Một chuyên đề giúp có cái nhìn tổng quan hơn về lĩnh vực bất đẳng thức cũng như một phần cực trị của THCS và THPT. Chỉ cần đọc, học và hiểu bạn sẽ cảm tưởng như mình đang..............................
Ngày giảng: / / 2011 Sĩ số: CHUYÊN ĐỀ : CỰC TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC I/ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT ,GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦẢ MỘT BIỂU THỨC II/ TÌM GTNN ,GTLN CỦA BIỂU THƯC CHỨA MỘT BIẾN 1/ Tam thức bậc hai: Ví dụ: Cho tam thức bậc hai P = ax2 + bx + c Tìm GTNN P a 〉 Tìm GTLN P a 〈 Giải : P = ax2 + bx +c = a( x2 + b b b2 x ) + c = a( x + ) +c- a 2a 4a b b2 Đặt c =k Do ( x + ) ≥ nên : 2a 4a - Nếu a 〉 a( x + -Nếu a 〈 a( x + b b ) ≥ , P ≥ k MinP = k x = 2a 2a b ) ≤` P ≤` k MaxP = k x = 2a - b 2a 2/ Đa thức bậc cao hai: Ta đổi biến để đưa tam thức bậc hai Ví dụ : Tìm GTNN A = x( x-3)(x – 4)( x – 7) Giải : A = ( x2 - 7x)( x2 – 7x + 12) Đặt x2 – 7x + = y A = ( y - 6)( y + 6) = y2 - 36 ≥ -36 minA = -36 ⇔ y = ⇔ x2 – 7x + = ⇔ x1 = 1, x2 = b/ Phân thức có mẫu bình phương nhị thức 3x − 8x + Ví dụ : Tìm GTNN A = x − 2x + Giải : Cách : Viết A dạng tổng hai biểu thức không âm A = ( ) ( x2 − 2x + + x2 − x + x2 − 2x + ) = + ( x − 2) ( x − 1) ≥ minA = chi x = Cách 2: Đặt x – = y x = y + ta có : A = 3( y + 1) − 8( y + 1) + ( y + 1) − ( y + 1) + = 3y2 + y + − y − + 3y2 − y +1 1 = = + -1)2 + 2 2 = ( y + y +1− y − +1 y y y y minA = ⇔ y = ⇔ x – = ⇔ x = Bài tập áp dụng: (Bồi dưỡng HSG toán đại số TRẦN THỊ VÂN ANH) x2 + 1, (13/200) Tìm GTNN GTLN bt: P = x − x +1 2, (36/210) Tìm GTNN bt : B = x − x + 2006 x2 3, ( 45/ 214) Tìm GTNN GTLN bt: C = 4, ( 47, 48 /215) Tìm GTNN bt : a, D = x2 x2 − 5x + x2 + x + x2 + 2x + b, E = x2 + x −1 x2 + 4x + Bài tập áp dụng: (Bồi dưỡng HSG toán đại số TRẦN THỊ VÂN ANH) 1, (42, 43/ 221) Tìm GTLN bt: x a, A = x +2 3, (35, 36 / 221) Tìm GTNN bt: a, C = 4, (34, 36/ 221) Tìm GTNN bt: a, E = x + b, B = x2 + 4x + Với x > 0; x với x > 0; x3 x + x + 17 6, (68/28 BÙI VĂN TUYÊN) Tìm GTNN bt: Q = x + ( ) b, D = x2 (x +2 ) x5 + Với x > x3 x3 + b, F = Với x > x Với x > 7, (69/28 BÙI VĂN TUYÊN) Tìm GTNN bt: R = x + x + 34 Với x > x +3 8, (70/28 BÙI VĂN TUYÊN) Tìm GTNN bt: S = x + 2000 Với x > x III/ TÌM GTNN, GTLN CỦA BT CÓ QUAN HỆ RÀNG BUỘC GIỮA CÁC BIẾN IV Các ý giải toán cực trị : Ví dụ Cho x2 + y2 = 52 Tìm GTLN A = 2x + 3y Giải :Áp dụng BĐT BCS ta có ( 2x + 3y )2 ≤ ( 22+32 ).52 ⇒ ( 2x + 3y )2 ≤ 13.13.4 2 x = y ⇒ 2x + 3y ≤ 26 Vậy maxA = 26 ⇔ 2 x + y ≥ Thay y = 3x vào x2 + y2 = 52 ta 4x2 + 9x2 = 52.4 ⇒ x2 = 16 ⇒ x=4 x= -4 Với x = y =6 thoả mãn 2x +3y ≥ x = -4 ,y = -6 không thoả mãn 2x +3y ≥ Vậy Max A = 26 ⇔ x =4 , y = 3/ Trong bất đẳng thức cần ý đến mệnh đề sau - Nếu số có tổng không đổi tích chúng lớn số - Nếu số dương có tích không đổi tổng chúng nhỏ số bang Ví dụ: Tìm GTLN, GTNN tích xy, biết x,y ∈ N thoả mãn x + y = 2005 Giải : Ta có 4xy = (x + y)2 – (x – y)2 = 20052 - (x – y)2 xy lớn ⇔ x – y nhỏ ; xy nhó ⇔ x – y lớn giả sử x > y ( xảy x = y) Do ≤ y ≤ x ≤ 2004 nên ≤ x-y ≤ 2003 Ta có min(x –y) = x = 1003 ; y =1002 max(x –y) = 2003 x =2004 , y = Do max(xy) = 1002.1003 x = 1003 , y = 1002 Min ( xy) = 2004 x = 2004 , y = ================================================================== Ngày giảng: / / 2011 Sĩ số: MỘT SỐ SAI LẦM THƯỜNG GẶP KHI GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ 1, Sai lầm sử dụng nhiều bất đẳng thức khac VD1: cho x, y số dương thỏa mãn x +y =1 Tìm GTNN biểu thức : A = x + y 4 Giải sai: Áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số không âm x , y ta có: x + y ≥ xy (1) Lại có: x+ y = ≥ xy (2 ) 2 Từ (1) (2) suy : A= 4 + ≥ ≥ =8 Vậy Min A = x y xy Phân tích sai lầm: Đẳng thức sảy (1) x = y ⇔ x = y Đẳng thức sảy (2) x = y Từ suy x = y = ( Loại x + y = 1) Có bạn đến KL giá trị nhỏ KL sai 1 4 4x y Giải đúng: Vì x + y = nên A = ( x+y ) + ÷ = + + y x x y 4x y 4x y 4x y + ≥2 =4 Áp dụng bất đẳng thức Cô Si cho hai số không âm y , x Ta có : y x y x 4x y x= = y = 2x ⇔ Dấu “=” xẩy y x ⇔ x + y = x + y = y = Lưu ý: Nếu sử dụng nhiều BĐT khác toán ta phải kiểm tra xem chúng có đồng thời sảy dấu không Có hướng giải toán 2, Sai lầm không sử dụng hết điều kiện toán: 2 1 1 VD2:cho x, y số dương thỏa mãn x+y= Tìm GTNN BT : A = x+ ÷ + y + ÷ y x Giải sai: Áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số không âm x, 1 Ta có: x+ ≥ x = (1) x x x 1 Áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số không âm y, y Ta có: y+ ≥ y = y y (2) Từ (1) (2) =>A ≥ => Min A = Phân tích sai lầm: Đẳng thức sảy (1) = x ⇔ x2 = x Đẳng thức sảy (2) y = y ⇔ y = Từ suy x = y = ( Loại x + y = 1) Giải đúng: Áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số dương ta có : x+y 1 ≥ xy ⇒ xy ≤ ⇒ xy ≤ 2 2 1 1 1 Ta có : A = + x +y + ÷ + ÷ Khi đó: x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy ≥ - = (1) 2 x y 2 1 25 25 + ≥2 2 = ≥ (2) Từ (1) (2) =>A ≥ + +4 = =>Min A = x=y = x y x y xy 2 2 Lưu ý: Khi giải toán mà không sử dụng hết điều kiện đầu cần kiểm tra lại giả thiết Có hướng giải toán 3, Sai lầm chứng minh điều kiện 1: VD1: Tìm GTLN bt: A = x − x + 17 Lời giải sai: A đạt Max x − x + 17 đạt Min Ta có : x − x + 17 = ( x − 3) + ≥ 2 Do Min ( x − x + 17 ) = ⇔ x = Vậy Max A = ⇔ x=3 Phân tích sai lầm: Kết lập luận sai chỗ cho “ A có tử không đổi nên đạt GTLN mẫu đạt GTNN” mà chưa đua nhận xét tử mẫu số dương Lời giải đúng: Bổ xung thêm nhận xét x − x + 17 = ( x − 3) + ≥ nên tử mẫu A dương VD2:Tìm GTNN cuả BT: A = x2 + y2 biết x + y =4 x + y = xy ⇔ x= y=2 Ta có : A = x + y ≥ 2xy => A đạt GTNN ⇔ x + y = 2 Khi MinA = Phân tích sai lầm: Đáp số ko sai lập luân sai lầm chỗ ta c/m f(x,y) ≥ g(x,y) chưa c/m f(x,y) ≥ m với m hắng số Chẳng hạn: Từ x2 ≥ 4x – => x2 đạt nhỏ ⇔ x2 = 4x – ⇔ (x – )2 = ⇔ x =2 Đi đến x2 = ⇔ x = Dễ thấy kết phải Min x2 = ⇔ x =0 Lời giải đúng: Ta có x + y =4 ⇔ ( x + y ) =16 (1) Ta lại có : ( x - y ) ≥ ⇒ x -2xy+y ≥ (2) Từ (1) (2) => 2( x2 + y2 ) ≥ 16 => A = x2 + y2 ≥ Vậy Min A = x = y = Lưu ý: Cần nắm vững t/c BĐT cụ thể trường hợp so sánh hai phân số có tử mẫu số tự nhiên, số nguyên … Có hướng giải toán 4, Sai lầm chứng minh điều kiện VD1: Tìm GTNN bt: A = x + Lời giải sai : x + x = ( ) x x +2 x 1 1 1 1 + − = x − ÷ − ≥ − Vậy: Min A = − 4 2 4 4 P/tích sai lầm: sau c/m f(x) ≥ − chưa trường hợp xảy f(x)= − ⇔ x = − (vô lí ) Lời giải đúng: ĐKTT x x ≥ : A = x + x ≥ => Min A = ⇔ x = VD2: Tìm GTLN A = xyx ( z+y ) ( y+z ) ( z+x ) với x, y , z số không âm x +y+ z =1 4x ( z+y ) ≤ ( x+y+z ) = Lời giải sai: Áp dụng BĐT 4xy ≤ ( x + y ) ta có : 4y ( z+x ) ≤ ( x+y+z ) = 2 4z ( x+y ) ≤ ( x+y+z ) = => 64xyx ( z+y ) ( y+z ) ( z+x ) ≤ =>xyx ( z+y ) ( y+z ) ( z+x ) ≤ 1 Vậy Max A = 64 64 Phân tích sai lầm: Sai lầm chỗ chưa chi khả xảy dấu “=” z+y = x y+x = z x = y = z = ⇔ x + z + y = ( vô lí ) ĐK để Max A = : x+z = y 64 x + z + y = x, y, z ≥ x, y, z ≥ Lời giải đúng: Ta có : = x +y+ z ≥ 3 x.y.z = ( x +y ) + ( z+x ) + ( y+ z ) ≥ 3 ( x +y ) ( z+x ) ( y+ z ) (1) (2) 2 Từ (1) (2) => ≥ 3 x y.z ( x +y ) ( z+x ) ( y+ z ) hay: ≥ 3 A => A ≤ ÷ 9 ( x +y ) = ( z+x ) = ( y+ z ) ⇔x= y=z= Max A = ÷ x + y + z = 9 x, y , z ≥ VD3: Tìm giá trị nhỏ : A = (x + a)(x + b) với x > 0, a, b số dương x x + a ≥ ax ⇒ ( x + a ) ( x + b ) ≥ ax.2 bx = x ab Lời giải sai: Ta có: x + b ≥ bx Do đó: A = (x + a)(x + b) 4x ab ≥ = ab Min A = ab ⇔ x = a = b x x Phân tích sai lầm: Nếu a ≠ b không có: A = ab (x + a)(x + b) x2 + ax+bx+ab ab = = x + ÷+ (a + b) Lời giải : Ta có A = x x x Theo bất đẳng thức Cauchy : x + A = ( a+ b Ngày giảng: ) / chi / 2011 ab ≥ ab nên A ≥ ab + a + b = x ( a+ b ) ab x = x ⇔ x = ab x > Sĩ số: VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI ĐỂ TÌM CỰC TRỊ 1 VD1: Cho x > 0, y > thỏa mẫn đk x + y = Tìm GTNN bt: A = x + y 1 1 Do x > 0, y > nên x > 0, y > áp dụng bất đẳng thức côsi cho số x , y ta có: 11 1 1 + ÷≥ 2 x y x y 1 Hay ≥ xy => xy ≥ Mặt khác ta có: x > 0, y > => x ≥ 0, y ≥ áp dụng bất đẳng thức côsi ta có: x+ y ≥2 xy ≥ = x = y Vậy: Min A = : + = ⇔ x = y = x y VD2 : Tìm GTNN của biểu thức : A = x − x + + x + x + 1 3 Ta có: x − x + = x − ÷ + ≥ ∀ x ∈ R 2 4 2 1 3 x + x +1 = x + ÷ + ≥ ∀ x∈ R 2 4 Áp dụng BĐT Cô- si cho số x2 − x +1 + x2 + x +1 ≥ x − x + 1, x + x + ta có : x − x + x + x + = x + x + ≥ x + x + = ⇔x=0 Max A = 2 x − x + = x + x + VD3 Tìm giá trị nhỏ : A = x y z + + với x, y, z > y z x Cách : Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số dương: A = x z y x y x y z x y z + + ≥ 33 = y z x y z x z Do + + ÷ = ⇔ = = ⇔ x = y = z y z x y z x Cách : Ta có : chứng minh x y x y z x y y z y + + = + ÷+ + − ÷ Ta có + ≥ (do x, y > 0) nên để y x y z x y x z x x x y z y z y + + ≥ ta cần chứng minh : + − ≥ y z x z x x (1) (1) ⇔ xy + z2 – yz ≥ xz (nhân hai vế với số dương xz) ⇔ xy + z2 – yz – xz ≥ ⇔ y(x – z) – z(x – z) ≥ ⇔ (x – z)(y – z) ≥ (2) (2) với giả thiết z số nhỏ số x, y, z, (1) Từ tìm giá trị nhỏ x y z + + y z x VD 4: Tìm giá trị lớn : A = xyz(x + y)(y + z)(z + x) với x, y, z ≥ ; x + y + z = Áp dụng BĐT Cauchy cho ba số không âm x, y, z ta có: = x + y + z ≥ 3 xyz (1) Áp dụng BĐT Cauchy cho ba số không âm x+y, y +z, z + x ta có : = (x + y) + (y + z) + (z + x) ≥ 3 (x + y)(y + z)(z + x) (2) 2 Nhân vế (1) với (2) (do hai vế không âm) : ≥ A ⇒ A ≤ ÷ 9 3 2 max A = ÷ x = y = z = 9 VD 5: Tìm GTNN A = xy yz zx + + với x, y, z > , x + y + z = z x y Giải: Theo bất đẳng thức Cauchy : xy yz xy yz + ≥2 = 2y z x z x yz zx zx xy + ≥ 2z ; + ≥ 2x Suy 2A ≥ 2(x + y + z) = x y y z A = với x = y = z = VD 6: Tìm GTNN A = 2 + + 4xy với : x > 0, y > 0, x + y < x +y xy Tương tự : ( ) x+ y ≥ xy ⇒ ( x + y ) ≥ xy 1 1 1 ⇒ ( x + y ) + ÷ ≥ xy =4⇒ + ≥ Ta có: 1 xy x y x+ y x y + ≥2 x y xy 1 + + 4xy = + ÷+ 4xy + ÷+ 2 x +y xy 2xy 4xy 4xy x +y 5 11 = +2+ = ≥ 11 => A ≥ x + 2xy + y + 4xy 4xy + 2 2 ( x + y) ( x + y) ( x + y) ( x + y) Ta có: A = VD 7: : Cho x ≥ − , Tìm GTLN A = 2x + x + + x+3 - 2x 2 2x + ≥ x + > Giải : Ta có : A = 2x + x + + x+3 - 2x = ( 2x + 1) ( x + ) + x+3 - 2x Với x ≥ − ta có: áp dụng bất đẳng thức Cosi cho số 2x + 1, x+2 Ta có: 2x + + x+2 ≥ ( 2x + 1) ( x+2 ) Hay : 3x + ≥ ( 2x + 1) ( x+2 ) Dấu “ = ” xảy 2x + = x+2 ⇔ x=1 áp dụng bất đẳng thức Cosi cho số x + 3, Ta có: Hay : x+7 ≥ x+3 Do đó: A ≤ x +3+ ≥ ( x + 3) = x + Dấu “ = ” xảy x + = ⇔ x=1 x+7 3x + + - 2x = Dấu “ = ” xảy x=1 2 VD 8: : Cho x, y, z > x + y + z =1 Tìm GTNN của: S = x + y + z 1 9 y 4x 4z 9y Ta có: S = ( x + y + z ) + + ÷ =1+4+9+ + ÷+ + ÷+ + ÷ z z x x y z x y y y 4x y 9x 4x z y 4x áp dụng bất đẳng thức Cosi cho số dương x , y ta có : + ≥ = x y x y Tương tự ta có : 4z y 4z y + ≥2 = 12 ; y z y z 9x z 9x z + ≥2 =6 z x z x S ≥ + + + + 12 + =36 y 4x x = y y = x2 y = y = 2x 4z y = 4 z = y ⇔ ⇔ z = 3x ⇔ x = z Dấu “=” sảy : y 2 9x z 9 x = z x + y + z = = x + y + z = x z z = x + y + z = 1 Vậy Min S = 36 y = , x = , z = Không phải lúc ta dùng trực tiếp bất đẳng thức Côsi số đề Dưới ta nghiên cứu số biện pháp biến đổi biểu thức để có thê vân dụng BĐT Cô-si tìm cực trị nó: Biện pháp 1: Để tìm cực trị biểu thức ta tìm cực trị bình phương biểu thức 3 x − ≥ ⇔ ≤x≤ 3 7 − x ≥ VD1 : Tìm giá trị lớn A = 3x − + − x , ĐKXĐ : 10 Bình phương hai vế ta có : A2 = + ( 3x − ) ( − x ) Với ≤ x ≤ áp dụng bất đẳng thức côsi cho ( x − ) ( − 3x ) ta có: 3 ( 3x − ) + ( − 3x ) ≥ ( 3x − 5) ( − 3x ) hay 2≥2 ( 3x − 5) ( − 3x ) A2 ≤ =>A ≤ Dấu “=” xảy : 3x - = - 3x hay x = VD2: Tìm GTNN biểu thức: A = -x + x + − -x + x + (*) -x + x + ≥ −2 ≤ x ≤ ( x + ) ( x − ) ≤ ⇔ ⇔ ⇔ −1 ≤ x ≤ ĐKXĐ : − ≤ x ≤ x + x − ≤ ( ) ( ) -x + x + ≥ 2 Khi -x + x + − ( -x + x + ) = x + > => A > ( 2 2 Từ (*) => A = -x + x + + ( -x + x + ) − -x + x + -x + x + = -2x + x + 10 − ( x + ) ( − x ) ( x + 1) ( − x ) = ( − x ) ( x + ) + ( x + 1) ( − x ) + − = = ( ( − x2 ) − x2 − −2 ) ( − x ) ( x + ) ( x + 1) ( − x ) ( − x ) ( x + ) ( x + 1) ( − x ) + ( x + 1) ( − x ) ( x + 1) ( − x ) ) 2 +2 +2≥2 A = ⇔ − x = ( x + 1) ( − x ) ⇔ x = BÀI TẬP TỰ LUYỆN ( BT nâng cao số chuyên đề Bùi văn Tuyên ) Bài Tìm GTNN, GTLN hàm số : y = − x + + x Bài 2: Tìm GTLN hàm số : y = x − + − x Bài 3: Tìm GTLN hàm số : A = x − + 23 − x Bài 4: Tìm GTLN hàm số : A = x − + 23 − x Bài 5: Tìm GTLN hàm số : A = x − + 17 − x Bài 6: Tìm GTLN hàm số : A = 3x − + 20 − x Bài 7:Tìm GTLN : A = x − + y − biết x + y = Bài Tìm GTNN : A = -x + x + 21 − -x + x + 10 11 Bài 9( 76/29) Tìm GTNN : A = x y z + + với x, y, z dương x + y + z ≥ 12 y z x Bài 10: ( 65/ 28) Tìm GTLN, GTNN : A = x − + y − biết x + y = 15 Biện pháp 2: nhân chia biểu thức với số khác không VD Tìm giá trị lớn biểu thức: A = Giải: ĐKXĐ: x ≥ Ta có: A = x-9 = 5x x-9 5x 1x -9 x-9 + 3÷ x 3 = = ≤ 5x 5x x 30 x - =3 ⇔ x = 18 Dấu “=” xảy x ≥ BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Tìm giá trị lớn biểu thức: A = 7x - 7x-9 Bài 2: Tìm giá trị lớn biểu thức: B = x3 - 27x Biện pháp 3: Biến đổi biểu thức dã cho thành tổng biểu thức cho tích chúng số: 1) Tách hạng tử thành tổng nhiều hạng tử VD1: cho x > Tìm GTNN biểu thức: A = Giải : Ta có A = 3x + 16 x3 3x + 16 16 16 = 3x + = x + x + x + 3 x x x Áp dụng BĐT Cô-si Ta có : A = x+x+x+ Vậy Min A = ⇔ x = 16 16 ≥ 4 x.x.x = 4.2 = x x 16 ⇔x=2 x3 VD2: ( đề thi ĐHTH Hà Nội 1993) Tìm Max Min A = x y( - x - y ) với x, y ≥ x + y ≤ 12 x x + +y+ - x - y x x ≤ x + y ≤ Xét Ta có : A = y( - x - y ) ÷ ≤ 2 Dấu “=” xẩy ÷ ÷ =4 ÷ x = y = - x - y ⇔ y = ; x =2 Xét ≤ x + y ≤ Rễ thấy: – x - y ≤ −2 ( 1) Dấu ‘=’ xảy x + y = => A = x y( - x - y ) đạt GTNN x2y đạtGTLN ( x+y ) x+x+2y ÷ ÷ Ta có : =32 hay x y ≤ 32 (2) x.x.2y x y= ≤ ≤ 2 x + y = x = ⇔ x = y y = Từ (1) (2) => x y( - x - y ) ≥ -64 Dấu ‘=’ xảy VD3 Tìm GTLN A = x2(3 – x) biết x ≤ x x (3 – x) Áp dụng bất đẳng thức 2 x x + + 3− x ÷ x x x x Cauchy cho số không âm , , (3 – x) ta : (3 – x) ≤ ÷ = 2 2 ÷ Giải : Xét ≤ x ≤ Viết A dạng : A = Do A ≤ (1) BÀI TẬP TỰ LUYỆN ( BT nâng cao số chuyên đề Bùi văn Tuyên ) 12 16 Bài 1( 71/28) Cho x > , y > x + y ≥ Tìm GTNN P = x + y + x + y Bài 2( 70/28) Cho x > , Tìm GTNN N = Bài 3( 68/ 28) Cho x ≥ , Tìm GTNN Q = Bài 4( 69/ 28) Tìm GTNN M = x3 + 2000 x x + x + 17 2( x + 1) x + x + 34 x +3 Bài 5( 72/ 29) Cho x > y x.y =5 , Tìm GTNN Q = x + 1, xy + y x− y 13 Bài 6( 79/ 29) Cho x ,y thỏa mãn biểu thức: x + y =1 x > , Tìm GTLN B = x y ================================================================== Ngày giảng: / / 2011 Sĩ số: 2) Tách hạng tử chứa biến thành tổng số với hạng tử chứa biến cho hạng tử nghịch đảo hạng tử khác có biểu thức cho VD1: Cho < x < , Tìm GTNN B = Ta có : B = 9x + 2− x x 9x 2− x 9x − x + +1 ≥ + =7 2− x x 2− x x Min B= ⇔ 9x 2− x = ⇔x= 2− x x BÀI TẬP TỰ LUYỆN ( BT nâng cao số chuyên đề Bùi văn Tuyến ) Bài 1( 74/ 29) Cho < x 1, Tìm GTLN A = x + 25 x +1 2x − x + Bài 3: Cho x > 0, Tìm GTNN biểu thức: A = 2x Bài 4: Tìm GTNN biểu thức: B = Bài 5: Tìm GTNN biểu thức: A = x-4 x x − 3x + x (Bồi dưỡng HSG toán đại số TRẦN THỊ VÂN ANH) Bài 6: Tìm GTNN biểu thức: A = 3x + ( với x > -1 ) x+1 Bài 7: Tìm GTNN biểu thức: B = x + ( với x > ) x-1 Bài 8: Tìm GTNN biểu thức: C = x + ( với x > ) 2x-1 Bài 9: Tìm GTNN biểu thức: D = x + ( với < x < ) 1-x x 14 Biện pháp 4: Thêm hạng tử vào biểu thức cho: VD1 : Cho số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = Tìm GTNN biểu thức: P= x2 y2 z2 + + y+z z+x y+x x2 y+z ≥2 + y+z Ta có : x2 y + z x = = x y+z x+z y2 y2 x + z y ≥ = = y + x+z x+z z2 y+x ≥2 + y+x x2 y2 z2 z2 y + x z = = z y+x y+z x+z y+x + + + + ≥ x+ y+ z => ÷+ 4 y+z z+x y+x x2 y2 z2 x + y + z + + ≥ x+ y+ z Hay: ÷+ y + z z + x y + x => P = x2 y2 z2 x+ y+z x+ y+z + + ≥ x+ y+ z− ≥ =1 y+z z+x y+x 2 x2 y+z = y+z y x+z = ⇔x= y=z= Vậy Min P = ⇔ x+ z z y+x = y + x Lưu ý: Nếu ta thêm ( x + y), ( z + y), ( x + z) vào z2 x2 y2 , , ta khử y+x y+z z+x (x + y), ( z + y), ( x + z) không tìm x, y, z để dấu dấu đẳng thức xảy đồng thời Khi không tìm giá trị nhỏ VD2 : Tìm GTNN A = x + y biết x, y > thỏa mãn a b a b + = (a b số dương) x y ay bx Giải Cách : A = x + y = 1.(x + y) = + ÷( x + y ) = a + + + b x y x y 15 Theo bất đẳng thức Cauchy với số dương : Do A ≥ a + b + ab = ( ) ay bx ay bx + ≥2 = ab x y x y a+ b A = ( a+ b ) ay bx x = y a b x = a + ab với + = ⇔ x y y = b + ab x, y > Cách : Dùng bất đẳng thức Bunhiacôpxki : a b a b A = (x + y).1 = (x + y) + ÷ ≥ x + y ÷ = x y x y ( ) a+ b Từ tìm giá trị nhỏ A VD3 Tìm GTNN A = x2 y2 z2 + + biết x, y, z > , x+y y+z z+x xy + yz + zx = x2 y2 z2 x+y+z + + ≥ Giải Theo VD1 BIỆN PHÁP 4: Theo bất đẳng thức Cauchy x+y y+z z+x x+y y+z z+x ≥ xy ; ≥ yz ; ≥ zx nên x + y + z ≥ xy + yz + zx 2 hay x+y+z ≥ A = xy + yz + zx = 2 ⇔ x=y=z= VẬN DỤNG BDT A + B ≥ A+B ĐỂ TÌM CỰC TRỊ Bài 1: Tìm GTNN hàm số : y = x + x + + x − x + Cách 1: y = x + x + + x − x + = x + + x − Nếu: x < -1 y = x + + x − = − x − − x + = −2 x > Nếu: -1 ≤ x ≤ y = x + + x − = x + − x + = 16 Nếu: x > y = x + + x − = x + + x − = x > Vậy y nhỏ -1 ≤ x ≤ Cách : áp dụng BĐT a + b ≥ a + b ( Dấu “=” sảy a.b ≥ ) Ta có : y = x + + − x ≥ x + + − x = Vậy y nhỏ -1 ≤ x ≤ Bài 2: Cho x, y > 2x + xy = Tìm GTLN A = x2y Cách 1: Từ 2x + xy = => xy = -2x Thế vào A ta có : A = x(4 -2x ) = – ( x ) − x 2 + ( ) = − ( x − ) 2 x − = x = ⇔ x + xy = y = => Max A = Cách 2: Ta có : A = x.xy Vì x, y > => 2x, xy > áp dụng bất đẳng thức Cosi cho số ( x + xy ) x + xy x + xy ≥ x.xy ⇔ ≥ x y Thay số ta có : ≥ x y =A 2x, xy ta có: ÷ ≥ x.xy ⇔ 4.2 2 x = xy x = ⇔ x + xy = y = Vậy Max A =2 BÀI TẬP TỰ LUYÊN TƯƠNG TỰ: Bài 1: Tìm GTNN HS: a, y = x − x + + x − 12 x + b, y = x + x + + x − x + Bài 2: Tìm GTNN HS: a, y = x + 20 x + 25 + x − 8x + 16 b, y = 25 x − 20 x + + 25 x − 30 x + Bài Tìm giá trị nhỏ A = x − x − + x + x − 17 ... bất đẳng thức Côsi số đề Dưới ta nghiên cứu số biện pháp biến đổi biểu thức để có thê vân dụng BĐT Cô-si tìm cực trị nó: Biện pháp 1: Để tìm cực trị biểu thức ta tìm cực trị bình phương biểu thức... thiết z số nhỏ số x, y, z, (1) Từ tìm giá trị nhỏ x y z + + y z x VD 4: Tìm giá trị lớn : A = xyz(x + y)(y + z)(z + x) với x, y, z ≥ ; x + y + z = Áp dụng BĐT Cauchy cho ba số không âm x, y, z ta... CỦA BT CÓ QUAN HỆ RÀNG BUỘC GIỮA CÁC BIẾN IV Các ý giải toán cực trị : Ví dụ Cho x2 + y2 = 52 Tìm GTLN A = 2x + 3y Giải :Áp dụng BĐT BCS ta có ( 2x + 3y )2 ≤ ( 22+32 ).52 ⇒ ( 2x + 3y )2 ≤ 13.13.4