LƯỢNG GIÁC MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ VÀ ỨNG DỤNG TẬP : BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC VÀ HỆ THỨC LƯỢNG VÕ ANH KHOA – HOÀNG BÁ MINH VÕ ANH KHOA – HOÀNG BÁ MINH LƯỢNG GIÁC MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ VÀ ỨNG DỤNG TẬP : BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC VÀ HỆ THỨC LƯỢNG TP HỒ CHÍ MINH TOANMATH.com LỜI NÓI ĐẦU Cuốn sách “LƯỢNG GIÁC – MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ VÀ ỨNG DỤNG” biên soạn với mục đích cung cấp, bổ sung kiến thức cho học sinh THPT số bạn đọc quan tâm đến mảng kiến thức trình học tập làm việc Ở sách này, việc đưa khái niệm dạng tập bản, thêm vào lịch sử ứng dụng môn học để bạn hiểu rõ “Nó xuất phát từ đâu lại phải học nó?” Ở chương chính, chia làm phần : Phần I : Nêu lý thuyết ví dụ minh họa sau đó, giúp bạn đọc hiểu biết cách trình bày Đồng thời đưa dạng toán bản, thường gặp trình làm lớp học sinh THPT Ở phần này, trình bày số để bạn đọc nắm vững hơn, tránh sai sót Phần II : Trong trình tham khảo tổng hợp tài liệu, đưa vào phần dạng toán khó nhằm giúp cho học sinh bồi dưỡng, rèn luyện kĩ giải LƯỢNG GIÁC thành thạo gặp phải dạng toán Phần III : Chúng đưa lời giải gợi ý cho số bài, qua bạn đọc kiểm tra lại đáp số, lời giải tham khảo thêm Trong trình biên soạn, cố gắng việc tham khảo lượng lớn tài liệu có sẵn tiếp thu có chọn lọc ý kiến từ bạn đồng nghiệp để dần hoàn thiện sách này, khó tránh khỏi thiếu sót tầm hiểu biết kinh nghiệm hạn chế, mong nhận ý kiến đóng góp quý báu bạn đọc gần xa Chi tiết liên hệ : anhkhoavo1210@gmail.com minh.9a1.dt@gmail.com CÁC TÁC GIẢ VÕ ANH KHOA – HOÀNG BÁ MINH TOANMATH.com LỜI CẢM ƠN Trong trình biên soạn, xin cám ơn đến bạn cung cấp tài liệu tham khảo vui lòng nhận kiểm tra lại phần thảo đánh máy, tạo điều kiện hoàn thành sách : - Tô Nguyễn Nhật Minh (ĐH Quốc Tế Tp.HCM) Ngô Minh Nhựt (ĐH Kinh Tế Tp.HCM) Mai Ngọc Thắng (ĐH Kinh Tế Tp.HCM) Trần Lam Ngọc (THPT Chuyên Trần Đại Nghĩa Tp.HCM) Nguyễn Huy Hoàng (THPT Chuyên Lê Hồng Phong Tp.HCM) Nguyễn Hoài Anh (THPT Chuyên Phan Bội Châu Tp.Vinh) Phan Đức Minh (ĐH Khoa Học Tự Nhiên Hà Nội) số thành viên diễn đàn MathScope TOANMATH.com MỤC LỤC TẬP : BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC VÀ HỆ THỨC LƯỢNG CHƯƠNG : SƠ LƯỢC VỀ KHÁI NIỆM VÀ LỊCH SỬ CHƯƠNG : CÁC BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC 2.1 CHỨNG MINH MỘT ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC BÀI TẬP TỰ LUYỆN 15 2.2 TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC 21 BÀI TẬP TỰ LUYỆN 33 2.3 CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC SUY TỪ ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC KHÁC CHO TRƯỚC 36 BÀI TẬP TỰ LUYỆN 45 2.4 CHỨNG MINH BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC KHÔNG PHỤ THUỘC VÀO BIẾN SỐ 46 BÀI TẬP TỰ LUYỆN 51 CHƯƠNG : HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC 52 3.1 CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC TRONG TAM GIÁC 55 BÀI TẬP TỰ LUYỆN 77 3.2 CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC TRONG TAM GIÁC 81 BÀI TẬP TỰ LUYỆN 133 3.3 NHẬN DẠNG TAM GIÁC VÀ TÍNH CÁC GÓC TRONG TAM GIÁC 143 BÀI TẬP TỰ LUYỆN 191 TOANMATH.com ĐỌC THÊM : TÓM LƯỢC TIỂU SỬ CÁC NHÀ KHOA HỌC CÓ ẢNH HƯỚNG ĐẾN LƯỢNG GIÁC 199 TÀI LIỆU THAM KHẢO 205 TOANMATH.com Chương : Sơ lược khái niệm lịch sử CHƯƠNG SƠ LƯỢC VỀ KHÁI NIỆM VÀ LỊCH SỬ I KHÁI NIỆM Trong toán học nói chung lượng giác học nói riêng, hàm lượng giác hàm toán học góc, dùng nghiên cứu tam giác tượng có tính chất tuần hoàn Các hàm lượng giác góc thường định nghĩa tỷ lệ chiều dài hai cạnh tam giác vuông chứa góc đó, tỷ lệ chiều dài đoạn thẳng nối điểm đặc biệt vòng tròn đơn vị Sâu xa hơn, khía cạnh đại hơn, định nghĩa hàm lượng giác chuỗi vô hạn nghiệm phương trình vi phân, điều cho phép hàm lượng giác có đối số số thực hay số phức ( Dạng đồ thị hàm sin ) II LỊCH SỬ Những nghiên cứu cách hệ thống việc lập bảng tính hàm lượng giác cho thực Hipparchus(1) (180-125 TCN), người lập bảng tính độ dài cung tròn chiều dài dây cung tương ứng Sau đó, Ptomely(2) tiếp tục phát triển công trình, tìm công thức cộng trừ cho ሺ ሻ ሺ ሻ, Ptomely suy diễn công thức hạ bậc, cho phép ông lập bảng tính với độ xác cần thiết Tuy nhiên, bảng tính bị thất truyền Các phát triển diễn Ấn Độ, công trình Surya Siddhanta(3) (thế kỷ 4-5) định nghĩa hàm sin theo nửa góc nửa dây cung Đến kỷ 10, người Ả Rập dùng hàm lượng giác với độ xác đến chữ số thập phân Các công trình hàm lượng giác phát triển nhằm phục vụ công trình thiên văn học, cụ thể dùng để tính toán đồng hồ mặt trời TOANMATH.com Chương : Sơ lược khái niệm lịch sử Ngày nay, chúng dùng để đo khoảng cách tới gần, mốc giới hạn hay hệ thống hoa tiêu vệ tinh Rộng nữa, chúng áp dụng vào nhiều lĩnh vực khác : quang học, phân tích thị trường tài chính, điện tử học, lý thuyết xác suất, thống kê, sinh học, dược khoa, hóa học, lý thuyết số, địa chấn học, khí tượng học, hải dương học… Ta lấy ví dụ từ toán sau trích từ Lucia C Hamson, Daylight, Twilight, Darkness and Time : Việc mô hình hóa số chiếu sáng mặt trời hàm thời gian năm nhiều vĩ độ khác Cho biết Philadelphia nằm vĩ độ ͶͲ୭ Bắc, tìm hàm biểu thị số chiếu sáng mặt trời Philadelphia Chú ý đường cong tương tự với hàm số sin mà bị di chuyển kéo căng Tại độ cao Philadelphia, thời gian chiếu sáng kéo dài 14,8 vào ngày 21 tháng 9,2 vào ngày 21 tháng 12, nên biên độ đường cong (hệ số kéo căng theo chiều dọc) : ͳ ሺͳͶǡͺ െ ͻǡʹሻ ൌ ʹǡͺ ʹ Hệ số mà cần để kéo căng đồ thị hình sin theo chiều ngang đo thời gian ݐtrong ngày? Bởi có 365 ngày/ năm, chu kỳ mô hình nên 365 Nhưng mà giai đoạn ݕൌ ݐlà ʹߨ, nên hệ số kéo căng theo chiều ngang : TOANMATH.com Chương : Sơ lược khái niệm lịch sử ܿൌ ʹߨ ͵ͷ Chúng ta để ý đường cong bắt đầu chu trình vào ngày 21 tháng 3, ngày thứ 80 năm nên phải phải dịch chuyển đường cong bên phải 80 đơn vị Ngoài ra, phải đưa lên 12 đơn vị Do mô hình hóa số chiếu sáng của mặt trời năm Philadelphia vào ngày thứ ݐcủa năm hàm số : ܮሺݐሻ ൌ ͳʹ ʹǡͺ ʹߨ ሺ ݐെ ͺͲሻ൨ ͵ͷ TOANMATH.com Chương : Các biến đổi lượng giác CHƯƠNG CÁC BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC I BẢNG GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC CUNG CÓ LIÊN QUAN ĐẶC BIỆT Ta gọi cung có liên quan đặc biệt với cung ߙ cung : Đối với ߙ : െߙ - Bù với ߙ : ߨ െ ߙ - Hiệu ߨ với ߙ : ߨ ߙ - Hơn cos sin tan cot గ ଶ với ߙ : గ േߙ െߙ ߨെߙ ߨߙ ߙ െ ߙ െ ߙ െ ߙ െ ߙ ߙ െ ߙ െ ߙ െ ߙ െ ߙ ߙ ߙ ߨ െߙ ʹ ߙ ߙ ߙ ߙ ߨ ߙ ʹ െ ߙ ߙ െ ߙ െ ߙ Ngoài ra, có số hàm lượng giác khác : ͳ ͳ െ ߙ ൌ െ ߙ ൌ ߙ ߙ െߙ ൌ ͳ െ ߙ െ ߙ ൌ ߙ െ ͳ II CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CÔNG THỨC CƠ BẢN ߨ ଶ ݔ ଶ ݔൌ ͳ ݔ ݔൌ ͳ ቀ ݇ ് ݔǡ ݇ אԺቁ ʹ ͳ ߨ ݔ ͳ ଶ ݔൌ ቀݔ ് ݇ߨǡ ݇ אԺቁ ݔൌ ଶ ݔ ʹ ݔ ͳ ݔ ͳ ଶ ݔൌ ሺߨ݇ ് ݔǡ ݇ אԺሻ ݔൌ ଶ ݔ ݔ TOANMATH.com Chương : Hệ thức lượng tam giác Suy ͳ ͳ ͳ ʹቌ ଶ ଶ ʹ ʹ ʹ Dấu ̶ ൌ ̶ xảy ൌ ൌ Vậy tam giác ଶ ͳ ʹ ͳ ʹ ͳ ቍ ʹ Bài 22: Chứng tỏ tam giác Ǥ݉ ݉ ݉ ൌ Ǥ ͻܴ ʹ ܽ ܾ ܿ ൌ ൌ ݉ ݉ ݉ ͳ ͳ ͳ ʹ Ǥ ଶ ଶ ଶ ൌ ܽ ʹ ܾ ʹ ܿ ʹ ͺ Ǥ ͳ ͳ ͳ ͳͺܴ ൌ ݎ ݎ ݎ ܾܽ ܾܿ ܿܽ Giải: a Theo bất đẳng thức Bunyakovsky, ta có : ሺ݉ ݉ ݉ ሻଶ ͵ሺ݉ଶ ݉ଶ ݉ଶ ሻ Mặt khác, ta có : ʹሺ ܾ ଶ ܿ ଶ ሻ െ ܽ ଶ ଶ ݉ۓ ൌ Ͷ ۖ ۖ ଶ ͵ ʹሺܿ ܽଶ ሻ െ ܾ ଶ ฺ ݉ଶ ݉ଶ ݉ଶ ൌ ሺܽଶ ܾ ଶ ܿ ଶ ሻ ݉ଶ ൌ Ͷ ۔ Ͷ ଶ ଶ ଶ ۖ ۖ ଶ ʹሺ ܽ ܾ ሻ െ ܿ ݉ە ൌ Ͷ Do đó, ͻ ሺ݉ ݉ ݉ ሻଶ ሺܽଶ ܾ ଶ ܿ ଶ ሻ Ͷ Theo định lý hàm số sin bất đẳng thức bản, ta có : ͻ ܽଶ ܾ ଶ ܿ ଶ ൌ Ͷܴଶ ሺଶ ଶ ଶ ሻ Ͷܴ ଶ Ǥ ൌ ͻܴଶ Ͷ Khi ͺͳ ଶ ሺ݉ ݉ ݉ ሻଶ ܴ Ͷ 177 TOANMATH.com Chương : Hệ thức lượng tam giác Hay ݉ ݉ ݉ Dấu ̶ ൌ ̶ xảy ൜ ൌൌ ݉ ൌ ݉ ൌ ݉ ͻܴ ʹ Vậy tam giác b Ta có : ܽ ܾ ܽଶ ݉ଶ ʹܾ ଶ ʹܿ ଶ െ ܽଶ ൌ ଶൌ ଶൌ ଶ ݉ ݉ ܾ ݉ ʹܽ ʹܿ ଶ െ ܾ ଶ ܽଶ ሺʹܽଶ ʹܿ ଶ െ ܾ ଶ ሻ ൌ ܾ ଶ ሺʹܾ ଶ ʹܿ ଶ െ ܽଶ ሻ ʹܽସ ʹܽଶ ܿ ଶ െ ܽଶ ܾ ଶ ൌ ʹܾ ସ ʹܾ ଶ ܿ ଶ െ ܾ ଶ ܽଶ ሺܽଶ െ ܾ ଶ ሻሺܽଶ ܾ ଶ ʹܿ ଶ ሻ ൌ Ͳ ܽൌܾ Tương tự vậy, ta có : ܿ ܾ ൌ ܾൌܿ ݉ ݉ Vậy tam giác c Theo định lý hàm số cos, ta có : ܾ ଶ ܿ ଶ െ ܽଶ ൌ ʹܾܿ ଶ ଶ ଶ ܾ ܿ െܽ ܾ ଶ ܿ ଶ ʹܾܿ െ ܽଶ ฺ ʹ ଶ െ ͳ ൌ ฺ ଶ ൌ ʹܾܿ Ͷܾܿ ʹ ʹ ଶ ଶ ሺܾ ܿ െ ܽሻሺܾ ܿ ܽሻ ሺ െ ܽሻ ሺܾ ܿ ሻ െ ܽ ൌ ൌ ฺ ଶ ൌ ܾܿ Ͷܾܿ Ͷܾܿ ʹ Tương tự, ta : ሺ െ ܾሻ ଶ ൌ ܿܽ ʹ ൞ ሺ െ ܿሻ ଶ ൌ ܾܽ ʹ Do đó, ͳ ଶ ͳ ͳ ሺ െ ܽሻ ሺ െ ܾሻ ሺ െ ܿ ሻ ଶ ଶ ଶ ൌ ൌ ܾܽܿ ܾܽܿ ܾܽܿ ܽ ܾܽܿ ʹ ܾ ʹ ܿ ʹ Mặt khác, theo bất đẳng thức Cauchy, ta có : ሺܽ ܾ ܿ ሻଷ ʹ ଷ ൌ ܾܽܿ ͺ ͺ Hay ͳ ͳ ͳ ଶ ʹ ଶ ଶ ଶ ൌ ܽ ʹ ܾ ʹ ܿ ʹ ܾܽܿ ͺ 178 TOANMATH.com Chương : Hệ thức lượng tam giác Dấu ̶ ൌ ̶ xảy ܽ ൌ ܾ ൌ ܿ Vậy tam giác d Ta có : ͳ ͳ ͳ െܽ െܾ െܿ ܽ ܾܿ ۓ ൌ ൌ ൌ ܵ ܵ ܵ ܵ ʹܵ ۖݎ ݎ ݎ ͳͺܾܽܿ ͻ ͳ ͳͺܴ ۔ ൌ ൌ Ǥ ۖ ܾܽ ܾܿ ܿܽ Ͷܵሺܾܽ ܾܿ ܿܽሻ ʹܵ ͳ ͳ ͳ ە ܽ ܾ ܿ Do đó, giả thuyết tương đương với ͳ ͳ ͳ ሺܽ ܾ ܿ ሻ ൬ ൰ ൌ ͻ ܽ ܾ ܿ Mặt khác, theo bất đẳng thức Cauchy, ta lại có : య ܽ ܾ ܿ ͵ ξܾܽܿ ͳ ͳ ͳ ͵ ฺ ሺܽ ܾ ܿ ሻ ൬ ൰ ͻ ቐͳ ͳ ͳ ܽ ܾ ܿ ܽ ܾ ܿ యξܾܽܿ Dấu ̶ ൌ ̶ xảy ܽ ൌ ܾ ൌ ܿ Vậy tam giác Bài 23: Xác định đặc điểm tam giác thỏa mãn hệ thức Ǥ ൌ Ͳ Ǥ ൌ ξ͵ Ǥ ൜ ܵൌͳ ξ͵ሺܽ ܾ ܿ ሻଶ ൌ ͵ (ĐH Luật Hà Nội 1995) Giải: a Ta có : ൌ ʹ ͵ሺ ሻ ͵ሺ െ ሻ ൌ െʹ ͵ሺ ሻ ͵ሺ ሻ ฺ ൌ െʹ ͵ሺ ሻ ሾ ͵ሺ െ ሻ െ ͵ሺ ሻሿ ൌ െʹ ͵ ሺെʹ ͵ ͵ሻ ൌ Ͷ ͵ ͵ ͵ Do đó, giả thuyết tương đương với ͵ ൌ Ͳ Ͷ ͵ ͵ ͵ ൌ Ͳ ͵ ൌ Ͳ ͵ ൌ Ͳ ୭ Vậy tam giác có góc Ͳ hoặcͳʹͲ୭ ൜ 179 TOANMATH.com Chương : Hệ thức lượng tam giác b Giả thuyết tương đương với ൫ െ ξ͵ ൯ ൫ െ ξ͵ ൯ ൫ െ ξ͵ ൯ ൌ Ͳ ߨ ߨ ߨ ቀ െ ቁ ቀ െ ቁ ቀ െ ቁ ൌ Ͳ ͵ ͵ ͵ െ ߨ ߨ ߨ െ ൰ െ ʹ ൬ െ ൰ ൬ െ ൰ൌͲ ʹ ൬ ͵ ʹ ʹ ͵ ʹ ͵ ʹ െ ߨ ߨ െ ൰ െ ൬ െ ൰൨ ൌ Ͳ ʹ ൬ ͵ ʹ ʹ ͵ ʹ ߨ ߨ ߨ െ ൰ ൬ െ ൰ ൬ െ ൰ ൌ Ͳ ൬ ͵ ʹ ʹ ʹ ߨ ߨ ߨ െ ൬ െ ൰ ൬ െ ൰ ൬ െ ൰ ൌ Ͳ ʹ ʹ ʹ ߨ ۍ൬ െ ൰ ൌ Ͳ ʹ ێ ߨ ێ൬ െ ൰ ൌ Ͳ ʹ ێ ߨ ێ െ ൰ൌͲ ൬ ۏ ʹ Ta xét : ߨ ൬ െ ൰ ൌ Ͳ ฺ ൌ Ͳ୭ ʹ Vậy tam giác có góc Ͳ୭ c Theo công thức Heron bất đẳng thức Cauchy, ta có : െܽെܾെܿ ଷ ଶ ͳ ൌ ܵ ൌ ሺ െ ܽሻሺ െ ܾሻሺ െ ܿ ሻ ൬ ൰ ͵ Do đó, ସ ͳ ʹ Suy ଶ ͵ξ͵ Hay ξ͵ሺܽ ܾ ܿ ሻଶ ͵ Dấu ̶ ൌ ̶ xảy ܽ ൌ ܾ ൌ ܿ Vậy tam giác 180 TOANMATH.com Chương : Hệ thức lượng tam giác Bài 24: Nhận dạng tam giác biết Ǣ ệ ủươ¿ ݔଶ ܽଵ ݔ ܾଵ ൌ Ͳ Ͷ Ͷ Ǣ ệ ủươ¿ ݔଶ ܽଶ ݔ ܾଶ ൌ Ͳ Ͷ Ͷ Ǣ ệ ủươ¿ ݔଶ ܽଷ ݔ ܾଷ ൌ Ͳ Ͷ Ͷ Và ሺͳ െ ܽଵ ܾଵ ሻሺͳ െ ܽଶ ܾଶ ሻሺͳ െ ܽଷ ܾଷ ሻ ൌ ͷͳ െ ͵ʹͶͲξ͵ Giải: Từ giả thuyết, ta có : Lấy ݔൌ െͳ, ta có : ݔۓଶ ܽଵ ݔ ܾଵ ൌ ൬ ݔെ ൰ ൬ ݔെ ൰ Ͷ Ͷ ۖ ݔଶ ܽଶ ݔ ܾଶ ൌ ൬ ݔെ ൰ ൬ ݔെ ൰ Ͷ Ͷ ۔ ۖ ଶ ݔە ܽଷ ݔ ܾଷ ൌ ൬ ݔെ Ͷ൰ ൬ ݔെ Ͷ ൰ ଶ ଶ ଶ ሺͳ െ ܽଵ ܾଵ ሻሺͳ െ ܽଶ ܾଶ ሻሺͳ െ ܽଷ ܾଷ ሻ ൌ ൬ͳ ൰ ൬ͳ ൰ ൬ͳ ൰ Ͷ Ͷ Ͷ ൌ ͳ ൬ ൰ Ͷ Ͷ Ͷ ଶ ൬ ൰ ൨ Ͷ Ͷ Ͷ Ͷ Ͷ Ͷ Ͷ Ͷ Ͷ Mặt khác : ߨ െ ߨ Ͷ Ͷ Ͷ Ͷ ൰ ൌ ൬ െ ൰ ฺ ൌ ൬ ߨ Ͷ Ͷ Ͷ ͳ െ ͳ Ͷ Ͷ Ͷ Ͷ ฺ ൬ ൰ ൬ͳ ൰ ൌ ൬ͳ െ ൰ ൬ͳ െ ൰ Ͷ Ͷ Ͷ Ͷ Ͷ Ͷ ฺ Ͷ Ͷ Ͷ Ͷ Ͷ Ͷ Ͷ Ͷ Ͷ ൌ ͳ Ͷ Ͷ Ͷ ଶ ฺ ሺͳ െ ܽଵ ܾଵ ሻሺͳ െ ܽଶ ܾଶ ሻሺͳ െ ܽଷ ܾଷ ሻ ൌ Ͷ ൬ͳ ൰ Ͷ Ͷ Ͷ ߨ Ǣ Ǣ אቀͲǢ ቁ ฺ Ǣ Ǣ אሺͲǢ ͳሻ ฺ אሺͲǢ ͳሻ Ͷ Ͷ Ͷ Ͷ Ͷ Ͷ Ͷ Ͷ Ͷ Ͷ 181 TOANMATH.com Chương : Hệ thức lượng tam giác Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có : ͳ ݔଷ ൌ ͳ Ͷ Ͷ Ͷ ൌ Ͷ Ͷ Ͷ Ͷ Ͷ Ͷ Ͷ Ͷ Ͷ య ଶ ͵ ඨ ͵ ඨ൬ ൰ ൌ ͵ ݔ ͵ ݔଶ Ͷ Ͷ Ͷ Ͷ Ͷ Ͷ య ݔଷ െ ͵ ݔଶ െ ͵ ݔ ͳ Ͳ ሺ ݔ ͳሻ൫ ݔെ ʹ ξ͵൯൫ ݔെ ʹ െ ξ͵൯ Ͳ Ͳ ൏ ݔ ʹ െ ξ͵ Do đó, ଷ ଶ ሺͳ െ ܽଵ ܾଵ ሻሺͳ െ ܽଶ ܾଶ ሻሺͳ െ ܽଷ ܾଷ ሻ ൌ Ͷሺͳ ݔଷ ሻଶ Ͷ ቂͳ ൫ʹ െ ξ͵൯ ቃ ൌ ͷͳ െ ͵ʹͶͲξ͵ Dấu ̶ ൌ ̶ xảy tam giác Bài 25: Tìm tất đặc điểm tam giác đồng thời thỏa điều kiện Ǥ ൜ ܵ ൌ ܽଶ െ ሺܾ െ ܿ ሻଶ ଶ ଶ ଶ ൌ Ǥሺͳ ܾ ܿ െ ܾܿ ሻ ሺͳ ܿ ܽ െ ܿܽሻ ሺͳ ܽ ܾ െ ܾܽሻ ൌ ͵ ͵ୱ୧୬ Ͷ ൌ ͳ Ͷ ୱ୧୬ ͵ Ǥ ୱ୧୬ ͵۔ ͵ ەୱ୧୬ େ Ͷ ൌ ͳ Ͷ ۓ Ǥ ൌ ͵ሺ ሻ Giải: a Theo định lý hàm số cot, ta có : ܽଶ ܾ ଶ ܿ ଶ ൌ Ͷܵ Theo định lý hàm số sin, ta : Ͷܴ ଶ ሺଶ ଶ ଶ ሻ ൌ Ͷܵ Do ଶ ଶ ଶ ൌ nên ܵ ൌ ܴ ଶ 182 TOANMATH.com Chương : Hệ thức lượng tam giác Theo định lý hàm số sin, ta lại có : ܴଶ ൌ ܵ ൌ ܽଶ െ ሺܾ െ ܿ ሻଶ ൌ Ͷܴଶ ሾଶ െ ሺ െ ሻଶ ሿ ͳ ൌ ሺ െ ሻሺ െ ሻ Ͷ െ െ െ ʹ ൰ ൬ʹ െ ʹ ൰ ൌ ൬ʹ ʹ ʹ ʹ ʹ ʹ ʹ ʹ ʹ െ െ െ ൰ ʹ ൬ െ ൰ ൌ ʹ ൬ ʹ ʹ ʹ ʹ ʹ ʹ ൌ ͳ ʹ ʹ ʹ ʹ ʹ ʹ Do đó, ͳ Ͷ ଶ ൌ ʹ Ͷ Mặt khác, theo định lý hàm số sin, ta lại có : ܾܽܿ ܵǤ Ͷܴ ͳ ൌ ଷ ൌ ൌ ͺܴଷ ͺܴ ʹ Nên ଶ ͳ ͳ ʹ ͳ ൌ ൌ ൌ ͳ ʹ Ͷ ʹ ʹ Ͷ Ta biết ͳ ʹ ൌ ͺ ฺ ൌ ͳ ͳ ൌ ൌ ͳ ͳ ʹ ͳ ଶ ʹ Điều xảy Vậy không tồn tam giác thỏa mãn hai hệ thức cho b Từ giả thuyết, ta viết lại thành ሺܽ ܾ ሻ ሺܾ ܿ ሻ ሺܽ ܿ ሻ െ ሺܾܿ ܿܽ ܾܽ ሻ ൌ Ͳ Theo định lý hình chiếu định lý hàm số cos, ta có : ሺܽ ܾ ሻ ሺܾ ܿ ሻ ሺܽ ܿ ሻ ൌ ܿ ܽ ܾ ͳ ൝ ܾܿ ܿܽ ܾܽ ൌ ሺܽଶ ܾ ଶ ܿ ଶ ሻ ʹ Do đó, giả thuyết tương đương với ͳ ൌ ሺܽଶ ܾ ଶ ܿ ଶ ሻ െ ሺܽ ܾ ܿ ሻ ͵ ʹ Mặt khác, theo bất đẳng thức Bunyakovsky, ta có : ͵ሺܽଶ ܾ ଶ ܿ ଶ ሻ ሺܽ ܾ ܿ ሻଶ 183 TOANMATH.com Chương : Hệ thức lượng tam giác Nên ͳ ͳ ଶ ሺܽ ܾ ଶ ܿ ଶ ሻ െ ሺܽ ܾ ܿ ሻ ͵ ሺܽ ܾ ܿ ሻଶ െ ሺܽ ܾ ܿ ሻ ͵ ʹ ͳ ͵ ͵ ൌ ሺܽ ܾ ܿ െ ͵ሻଶ ʹ ʹ Theo bất đẳng thức bản, ta có : ͵ ʹ Do đó, dấu ̶ ൌ ̶ xảy ܽ ൌ ܾ ൌ ܿ ൌ ͳ Vậy tam giác đều, có độ dài cạnh ͳ c Hệ cho viết lại thành ͵ୱ୧୬ ିୱ୧୬ Ͷሺ െ ሻ ൌ ͳሺͳሻ ൜ ୱ୧୬ ିୱ୧୬ େ ͵ െ Ͷሺ െ ሻ ൌ ͳሺʹሻ Xét ሺͳሻ, ta đặt ݑൌ െ Khi : ͵௨ Ͷ ݑൌ ͳ Ta xét hàm số ݂ሺݑሻ ൌ ͵௨ Ͷݑǡ א ݑԹ ݂ ᇱ ሺݑሻ ൌ ͵௨ ͵ Ͷ Ͳ Do đó, hàm số đồng biến Ta thấy ݑൌ Ͳ nghiệm phương trình hàm nên ݑൌ Ͳ nghiệm phương trình Suy : ൌ ൌ Xét ሺʹሻ, ta đặt ݒൌ െ Khi : ͵௩ െ Ͷ ݒൌ ͳ Ta xét hàm số ݂ሺ ݒሻ ൌ ͵௩ െ Ͷݒǡ א ݒԹ ݂ ᇱሺ ݒሻ ൌ ͵௩ ͵ െ Ͷ ݂ ᇱᇱ ሺ ݒሻ ൌ ͵௩ ଶ ͵ Ͳ Suy ݒൌ Ͳ ݒൌ ʹ hai nghiệm phương trình Với ݒൌ Ͳ ൌ ൌ Với ݒൌ ʹ ൌ ʹ ʹ (vô lý) Vậy tam giác d Theo đẳng thức bản, ta có : Ͳ ൞ ൌ ͳ Ͷ ͳ ʹ ʹ ʹ ൌ Kết hợp với giả thuyết, ta suy 184 TOANMATH.com Chương : Hệ thức lượng tam giác Ͳ Tương đương tam giác nhọn Giả sử : ߨ Ͳ ฺቄ Ͳ ൏ ʹ Theo bất đẳng thức Chebyshev, ta có : Ǥ ͵ ͵ ͵ Ta viết lại bất đẳng thức thành ͵ሺ ሻ Dấu ̶ ൌ ̶ xảy ൌ ൌ Vậy tam giác Ͳ൏൏ Bài 26: Tìm đặc điểm tam giác thỏa mãn điều kiện Ǥʹሺܽଶ ܿ ଶ െ ܾ ଶ ሻሺܽଶ ܾ ଶ െ ܿ ଶ ሻ ൌ ʹͷܾܴܿଶ Ǥݎ ݈ ݎ ݈ ݎ ݈ ൌ ଶ ଶଵଶ ଶଵଶ ଶଵଶ ߨ ଶଵଶ Ǥ ൌቀ ቁ ͵ ͵ Ǥ Ͷ ܽ ܾ ܿ ൌ ܾܽ ܾܿ ܿܽ ͳͺܴଷ Giải: a Theo định lý hàm số cos, ta có : ଶ ଶ ଶ ൜ܽଶ ܿ ଶ െ ܾ ଶ ൌ ʹܽܿ ܽ ܾ െ ܿ ൌ ʹܾܽ Do đó, giả thuyết tương đương với Ͷܴଶ ʹǤʹܽܿ Ǥ ʹܾܽ ൌ ʹͷܾܴܿ ܽ ൌ ʹ Theo định lý hàm số sin, ta viết hệ thức thành ͳ ଶ ൌ ʹ Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có : ͳ ଶ ൌ ሺͳ െ ଶ ሻሾ ሺ െ ሻ െ ሿ ʹ ͳ ͳ ሺͳ െ ଶ ሻሺͳ െ ሻ ൌ ሺʹ ʹ ሻሺͳ െ ሻሺͳ െ ሻ Ͷ ʹ ଶ ଶ 185 TOANMATH.com Chương : Hệ thức lượng tam giác ͳ ʹ ʹ ͳ െ ͳ െ ଷ ͳ ൬ ൰ ൌ Ͷ ͵ ʹ ሺ െ ሻ ൌ ͳ Do đó, dấu ̶ ൌ ̶ xảy ቄ ʹ ʹ ൌ ͳ െ ൌ ͳ ൝ ൌ െ ͵ ͳ ậ ạỏ ൌ െ ͵ b Ta có : ۓ ۖݎ ൌ ܵ ሺ െ ܾሻሺ െ ܿ ሻ ൌඨ െܽ െܽ ۔ ʹ ۖ ඥܾܿሺ െ ܽሻ ݈ ൌ ە ܾܿ Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có : ʹξܾܿ ܾ ܿ െ ܾ െ ܿ ܽ ݎ ݈ ൌ ඥሺ െ ܾሻሺ െ ܿ ሻ Ǥ ൌ ܾܿ ʹ ʹ ܾܿ Tương tự, ta : ܾ ݎ ݈ ʹ ൞ ܿ ݎ ݈ ʹ Do đó, ݎ ݈ ݎ ݈ ݎ ݈ ଶ Dấu ̶ ൌ ̶ xảy ܽ ൌ ܾ ൌ ܿ Vậy tam giác c Ta xét hàm số ݂ ሺ ݔሻ ൌ ݔଶଵଶ ǡ א ݔሺͲǢ ߨሻ ݂ ᇱሺ ݔሻ ൌ ʹͲͳʹ ݔଶଵଵ ݂ ᇱᇱ ሺ ݔሻ ൌ ʹͲͳʹǤʹͲͳͳǤ ݔଶଵ Ͳ Theo bất đẳng thức Jensen, ta có : ߨ ଶଵଶ ݂ሺሻ ݂ሺሻ ݂ሺሻ ݂൬ ൰ൌቀ ቁ ͵ ͵ ͵ Dấu ̶ ൌ ̶ xảy ൌ ൌ Vậy tam giác 186 TOANMATH.com Chương : Hệ thức lượng tam giác d Theo định lý hàm số sin đẳng thức bản, ta có : ܽ ܾ ܿ Ͷ ʹ ʹ ʹ ൌ ൌ ͻܴଶ ͳͺܴଷ ͻܴଶ Do đó, giả thuyết tương đương với ʹܴଶ ൌ ܾܽ ܾܿ ܿܽ ʹ ʹ ʹ Mặt khác, ta lại có kết sau : ݎ ۓൌ Ͷܴ ʹ ʹ ʹ ܾܽܿ ܾܽܿ ܵ۔ൌ ݎൌ ฺ ܴ ݎൌ ە Ͷܴ Ͷ Nên hệ thức viết lại thành ͳͺܴ ݎൌ ܾܽ ܾܿ ܿܽ ܾܽܿ ൌ ܾܽ ܾܿ ܿܽ ͳͺǤ Ͷ ͻܾܽܿ ൌ ሺܾܽ ܾܿ ܿܽሻሺܽ ܾ ܿ ሻ Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có : య ܾܽ ܾܿ ܿܽ ͵ ඥܽଶ ܾ ଶ ܿ ଶ ቊ య ܽ ܾ ܿ ͵ ξܾܽܿ ฺ ሺܾܽ ܾܿ ܿܽሻሺܽ ܾ ܿ ሻ ͻܾܽܿ Dấu ̶ ൌ ̶ xảy ܽ ൌ ܾ ൌ ܿ Vậy tam giác Bài 27: Tìm đặc điểm tam giác thỏa mãn đẳng thức ଶ ଶ ଶ Ǥ ൜ ൏ ͳ ͷ ͷ ͷ ൌ Ͳ Giải: ܽଶ ʹ ܾ ଶ ʹ ൌ Ͷܾܽ Ǥ ൜ a Ta có : ʹ ʹ ൌ Ͷ ͷ െ ͷ ͷ ͷ ͷሺ ሻ ͷ ଶ ͷ ௧ ଶ ൌ ͷ ൌ ʹ ʹ ʹ ߨ Ǥ ൝ ሺͲǢ ʹሻ ͷ െ ͷ ͷ ͷ ǡ אቀͲǡ ቁͷ Ǣ ݐאͷ ൬ ൰ ൌ ʹ ൌ ʹ ʹ ʹ ʹ ʹ ʹ ʹ ʹ Do đó, 187 TOANMATH.com Chương : Hệ thức lượng tam giác ߨ ͵ߨ ۍൌ שൌ ۍൌ Ͳ ʹ ͷ ͷ ێ ێ ߨ ͵ߨ ͷ ͷ ͷ ൌ Ͳ ێൌ Ͳ ێൌ שൌ ʹ ͷ ͷ ێ ێ ߨ ͵ߨ ێ ێ ʹ ۏൌ Ͳ ۏൌ ͷ שൌ ͷ Mặt khác, theo đẳng thức ta có : ͳ െ ʹ ൌ ଶ ଶ ଶ ൏ ͳ Ͳ Suy ra, ta chọn ߨ ۍൌ ͷ ێ ߨ ێൌ ͷ ێ ߨ ێ ۏൌ ͷ Vậy tam giác có góc ͵୭ b Theo định lý hàm số sin, ta có : ܽଶ ʹ ܾ ଶ ʹ ൌ Ͷܾܽ ଶ Ǥ ʹ ଶ Ǥ ʹ ൌ Ͷ െ ൌ Ͳ ሺ െ ሻ ൌ Ͳ ൌ Khi đó, thay ൌ vào hệ thức ʹ ʹ ൌ Ͷ Ta : ʹ ʹ ൌ Ͷ ଶ ൌ ൌ Ͷͷ୭ Vậy tam giác vuông cân c Từ đẳng thức : ଶ ଶ ଶ ൌ ʹ ʹ Ta suy : ௧ ଶ ൌ ʹ ʹ Mà Ͳ ൏ ͳ ฺ ௧ ଶ ʹ ฺ ʹ ʹ ʹ ฺ Ͳ ฺ Ͳ Mặt khác từ : Ͳ ൏ ͳ ฺ ௧ ଶ ฺ ଶ ଶ ଶ ฺ ܽଶ ܾ ଶ ܿ ଶ ൌ ܽଶ ܾ ଶ െ ʹܾܽ ฺ Ͳ Do đó, ൌ Ͳ ൌ ͻͲ୭ Vậy tam giác vuông 188 TOANMATH.com Chương : Hệ thức lượng tam giác Bài 28: Tìm tất tam giác có độ dài cạnh số nguyên dương, ước chung thỏa mãn đẳng thức ଶ ଶ ଶ Ͷ ͻ ൌ ൬ ൰ ʹ ʹ ʹ ݎ ଶ (Đề nghị Olympic 30-4, 2006) Giải: Ta có công thức : ൌ ሺ െ ܾሻ ൌ ሺ െ ܿ ሻ ʹ ʹ ʹ ฺ ݎଷ ൌ ሺ െ ܽሻሺ െ ܾሻሺ െ ܿ ሻ ʹ ʹ ʹ Mà theo công thức Heron, ta lại có : ܵ ଶ ଶݎଶ ሺ െ ܽሻሺ െ ܾሻሺ െ ܿ ሻ ൌ ൌ ൌ ݎଶ Do đó, ൌ ʹ ʹ ʹ ݎ Theo đẳng thức bản, ta có : ൌ ሺכሻ ʹ ʹ ʹ ʹ ʹ ʹ Kết hợp với giả thuyết, ta ଶ ଶ ଶ ଶ Ͷͻ ൬ Ͷ ͻ ൰ ൌ ͵ ൬ ൰ ʹ ʹ ʹ ʹ ʹ ʹ Theo bất đẳng thức Bunyakovsky, ta có : ଶ ଶ ଶ ଶ ͵ ൬ ൰ Ͷͻ ൬ Ͷ ͻ ൰ ʹ ʹ ʹ ʹ ʹ ʹ Dấu ̶ ൌ ̶ xảy ʹ ͵ ʹൌ ʹ ʹൌ ͵ ʹ Kết hợp với ሺכሻ, ta có : ۓൌ ۓൌ ʹͷ ʹ ۖ ۖ ͷ ൌ ൌ ʹ Ͷ ͷ ۔ ۔ ͵ ۖ ۖ ൌ ൌ ە ە ʹ ͻ ͷ ݎൌ ሺ െ ܽሻ 189 TOANMATH.com Chương : Hệ thức lượng tam giác Chú ý: Đến đây, toán hoàn thành, ta có kết đẹp việc áp dụng định lý hàm số sin, : ʹͷܽ ͷܾ ͷܿ ൌ ൌ ͷ ͵ Ta chọn : ܽ ൌ ͳ͵ǡ ܾ ൌ ͶͲǡ ܿ ൌ Ͷͷ Vậy tam giác có cạnh thỏa mãn hệ thức : ܽǣ ܾǣ ܿ ൌ ͳ͵ǣ ͶͲǣ Ͷͷ Bài 29: Xác định hình dạng tam giác có góc ǡ ǡ thỏa mãn Ͷ ൬ ൰ ൌ ʹ ʹ ʹ ʹ ʹ ʹ (Đề nghị Olympic 30-4, 2008) Giải: ߨ Ǣ Ǣ אቀͲǢ ቁ ² ʹ ʹ ʹ ʹ ൌ Ͷ ൬ ൰ Ͳ ʹ ʹ ʹ ʹ ʹ ʹ Do đó, tam giác nhọn Theo bất đẳng thức bản, ta có : ͵ξ͵ Ta giả sử : ߨ ฺ ൬ െ ൰ ൬ െ ൰ Ͳ ʹ ʹ ʹ ʹ ʹ ฺ ʹ ʹ ʹ ʹ ʹ ʹ ʹ ʹ Ͳ൏൏ Mà ͳ െ ͳ ൰൨ ൌ ൬ ʹ ʹ ʹ ʹ ʹ ʹ ʹ Suy : Ͷ ൬ ൰ Ͷ ʹ ʹ ʹ ʹ ʹ ʹ ʹ ʹ Ta xét hàm số ߨ ݔ ݂ሺ ݔሻ ൌ Ͷ ʹ ݔǡ א ݔቀͲǡ ቁ ʹ ʹ ݔ ݂ ᇱሺ ݔሻ ൌ ʹ ቀ ݔെ ቁ ʹ 190 TOANMATH.com Chương : Hệ thức lượng tam giác ݂ ᇱሺ ݔሻ ൌ Ͳ ݔൌ ݔ Ͳ ݂Ԣሺ ݔሻ ݂ሺ ݔሻ ߨ ͵ గ గ ଷ ଶ Ͳ െ ͵ξ͵ Từ bảng biến thiên, ta ݂ሺ ݔሻ ͵ξ͵ Do đó, Ͷ ൬ ൰ Ͷ ʹ ͵ξ͵ ʹ ʹ ʹ ʹ ʹ ʹ ʹ Dấu ̶ ൌ ̶ xảy ൌ ߨ ቊ ൌ ͵ Vậy tam giác BÀI TẬP TỰ LUYỆN 3.3.1 Tính góc tam giác thỏa mãn Ǥ ଶ ଶ ଶ ൌ ଶ ଶ ଶ ʹ ʹ ʹ (ĐH Công Đoàn 2001) Ǥሺͳ ሻሺͳ ሻ ൌ ʹ (ĐH Vinh 2000) Ǥ െ ʹ ൌ ʹ ʹ ʹ ʹ (ĐH An Ninh 2000) Ǥ ൜ ܾ ଶ ܿ ଶ ܽଶ ൌ ͳ ξʹ (ĐH Ngoại Thương Tp.HCM 1998) 191 TOANMATH.com ...VÕ ANH KHOA – HOÀNG BÁ MINH LƯỢNG GIÁC MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ VÀ ỨNG DỤNG TẬP : BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC VÀ HỆ THỨC LƯỢNG TP HỒ CHÍ MINH TOANMATH.com LỜI NÓI ĐẦU Cuốn sách “LƯỢNG GIÁC –... CHƯƠNG : HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC 52 3.1 CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC TRONG TAM GIÁC 55 BÀI TẬP TỰ LUYỆN 77 3.2 CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC TRONG TAM GIÁC ... 33 2.3 CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC SUY TỪ ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC KHÁC CHO TRƯỚC 36 BÀI TẬP TỰ LUYỆN 45 2.4 CHỨNG MINH BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC KHÔNG PHỤ THUỘC VÀO BIẾN SỐ