MATH EDUCARE sach phuong trinh luong giac

LƯỢNG GIÁC MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ VÀ ỨNG DỤNG TẬP : PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC VÕ ANH KHOA – HOÀNG BÁ MINH MATHEDUCARE.COM VÕ ANH KHOA – HOÀNG BÁ MINH LƯỢNG GIÁC MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ VÀ ỨNG DỤNG TẬP : PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC TP HỒ CHÍ MINH, THÁNG – 2011 matheducare.com MATHEDUCARE.COM LỜI NÓI ĐẦU Cuốn sách “LƯỢNG GIÁC – MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ VÀ ỨNG DỤNG” biên soạn với mục đích cung cấp, bổ sung kiến thức cho học sinh THPT số bạn đọc quan tâm đến mảng kiến thức trình học tập làm việc Trong tập “PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC” này, xoáy vào trọng tâm “PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC”, dạng toán quen thuộc đề thi THPT, đặc biệt đề thi tuyển sinh Đại Học Ở chương chính, chia làm phần : Phần I : Nêu lý thuyết ví dụ minh họa sau đó, giúp bạn đọc hiểu biết cách trình bày Đồng thời đưa dạng toán bản, thường gặp trình làm lớp học sinh THPT Ở phần này, trình bày số để bạn đọc nắm vững hơn, tránh sai sót Phần II : Trong trình tham khảo tổng hợp tài liệu, đưa vào phần dạng toán khó nhằm giúp cho học sinh bồi dưỡng, rèn luyện kĩ giải LƯỢNG GIÁC thành thạo gặp phải dạng toán Phần III : Chúng đưa lời giải gợi ý cho số bài, qua bạn đọc kiểm tra lại đáp số, lời giải tham khảo thêm Trong trình biên soạn, cố gắng việc tham khảo lượng lớn tài liệu có sẵn tiếp thu có chọn lọc ý kiến từ bạn đồng nghiệp để dần hoàn thiện sách này, khó tránh khỏi thiếu sót tầm hiểu biết kinh nghiệm hạn chế, mong nhận ý kiến đóng góp quý báu bạn đọc gần xa Chi tiết liên hệ : anhkhoavo1210@gmail.com minh.9a1.dt@gmail.com CÁC TÁC GIẢ VÕ ANH KHOA – HOÀNG BÁ MINH matheducare.com MATHEDUCARE.COM LỜI CẢM ƠN Trong trình biên soạn, xin cám ơn đến bạn cung cấp tài liệu tham khảo vui lòng nhận kiểm tra lại phần thảo đánh máy, tạo điều kiện hoàn thành sách : - Ngô Minh Nhựt (ĐH Kinh Tế Tp.HCM) Mai Ngọc Thắng (ĐH Kinh Tế Tp.HCM) Nguyễn Thị Thanh Huyền (THPT Chuyên Lương Thế Vinh Đồng Nai) Nguyễn Huy Hoàng (THPT Chuyên Lê Hồng Phong Tp.HCM) Trần Lam Ngọc (THPT Chuyên Trần Đại Nghĩa Tp.HCM) Vương Tuấn Phong (THPT Chuyên Trần Đại Nghĩa Tp.HCM) Lê Quang Hiếu (THPT Chuyên Lương Thế Vinh Đồng Nai) Hoàng Minh Quân (ĐH Khoa Học Tự Nhiên Hà Nội) số thành viên diễn đàn MathScope matheducare.com MATHEDUCARE.COM MỤC LỤC TẬP : PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHƯƠNG : SƠ LƯỢC VỀ HÀM LƯỢNG GIÁC NGƯỢC I II MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN VỀ HÀM LƯỢNG GIÁC NGƯỢC BÀI TẬP VÍ DỤ VỀ HÀM LƯỢNG GIÁC NGƯỢC CHƯƠNG : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC I PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN BÀI TẬP TỰ LUYỆN 13 II CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN 20 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 20 BÀI TẬP TỰ LUYỆN 35 PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT THEO VÀ 41 BÀI TẬP TỰ LUYỆN 50 PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG THEO VÀ 53 BÀI TẬP TỰ LUYỆN 60 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI THUẦN NHẤT ĐỐI VỚI 61 BÀI TẬP TỰ LUYỆN 67 a CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÁC 73 TỔNG HỢP 73 BÀI TẬP TỰ LUYỆN 95 matheducare.com MATHEDUCARE.COM b PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC 100 BÀI TẬP TỰ LUYỆN 103 c PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC 107 BÀI TẬP TỰ LUYỆN 127 d PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA THAM SỐ 131 BÀI TẬP TỰ LUYỆN 148 CHƯƠNG : HỆ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 154 I II TÓM TẮT MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP THƯỜNG GẶP 154 CÁC BÀI TẬP MINH HỌA 155 BÀI TẬP TỰ LUYỆN 171 CHƯƠNG : BẤT PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 175 I II TÓM TẮT MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP THƯỜNG GẶP 175 CÁC BÀI TẬP MINH HỌA 176 BÀI TẬP TỰ LUYỆN 186 ĐỌC THÊM : TẢN MẠN VỀ SỐ PI 189 TÀI LIỆU THAM KHẢO 194 matheducare.com MATHEDUCARE.COM Chương : Sơ lược hàm lượng giác ngược CHƯƠNG SƠ LƯỢC VỀ HÀM LƯỢNG GIÁC NGƯỢC I MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN VỀ HÀM LƯỢNG GIÁC NGƯỢC Hàm số hàm lượng giác ngược hàm số , có số tính chất sau [ ( ( { Hàm số hàm số { ) [ ] ) ( ) [ ] hàm lượng giác ngược , có số tính chất sau [ ] ( ) [ ] ) [ ] ( ) hàm lượng giác , có số tính Hàm số ngược hàm số chất sau ( ( ) ) ( ( ) ) { ( Hàm số ngược hàm số chất sau ) hàm lượng giác , có số tính ( { ( ] ( ) ( ) ( ) ) ( ) matheducare.com MATHEDUCARE.COM Chương : Sơ lược hàm lượng giác ngược BÀI TẬP VÍ DỤ VỀ HÀM LƯỢNG GIÁC NGƯỢC II ( ( √ )) √ { ( [ √ ) ] ( ( √ ) ) [ ] ( ) ậ ( ) Do đó, ( ( ) ( ) ) Ta thấy : ( ) Do đó, ( ) ( ) matheducare.com ( ) MATHEDUCARE.COM Chương : Phương trình lượng giác CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN I - 𝑢 𝑢 d - 𝑣 𝑣 𝑢 𝑣 𝑢 𝑣 [ 𝑢 [ 𝑢 𝜋 𝑢 𝑢 𝑣 𝑘 𝜋 (𝑘 𝑣 𝑘 𝜋 𝑣 𝑘 𝜋 ( 𝑘 𝑣 𝑘 𝜋 𝑢 𝑣 𝜋 𝑢 𝑢 𝑣 𝑢 𝑘𝜋 𝑘𝜋 ) ) (𝑘 ) 𝑘𝜋 (𝑘 𝑘𝜋 ) CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN ĐẶC BIỆT ( ) ( ) ( ( ) ) ( [ ) ( ) ( ) ( ) matheducare.com MATHEDUCARE.COM Chương : Phương trình lượng giác √ [ ( √ ) ( [ √ ) ( ) ( ) [ √ ( ) ( ) Chú ý rằng: ) ươ ệ ) ) ) ộ ệ ộ [ ( [ ]) ộ ệ ộ [ ] ] ( ) ộ ệ ộ ( ( ) ộ ệ ộ ( ) ệ ươ ệ ]) ệ ươ ệ [ ệ ươ ệ ( ) ệ Chúng ta sử dụng công thức biến đổi lượng giác nêu Chương 2, phân tích phương trình thành nhân tử để xuất dạng phương trình matheducare.com MATHEDUCARE.COM Chương : Bất phương trình lượng giác Bài 6: Giải bất phương trình sau : 𝑥 √ 𝑥 𝑥 Giải: Điều kiện : ( )( ) Bất phương trình tương đương với ( √ ) √ √ ( ) Kết hợp với ( ) ta có nghiệm bất phương trình ( ) Bài 7: Tìm nghiệm bất phương trình √ 𝑥 (𝑥 Thỏa mãn bất phương trình √ ( ) 𝑥 ) 𝑥 ( ) Giải: Bất phương trình ( ) tương đương với √ √ ( ) √ √ 180 matheducare.com MATHEDUCARE.COM Chương : Bất phương trình lượng giác ( ) √ ( ) Bất phương trình ( ) tương đương với Do đó, nghiệm bất phương trình cho Bài 8: Giải bất phương trình sau : 𝑥 𝑥 𝑥 Giải: Điều kiện : ( Đặt )( ) Khi đó, bất phương trình tương đương với [ Với ( Với ) ( ) So với điều kiện ( ), ta nhận nghiệm nghiệm bất phương trình 181 matheducare.com MATHEDUCARE.COM Chương : Bất phương trình lượng giác Bài 9: Giải bất phương trình sau : 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 ( 𝑥) 𝑥 (ĐH Kinh Tế Tp.HCM 1997) Giải: Bất phương trình tương đương với ( Đặt ( ) ( )[ ( ) )[ ( ] ) ] nên ta cần xét dấu ( ) [ Do hàm số tuần hoàn có chu kỳ Ta có : ( ) [ ( ) ( ) ( ) Với ( ) : √ Với ( ), ta đặt ( ) | | √ : [ [ ( ạ) Suy ( Lập bảng xét dấu ( ) [ ) √ [ ] ta thấy 182 matheducare.com ] MATHEDUCARE.COM Chương : Bất phương trình lượng giác ( ) 0 0 Như vậy, ta có chu kỳ nghiệm bất phương trình [ Do đó, nghiệm bất phương trình ( [ ) Bài 10: Giải bất phương trình sau : 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 Giải: Đặt ( ) Do hàm số tuần hoàn có chu kỳ nên ta cần xét dấu ( ) [ ] Ta có, bất phương trình tương đương với { Lập bảng xét dấu [ ] ta thấy 183 matheducare.com MATHEDUCARE.COM Chương : Bất phương trình lượng giác 5 5 0 0 0 0 0 0 Suy nghiệm bất phương trình ( ) [ Bài 11: Giải bất phương trình sau : √ 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 −√ Giải: Điều kiện : ( ) Bất phương trình tương đương với −√ √ Đặt , ta đưa bất phương trình trở thành −√ √ Ta xét hàm số () √ 184 matheducare.com 𝑥 MATHEDUCARE.COM Chương : Bất phương trình lượng giác () [ Do đó, ( ) đồng biến [ √ √ ( ) ] ) Ta xét thêm hàm số −√ () −√ ( ) Do đó, ( ) nghịch biến [ Suy với [ √ ) ) { () () ( ) ( ) () ( ) [ ) Như vậy, ta có : () () Khi đó, ( ) ỏ ( ) Bài 12: Giải bất phương trình sau : √ 𝑥( 𝑥 𝑥) √ ( 𝑥 𝑥) (Đề nghị Olympic 30-4, 2006) Giải: Điều kiện : ( ) Bất phương trình tương đương với √ √ 185 matheducare.com MATHEDUCARE.COM Chương : Bất phương trình lượng giác Đặt Ta đưa bất phương trình trở thành √ √ Ta xét hàm số () ( ) [ Do đó, ( ) đồng biến [ √ √ √ ( ) ] ) Suy : ( ) √ √ Như vậy, ( √ BÀI TẬP TỰ LUYỆN 7.1.1 Giải bất phương trình sau : √ ( ) 7.1.2 Giải bất phương trình sau : 186 matheducare.com ) ỏ ( ) MATHEDUCARE.COM Chương : Bất phương trình lượng giác 7.1.3 Giải bất phương trình sau : √ √ √ 7.1.4 Giải bất phương trình sau : √ GỢI Ý GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN 7.1.1 Nghiệm bất phương trình : ( ) ( ( ) ) 7.1.2 Nghiệm bất phương trình : ( ) [ ố [ ệ ( ) 187 matheducare.com MATHEDUCARE.COM Chương : Bất phương trình lượng giác 7.1.3 Nghiệm bất phương trình : ( [ ( ) ) ( ) 7.1.4 Nghiệm bất phương trình : [ ( ) [ ( ) { ( ) 188 matheducare.com MATHEDUCARE.COM Đọc thêm : Tản mạn số pi Đọc Thêm TẢN MẠN VỀ SỐ PI Số số độc đáo đặc biệt Toán học, hấp dẫn nhà khoa học nói chung nhà Toán học nói riêng hầu hết lĩnh vực thấy xuất số Cụ thể số đóng vai trò tỉ lệ đường kính chu vi đường tròn, số siêu việt, tức số không nghiệm phương trình đại số với hệ số nguyên nào… Đã hàng nghìn năm nay, người cố gắng tính toán nhiều chữ số sau dấu phẩy thập phân số Chẳng hạn Archimedes tính giá trị đánh giá xuất phát từ cách tăng số cạnh đa giác nội tiếp vòng tròn Cách xấp xỉ Archimedes có độ xác đến chữ số sau dấu phẩy Còn Ptomely vào năm 150 sau Công Nguyên tính xấp xỉ Và đua 189 matheducare.com MATHEDUCARE.COM kết thúc kết Ludolf van Ceulen (1540-1610), người tốn 10 năm, tính cạnh - giác để tìm số với độ xác 35 chữ số sau dấu phẩy Về mặt lý thuyết, phương pháp xấp xỉ Archimedes kéo dài vô hạn, với phát minh phép tính vi phân, phương pháp người Hy Lạp không dùng đến Thay vào đó, chuỗi tích liên phân số vô hạn hội tụ sử dụng để xấp xỉ số Từ cuối kỷ 17, dãy vô hạn chuỗi trở thành đối tượng chủ yếu nghiên cứu nhà Toán học Một kết theo hướng chuỗi Leibnitz Gottfried Wilhelm Leibnitz (1646-1716) tìm vào năm 1673 Chuỗi Leibnitz trường hợp riêng chuỗi tổng quát hơn, tìm James Gregory (1638-1675) vào năm 1670 ( ) (| | ) Nếu chuỗi Gregory, việc thay để chuỗi Leibnitz ta thay với giá trị khác nhỏ hơn, để chuỗi khác có tốc độ hội tụ cao nhiều Abraham Sharp (1651-1742) sử dụng kết để đạt kết kỷ lục vào năm 1699 với 71 chữ số sau dấu phẩy √ ( ) ( ) Tiếp theo đó, nhà Toán học thông qua việc tìm tổ hợp mà chúng biểu diễn chuỗi hội tụ nhanh chuỗi Leibnitz 190 matheducare.com MATHEDUCARE.COM Đọc thêm : Tản mạn số pi Chúng ta kiểm tra dễ dàng đẳng thức bẳng cách sử dụng đẳng thức lượng giác : ( ( (| | ) ) ) Việc khai triển cho ta chuỗi thuận tiện nhiều cho việc tính toán Và giúp John Machin (1680-1751) tính 100 chữ số sau dấu phẩy vào năm 1706 Thành công John Machin khởi lên cho nhà Toán học khác tiếp tục tham gia chạy đua mà thời Archimedes Sử dụng phương pháp Abraham Sharp, De Lagny (1660-1734) tính 127 chữ số sau dấu phẩy vào năm 1719 Không lâu sau đó, Leonard Euler (1707-1783) phương pháp khác kiểm tra kết De Lagny tìm sai sót chữ số thứ 113 Năm 1841, William Reserford (không rõ năm sinh, năm mất) tìm 208 chữ số sau dấu phẩy kiểm tra lại Johan Martin Zacharias Dase (1824-1861) sai chữ số 153 Năm 1847, Thomas Clausen (1801-1885) tiến thêm đến 250 chữ số sau dấu phẩy, có 248 chữ số tính Năm 1853, William Reserford tăng thành tích lên 440 chữ số sau dấu phẩy Và kỷ lục thời kỳ thiết lập William Shanks (1812-1882) với 530 chữ số (trong 527 chữ số tính đúng) Về sau, William Shanks phải làm việc để tính tiếp chữ số tiếp theo, đưa kỷ lục lên đến 707 chữ số tính Đến kỷ 20, cách mạng máy tính đánh dấu thành tựu vĩ đại trí tuệ người Những kiểm tra máy tính điện tử vào năm 1945 phát William Shanks sai từ chữ số thứ 528 Điều khiến nhà Toán học Harold Scott MacDonald Coxeter (1907-2003) phải lên : “Không thể không buồn nghĩ rằng, tính toán mà Shanks tội nghiệp phải bỏ phần lớn đời để tính, máy tính điện tử đại thực vài giây để khởi động vậy” Và vậy, xuất máy tính điện tử làm cho tốc độ đua tìm chữ số sau dấu phẩy tăng nhanh 191 matheducare.com MATHEDUCARE.COM Năm 1949, John Von Neumann (1903-1957) cộng tính 2037 chữ số sau dấu phẩy máy tính điện tử ENIAC Ngưỡng 10000 chữ số đạt vào năm 1958 Fredrick Jenuine (1908-1973) với trợ giúp máy tính IBM 704 Và 100.000 chữ số sau dấu phẩy số tính vào năm 1961 Daniel Shanks (1917-1996) với máy tính IBM 7079 Năm 1973, Jan Gyiu M Buet (không rõ năm sinh, năm mất) lập kỷ lục với mức triệu chữ số sau dấu phẩy, sử dụng gần ngày làm việc máy CDC-7600 Đến cuối kỷ 20, người ta tính số với độ xác đến chữ số thứ 200 tỉ Và tại, kỷ lục Fabrice Bellard (1972) tính xác đến chữ số thứ 2.7 tỉ tỉ số Mất đến 131 ngày để tính toán, kết ấn tượng Fabrice Bellard sử dụng máy tính để bàn thông thường để xử lý số liệu với việc phát triển phần mềm xử lý thuật toán mạnh 20 lần so với sản phẩm tương tự trước Tưởng kỷ nguyên máy tính điện tử loại bỏ người khỏi chơi cách dứt khoát, máy tính có tốc độ xử lý nhanh máy thắng Nhưng thực không vậy, người khởi xướng chạy đua không tiền khoán hậu tạo nên nhiều thuật toán nhân nhanh giúp máy tính điện tử xử lý hiệu Trở lại số 200 tỉ thiết lập vào cuối kỷ 20… Năm 1987, Jonathan Peter Borwein (1953) tìm chuỗi đáng ngạc nhiên : ( ∑ ( ) ( ) [ ) ( ) [ √ √ ] √ ] Dãy số hạng dấu tính tổng với bổ sung thêm khoảng 25 chữ ) cho số sau dấu phẩy cho số ứng với số hạng Chỉ riêng số hạng ( giá trị gần đến 24 chữ số sau dấu phẩy Thậm chí, Jonathan Peter Borwein đưa thuật toán giúp tính toán chữ số sau dấu phẩy số , có hiệu thần kỳ Mỗi bước tính thuật toán làm tăng thêm độ dài chữ số sau dấu phẩy tính lên lần Dưới mô tả thuật toán : Ta đặt √ hạng trước công thức √ , số hạng 192 matheducare.com tính theo số MATHEDUCARE.COM Đọc thêm : Tản mạn số pi √ √ Dãy số { } xây dựng công thức ( Khi ) ( ) tăng ta có đánh giá − Nói cách khác, → Cơ sở phát minh thuật toán nghiên cứu lĩnh vực tích phân elliptic hàm theta Thuật toán kỳ diệu lấy ý tưởng nhà Toán học thiên tài người Ấn Độ Srinivasa Ramanujan (1887-1920) Và số 200 tỉ xuất từ đó… Có thể nói thêm rằng, phương pháp gây tò mò để tính số Count Buffon vào kỷ 18 với Bài toán kim ông Trên mặt phẳng, ta k đường thẳng song song cách đơn vị chiều dài Thả kim có độ dài nhỏ lên mặt phẳng Nếu kim rơi lên đường k lần thả coi thành công Khám phá đầy bất ngờ Buffon tỉ lệ số lần thả thành công so với không thành công biểu thức chứa số Nếu chiều dài kim đơn vị xác suất thả thành công Số lần thả nhiều xấp xỉ cho số xác Trong phương pháp xác suất khác để tính số vào năm 1904, R Chartes tìm xác suất để hai số nguyên viết ngẫu nhiên nguyên tố xác suất để số nguyên chọn ngẫu nhiên mà không chia hết cho số phương mang chung giá trị tuyệt vời 193 matheducare.com MATHEDUCARE.COM TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Văn Nho, Nguyễn Văn Thổ, Chuyên đề Lượng giác, NXB Tổng hợp Tp.HCM, 2007 [2] Võ Giang Giai, Tuyển tập 400 toán lượng giác, NXB Đại học Sư Phạm, 2007 [3] Phạm Tấn Phước, Các chuyên đề Lượng giác, NXB Tp.HCM, 1999 [4] Huỳnh Công Thái, Đào Khải, Phương pháp giải toán Lượng giác THPT, NXB Đại học Sư Phạm, 2004 [5] Trần Văn Toàn, Võ Hữu Phước, Luyện Thi Cấp Tốc Toán Học, NXB ĐHQG Tp.HCM, 2009 [6] Doãn Minh Cường, Giới thiệu Đề Thi Tuyển Sinh Vào Đại Học môn Toán (từ 1997-1998 đến 2004-2005), NXB ĐHQG Hà Nội, 2004 [7] Huỳnh Công Thái, Các dạng toán điển hình : Phương Trình, Hệ Phương Trình Lượng Giác, NXB ĐHQG Hà Nội, 2006 [8] Theoni Pappas, Niềm vui Toán Học, NXB Kim Đồng, 2009 [9] Tuyển tập đề thi Olympic 30 tháng 4, Lần XII – 2006, Toán học, NXBGD, 2006 Tuyển tập đề thi Olympic 30 tháng 4, Lần XIII – 2007, Toán học, NXBGD, 2007 Tuyển tập đề thi Olympic 30 tháng 4, Lần XIV – 2008, Toán học, NXBGD, 2008 Tuyển tập đề thi Olympic 30 tháng 4, Lần XV – 2009, Toán học, NXBGD, 2009 194 matheducare.com ... đương: ( ) 24 matheducare.com MATHEDUCARE.COM Chương : Phương trình lượng giác ( ạ) [ ( d ) Phương trình tương đương với [ ( ạ) ( ) ( ) ( ) [ e Phương trình tương đương với [ [ 25 matheducare.com... Vinh Đồng Nai) Hoàng Minh Quân (ĐH Khoa Học Tự Nhiên Hà Nội) số thành viên diễn đàn MathScope matheducare.com MATHEDUCARE.COM MỤC LỤC TẬP : PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC...MATHEDUCARE.COM VÕ ANH KHOA – HOÀNG BÁ MINH LƯỢNG GIÁC MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ VÀ ỨNG DỤNG TẬP : PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC TP HỒ CHÍ MINH, THÁNG – 2011 matheducare.com