GTLNGTNN hàm số và ứng dụng

Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt http://www.toanthpt.net GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ TÓM TẮT LÝ THUYẾT ( ) • Hàm số f ( x ) xác ñịnh có liên tục khoảng (a;b ) • ( ) ( ) Hàm số f x xác ñịnh có liên tục ñoạn a;b  f ' x xác ñịnh khoảng a;b ) ( ( ) nửa ñoạn a;b hay a;b  f ' x xác ñịnh • Hàm số không ñạt giá trị lớn nhỏ tập hợp số thực cho trước { ( ) ( ) ( ) ( ) ( )} f ( x ) = {f (a ) , f ( x ) , f ( x ) f ( x ) , f (b )} ( ) • max f x = max f a , f x , f x f x i , f b x ∈a ;b  • x ∈a ;b  x ∈a ;b  x ∈a ;b  i ( ) ( ) ( ) ( ) ∀x ∈ D, f x ≤ M • M = max f x ⇔  x ∈D ∃x ∈ D, f x = M ∀x ∈ D, f x ≥ m • m = f x ⇔  x ∈D ∃x ∈ D, f x = m Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số: a ) f x = sin x + cos x b) f x = x + − x ( ) ( ) ( ) ( ) Giải : ( ) a ) f x = sin x + cos x Hàm số ñã cho xác ñịnh ℝ Ta có ( ) ( f x = sin x + cos x = sin x + cos x 4 2 ) 2   − sin x cos x = −  sin x cos x  = − sin2 2x   2 Với x ∈ ℝ , ta có 1 ≤ sin2 2x ≤ ⇒ ≥ − sin2 2x ≥ − ⇒ ≥ − sin2 2x ≥ 2   f x = min f x = s in2x =  hay  ⇒ max f x = s in2x = max f x =   ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b) f x = x + − x 1 hay ≤ f x ≤1 2 ( ) x = π x =k +k π π 2 Hàm số ñã cho xác ñịnh ñoạn  −2;2  ( ) x Ta có f ' x = − − x2 − x ( , x ∈ −2;2 ) 4−x  − x − x =  − x = x 0 < x < 0 < x < f' x =0⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔x =  2 4 − x = x x = x ∈ −2;2 x ∈ −2;2 ( ) 4−x = ( ) ( ) Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt http://www.toanthpt.net ( ) Bảng biến thiên f x ñoạn  −2;2  −2 x ( ) f (x ) − f' x + −2 2 ( ) Từ bảng biến thiên , ta ñược max f x = 2 x = x ∈ −2;2  ( ) f x = −2 x = −2 x ∈ −2;2 Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số:  π  a ) f x = sin x + cos2 x + b ) f x = x − sin 2x ñoạn  − ; π    Giải : a ) f x = sin x + cos2 x + = sin x − sin2 x + ( ) ( ) ( ) Hàm số ñã cho xác ñịnh ℝ ðặt t = sin2 x , ≤ t ≤ () () Xét hàm số f t = t − t + 3, t ∈ 0;1   11 f =f =3 , f = 2 11 f x = f t = =2 t ∈0;1 4 () ( ) f ' t = 2t − 1, t ∈ 0;1 () f' t =0⇔t = () ( ) ( ) () () m ax f x = max f t = t ∈0;1  π  b ) f x = x − sin 2x ñoạn  − ; π     π  Hàm số ñã cho xác ñịnh ñoạn  − ; π    ( ) ( ) Ta có : f ' x = − cos 2x , −  π π f −  = − + ;f  6 ( ) Vậy max f x =  π  x ∈ − ;π    π ( ) x2 Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt http://www.toanthpt.net ( ) Diện tích mảnh cáctông dùng làm hình hộp : S x = x + 4xh = x + ( ) 2000 ,x > x Bài toán trở thành tìm x > cho ñó S x ñạt giá trị nhỏ ( ) 2000 x − 1000 ,x > Ta có S ' x = 2x − = x x2 Bảng biến thiên S x khoảng 0; +∞ ( ) ( ) x S' x ( ) S (x ) − 10 ( ( ) S ' x = ⇔ x = 10 ) +∞ + 300 Vậy x = 10 cm S x = 300 ( ) ( ) Ví dụ 7: Cho tam giác ñều ABC cạnh a Người ta dựng hình chữ nhật MNPQ có cạnh MN nằm cạnh BC , hai ñỉnh P Q theo thứ tự nằm hai cạnh AC AB tam giác Xác ñịnh vị trí ñiểm M cho hình chữ nhật có diện tích lớn tìm giá trị lớn ñó Giải : a ðặt BM = x , < x < ⇒ NM = BC − 2BM = a − 2x QM ⇒ QM = BM tan QBM = x Trong tam giác vuông BMQ có tan QBM = BM ( ) ( ) Diện tích hình chữ nhật MNPQ S x = MN QM = a − 2x x  a Bài toán quy : Tìm giá trị lớn S x = a − 2x x 3, x ∈  0;   2  a a S ' x = −4 3x + a 3, x ∈  0;  S' x =0⇔x =  2 ( ) ( ( ) ) ( )  a Bảng biến thiên S x khoảng  0;   2 a a x S' x + − ( ) ( ) a2 ( ) S x 0 a2 a x = Ví dụ 8: Khi nuôi cá thí nghiệm hồ ,một nhà sinh học thấy : Nếu ñơn vị diện tích Vậy diện tích hình chữ nhật lớn ( ) ( ) mặt hồ có n cá trung bình cá sau vụ cân nặng P n = 480 − 20n gam Hỏi phải thả cá ñơn vị diện tích mặt hồ ñể sau vụ thu hoạch ñược nhiều ? Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt http://www.toanthpt.net Giải : Nếu ñơn vị diện tích mặt hồ có n cá sau vụ , số cá ñơn vị diện tích mặt hồ trung bình cân nặng : f n = n.P n = n 480 − 20n , n ∈ N * ( ) ( ) ( f ' (n ) = ⇔ n = 12 ( ) f ' n = 480 − 40n ) Vậy ñể thu ñược nhiều sau vụ thu hoạch cần thả ñơn vị diện tích mặt hồ n = 12 cá Ví dụ 8: Trong hình chữ nhật có chu vi 40 cm , ñịnh hình chữ nhật có diện tích lớn ( ) Giải : ( ) ( ) Gọi cạnh hình chữ nhật có chiều dài x cm Tổng chiều dài hai cạnh 20 cm Chiều ( ) ( ) ( ) dài cạnh 20 − x cm Diện tích hình chữ nhật : S x = x 20 − x , ≤ x ≤ 20 ( ) ( ) S ' x = 20 − 2x , < x < 20 S ' x = ⇔ x = 10 ( ) Diện tích hình chữ nhật lớn x = 10 Trong hình chữ nhật chu vi 40 cm , hình vuông cạnh ( ( ) 10 cm có diện tích lớn 100 cm ) Ví dụ 9: Cho nhôm hình vuông cạnh a Người ta cắt bốn góc bốn hình vuông , gập nhôm lại ñể ñược hộp không nắp Tính cạnh hình vuông bị cắt cho thể tích khối hộp lớn Giải :  a Gọi x  < x <  ñộ dài cạnh hình vuông bị cắt 2  ( )  a − 2x )(a − 6x ) = ( Thể tích khối hộp V = x a − 2x , < x < ( )( ) a a ⇒ V ' = a − 2x a − 6x , < x < 2  a x = ⇔ a − 2x >   a  2a ⇒V ' = ⇔  ⇒ = max V V  = a a < < x < < x   27   Ví dụ 10: 1) Trong số hình chữ nhật có chu vi 16cm , tìm hình chữ nhật có diện tích lớn 2) Trong số hình chữ nhật có diện tích 48m , tìm hình chữ nhật có chu vi nhỏ Giải : x , y > 0 < x , y < ⇔ 1) Gọi x , y ñộ dài hai kích thước hình chữ nhật , ta có :  x + y = 16 y = − x  ( ( ) ) Diện tích hình chữ nhật S = xy = x − x = 8x − x , < x < ⇒ max S = 16 x = y = 0 x , y >  2) Gọi x , y ñộ dài hai kích thước hình chữ nhật, ta có :  ⇔ 48 48 xy = y =  x   48  p = p = 16 Chu vi hình chữ nhật p = x + y =  x +  , x > ⇒ x >0 x   ( ) Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số sau ñây : ( ) Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt http://www.toanthpt.net ( ) ( ) a ) f x = x + 2x − ñoạn  −2;  d ) f x = −x + 2x + ñoạn 2;  x3 + 2x + 3x − ñoạn  −4;  e) f x c) f x = x + khoảng 0; +∞ f) f x x Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số sau ñây : a ) f x = x + 3x − 9x + ñoạn  −4;  e) f x b ) f x = x + 5x − ñoạn  −3;1 f) f x c) f x = x − 8x + 16 ñoạn  −1;  g) f x  3 d ) f x = x − 3x + ñoạn  −3;   2 h) f x + 5x + ñoạn 0 : 1 x +1 = x − nửa khoảng :  x ( ) = 2x ( ) b) f x = ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) = x x+ nửa khoảng ( −2;  ( ) = x + + x 1− khoảng (1; +∞ ) ( ) = x − x ñoạn −1;1 ( ) ( ) = x − sin 2x  π  ñoạn  − ; π    Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số sau ñây : ( ) f ( x ) = cos a ) f x = sin2 x + sin x − b) ( ) f ( x ) = sin c) f x = cos x − cos2 x + cos x + 2x − sin x cos x + d) x − cos 2x + sin x + ( ) ( ) ðộ giảm huyết áp bệnh nhân ñược cho công thức G x = 0, 025x 30 − x ñó ( ) x mg liều lượng thuốc ñược tiêm cho bệnh nhân Tính liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân ñể huyết áp giảm nhiều tính ñộ giảm ñó Hướng dẫn ( ) ( ) 20 (mg ) ðộ giảm huyết áp G ( 20 ) = 100 G ' x = ⇔ x = 0, x = 20 , G '' 20 < Lượng thuốc cần tiêm ñể giảm huyết áp nhiều Một cá hồi bơi ngược dòng ñể vượt khoảng cách 300km Vận tốc nước 6km / h Nếu ( ) vận tốc bơi cá nước ñứng yên v km / h lượng tiêu hao cá t ñược cho () ( ) công thức E v = cv 3t, ñó c số , E J Tìm vận tốc bơi cá nước ñứng yên ñể lượng tiêu hao Hướng dẫn : ( ) Vận tốc cá dòng nước ñứng yên v km / h , vận tốc cá ngược dòng nước ( v − km / h ) Thời gian cá bơi ngược dòng với khoảng cách s = 300km t = 300 v −6 Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt http://www.toanthpt.net Năng lượng tiêu hao cá 300 2v − 18v E v = cv 3t = cv J , v > ⇒ E ' v = 300c ⇒ E v v = v −6 v −6 () ( ) () ( () ) Sau phát bệnh dịch, chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày phát bệnh nhân ñầu tiên ñến ngày thứ t f t = 45t − t , t ∈ 0;25  Nếu coi f t hàm số xác () () () ñịnh ñoạn 0;25  ñạo hàm f ' t ñược xem tốc ñộ truyền bệnh (người/ngày) thời ñiểm t a ) Tính tốc ñộ truyền bệnh vào ngày thứ năm b ) Xác ñịnh ngày mà tốc ñộ truyền bệnh lớn tính tốc ñộ ñó c) Xác ñịnh ngày mà tốc ñộ truyền bệnh lớn 600 () d ) Xét chiều biến thiên hàm số f t ñoạn 0;25  Hướng dẫn : f t = 45t − t , t ∈ 0;25  () () ( ) () f '' (t ) = 90 − 6t ⇒ max f ' (t ) = f ' (15 ) = 675 f ' (t ) = 3t ( 30 − t ) > 600 ⇔ 10 < t < 20 f ' (t ) = 3t ( 30 − t ) > 0, < t < 25 ⇒ Hàm số f (t ) ñồng biến ñoạn 0;25  a ) f ' t = 3t 30 − t ⇒ f ' = 375 b) c) d) Hình thang cân ABCD có ñáy nhỏ AB hai cạnh bên ñều dài 1m Tính góc α = DAB = CBA cho hình thang có diện tích lớn Tính diện tích lớn ñó.Giả sử ADC = x , < x < π Hướng dẫn : AB + CD π AH = + cos x sin x , < x < 2 Trong tam giác vuông mà cạnh huyền có ñộ dài cạnh 10cm , xác ñịnh tam giác có diện tích lớn Hướng dẫn : Gọi x , y ñộ dài hai cạnh góc vuông tam giác vuông có cạnh huyền 10cm , < x < 10, ( AH ⊥ CD, AH = sin x ; DH = cos x ; DC = + cos x ⇒ S = ( ) ( ) ) 1 xy cm ⇒ S = xy = x 100 − x , < x < 100 với x + y = 100 4 10 Một hành lang hai nhà có hình dạng lăng trụ ñứng Hai mặt bên ABB ' A ', ACC ' A ' < y < 10 S = ( ) ( ) ( ) ( ) hai kính hình chữ nhật AA ' = 20 m , A ' B ' = m , BC = x m a ) Tính thể tích V hình lăng trụ theo x b ) Tìm x cho hình lăng trụ tích lớn tính thể tích lớn ñó Hướng dẫn : ( ) V = 5x 100 − x , < x < 10 ⇒ max V = V = 250 x ∈( 0;10 ) ... Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số:  π  a ) f x = sin x + cos2 x + b ) f x = x − sin 2x ñoạn  − ; π    Giải : a ) f x = sin x + cos2 x + = sin x − sin2 x + ( ) ( ) ( ) Hàm số ñã cho xác ñịnh ℝ... nước ứng yên v km / h lượng tiêu hao cá t ñược cho () ( ) công thức E v = cv 3t, ñó c số , E J Tìm vận tốc bơi cá nước ứng yên ñể lượng tiêu hao Hướng dẫn : ( ) Vận tốc cá dòng nước ứng yên... gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày phát bệnh nhân ñầu tiên ñến ngày thứ t f t = 45t − t , t ∈ 0;25  Nếu coi f t hàm số xác () () () ñịnh ñoạn 0;25  ñạo hàm f ' t ñược xem