I. Chứng minh hai đờng thẳng songsongBài 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lợt là trọng tâm các tam giác ABC và ABD. Chứng minh IJ//CD Bài 2: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình thang với các cạnh đáy AB và CD (CD > AB). Gọi M, N lần lợt là trung điểm của SA, SB a, Chứng minh MN//CD b, Tìm giao điểm P của SC và mp(AND). Kéo dài AN và DP cắt nhau tại I. Chứng minh SI//AB//CD. Tứ giác SABI là hình gì? Bài 3: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lợt là trung điểm của AB, CD, BC, AD, AC, BD a, Chứng minh MNPQ là hình bình hành b, Chứng minh MN, PQ, RS cắt nhau tại trung điểm mỗi đoạn Bài 4: Cho tam giác ABC nằm trong mp(P). Gọi Bx; Cy là 2 nửa đờng thẳng songsong và nằm về cùng phía đối với mp(P). M và N là 2 điểm di động lần lợt trên x, Cy sao cho CN = 2BM a, Chứng minh rằng MN luôn đi qua điểm cố định I khi M, N di động b, E là điểm thuộc đoạn AM và 1 EM EA 3 = . Gọi F là giao điểm của IE và AN, Q là giao điểm của BE và CF. Chứng minh rằng AQ//Bx//Cy và (QMN) chứa đờng thẳng cố định khi M, N di động Bài 5: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N, P, Q là các điểm trên BC, SC, SD và AD sao cho MN//SB, NP//CD, MQ//CD a, Chứng minh PQ//SA b, Gọi K là giao điểm của MN và PQ. Chứng minh SK//AD//BC c, Qua Q dựng Qx//SC; Qy//SB. Tìm giao điểm của Qx và mp(SAB); giao điểm của Qy và mp(SCD) II. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng Thiết diện qua một điểm và songsong với đờng thẳng cho trớc Bài 1: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình thang với các cạnh đáy AB và CD. Gọi I; J là trung điểm của AD và BC. Gọi G là trọng tâm của tam giác SAB a, Tìm giao tuyến của (SAB) và (IJG) b, Xác định thiết diện của hình chóp với mp(IJG). Thiết diện là hình gì? Tìm điều kiện đối với AB và CD để thiết diện là hình bình hành Bài 2: Cho hình chóp SABCD có đáy hình hình bình hành. Gọi I, J là trọng tâm các tam giác SAB và SAD và M là trung điểm của CD. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mp(IJM) Bài 3: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình thang với các cạnh đáy AD = a; BC = b. Gọi I; J là trọng tâm các tam giác SAD và SBC a, Tìm đoạn giao tuyến của mp(ADJ) vớimp(SBC); của (BCI) và (SAD) b, Tìm độ dài đoạn giao tuyến của 2 mặt phẳng (ADJ) và (BCI) giới hạn bởi 2 mp (SAB) và (SCD) Bài 4: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi I và J lần lợt là trung điểm của AC và BC. Gọi K là một điểm trên cạnh BD với KB = 2KD. a, Xác định thiết diện của tứ diện với mp(IJK). Chứng minh thiết diện là hình thang cân b, Tính diện tchs của thiết diện theo a Bài 5: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông tâm O cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác đều, ã 0 SAD 90= . Gọi Dx là đờng thẳng qua D và songsong với SC. a, Tìm giao điểm I của Dx và mp(SAB). Chứng minh AI//SB b, Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mp(AIC) và tính diện tích của thiết diện đó Bài 6: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành; I, J lần lợt là trung điểm của SA và AB. M là điểm bất kì trên nửa đờng thẳng Ax chứa C. Biện luận theo vị trí của M trên Ax các dạng của thiết diện của hình chóp cắt bởi mp(IJM) Bài 7: Cho hình chóp SABCD đáy là hình vuông cạnh a; mặt bên SAB là tam giác đều; SC = SD = a 3 . Gọi H và K lần lợt là trung điểm của SA; SB. M là điểm trên cạnh AD. Mặt phẳng (HKM) cắt BC tại N a,Chứng minh HKMN là hình thang cân b, Đặt AM = x ( ) 0 x a . Tính diện tích tứ giác HKMN theo a và x. Tìm x để diện tích này nhỏ nhất c, Tìm tập hợp giao điểm của HM và KN; HN và KM Bài 8: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a, lấy M trên cạnh BA; P trên cạnh CD sao cho a AM DP 3 = = . Xác định thiết diện của tứ diện và mặt phẳng qua MP và songsong với AC. Tính diện tích thiết diện đó 3 III. Chứng minh đờng thẳng songsong với mặt phẳng Bài 1: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N lần lợt là trung điểm của AB và CD a, Chứng minh ( ) MN // mp SBC và ( ) MN // mp SAD b, Gọi P là trung điểm của SA. Chứng minh SB và SC songsong với mp(MNP) c, Gọi G 1 và G 2 lần lợt là trọng tâm các tam giác ABC và SBC. Chứng minh G 1 G 2 //mp(SAC) Bài 2: Cho tứ diện ABCD. G là trọng tâm tam giác ABD, M trên BC sao cho MB = 2MC. Chứng minh MG//mp(ACD) Bài 3: Cho tứ diện ABCD. Gọi O và O lần lợt là tâm đờng tròn nội tiếp các tam giác ABC và ABD. Chứng minh: a, Điều kiện cần và đủ để OO//mp(BCD) là BC AB AC BD AB AD + = + b, Điều kiện cần và đủ để OO//mp(BCD) và mp(ACD) là BC = BD và AC = AD Bài 4: Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng a, Gọi O và O lần lợt là tâm của ABCD và ABEF. Chứng minh OO//(ADF); OO//(BCE) b, Trên AE và BD lấy M và N sao cho 1 1 AM AE; BN BD 3 3 = = . Chứng minh MN//mp(CDEF) IV. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng Thiết diện songsong với đ ờng thẳng cho trớc Bài 1: Cho hình chóp SABCD. Gọi M và N là hai điểm bất kì trên SB và CD. ( ) là mặt phẳng qua MN và songsong với SC a, Tìm giao tuyến của mp ( ) với các mặt phẳng (SBC); (SCD); SAC) b, xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mp ( ) Bài 2: Cho tứ diện ABCD có AB = a; CD = b. Gọi I, J lần lợt là trung điểm của AB và CD. (P) là mặt phẳng qua M trên IJ và songsong với AB và CD a, Tìm giao tuyến của mp(P) với mp(IJD) b, Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mo(P). Thiết diện là hình gì? Bài 3: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành. Gọi C là trung điểm của SC; M là điểm di động trên SA, (P) là mặt phẳng di động luôn đi qua CM và songsong với BC a, Chứng minh (P) luôn chứa đờng thẳng cố dịnh b, Xác định hiế diện cua hinh chóp cắ bởi mp(P). Xác định điêm M đê thiết diện là hình bình hành c, Tìm tập hợp giao điểm của hai cạnh đối của thiết diện khi M di chuyển trên cạnh SA Bài 4: Cho hình chóp SABCD đáy là hình thang với đáy lớn BC = 2a; AD = a và AB = b. Mặt bên SAD là ta, giác đều, (P) là mặt phẳng qua điểm M trên đoạn AB và songsong với SA và BC, pm(P) cắt CD; SC; SB lần l ợt tại I; J; K a, Chứng minh MIJK là hình thang cân b, Tính diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi mp(P) theo a và x = AM. Bài 5: Cho hình chóp SABCD. Gọi M và N là hai điểm trên AB và CD và (P) là mặt phẳng qua MN và songsong với SA a, Tìm các giao tuyến của (P) với (SAB) và (SAC) b, Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mp(P) c, Tìm điều kiện của M; N để thiết diện là hình thang Bài 6: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành tâm O; M là điểm di động trên SC và (P) là mặt phẳng qua AM và songsong với BD a, Chứng minh (P) luôn chứa một đờng thẳng cố định b, Tìm các giao điểm H và K của (P) với SB và SD. Chứng minh SB SD SC SH SK SM + là một hằng số c, Thiết diện của hình chóp với mp(P) có thể là hình thang đợc hay không Bài 7: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a; M và P là hai điẻm di động trên các cạnh AD và BC sao cho AM=CP=x (0 < x < a). Một mặt phẳng qua MP và songsong với CD cắt tứ diện theo một thiết diện a, Chứng minh thiết diện thông thờng là hình thang cân b, Tính x để diện tích thiết diện nhỏ nhất 4 V. chứng minh hai mặt phẳng songsongBài 1: Cho hình chớp SABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lợt là trung điểm của SA và CD a, Chứng minh: mp(OMN) // mp(SBC) b, I là trung điểm của SC và J là điểm nằm trên mp(ABCD) cách đều AB và CD. Chứng minh IJ // mp(SAB) c, Giả sử các tam giác SAB và ABC cân tại A. Gọi AE và AF là các đờng phân giác trong của các tam giác ACD và SAB. Chứng minh EF // mp(SAD) Bài 2: Cho hai hình vuông ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng. Trên AC và BF lấy M và N sao cho AM = BN. Các đờng thẳng songsong với AB vẽ từ M, N lần lợt cắt AD; AF tại M, N a, Chứng minh: (CBE) // (ADF) b, Chứng minh: mp (DEF) // mp(MNNM) c, Gọi I là trung điểm của MN, tìm tập hợp I khi M, N di động Bài 3: Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD. Chứng minh rằng các đờng phân giác ngoài của các góc ã ã ã BAC, CAD, DAB đồng phẳng Bài 4: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N là trung điểm của SA, SD a, Chứng minh mp(OMN) // mp(SBC) b, Gọi P và Q lần lợt là trung điểm của AB và ON. Chứng minh PQ // mp(SBC) Bài 5: Cho tứ diện ABCD. Gọi I và J là hai điểm di động lần lợt trên AD và BC sao cho = IA JB ID JC . Chứng minh IJ luôn songsong với một mặt phẳng cố định Bài 6: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành với AB = a; AD = 2a, mặt bên SAB là tam giác vuông cân tại A. Trên AD lấy M, đặt AM = x (0 < x < 2a). Mặt phẳng ( ) qua M và songsong với mp(SAB) cắt BC; SC; SD tại N, P, Q a, Chứng minh MNPQ là hình thang vuông b, Gọi I là giao điểm của MQ và NP. Tìm tập hợp I khi M chạy trên AD c, Tính diện tích MNPQ theo a và x Bài 7: Cho 2 đờng thẳng a và b chéo nhau. Tìm tập hợp các điểm I trên đoạn MN và chia MN theo tỉ số k cho trớc trong 2 trờng hợp: a, M, N di động lần lợt trên a, b b, M, N di động trên a, b và MN luôn songsong với 1 mặt phẳng hoặc nằm trên mặt phẳng cho trớc cắt a và b VI. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng Thiết diện cắt bởi mặt phẳng songsong với mặt phẳng cho trớc Bài 1: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành tâm O có AC = a; BD = b; tam giác SBD đều. Mặt phẳng ( ) di động songsong với mp(SBD) qua I trên đoạn AC a, Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mp ( ) b, Tính diện tích của thiết diện theo a, b và x = AI Bài 2: Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) thoả mãn (P) //(Q), ( ) ( ) ABC mp P ; MN Q a, Tìm giao tuyến của mp(MAB) và mp(Q); giao tuyến của mp(NAC) và mp(Q) b, Tìm giao tuyến của mp(MAB) và mp(NAC) Bài 3: Từ 4 đỉnh của hình bình hành ABCD vẽ 4 nửa đờng thẳng songsong cùng chiều Ax; By; Cz; Dt không nằm trong mp(ABCD). Một ( ) mp cắt 4 nửa đờng thẳng tại A; B; C; D a, Chứng minh (Ax; By) // (Cz; Dt) b, Chứng minh ABCD là hình bình hành c, Chứng minh AA + CC = BB + DD Bài 4: Cho tứ diện ABCD, gọi G 1 ; G 2 ; G 3 lần lợt là trọng tâm các tam giác ABC, ACD, ABD a, Chứng minh (G 1 G 2 G 3 ) // mp(BCD) b, Tìm thiết diện của tứ diện cắt bởi mp(G 1 G 2 G 3 ). Tính diện tích thiết diệntheo diện tích của tam giác BCD c, M di động trong tứ diện sao cho G 1 M // (ACD). Tìm tập hợp điểm M Bài 5: Cho hình chóp SABCD đáy là hình thang, đáy lớn AB = 3a; AD = CD = a, tam giác SAB cân tại S và SA = 2a. Mặt phẳng ( ) di động songsong với mp(SAB) cắt AD; BC; SC; SD tại M; N; P; Q a, Chứng minh MNPQ là hình thang cân b, Đặt x = AM (0 < x < a). Tìm x để MNPQ ngoại tiếp một đờng tròn. Tính bán kính đơng tròn đó c, Gọi I là giao điểm của MQ và NP. Tìm tập hợp I khi M đi động trên AD 5 Gọi J là giao điểm của MP và NQ. Chứng minh IJ có phơng không đổi và J di động trên 1 mp cố định Bài 6: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành tâm O, E là trung điểm của SB. Biết tam giác ACE đều và AC = OD = a. ( ) Mp di động songsong với mp(ACE) và qua I trên OD, mp ( ) cát AD, CD, SC, SB, SA lần lợt tại M, N, P, Q, R a, Nhận xét gì về tam giác PQR và tứ giác MNPR b, Tìm tập hợp giao điểm của MP và NR khi I di động trên đoạn OD c, Tính diện tích MNPQR theo a và x = DI. Xác định x để diện tích đó lớn nhất Bài 7: Cho hình chóp SABCD có đay là hình bình hành. Mặt phẳng (P) cắt SA; SB; SC; SD lần lợt tại A; B; C; D. Chứng minh điều kiện cần và đủ để ABCD là hình bình hành là mp(P) // (ABCD) Bài 8: Cho hình chóp SABC, mp(P) di động songsong với mp(ABC) cắt SA; SB; SC lần lợt tại A; B; C. Tìm tập hợp điểm chung của 3 mặt phẳng (ABC), (BAC), CAB) Bài 9: Cho tứ diện ABCD. Gọi E; F; J theo thứ tự là trung điểm của BC; BD; AD. ( ) Mp qua EF và songsong với BJ, mp ( ) qua BJ và songsong với CD a, Thiết diện do mp ( ) cắt tứ diện là hình gì? b, Xác định thiết diện do mp ( ) cắt tứ diện . Chứng minh ( ) ( ) // c, AC và AD cắt ( ) mp lần lợt tại H, K. Gọi I là giao điểm của AC và mp ( ) . Chứng minh HE; KF và AB đồng quy tại M d, Giả sử các tam giác ABC và ABD vuông tại B. Tính chu vi tam giác MHK biết chu vi tam giác ACD bằng a Bài 10: Cho hình chóp SABCD đay là hình thang với các cạnh đáy AB; CD với CD = pAB (0 < p < 1). Gọi S 0 là diện tích tam giác SAB và ( ) là mặt phẳng qua M trên cạnh AD và songsong với mp(SAB). Đặt ( ) = < < DM x 0 x 1 AD . a, Xác định thiết diện của hình chóp SABCD với ( ) mp . Tính diện tích thiết diện theo S 0 , p, x b, Tính x để diện tích thiết diện bằng 0 1 S 2 Bài 11: Cho hình chóp SABC, I là trung điểm của SB và J nằm trên đoạn SC sao cho = 1 JC JS 2 và O là trọng tâm tam giác ABC a, Xác định thiết diện của hình chóp với mp(OIJ), gọi s là diện tích của thiết diện này b, ( ) là mặt phẳng qua M trên nửa đờng thẳng BC và ( ) mp songsong hoặc trùng với mp(OIJ). Đặt ( ) = > BM x x 0 BC . Tìm x để ( ) mp cắt hình chóp c, Biện luận theo x các dạng của thiết diện của hình chóp với mp ( ) d, Gọi H(x) là diện tích của thiết diện nói ở câu c. Tính H(x) theo s và x Bài 12: Cho hình chóp SABCD có E là giao điểm của AD và BC. Mp(P) songsong với SE cắt SA, SB, SC, SD theo thứ tự tại J, K, H, I a, Tứ giác IJKH là hình gì? b, Tìm điều kiện cần và đủ để tứ giác IJKH là hình bình hành Bài 13: Cho tứ diện ABCD có AD = a; BC = b; AB = c. Lấy M trên AB, mặt phẳng qua M songsong với AD và BC cắt các cạnh AC, CD, BD tại N, P, Q a, Tứ giác MNPQ là hình gì? b, Đặt AM = x. Tính các cạnh của tứ giác MNPQ c, Muốn tứ giác MNPQ là hình chữ nhật phải có thêm điều kiện gì? Tìm diện tích tứ giác trong trờng hợp này. Tìm vị trí của M trên AB để tứ giác có diện tích lớn nhất Bài 14: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a, Mp(P) qua A songsong với BC, cắt BD và CD tại M, N, đặt BM = x. Tính + + 2 2 2 AM MN AN VII. Phép chiếu songsong Hình lăng trụ Hình hộp 6 Bài 1: Cho lăng trụ tam giác ABCABC. Mp qua đờng chéo AC và songsong với đờng chéo BC chia AB theo tỉ số nào? Bài 2: Cho lăng trụ ABCABC. Lấy M A' B ', N AB, P CC ' thoả mãn: = = = AM' BN C ' P 1 MB ' NA PC 2 . Mp(MPN) cắt BC tại Q. Tìm C' Q B 'C ' Bài 3: Cho lăng trụ ABCABC. Gọi H là trung điểm của AB a, Chứng minh CB // mp(AHC) b, Tìm giao điểm của AC và mp(BCH) c, Mp(P) qua trung điểm của CC và songsong với AH và CB. Xác định thiết diện và tỉ số mà các đỉnh của thiết diện chia cạnh tơng ứng của lăng trụ Bài 4: Cho lăng trụ ABCABC a, Tìm giao tuyến của (ABC) và (BAC) b, Gọi M và N là 2 điểm bất kì trên AA và BC. Tìm giao điểm của BC với mp(AAN), của MN với (ABC) Bài 5: Cho lăng trụ ABCABC. Gọi G và G lần lợt là trọng tâm các tam giác ABC và ABC. Chứng minh rằng các mặt phẳng (ABC), (BCA) và (CAB) có 1 điểm chung O trên GG. Tính tỉ số OG : OG Bài 6: Cho hình hộp ABCDABCD a, Chứng minh mp(BDA) // mp(BDC) b, Chứng minh đờng chéo AC qua trọng tâm G 1 ; G 2 của các tam giác BDA và BDC. Chứng minh G 1 ; G 2 chia AC làm 3 phần bằng nhau Bài 7: Chứng minh rằng trong hình hộp, tổng các bình phơng của 4 đờng chéo bằng tổng bình phơng tất cả các cạnh Bài 8: Cho lăng trụ tam giác ABCABC a, Gọi I, K, G lần lợt là trọng tâm các tam giác ABC; ABC và ACC. Chứng minh (IGK) // (BBCC) và (AKG) // (AIB) b, Gọi M, N lần lợt là trung điểm của BB và CC. Hãy dựng đờng thẳng qua trọng tâm tam giác ABC cắt AB và MN Bài 9: Cho lăng trụ ABCABC. Gọi M, N là trung điểm của BC và CC, P đối xứng với C qua A a, Xác định thiết diện của lăng trụ với mp(AMN) b, Xác định thiết diện của lăng trụ với mp(MNP) Bài 10: Cho hình lập phơng ABCDABCD cạnh a. Gọi M, N, P lần lợt là trung điểm của AB, BC; DD a, Chứng minh mp(MNP) // mp(ABD) và (BDC) b, Xác định thiết diện của hình lập phơng với mp(MNP)? Thiết diện là hình gì? Tính diện tích thiết diện đó Bài 11: Cho hình lăng trụ ABCABC đáy là tam giác đều cạnh a, ABBA, ACCA là các hình vuông. Gọi I, J là tâm của ABBA, ACCA và O là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC a, Chứng minh IJ // mp(ABC) b, Xác định thiết diện của lăng trụ với mp(IJO). Chứng minh thiết diện là hình thang cân 7 . diện và mặt phẳng qua MP và song song với AC. Tính diện tích thiết diện đó 3 III. Chứng minh đờng thẳng song song với mặt phẳng Bài 1: Cho hình chóp SABCD. diện song song với đ ờng thẳng cho trớc Bài 1: Cho hình chóp SABCD. Gọi M và N là hai điểm bất kì trên SB và CD. ( ) là mặt phẳng qua MN và song song