Điều khiển phi tuyến hệ AGV (3)

39 Chương THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN VÀ HỆ THỐNG ĐO LƯỜNG 4.1 Cơ sở lý thuyết 4.1.1 Giới thiệu phương pháp Lyapunov - Phương pháp Lyapunov cung cấp đủ điều kiện đủ để đánh giá tính ổn định hệ phi tuyến - Có thể áp dụng cho hệ phi tuyến bậc cao - Có thể dùng phương pháp Lyapunov để thiết kế điều khiển phi tuyến - Hiện phương pháp Lyapunov phương pháp sử dụng rộng rãi để phân tích thiết kế hệ phi tuyến 4.1.2 Điểm cân hệ phi tuyến Xét hệ phi tuyến bất biến theo thời gian mô tả phương trình trạng thái sau: ̇= ( , ) Một điểm trạng thái ∈ (4.1) gọi điểm cân hệ thống hệ tác động bên hệ nằm nguyên Dễ thấy điểm cân phải nghiệm phương trình: ( , )| , =0 (4.2) Hệ phi tuyến có nhiều điểm cân điểm cân Điều hoàn toàn khác so với hệ tuyến tính, hệ tuyến tính luôn có điểm cân = 40 Ví dụ: Xét hệ lắc mô tả PTVP: ̈( ) + ̇( ) + = ( ) Xác định điểm cân (nếu có) Giải quyết: ()= ( ) ( ) = ̇( ) Thành lập PTTT Đặt PTTT mô tả hệ lắc: ̇ ( ) = ( ( ), ( )) Trong đó: ( , ) = () − ( )− ( )+ ( ) Điểm cân phải nghiệm phương trình: ̇ = ( , )| , =0⇒ = − − =0 ⇒ = = 41 Kết luận: Hệ lắc có vô số điểm cân 4.1.3 Ổn định điểm cân 4.1.3.1 Định nghĩa Một hệ thống gọi ổn định điểm cân tức thời đánh bật hệ khỏi đưa đến điểm có tác động thuộc lân cận đó hệ có khả tự quay điểm cân sau ban đầu Chú ý: Tính ổn định hệ phi tuyến có nghĩa với điểm cân Có thể hệ ổn định điểm cân không ổn định điểm cân khác Ví dụ: Con lắc đơn 4.1.3.2 Ổn định ổn định tiệm cận Lyapunov Cho hệ phi tuyến không kích thích mô tả PTTT: ̇ = ( , )| Giả sử hệ thống có điểm cân (4.3) = - Hệ thống gọi ổn định Lyapunov điểm cân kỳ tồn phụ thuộc > bất cho nghiệm ( ) phương trình (4.3) với điều kiện đầu (0) thỏa mãn: ‖ (0)‖ < = với ⇒ ( ) < , ∀ ≥0 42 - Hệ thống gọi ổn định tiệm cận Lyapunov điểm cân > tồn phụ thuộc = với cho nghiệm ( ) phương trình (4.3) với điều kiện đầu (0) thỏa mãn: ‖ (0)‖ < ⇒ lim ( ) = → 4.1.4 Phương pháp tuyến tính hóa Lyapunov Giả sử xung quanh điểm cân , hệ thống phương trình (4.1) tuyến tính hóa dạng: ̇= + (4.4) Định lý : - Nếu hệ thống tuyến tính hóa (4.4) ổn định hệ phi tuyến (4.1) ổn định tiệm cận điểm cân - Nếu hệ thống tuyến tính hóa (4.4) không ổn định hệ phi tuyến (4.1) không ổn định tiệm cận điểm cân 43 - Nếu hệ thống tuyến tính hóa (4.4) biên giới ổn định không kết luận tính ổn định hệ phi tuyến (4.1) điểm cân Ví dụ : Xét hệ lắc mô tả PTTT: ̇ ( ) = ( ( ), ( )) Trong : ( , ) = () − ( )− ( )+ ( ) Xét tính ổn định hệ thống điểm cân Giải quyết: = [0 - Mô hình tuyến tính quanh điểm cân bằng: ̇= = ( , ) ( , ) = + =0 =− 0] = ( ) ( , ) =− ( , ) ( , ) = =1 =− 44 ⇒ = − − −1 ⇒ PTĐT: det( − ) = det =0⇔ + + + =0 Kết luận: Hệ thống ổn định (theo hệ tiêu chuẩn Hurwitz) - Mô hình tuyến tính quanh điểm cân bằng: ̇= = =[ 0] + =0 = =1 , , = =− ( ) , , ⇒ = = = =− , − −1 ⇒ PTĐT det( − ) = det − =0⇔ + + − =0 Kết luận: Hệ thống không ổn định (PTĐT không thỏa điều kiện cần) 4.1.5 Phương pháp trực tiếp Lyapunov 4.1.5.1 Định lý ổn định Lyapunov: cho hệ phi tuyến không kích thích mô tả PTTT (4.3) Giả sử hệ thống có điểm cân - ( ) ≥ 0 , ∀ - (0) = = Nếu tồn hàm ( ) cho: - ̇ ( ) ≤ 0 , ∀ ≠ Thì hệ thống (4.3) ổn định Lyapunov điểm Nếu ̇ ( ) < 0 , ∀ ≠ hệ thống (4.3) ổn định tiệm cận Lyapunov điểm Chú ý: Hàm ( ) thường chọn hàm toàn phương theo biến trạng thái 45 4.1.5.2 Định lý không ổn định Lyapunov: cho hệ phi tuyến không kích thích mô tả = Nếu tồn hàm ( ) PTTT (4.3) Giả sử hệ thống có điểm cân cho: - ( ) ≥ 0 , ∀ - (0) = - ̇ ( ) > 0 , ∀ ≠ Thì hệ thống (4.3) không ổn định Lyapunov điểm Ví dụ : Cho hệ thống mô tả PTTT: ̇ =− ̇ =− + − ( ( + − + + ) ) Xác định trạng thái cân hệ thống đánh giá tính ổn định hệ thống trạng thái cân Giải quyết: Trạng thái cân nghiệm phương trình: − − + − + − ( ( + + )=0 ⇔ )=0 =0 =0 Đánh giá tính ổn định: Chọn hàm Lyapunov ( )= ( + ) Ta có: - ( ) > 0 , ∀ ≠ - (0) = ̇( ) = = [− ̇ + + ̇ + ( ⇒ ̇ ( ) < 0 , ∀ ≠ + )] + [− − − ( + )] = − − 46 Hệ thống ổn định tiệm cận Lyapunov điểm cân Ví dụ 2: Cho hệ thống mô tả PTTT: ̇ = + ( + ) ̇ =− + ( + ) Xác định trạng thái cân hệ thống đánh giá tính ổn định hệ thống trạng thái cân Giải quyết: Trạng thái cân nghiệm phương trình: + ( + )=0 ⇔ − + ( + )=0 =0 =0 Đánh giá tính ổn định: Chọn hàm Lyapunov ( )= ( + ) Ta có : - ( ) > 0 , ∀ ≠ - (0) = ̇( ) = = [ ̇ + + ( ̇ + )] + [− + ( ⇒ ̇ ( ) > 0 , ∀ ≠ Hệ thống không ổn định điểm cân + )] = ( + )( + ) 47 4.2 Thiết kế điều khiển Mục tiêu đề tài thiết kế điều khiển cho AGV bám theo quỹ đạo − tham chiếu xây dựng chương Nói cách khác AGV qua tập hợp điểm G3 với vận tốc mong muốn không đổi Khi đến đích AGV tiếp cận pallet nâng pallet đến vị trí mong muốn Bộ điều khiển thiết kế dựa vào phương pháp Lyapunov Theo [7] từ (3.5) chọn hàm Lyapunov sau: = ( ̇ = + )+ ̇ + ̇ + (4.5) ̇ (4.6) Thay (3.6) vào (4.6) ta có: ̇ = ( = − − )+ + + (− + )+ + − ( − ) + (4.7) Để ̇ mang giá trị âm ta chọn: = = Trong , , + + + (4.8) giá trị dương Thay (4.8) vào (4.7) ta có: ̇ =− − Từ (4.5) (4.9) chứng minh sai số