Tài liệu Luyện Thi THPT Quốc Gia 2017 Môn TOÁN Quyển 1 Minh Hoàng

Tài liệu Luyện Thi THPT Quốc Gia 2017 Môn TOÁN Quyển 1 sẽ bao gồm các dạng toán về hàm số, lượng giác và hình không gian được biên soạn cụ thể, chi tiết sẽ là món quà tặng quý báu cho các em 12 và các em chuẩn bị cho kì thi THPT QG 2017

LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2017

Mai Nguyễn Minh Hoàng

LỜI MỞ ĐẦU

Các em thân mến!

Khi các em cầm quyển tài liệu này trên tay thì ắc hẳn các em đã chuẩn bị bước vào năm lớp 12 – năm kết thúc của cấp 3 cũng là năm đánh dấu sự trưởng thành của các em sau 12 năm cắp sách đến trường Thầy nghĩ rằng ai trong các em trong năm này đều quyết tâm học hành chăm chỉ để có một chỗ ngồi tốt nhất trong trường Đại học mà mình mong muốn Hiểu được sự cố gắng của các em, Thầy đã viết tập tài liệu này để nhằm giúp cho các em nắm được các kiến thức cơ bản của môn Toán

và các dạng Toán thường gặp trong các kì thi, đặc biệt là kì thi THPT Quốc Gia của các em sắp tới Thầy hy vọng các em sẽ cố gắng rèn luyện, đọc thật kĩ tài liệu và làm các bài tập trong tài liệu một cách kĩ càng và cẩn thận Việc làm này sẽ giúp các em

tự tin hơn trong các giờ học trên trường, các bài kiểm tra 15 phút, 1 tiết, học kỳ và hơn thế là bài thi THPT Quốc Gia sắp tới

Các em à, các em nghĩ rằng một năm lâu lắm phải không? Thầy cũng đồng ý

là một năm lâu thật nhưng theo Thầy các em cứ cố gắng học tập chăm chỉ, vì đó cũng là cơ hội 1 năm quý báu Các em cứ thử nghĩ xem rồi sẽ đến tết khi ấy 1 năm

đã còn có nửa năm rồi đến giỗ tổ Hùng Vương, 30/4, 1/5 rồi đến ngày bế giảng các

em à Sau bế giảng chỉ còn 1 tháng cuối để ôn tập lại và lên đường, đến lúc đó các

em sẽ cảm nhận được 1 tháng giống như 1 tuần thôi, nhanh lắm các em Đây là cảm nhận thật mà Thầy rút ra, Thầy xin chia sẻ với các em Hè năm chuẩn bị lên 12 Thầy

sợ Hình không gian lắm, nên Thầy đã hạ quyết tâm trong 3 tháng hè lên 12 phải cố học cho xong hình không gian Nhưng với suy nghĩ : " Thôi để mai học ", cứ như thế ngày qua ngày Thầy chẳng học được gì cả Rồi đến ngày khai giảng, Thầy cũng quyết tâm học cho xong hình trong học kì I nhưng rồi cũng với suy nghĩ: " Thời gian còn dài mà, học chi cho sớm, thôi để mai học" Thế là học kì I trôi qua mà trong đầu Thầy chẳng có chữ hình không gian nào cả Rồi có một người thầy đã nói với tụi Thầy: "

Em nào có suy nghĩ cứ để mai làm thì bỏ đi nhé, nó sẽ giết chết các em đó " Thế là

sợ qua, sang học kì II Thầy đã cố gắng học hình không gian và bỏ đi suy nghĩ đó, ngày nào làm việc ngày đó, nhờ vậy Thầy đã chinh phục thành công câu Hình không gian trong đề thi Thầy nghĩ rằng nhiều em cũng có suy nghĩ : "Thôi để mai học, để mai làm" Thầy khuyên các em hãy cố gắng bỏ suy nghĩ ấy đi và quyết tâm làm việc

gì thì hãy làm ngay trong ngày hôm nay, cố gắng học hành chăm chỉ để sau khi mình làm xong việc gì thì luôn cảm thấy mãn nguyện vì mình đã hoàn thành hết sức mình, đừng bao giờ hối hận vì việc mình chưa làm mà hãy cố gắng hơn ở tương lai các em nhé Thầy khuyên các em khi đọc tài liệu này thì hãy giữ một sự tự tin vào bản thân, đừng sợ hãi kiến thức và luôn nghĩ rằng Thầy luôn đồng hành cùng với các em trên mỗi dòng viết Các em cứ nghĩ rằng các em học không phải là cho ai cả mà là cho chính mình và làm vui lòng cha mẹ, thầy cô và mọi người, nghĩ như vậy các em sẽ cảm thấy việc học sẽ nhẹ nhàng hơn nhiều Chúc các em sẽ thành công và đạt kết quả tốt nhất trong kì thi THPT Quốc Gia sắp tới

Hãy luôn vững tin vào sức mạnh của bản thân, các em nhé!

Mọi thắc mắc các em có thể gửi tin nhắn cho Thầy thông qua facebook: Minh Hoang Mai hay qua SĐT: 01227999669 Thầy hứa sẽ tận tình giải đáp thắc mắc của các em một cách chu đáo nhất Xin cảm ơn các em!

Mỗi tháng Thầy sẽ ra 1 Quyển Tài liệu để các em tự học, các em có thể tìm kiếm trên Internet vào mỗi tháng, Thầy sẽ upload lên trên trang Tailieu.vn và để thuận tiện hơn, các em có thể inbox trực tiếp cho thầy thông qua facebook: Minh Hoang Mai hoặc nhắn tin trực tiếp cho thầy thông qua SĐT: 01227999669 để nhận tài liệu học tập

Chúc các em học tốt!

Đà Nẵng tháng 9 năm 2017

Tác giả Mai Nguyễn Minh Hoàng

Nội dung của quyển 1 - MÔN TOÁN:

Phần I: Khảo sát, vẽ đồ thị và các vấn đề liên quan cơ bản về hàm số

Phần II: Lượng giác

Phần III: Hình học không gian

MỘT SỐ KÍ HIỆU, TỪ VIẾT TẮT TRONG TÀI LIỆU

1) TXĐ: Tập xác định

2) CĐ: Cực đại; CT: Cực tiểu

3) //: Song song ; ⊥: Vuông góc

4) ∠: Góc

5) d(SA, BC) : Khoảng cách giữa SA và BC

6) VS.ABC : Thể tích khối chóp S.ABC 7) TCĐ: Tiệm cận đứng; TCN: Tiệm cận ngang, TCX: Tiệm cận xiên

8) mp: mặt phẳng 9) đpcm: điều phải chứng minh

∝ LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP TỰ LUẬN

Các em thân mến!

Như các em đã biết, kể từ kì thi THPT QG 2017, Bộ Giáo dục đã thực hiện phương thức thi trắc nghiệm đối với môn Toán, điều này làm cho không ít em nghĩ rằng:

“Làm trắc nghiệm thì cần gì phải biết lý thuyết, cứ nhìn vào bài tập là bấm máy tính

là ra hết, và xem nhẹ các bài tập tự luận” Nhưng điều đó đã làm cho không ít em đã không đạt điểm cao trong kì thi vừa rồi, và không phải nói là đáng buồn có nhiều

em nghĩ vậy đã không đậu vào trường mình mong muốn Vậy tại sao làm trắc nghiệm phải biết lý thuyết và làm bài tập tự luận Thầy xin trả lời cho các em là: Lý thuyết sẽ là nền để cho các em giải bài trắc nghiệm, các em có thấy khi xây nhà, thì trước khi xây những hàng gạch để tạo nên bức tường nhà cao lớn, người ta phải xây gì không? Đó chính là xây mống để làm nền, 1 ngôi nhà muốn vươn cao, chống chọi được với thiên nhiên, đứng vững chắc được thì cần phải có nền vững chắc, nền mống lung lay thì nhà sẽ sớm đổ thôi Còn đối với bài tập tự luận, khi làm sẽ giúp cho các em hình thành tư duy toán, giúp cho các em củng cố, nắm vững và mở rộng

lý thuyết các em vừa học để từ đó các em có thể ứng dụng vào giải các bài tập trắc nghiệm một cách nhanh chóng và chính xác hơn Do đó, các em cần phải nắm vững

lý thuyết và làm kĩ các bài tập tự luận, có như vậy khi thi các em mới có thể làm tốt bài tập trắc nghiệm được Chúc các em thành công!

PHẦN I HÀM SỐ

Các em thân mến!

Hàm số là kiến thức quan trọng trong chương trình phổ thông, các em đã được học

xuyên suốt từ những lớp dưới, và khi đến 12 các em sẽ được học thêm những điều

mới, chẳng hạn các em đã được học đạo hàm ở lớp 11, mà sau khi học các em vẫn

chưa biết sẽ ứng dụng thế nào vào các vấn đề toán học, thì đến bây giờ, các em đã

có câu giải đáp, các em hãy tự mình nghiên cứu để khám phá nhé!

BÀI 0 ÔN TẬP KIẾN THỨC ĐẠO HÀM LỚP 11

(av)' = av' với a là hằng số

= , ≠ 0 với a là hằng số

b) Đạo hàm của hàm hằng (tức là hàm không đổi): Cho X là số thực không đổi, ta có: (X)' = 0

c) Đạo hàm của hàm lũy thừa:

(u∝) =∝ u u∝ với ∝ là số thực không đổi

(x∝) = α với ∝ là số thực không đổi

x' = 1

1

x = (x ) =

−1x

√x = 1

2√x

d) Đạo hàm của hàm lượng giác:

(sinu)' = u'.cosu (cosu)' = –u'.sinu

(tanu)′ = = u (1 + tan u) (cotu)′ = = −u (1 + cot u)

2) Công thức tính nhanh đạo hàm của hàm phân thức thường gặp:

BÀI 1 KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ ĐA THỨC BẬC 3

y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d, a ≠ 0

I) Phương pháp giải:

• Bước 1: Tìm TXĐ: Tất cả các bài toán dạng này TXĐ đều thuộc ℝ ( = ℝ) 1

• Bước 2: Sự biến thiên:

Nếu a > 0 thì y' > 0 ⇒ Hàm số đã cho đồng biến trên ℝ

Nếu a < 0 thì y' < 0 ⇒ Hàm số đã cho nghịch biến trên ℝ

c) Bảng biến thiên:

x –∞ +∞

y Chiều biến thiên của y'

• Bước 3: Điểm uốn:

Ta có: y'' = 6ax + 2b

y'' = 0 ⇔ 6ax + 2b = 0 ⇔ x = ⇒ y =

Suy ra đồ thị đã cho có điểm uốn là I( ; )

• Bước 4: Tìm điểm đặc biệt:

Ghi điểm đặc biệt

Vẽ đồ thị theo các điểm trên

* Chú ý: Hình vẽ sẽ đối xứng qua điểm uốn

II) Bài tập minh họa:

Bài 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau: y = x3 – 3x2 + 6x

Bài 2: (Đề thi THPT QG năm 2015)

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau: y = x3 – 3x

BÀI 2 KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC 4 TRÙNG PHƯƠNG

y = f(x) = ax4 + bx2 + c, a ≠ 0

I) Phương pháp giải:

• Bước 1: Tìm TXĐ: Tất cả các bài toán dạng này TXĐ đều thuộc ℝ ( = ℝ)

• Bước 2: Sự biến thiên:

y Chiều biến thiên của y'

• Bước 3: Điểm uốn:

Ta có: y'' = 12ax2 + 2b

y'' = 0 ⇔ 12ax2 + 2b = 0 ⇔ x = ± ⇒ y =

Suy ra đồ thị đã cho có điểm uốn là I1( – ; ) , I2( + ; )

• Bước 4: Tìm điểm đặc biệt:

y=c ⇒ x =

• Bước 5: Vẽ đồ thị

Vẽ hệ trục

Ghi điểm CĐ, CT (nếu có) và điểm uốn

Ghi điểm đặc biệt

Vẽ đồ thị theo các điểm trên

* Chú ý: Hình vẽ sẽ đối xứng qua trục tung Oy

II) Bài tập minh họa:

Bài 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau: y = x4 +x2 – 2

Giải

• TXĐ: = ℝ

• Sự biến thiên:

+ Giới hạn: lim

→ = +∞ ; lim

→ = +∞

+ Chiều biến thiên:

Ta có: y' = 4x3 + 2x = 2x(2x2 + 1)

Vì 2x2 + 1 > 0 nên y' = 0 ⇔ 2x = 0 ⇔ x = 0 ⇒ y(0) = –2

+ Bảng biến thiên:4

x −∞ 0 +∞

y' − 0 +

y −∞ +∞

2

Từ bảng biến thiên trên suy ra: Hàm số nghịch biến trên khoảng (–∞; 0) đồng biến trên khoảng (0 ; +∞) đạt cực tiểu tại x = 0 ; yCT = –2 (Và hàm số đã cho không có cực đại) • Điểm uốn: + Ta có: y'' = 12x2 + 2 > 0 , ∀ ∈ ⇒ Đồ thị hàm số lõm trên R • Điểm đặc biệt: x = ±1 ⇒ y = 0 • Đồ thị:5

4 Vẽ Bảng biến thiên với kích thước ngang 8 cm, dọc 4 cm Bảng gồm 2 cột, 3 dòng: Cột đầu 2 cm, cột sau 6 cm; Dòng đầu 1 cm, dòng thứ hai 1 cm, và dòng cuối 2 cm (Có thể thay cm bằng ô vở nếu vở có kẻ sẵn ô)

5 Đối với đồ thị dạng bậc 4 này, ta thấy nó đối xứng qua trục Oy, nên khi vẽ hình ta vẽ trục Oy chính giữa trang giấy và căn cứ theo các đơn vị mà chọn kích thước phù hợp

Bài 2:(Đề thi ĐH khối A năm 2012)

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau: y = x4 –2x2

BÀI 3 KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ PHÂN THỨC BẬC NHẤT

y = f(x) = , c ≠ 0 và ad – bc ≠ 0

I) Phương pháp giải:

• Bước 1: Tìm TXĐ:

Vì đây là bài toán có mẫu thức nên mẫu thức cx + d phải khác 0

Do đó TXĐ: = ℝ \{− }

• Bước 2: Sự biến thiên:

a) Giới hạn và tiệm cận:

+ Ta có: lim

→

= −∞(+∞) ; lim

→

= +∞ (−∞)

⇒ Đồ thị có tiệm cận đứng là : x = −

Và lim

→± =

⇒ Đồ thị có tiệm cận ngang là : y = b) Chiều biến thiên: Tính y': y' = ( ) + Nếu ad – bc < 0 thì y' < 0, ∀ ∈ ⇒ Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng của + Nếu ad – bc > 0 thì y' > 0, ∀ ∈ ⇒ Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng của c) Bảng biến thiên: + Nếu y' < 0 x –∞ –d/c +∞

y' – – y

–∞

+∞

+ Nếu y' > 0 x –∞ –d/c +∞

y' + + y +∞

–∞

• Bước 3: Tìm điểm đặc biệt:

x = 0 ⇒ y = , nếu d ≠ 0

y = 0 ⇒ x = − , nếu a ≠ 0

Ngoài 2 điểm giao với trục hoành và trục tung ở trên ta nên tìm thêm 2 điểm khác trên đồ thị có hoành độ đối xứng qua O để thuận lợi trong việc vẽ đồ thị

* Chú ý: Nên kẻ bảng giá trị và lấy 4 cặp giá trị thì việc vẽ sẽ thuận tiện hơn

• Bước 4: Vẽ đồ thị

Vẽ hệ trục

Vẽ các đường tiệm cận

Ghi điểm đặc biệt

Vẽ đồ thị theo các điểm trên

* Chú ý: Hình vẽ sẽ đối xứng qua giao điểm của TCĐ và TCN

II) Bài tập minh họa:

Bài 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau: y =

• Điểm đặc biệt:7

x –3 –2 –1 0 1

y 0 –1 3 2

• Đồ thị:8

Bài 2:(Đề thi minh họa THPTQG năm 2015)

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau: y =

Lưu ý: Đường cong ta có thể dùng thước có dạng cong để vẽ Tuy nhiên không phải khi nào ta cũng luôn có thước, nên ta cố gắng luyện tập vẽ bằng tay, mới đầu tuy chưa đẹp nhưng vẽ nhiều lần sẽ hoàn thiện hơn

Bài 3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau: y =

BÀI 4 NHỮNG VẤN ĐỀ LIÊN QUAN VỀ HÀM SỐ

* Nhận xét: Bài toán về sự tương giao và tiếp tuyến của đồ thị là hai dạng toán thường gặp trong các đề thi nên trong tập tài liệu này sẽ đề cập đến các dạng toán xoay quanh 2 vấn đề này Hy vọng các em sẽ nghiên cứu, rèn luyện kĩ lưỡng để hoàn thành tốt các dạng toán liên quan tới hai dạng này Còn các bài toán khác về hàm số Thầy sẽ đưa vào các tập tài liệu tiếp theo và các em sẽ nghiên cứu sau khi học phần này

A) VẤN ĐỀ 1: SỰ TƯƠNG GIAO CỦA 2 ĐỒ THỊ:

I) Bài toán tìm giao điểm của hai đồ thị hàm số :

Nếu phương trình vô nghiệm thì 2 đồ thị đã cho không giao nhau

Nếu phương trình có 1 nghiệm, 2 nghiệm, 3 nghiệm, thì 2 đồ thị cắt nhau tại 1 điểm, 2 điểm, 3 điểm

Bước 2: Thay các giá trị x vừa tìm được vào 1 trong 2 biểu thức f(x) hoặc g(x) Sau

đó suy ra tọa độ giao điểm của các đồ thị đã cho

2) Bài tập minh họa:

Bài 1: Tìm tọa độ giao điểm của 2 đồ thị của 2 hàm số sau đây: y = + 2 + 3

9 Để giải phương trình bậc 3, nếu không có máy tính ta sẽ sử dụng cách đoán nghiệm, tức là tìm giá trị x thay vào

vế trái để vế trái bằng 0 (= vế phải) Nếu có máy tính, chẳng hạn máy tính FX-570VN PLUS ta sẽ bấm như sau: Bấm phím MODE, sau đó bấm số 5 để chọn 5:EQN, tiếp theo ta thấy trên màn hình hiện 4 số từ 1 đến 4, trong đó

số 4 có dạng phương trình bậc 3, ta sẽ bấm số 4 Sau đó nhập lần lượt các giá trị của a,b,c,d với a là hệ số của x 3 ,

b là hệ số của x 2 , c là hệ số của x và d là hệ số tự do Cụ thể trong bài này là a = 1, b = 6, c = 6, d = 0 Sau đó bấm phím = liên tiếp ta sẽ được các giá trị của x thỏa mãn phương trình

⇔

= 0 ⇒ = 0

= −3 − √3 ⇒ = −3 − √3

= −3 + √3 ⇒ = −3 + √3Vậy 2 đồ thị đã cho giao nhau tại các điểm là: A(0; 0), B(–3–√3; –3–√3), C(–3+√3; –3–√3) 10

Bài 2: Tìm tọa độ giao điểm của 2 đồ thị của 2 hàm số sau đây:

Bài 4: Với giá trị nào của m thì đường thẳng y = m – x cắt đồ thị của hàm số y =

tại 2 điểm phân biệt

y = 2x3 + 3x2 + 1 và y = 2x2 + 1

Bài 4.3: Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đường thẳng y = x – m luôn cắt đường cong y = tại 2 điểm phân biệt

Bài 4.4: Với giá trị nào của m thì đường thẳng y = m cắt đường cong y = x4 – 2x2 –

3 tại 4 điểm phân biệt 11

II) Bài toán biện luận số nghiệm của phương trình f(x,m) = 0 bằng

đồ thị:

1) Phương pháp giải:

Đây là phương trình theo x có chứa tham số m Để giải bài toán dạng này ta sẽ tìm cách chuyển x sang cùng 1 vế, chẳng hạn vế trái và chuyển m sang vế phải còn lại bằng cách cộng trừ nhân chia, nhóm m lại với nhau, Sau đó Vế trái chứa x ta sẽ vẽ

đồ thị theo các dạng đã học: bậc 3, bậc 4, phân thức bậc 1 còn Vế phải chứa m sẽ là đường thẳng song song với Ox ( vuông góc với Oy) Sau đó dựa vào yêu cầu bài toán

và đồ thị vừa vẽ để biện luận số giao điểm của phương trình đã cho, bởi vì phương trình đã cho cũng chính là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị và đường thẳng vừa mới vẽ

* Chú ý: Sau khi biện luận xong nhớ kết luận

2) Bài tập minh họa:

Bài 1: Dùng đồ thị để biện luận số nghiệm của phương trình sau:

Khi đó phương trình (1) hay phương trình đã cho là phương trình hoành độ giao

điểm của (C) và (d) Suy ra số nghiệm của phương trình đã cho cũng chính là số

giao điểm của (C) và (d)

Từ đồ thị trên suy ra:

+ Khi − < − v − m > 0 ⇔ > v m < 0 12 ta có (C) và (d) giao nhau tại

1 điểm Do đó phương trình đã cho có 1 nghiệm

+ Khi − = − v − m = 0 ⇔ = v m = 0, ta có (C) và (d) giao nhau tại 2 điểm Do đó phương trình đã cho có 2 nghiệm

+ Khi − < −m < 0 ⇔ 0 < m < , ta có (C) và (d) giao nhau tại 3 điểm Do đó phương trình đã cho có 3 nghiệm

12 Kí hiệu v là phép tuyển, chẳng hạn > v m < 0 tức là > hoặc m < 0

* Kết luận:

+ Khi > v m < 0, ta có phương trình đã cho có 1 nghiệm

+ Khi = v m = 0, ta có phương trình đã cho có 2 nghiệm

+ Khi 0 < m < , ta có phương trình đã cho có 3 nghiệm

Bài 2: Dùng đồ thị để biện luận số nghiệm của phương trình sau:

Từ đồ thị trên suy ra:

+ Khi 1 – 2m < –1 ⇔ m > 1, ta có (C) và (d) không giao nhau Suy ra phương trình

đã cho có vô nghiệm

+ Khi 1 – 2m = –1 v 1 – 2m > 0 ⇔ m = 1 v m < , ta có (C) và (d) giao nhau tại 2 điểm Suy ra phương trình đã cho có 2 nghiệm

+ Khi 1 – 2m = 0 ⇔ m = , ta có (C) và (d) giao nhau tại 3 điểm Suy ra phương trình đã cho có 3 nghiệm

+ Khi –1 < 1 – 2m < 0 ⇔ < m < 1, ta có (C) và (d) giao nhau tại 4 điểm Suy ra phương trình đã cho có 4 nghiệm

* Kết luận:

+ Khi m > 1, ta có phương trình đã cho có vô nghiệm

+ Khi m = 1 v m < , ta có phương trình đã cho có 2 nghiệm

+ Khi m = , ta có phương trình đã cho có 3 nghiệm

+ Khi < m < 1, ta có phương trình đã cho có 4 nghiệm

Bài 3: Dùng đồ thị để biện luận số nghiệm của phương trình sau: x3 + 3x2 + 2 + 2m

* Nhắc lại kiến thức lớp 10: Cho phương trình bậc 2: ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0

Khi đó ta có: ∆ = b2 – 4ac hay nếu b chẵn thì ∆′ = b’2 –ac

Nếu ∆ hay ∆′ không âm, tức là phương trình có 2 nghiệm , (có thể bằng nhau hoặc phân biệt) thì theo hệ thức Vi–et ta có: = + = − và = = 2) Bài tập minh họa:

Bài 1: Biện luận theo m số giao điểm của 2 đồ thị (C1) và (C2) của hai hàm số sau đây: y = − 3 (C1) và y = m(x–3) (C2)

* Biện luận: Từ bảng xét dấu trên suy ra:

• Khi m < , ta có: ∆ < 0 ⇒ Phương trình (1) vô nghiệm

⇒ Phương trình hoành độ giao điểm có 1 nghiệm x = 3

⇒ (C1) và (C2) giao nhau tại 1 điểm

• Khi m = , ta có: ∆ = 0 ⇒ Phương trình (1) nghiệm kép x1 = x2 = ≠ 3

⇒ Phương trình hoành độ giao điểm có 2 nghiệm phân biệt

⇒ (C1) và (C2) giao nhau tại 2 điểm

• Khi m > , ta có: ∆ > 0 ⇒ Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt:

+ Với x = 3, ta có: (1) ⇒ 18 – 3m = 0 ⇒ m = 6

Suy ra:

• Khi m = 6, phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt trong đó có 1 nghiệm x = 3

⇒ Phương trình hoành độ giao điểm có 2 nghiệm phân biệt

⇒ (C1) và (C2) giao nhau tại 2 điểm

• Khi m > và m ≠ 6, phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 3

⇒ Phương trình hoành độ giao điểm có 3 nghiệm trong đó có 1 nghiệm x = 3

⇒ (C1) và (C2) giao nhau tại 3 điểm

* Kết luận:

• Khi m < , ta có (C1) và (C2) giao nhau tại 1 điểm

• Khi m = hoặc m = 6, ta có: (C1) và (C2) giao nhau tại 2 điểm

• Khi < m ≠ 6 , ta có: (C1) và (C2) giao nhau tại 3 điểm

Bài 2: Biện luận theo m số giao điểm của 2 đồ thị (C1) và (C2) của hai hàm số sau đây: y = (C1) và y = mx + 2 (C2)

Giải

Ta có phương trình hoành độ giao điểm của (C1) và (C2) là:

= mx + 2 ⇔ x2 + x + 1 = mx2 + mx + 2x + 2 , x ≠ –1

⇔ g(x) = (m – 1)x2 + (m + 1)x + 1 = 0 , x ≠ –1 (1)

* Biện luận:

+ Khi a = m – 1 = 0 ⇔ m = 1

Khi đó: (1) ⇒ 2x + 1 = 0 ⇔ x = ≠ –1

⇒ Phương trình hoành độ giao điểm có 1 nghiệm

⇒ (C1) và (C2) giao nhau tại 1 điểm

∀ ≠ 1, phương trình (1) không có nghiệm x = –1

⇒ ∀ ≠ 1, phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt

⇒ phương trình hoành độ giao điểm có 2 nghiệm phân biệt, ∀ ≠ 1

⇒ (C1) và (C2) giao nhau tại 2 điểm, ∀ ≠ 1

* Kết luận:

+ Khi m = 1: (C1) và (C2) giao nhau tại 1 điểm

+ Khi m ≠ 1: (C1) và (C2) giao nhau tại 2 điểm

Bài 3: Biện luận theo m số giao điểm của (C) và (d) : (C) y = x3 – 6x2 + 9x – 6 và (d)

Bài 4.11: Biện luận theo m số giao điểm của (C) và (d) : (C) y = và (d) y = –mx + 1

IV) Bài toán tìm giá trị của m để hai đồ thị hàm số tiếp xúc nhau:

f'(x, m) = g'(x) ( tức là lấy đạo hàm 2 vế của phương trình trên )

Bước 2 : Tìm m để hệ trên có nghiệm bằng các kĩ thuật nhóm hạng tử, tách, cộng trừ nhân chia,

Bước 3 : Kết luận giá trị m vừa tìm được

* Chú ý: Khi giải một hệ phương trình ta nên chọn phương trình nào đơn giản nhất của hệ để giải trước còn phức tạp giải sau, nên tách riêng xuống dòng giải từng phương trình, không nên tương đương hết cả hệ, vì như vậy sẽ dài dòng và rối, làm

ta khó giải hơn

2) Bài tập minh họa:

Bài 1: Tìm m để đồ thị hàm số sau đây: y = x3 + 2mx2 – 4x – 8m tiếp xúc với trục Ox

Với x = 2, (2) ⇒ 12 + 8m – 4 = 0 ⇒ m = –1

Với x = –2m, (2) ⇒ 12m2 – 8m2 – 4 = 0 ⇒ 4m2 = 4 ⇒ m = ±1

Kết luận: Vậy các giá trị cần tìm của m là: m = ±1

Bài 2: Tìm m để đồ thị hàm số sau đây: y = 2x3 – 3(m + 3)x2 + 18mx - 8 tiếp xúc với trục Ox

B) VẤN ĐỀ 2: TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ:

I) Bài toán tìm hệ số góc k của tiếp tuyến của đồ thị hàm số:

1) Phương pháp giải:

Cho đồ thị hàm số y = f(x) Khi biết hoành độ tiếp điểm là xo để tìm tiếp tuyến ta làm như sau:

Bước 1: Tìm đạo hàm cấp một y' của hàm số y = f(x)

Bước 2: Tìm hệ số góc k của tiếp tuyến theo công thức: k = f '(xo)

* Chú ý:

a) Ta cũng có thể giải tương tự đối với bài toán tìm hoành độ tiếp điểm khi biết hệ

số góc k của tiếp tuyến Nhưng ở bước 2 để tìm xo khi biết k thì ta cũng sẽ giải phương trình k = f '(xo)

b) Gọi là góc tạo bởi tiếp tuyến và trục hoành Ox Khi đó ta có: | | =

c) Hai đường thẳng vuông góc nhau thì tích hai hệ số góc của chúng bằng –1

2) Bài tập minh họa:

Bài 1: Tìm các điểm trên đồ thị hàm số: y = x3 – 3x2, biết tiếp tuyến tại đó song song với đường thẳng y = 2x

Giải Gọi M(xo ; yo ) là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến của đồ thị // với đường thẳng y =

2x

Vậy tọa độ các điểm cần tìm là: M1 ( √ ; √ ), M2 ( √ ; √ )

Bài 2: Tìm các điểm trên đồ thị hàm số: y = , biết tiếp tuyến tại đó tạo với trục

Ox một góc 45O

Giải Gọi M(xo ; yo ) là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm

Ta có: y’ =

( )

Suy ra hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thì hàm số tại điểm có hoành độ xo là: k =

( ) (1)

Theo giả thiết:

Tiếp tuyến này tạo với trục Ox một góc 45O nên ta có: | | = 45 = 1 (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

( ) = 1 ⇔ xo2 – 4xo + 4 = 3

⇔ = 2 − √3 ⇒ = 1 − √3

= 2 + √3 ⇒ = 1 + √3Vậy tọa dộ các điểm cần tìm là: M1 (2 − √3 ; 1 − √3), M2 (2 + √3 ; 1 + √3)

Bài 3: Tìm các điểm trên đồ thị hàm số: y = , biết tiếp tuyến tại đó ⊥ đường thẳng y = x

(HD trực tiếp)

3) Bài tập áp dụng:

Bài 4.14: Tìm các điểm trên đồ thị hàm số: y = x3 – 3x – 2, biết tiếp tuyến tại đó có

hệ số góc bằng 9

Bài 4.15: Tìm các điểm trên đồ thị hàm số: y = 2x3 + 3x2 – 12x – 1, biết tiếp tuyến tại đó ⊥ đường thẳng y = 2x + 1

II) Bài toán viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại tiếp điểm M thuộc đồ thị:

1) Phương pháp giải:

Cho đồ thị hàm số y = f(x) Để viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại tiếp điểm M ta thực hiện như sau:

Bước 1: Tìm hoành độ xM và tung độ yM

Bước 2: Tìm đạo hàm cấp một của hàm số đã cho: y' = f '(x) Suy ra hệ số góc k của tiếp tuyến tại điểm M là k = f '(xM )

Bước 3: Lập phương trình tiếp tuyến cần tìm: y = y '(xM )(x – xM ) + yM

Bước 4: Kết luận phương trình tiếp tuyến cần tìm

2) Bài tập minh họa:

Bài 1: Cho đồ thị hàm số: y = x3 – 3x2 + 2 Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn của đồ thị hàm số

Giải

Ta có: y’ = 3x2 – 6x; y’’ = 6x - 6

y'' = 0 ⇔ x = 1 ⇒ y(1) = 0

Suy ra: Đồ thị có điểm uốn là I(1;0)

Ta có hệ số góc của tiếp tuyến tại tiếp điểm I là: y'(1) = –3

Phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn I(1;0) là:

y = –3(x – 1) + 0 = –3x + 3

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = –3x + 3

Bài 2: Cho đồ thị hàm số: y = x3 – 3x2 + 2 Viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị với trục tung Oy

Giải

Ta có: x = 0 ⇒ y = 2

⇒ Đồ thị và trục tung Oy giao nhau tại điểm A (0; 2)

Mặt khác ta có: y’ = 3x2 – 6x ⇒ Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm A là: y '(0) = 0

Phương trình tiếp tuyến tại điểm A(0;2) là:

y = y '(0)(x – 0) + 2 = 2

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 2

Bài 3: Cho đồ thị hàm số: y = x3 – 3x2 + 2 Viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị với trục hoành Ox

2 điểm phân biệt A, B và M là trung điểm AB

III) Bài toán viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua 1 điểm A cho trước (A có thể thuộc hoặc không thuộc đồ thị):

1) Phương pháp giải: Bài này ta có thể giải bằng 1 trong 2 cách sau:

Cách 1:

Bước 1: Gọi xM là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến tại điểm M của đồ thị đi qua điểm A cho trước Vì tiếp tuyến tại điểm M nên phương trình tiếp tuyến sẽ có dạng:

y = y '(xM )(x – xM ) + yM (1)

Bước 2: Vì tiếp tuyến đi qua điểm A nên ta có: yA = y '(xM )(x – xM ) + yM (2)

Bước 3: Giải phương trình(2) tìm ra xM rồi thay vào (1) ta được phương trình tiếp tuyến thỏa mãn

Bước 4: Kết luận phương trình tiếp tuyến cần tìm

Cách 2: (Sử dụng điều kiện tiếp xúc)

Bước 1: Phương trình tiếp tuyến đi qua A cho trước, với hệ số góc k có dạng:

y = k(x – xA ) + yA (*)

Bước 2: Gọi x là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến đi qua A Khi đó x là nghiệm của hệ: ( − ) + = ( )(1)

= ( ) (2)Bước 3: Thay k ở phương trình(2) vào (1) Rồi giải tìm ra giá trị của x, rồi thay vào (2) tìm ra được k Có k thay vào (*) suy ra phương trình tiếp tuyến thỏa mãn

Bước 4: Kết luận phương trình tiếp tuyến cần tìm

* Chú ý: Các em nên giải theo cách 2 thì lời giải sẽ hay hơn

2) Bài tập minh họa:

Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: y = x3 – 3x + 2, biết tiếp tuyến đi qua điểm A(2;4)

Giải Cách 1:

Gọi (xo ; yo ) là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm

Với xo = –1, từ (1) suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 4

Với xo = 2, từ (1) suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 9x – 14

Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm đi qua A có phương trình là: y = 4, y = 9x – 14

Cách 2: (Sử dụng điều kiện tiếp xúc)

Phương trình tiếp tuyến cần tìm đi qua A có dạng: y = k(x – 2) + 4

Ta có hệ phương trình hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến và đồ thị hàm số là:

14 Ở đây ta tiến hành phân tích bằng cách nhóm các x lại với nhau và đặt nhân tử chung, để tới bước tiếp theo ta

thay tọa độ của A gồm hoành độ x và tung độ y vào ta sẽ tìm được x o

Với x = 2, ta có (2) ⇒ k = 9 ⇒ phương trình tiếp tuyến là:

y = 9(x – 2) + 4 = 9x – 14

Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm đi qua A có phương trình là: y = 4, y = 9x – 14

Bài 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = , biết tiếp tuyến đi qua điểm A(–1;0)

Giải

Bài này Thầy xin chỉ giải bằng cách 2, còn cách 1 em giải tương tự như trên

Cách 2: (Sử dụng điều kiện tiếp xúc)

Phương trình tiếp tuyến cần tìm đi qua A có dạng: y = k(x + 1)

Ta có hệ phương trình hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến và đồ thị hàm số là:

k(x + 1) = (1)

k =

( ) (2) Thay (2) vào (1) ta được: =

⇔ 1 = 2x + 1 , x ≠ –1

⇔ x = 0

Với x = 0, ta có (2) ⇒ k = 1 ⇒ phương trình tiếp tuyến là: y = x + 1

Vậy tiếp tuyến cần tìm đi qua A có phương trình là: y = x + 1

Bài 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x3 – 3x + 2, biết tiếp tuyến

đi qua A(–1; –2)

(HD trực tiếp)

Bài 4: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x4 – 2x2 + 2, biết tiếp tuyến đi qua A(0; 2)

Bài 4.25: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = , biết tiếp tuyến

đi qua A(0; )

Bài 4.26: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = ( ), biết tiếp tuyến

đi qua gốc tọa độ O

IV) Bài toán viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến // hay ⊥ với một đường thẳng (d) y = ax + b cho trước hay tạo với đường thẳng này một góc nhọn ∝:

1) Phương pháp giải: Bài này ta có thể giải bằng 1 trong 2 cách sau:

Nếu tiếp tuyến ⊥ đường thẳng (d) y = ax + b thì ta có y '(xM ) = (vì 2 đường thẳng vuông góc nhau sẽ có tích hệ số góc bằng –1)

Nếu tiếp tuyến tạo với đường thẳng (d) y = ax + b một góc nhọn ∝ thì ta có hệ số

góc k = y'(xM ) thỏa mãn công thức sau: ∝

∝ =tan∝

Nhưng thông thường các bài toán trong đề thi người ta thường cho trường hợp đặc biệt là tiếp tuyến tạo với trục hoành một góc ∝ thì thì ta có hệ số góc k = y'(xM ) thỏa mãn công thức sau: |k| =tan∝

Bước 3: Giải phương trình vừa lập được để tìm hệ số góc k của tiếp tuyến Sau đó thay vào (1) ta được phương trình tiếp tuyến thỏa mãn

Bước 4: Kết luận phương trình tiếp tuyến cần tìm

Cách 2: (Sử dụng điều kiện tiếp xúc)

Bước 1: Dựa vào giả thiết để lập phương trình tiếp tuyến Cụ thể là:

Nếu tiếp tuyến // đường thẳng (d) y = ax + b thì phương trình tiếp tuyến có dạng:

y = ax + m với m chưa biết và m khác b

Nếu tiếp tuyến ⊥ đường thẳng (d) y = ax + b thì phương trình tiếp tuyến có dạng:

y = x + m với m chưa biết (vì 2 đường thẳng vuông góc nhau sẽ có tích hệ số góc

là 1)

Nếu tiếp tuyến tạo với đường thẳng (d) y = ax + b một góc nhọn ∝ thì ta có hệ số

góc k thỏa mãn công thức sau: ∝

∝ =tan∝

Nhưng thông thường các bài toán trong đề thi người ta thường cho trường hợp đặc biệt là tiếp tuyến tạo với trục hoành một góc ∝ thì ta có hệ số góc k của tiếp tuyến thỏa mãn công thức sau: |k| =tan∝

Bước 2: Gọi x là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị Khi đó x là nghiệm của hệ:

* Chú ý: Các em nên giải theo cách 2 thì lời giải sẽ hay hơn

2) Bài tập minh họa:

Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: y = , biết tiếp tuyến // đường thẳng (d) x + y – 1 = 0

Giải Cách 1:

Gọi (xo ; yo ) là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm

Cách 2: (Sử dụng điều kiện tiếp xúc)

Theo giả thiết : Tiếp tuyến // đường thẳng (d) x + y – 1 = 0 ⇔ y = –x + 1 nên phương trình tiếp tuyến cần tìm có dạng: y = –x + m ; m ≠ 1 (*)

Ta có hệ phương trình hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến và đồ thị hàm số là:

− + = (1) −1 =

( ) (2)

Ta có: (2) ⇔ (x – 1)2 = 5, x ≠ 1

⇔ x2 – 2x – 4 = 0, x ≠ 1

⇔ = 1 ± √5

Với x = 1 – √5, từ (1) ⇒ m = 1 – √5 + √

√ = 4 –2√5 ≠ 1 Suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = – x + 4 – 2√5

Với x = 1 + √5, từ (1) ⇒ m = 1 + √5+ √

√ = 4 +2√5 ≠ 1 Suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = – x + 4 + 2√5

Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm có phương trình là: y = – x + 4 – 2√5, y = – x + 4 + 2√5

Bài 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: y = , biết tiếp tuyến ⊥ đường thẳng (d) y = x

Giải

Bài này Thầy xin chỉ giải bằng cách 2

Cách 2: ( Sử dụng điều kiện tiếp xúc )

Theo giả thiết : Tiếp tuyến ⊥ đường thẳng (d) y = x nên phương trình tiếp tuyến cần tìm có dạng: y = –x + m (*)

Ta có hệ phương trình hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến và đồ thị hàm số là:

− + = (1) −1 =

( ) (2)

Ta có: (2) ⇔ (x – 1)2 = –1 < 0 ⇒ Phương trình vô nghiệm

Vậy không có tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán

Bài 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số:y = , biết tiếp tuyến ⊥ đường thẳng (d) y = –4x