, n xác định nhất) b) Nếu ba vectơ a , b , c không đồng phẳng vectơ x biểu diễn dạng: x  ma  nb  kc với m, n, k xác định LOVEBOOK.VN | 446 Công Phá Toán – Lớp 11 More than a book Góc hai đường thẳng Hai đường thẳng vuông góc Định nghĩa - Góc hai đường thẳng cắt a b góc nhỏ bốn a góc mà a b cắt tạo nên - Góc hai đường thẳng cắt a b không gian góc hai đường thẳng a b qua điểm song song b a’ α (hoặc trùng) với a b b’ Chú ý: Góc hai đường thẳng góc nhọn (hoặc vuông) Phương pháp - Phương pháp 1: Sử dụng định lý hàm số cosin tỉ số lượng giác - Phương pháp 2: Sử dụng tích vô hướng: Nếu u v hai vectơ phương (hoặc vectơ pháp tuyến) hai đường thẳng a b góc  hai đường thẳng xác định công thức:   cos   cos u, v  u.v u.v Ví dụ 1: Cho hình lập phương ABCD.ABCD Gọi M , N , P trung điểm cạnh AB, BC , CD Xác định góc hai đường thẳng MN AP A 45 B 30 C 60 D 90 Đáp án A Lời giải M A B a a Vì ADP vuông D nên: AP  AD2  DP  a     2 N D * Phương pháp 1: Giả sử hình lập phương có cạnh a MN // AC nên: ̂ ) Ta tính góc PAC ̂ ̂ ) = (AC,AP (MN,AP C a 5 3a AAP vuông nên ta có: AP  AA  AP  a         A’ D’ B’ P C’ 2 CCP vuông C  nên: CP  CC2  CP  a2  a2 a  Ta có AC đường chéo hình vuông ABCD nên AC  a ̂ Áp dụng định lý cosin cho ACP ta có: CP2  AC2  AP2  AC.AP cos CAP 2 ̂  AC  AP  CP   cos CAP AC.AP ̂  45  90 nên (AC,AP ̂ ) = CAP ̂  45 hay (MN,AP ̂ )  45 Chọn A  cos CAP  * Phương pháp 2: Ta có: MN.AP  MN AP cos MN , AP    cos MN , AP   MN.AP MN AP   (*) Ta có: MN.AP  MB  BN AA  AD  DP   MB.AA  MB.AD  MB.DP  BN.AA  BN.AD  BN.DP LOVEBOOK.VN| 455 Chủ đề 8: Vectơ không gian Quan hệ vuông góc The best or nothing Hai mặt phẳng vuông góc Góc hai mặt phẳng Định nghĩa - Góc hai mặt phẳng      góc hai đường thẳng vuông góc với hai mặt phẳng - Nếu hai mặt phẳng song song trùng góc chúng Phương pháp tính góc hai mặt phẳng cắt * Phương pháp 1: Dựng hai đường thẳng a , b vuông góc với hai mặt  phẳng   Khi đó, góc hai mặt phẳng    ̂ )=(a,b ̂ ) Tính góc (a,b ̂ ) ((α),(β) * Phương pháp 2: - Xác định giao tuyến c hai mặt phẳng      β - Dựng hai đường thẳng a , b nằm hai mặt phẳng ̂ )=(a,b ̂ ) vuông góc với c qua điểm c Khi ((α),(β) b H         a;       b a α + Hay ta xác định mặt phẳng phụ    vuông góc với giao tuyến c mà c ̂ )=(a,b ̂ )  ((α),(β) * Phương pháp 3: (Trường hợp đặc biệt) Nếu có đoạn thẳng nối hai điểm A, B ( A     , B  ) mà AB    A α β qua A B ta dựng đường thẳng vuông góc với giao tuyến c hai ̂ ) = AHB ̂ mặt phẳng H Khi ((α),(β) H B Ví dụ 1: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a SA  SB  SC  SD  a Tính cosin góc hai mp SAB SAD  A B C D 1 Đáp án B S Lời giải  BI  SA Gọi I trung điểm SA Do tam giác SAD SAB nên   DI  SA I a a D A a O C a B  Góc hai mặt phẳng SAB SAD  góc đường thẳng IB ID * Ta tính góc ̂ BID: Áp dụng định lý cosin cho BID ta có: ̂  cos((SAB),(SAD) ) LOVEBOOK.VN | 462 a 3 a 3      a 2 2    IB  ID  BD   cos ̂ BID  IB.ID a a 2    Chủ đề 8: Vectơ không gian Quan hệ vuông góc The best or nothing  AB  SAD  AB  SD S Giả sử SB  SD  SD  SAB (vô lý) H Hay SBD tam giác vuông Câu 75: Đáp án B A A’ O B B’ Do SABC hình chóp nên SO   ABC  K A  SAO vuông O , dựng OH  SA C H I O  B Cách 1: Dựng CK  IC K , d C; IC  CK 1 1     OH OA2 OS2  a 2  a 2          OC.CI Xét ICC ta có: OC.CI  CK.IC   CK  IC a a 3     OH  a a a Câu 78: Đáp án D a Mà OC   OC.tan 60  3a CI  C C’ S a a2 13a2 , IC2  OI  C O2   a2  12 12  d  C ; IC    CK  3a 13 13 A N Cách 2: Dựng OH  IC , ta có: OI  CI 1  2 OH OI OC2 OH.IC  OI.OC Suy OH hay Câu 76: Đáp án C A’ B’ H A D B C Vì CCA vuông C nên ta dựng CH  AC CH khoảng cách từ C đến AC 1 1    2  2 2 CH CA CC 2a a 2a  CH  2a2 a a  CH   3 Câu 77: Đáp án A LOVEBOOK.VN | 508 M C Cách 1: Gọi I hình chiếu A BM H hình chiếu A SI  AH  SI   AH   SBM   AH  d A; SBM   AH  BM   Gọi N trung điểm AB  DN // BM        d D; SBM   d N; SBM   d A; SBM  Mặt khác ta có hình chiếu vuông góc DS lên ̂  30 SAC  SO  DSO C’ D’ K O I B  d C; IC  3d O; IC  3OH Sau dùng công thức D H Đặt DO  x  SO  x (O  AC  BD) Từ SO  AO2  SA2  x  a  BD  a 2  ABCD hình vuông cạnh a a2  SABM  SABCD  2SBCM  2a 1 Mà SABM  AI BM  AI    2 2 AH AI SA a 2a  d D; SBM    AH  3 1 1 Cách 2:     2  2 2 AH AB AS AK a 4a 4a 2a a  AH   d D; SBM   AH  3 Câu 79: Đáp án C     Công Phá Toán – Lớp 11 More than a book S B’ C’ O’ A’ D A D’ S C B M H C K B Trong mặt phẳng  ABC  dựng HK  BC K  BC  SKH  ̂  30 , BC  AB2  AC  4a Từ giả thiết ta có SHK ̂ Ta có: sin ABC a AC HK  HK    BC HB 2 ̂ a Trong SHK ta có: SH  HK.tan SKH Do M trung điểm cạnh BC nên MH // AC      MH // SAC   d M; SAC   d H; SAC  Trong mặt phẳng SAB kẻ DH  SA D ta có: AC  SAB  AC  DH  DH  SAC   1 a    HD  2 DH HA HS  O A   D   AB  AD Theo giả thiết   BAD cạnh a  BAD  60  OA  OB OO   ABCD  Tứ diện OSAB a a ; OA  ; OS  a 2 1    2 OA OB OS2 vuông O có OB     d O; SAB a 3       a 2      d O;  SAB    4 19  2 2  2 a 3a a a 3a a 19 Câu 82: Đáp án C  Vậy d M ; SAC   d H ; SAC   HD  B a A D Câu 80: Đáp án A C B C A B1 H A1 H F E K K C1 C’ B’ Gọi K trung điểm C F A’ Theo giả thiết mặt phẳng  ABC tạo với  ABC Do A1 B1C1 nên A1 F  B1C1  EK  B1C1 EK // A1 F  A1 F //  DEK    ̂  60 góc 60 nên AKA' Dựng FH  DK  d  DE; A1 F   d A1 F;  DKE  FH a a Ta có: AK  AC   AA  AK.tan 60  2 d B;  ABC   d A;  ABC  (vì FH   DKE )     Dựng AH  AK  AH   ABC    d A;  ABC  AH   a  d BC ;  ABC   Câu 81: Đáp án B Tính AH  Trong tam giác vuông DFK ta có: 1 1 1 16 17    2  2  2 2 FH FD FK a a a a a 4    FH  a 17 LOVEBOOK.VN| 509 Tra cứu thuật ngữ The best or nothing TRA CỨU THUẬT NGỮ A Ảnh điểm Ảnh hình 372, 375 333 B Biến cố Biến cố độc lập Biến cố đối Biến cố giao Biến cố xung khắc Biểu thức tọa độ 142, 143 143 143 143 150 330 C Các tính chất thừa nhận 384 Cấp số cộng 159, 179 Cấp số nhân 159, 191 Chỉnh hợp 107, 108 Công bội 191 Công sai 179 Công thức nhị thức Newton 124 D Đạo hàm hàm số điểm 297 Định lý ba đường vuông góc 504 Đoạn vuông góc chung hai đường thẳng chéo 475 Đường hình sin 18, 19, 45 Đường tiệm cận 20, 21 Đường thẳng song song với mặt phẳng 417 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng 458 G Gia tốc tức thời 306 Giả thiết quy nạp 159 Giao hai biến cố 143 Giao tuyến hai mặt phẳng 385, 387 Giới hạn 204 Giới hạn vô cực 205, 206, 209, 210, 215, 216 Giới hạn vô cực hàm số điểm 231 Giới hạn hàm số điểm 231 Giới hạn bên phải 231 Giới hạn bên trái 231 Giới hạn bên 231 Góc đường thẳng mặt phẳng 467 Góc hai mặt phẳng 462 Góc quay 351 H Dạng vô định 233, 240, 252, 254 Dãy số 159, 166 Dãy số bị chặn 167 Dãy số bị chặn 167 Dãy số bị chặn 167 Dãy số có giới hạn hữu hạn 204 Dãy số có giới hạn 204 Dãy số có giới hạn  205 Dãy số có giới hạn  205 Dãy số có giới hạn vô cực 205 Dãy số giảm 166 Dãy số hữu hạn 179, 191 Dãy số 166 Dãy số tăng 166 Dãy số vô hạn 166 Hàm số hợp 289 Hàm số liên tục 269 Hàm số liên tục điểm 269 Hàm số liên tục khoảng 269 Hàm số lượng giác 15, 17 Hàm số tuần hoàn 17 Hai đường thẳng chéo 417 Hai đường thẳng song song 403 Hai đường thẳng vuông góc 323, 495 Hai mặt phẳng song song 475 Hai mặt phẳng vuông góc 462 Hai mặt phẳng cắt 462 Hệ thức truy hồi 166 Hoán vị 107 Đ K Đạo hàm 280 Đạo hàm cấp cao 306 Đạo hàm cấp hai 306 Đạo hàm cấp n 306 Đạo hàm hàm số hợp Kết thuận lợi 142, 143 Khoảng cách hai đường thẳng chéo 475 Khoảng cách hai mặt phẳng song song Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng LOVEBOOK.VN | 510 289 474, 475 474 Công Phá Toán – Lớp 11 More than a book Khoảng cách từ điểm tới đường thẳng 474 Không gian mẫu 142 Quy tắc nhân 107 Quy tắc nhân xác suất M S Mặt phẳng 384 143 Số hạng tổng quát dãy số P T Phép biến hình 329 Phép chiếu song song 433 Phép chiếu vuông góc 363 Phép dời hình 363 Phép đối xứng tâm 343, 365 Phép đối xứng trục 343 Phép đồng dạng 378 Phép quay 351 Phép thử ngẫu nhiên 142 Phép tịnh tiến 329 Phép vị tự 369 Phương pháp quy nạp toán học 159, 160 Phương trình bậc sin x; cos x Tam giác Pascal 124 Tâm đối xứng 18, 344 Tâm quay 351 Tâm vị tự 369 Tâm vị tự hai đường tròn Tâm vị tự 370 Tâm vị tự 370 Thiết diện 387 Tiếp điểm 321 Tiếp tuyến 321 Tổ hợp 107 Phương trình lượng giác 70, 94 Phương trình tiếp tuyến 321 Q Quy tắc ba điểm 446 Quy tắc cộng 107 Quy tắc cộng xác suất 143 Quy tắc đếm 107 Quy tắc hình bình hành Quy tắc hình hộp 446 71 166, 168 370 V Vectơ tịnh tiến 329 Vectơ không gian Vi phân 306 Vận tốc tức thời 306 446 X 446 Xác suất Xác suất biến cố 142 142 LOVEBOOK.VN| 511 GIA ĐÌNH LOVEBOOK  Cuối cùng, toàn thể anh chị em ĐẠI GIA ĐÌNH LOVEBOOK muốn gửi riêng tới em học sinh: Nhất định em làm Đừng nản chí em nhé! ... cần sử dụng hai công thức Đây hai công thức quan trọng, việc nhớ công thức để áp dụng điều cần thi t! LOVEBOOK.VN| 68 Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB Bài toán 12: Tìm tất giá trị thực tham... Thể tích khối đa diện 352 Công Phá Toán Ngọc Huyền LB Bài tập rèn luyện kỹ 364 IV Tổng ôn tập chủ đề 383 CHỦ ĐỀ 6: MẶT CẦU, MẶT TRỤ, MẶT NÓN ... thi u số tính tính toán số phức máy tính Casio 319 Bài tập rèn luyện kỹ 324 Đọc thêm: Các toán số phức vận dụng cao 332 VI Tổng ôn tập chủ đề 345 CHỦ ĐỀ