Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 29 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Nội dung
Gia sƣ Thành Đƣợc www.daythem.edu.vn Chun đề 1: KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ A – LÝ THUYẾT I) Các bước khảo sát hàm số tổng qt: + B1: Tìm tập xác định + B2: Sự biến thiên Tính y’ Giải phƣơng trình y’=0 Tính giới hạn, tiệm cận (nếu có) Lập bảng biến thiên Kết luận đồng biến, nghịch biến,cực trị (nếu có) +B3: Vẽ đồ thị: Xác định số điểm đặc biệt (giao với Ox, Oy, …) II) Các tốn liên quan đến khảo sát hàm số 1) VIẾT PHƢƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐƢỜNG CONG (C): y = f(x) Phƣơng trình tiếp tuyến ( C ) M(x0 ; y0) : y – y0 = f’(x0)(x – x0) a/ Dạng 1: Lập phƣơng trình tiếp tuyến ( C ) M( x0 ; y0 ) Phƣơng pháp : Áp dụng cơng thức y – y0 = f’(x0)( x – x0 ) Nếu chƣa cho y0 tính y0 = f(x0) Nếu chƣa cho x0 x0 nghiệm phƣơng trình f(x) = y0 b/ Dạng 2: Lập phƣơng trình tiếp tuyến có hệ số góc k cho trƣớc Phƣơng pháp : Gọi M(x0 ; y0) tiếp điểm Tiếp tuyến có hệ số góc k f x0 k Giải phƣơng trình tìm x0 D y f x0 Phƣơng trình tiếp tuyến y – y0 = k( x – x0 ) Lƣu ý : Cho (d) : y = a.x + b : (d1) song song với (d) (d1) có hệ số góc k = a (d2) vng góc với (d) (d1) có hệ số góc k = hay a.k = – a c/ Dạng : Lập phƣơng trình tiếp tuyến qua điểm A( x1 ; y1 ) Phƣơng pháp Cách : Gọi M(x0 ; y0) tiếp điểm.Tính y0 = f(x0) f’(x0) theo x0 Phƣơng trình tiếp tuyến (C) M là: y – y0 = f’(x0)( x – x0 ) (1) Vì tiếp tuyến qua A nên y1 – y0 = f’(x0)( x – x0) giải phƣơng trình tìm x0 thay vào (1) Cách : Gọi (d) đƣờng thẳng qua A có hệ số góc k Ta có f x k 1 (d) : y – y1 = k( x – x1 ) (1) tiếp tuyến (C) có nghiệm f x k x x1 y1 2 Thế k từ (1) vào (2) giải tìm x vào (1) tìm k thay vào phƣơng trình (1) Ví dụ Lập phƣơng trình tiếp tuyến (C) : y = f(x) = x3 – 3x + biết tiếp tuyến qua A(2 ; –4 ) Cách : Gọi M(x0 ; y0) tiếp điểm Ta có y0 = x03 – 3x0 +2 f’(x0) = 3x02 – Phƣơng trình tiếp tuyến (C) M y – (x03 – 3x0 + 2) = (3x02 – 3)( x – x0) y 3x0 x x0 (1) Vì tiếp tuyến qua A(2)– 4) nên – = (3x02 – 3).2 – 2x03 + x0 3x0 x0 x0 x0 = phƣơng trình tiếp tuyến y = – 3x + x0 = phƣơng trình tiếp tuyến y = 24x – 52 Cách : Gọi (d) đƣờng thẳng qua A có hệ số góc k Phƣơng trình (d) : y = k(x – 2) – (d) tiếp tuyến (C) Gia sƣ Thành Đƣợc www.daythem.edu.vn 3 x k 1 có nghiệm x x k x 2 Từ (1) (2) ta có x3 – 3x + = (3x2 – 3) (x – 2) – x 3x x x x = k Phƣơng trình tiếp tuyến y = – 3x + x = k 24 phƣơng trình tiếp tuyến y = 24x – 52 2) SỰ TƢƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ Bài toán tổng quát: Hãy xét tương giao đồ thò hai hàm số (C1) : y f (x) : (một hai đồ thị đƣờng thẳng) (C2 ) : y g(x) Phương pháp: + Thiết lập phương trình hoành độ giao điểm đồ thò hai hàm số cho: f(x) = g(x) (1) + Khảo sát nghiệm số phương trình (1) Số nghiệm phương trình (1) số giao điểm hai đồ thò (C1) (C2) 3) BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƢƠNG TRÌNH DỰA VÀO ĐỒ THỊ a/ Dạng : Bằng đồ thò biện luận theo m số nghiệm phương trình :f(x) = m (*) Phương pháp: Bước 1: Xem (*) phương trình hoành độ giao điểm hai đồ thò: (C) : y f ( x) : (C) làđồthòcốđònh ( ) : y m : ( ) làđườ ng thẳ ng di độ ng cù ng phương Ox vàcắ t Oy M(0;m) Bước 2: Vẽ (C) ( ) lên hệ trục tọa độ Bước 3: Biện luận theo m số giao điểm ( ) (C) Từ suy số nghiệm phương trình (*) (C ) : y f ( x) Minh họa: y m2 x O m1 ym biện luận theo m số nghiệm b/ Dạng 2: Bằng đồ thò phương trình: f(x) = g(m) (* (0; m) *) (tt dạng 1) III) Một số tốn ứng dụng đạo hàm 1.TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Cho hàm số f có đạo hàm khoảng (a,b) 1)Nếu f’(x)>0 ;x(a,b) y=f(x) đồng biến (a,b) 2) Nếu f’(x) 9) log x 3x 0 x Trích số đề thi tốt nghiệp: TN – 2006 (PB) Giải PT: 22 x2 9.2x TN – 2007 (PB) Giải PT: log x log x TN – 2008 (PB) Giải PT: 32 x 1 9.3x TN THPT – 2009 Giải PT: 25x 6.5x GDTX – 2009 Giải PT: log ( x 1) log x TN_2010 Giải phƣơng trình: 2log22 x 14log4 x GDTX_2010 Giải phƣơng trình: 9x 3x Sƣu tầm biên soạn: Nguyễn Hồ Tú -9- TÀI LIỆU TỐN 12 Chun đề 3: NGUN HÀM & TÍCH PHÂN A NGUN HÀM: 1) Ngun hàm hàm số cần nhớ : p, q ; p 0 dx x C px q 1 px q dx p 1 x 1 x dx C, 1 dx dx ln x C, x x e dx e x x ax a dx ln a C px q p ln px q C C x 1 e px q a 1 a dx px q pxq e C p a px q dx C p.ln a a 1 sin xdx cosx C sin px q dx cos px q C p cosxdx sin x C cos px q dx dx cos2 x tan x C dx cos2 px q p tan px q C dx sin x dx sin px q C p sin px q p cot px q C cot x C B TÍCH PHÂN : b 1) Định nghĩa: f x dx F x a F b F a b a 2) Tính chất: a TC1: b TC2: b a a b f x dx f x dx b b a a kf x dx k f x dx (k 0) Sƣu tầm biên soạn: Nguyễn Hồ Tú -10- TÀI LIỆU TỐN 12 x 1 dx a) x x x dx b) x x 1 c) 3 x2 dx 2x 0 x2 3x 2dx d) Bài 4: Tích phân hàm lượng giác 2 a) sin x.cos3xdx b) sin x.sin3xdx 0 c) cos5x.cos3xdx Trích tích phân đề thi tốt nghiệp Bài 1: TN_09: x(1 cos x)dx Bài 2: BT_09: (2 x x.e x )dx Bài 10: TNKPB_06: Bài 3: TNPB_08: Bài 11: TNPB_06: (2 x 1)e x dx x (1 x ) dx 1 Bài 4: TNKPB_08: (1 e x ) xdx Bài 12: TN_05: ( x sin x) cos xdx Bài 13: BT_05: (e x 2)dx Bài 5: BT_08: cos x.sin xdx Bài 6: TNPB_07: xdx x 1 e ln x dx Bài 7: TNKPB_07: x Bài 14: BT_05: x cos xdx Bài 8: BT_07: cos x.sin xdx 2 sin x cos xdx Bài 15: TN_2010: x ( x 1) dx 2 Bài 16: BT_2010: (5 x 2)3dx 0 Bài 9: BT_06: (2sin x 3) cos xdx Sƣu tầm biên soạn: Nguyễn Hồ Tú -15- TÀI LIỆU TỐN 12 Chun đề 4: SỐ PHỨC Số phức biểu diễn số phức: Số phức biểu thức có dạng a bi , a, b ; i 1 Số phức z a bi có a phần thực, b phần ảo Số phức z a bi đƣợc biểu diễn điểm M a; b hay u a; b mặt phẳng tọa độ Oxy a c b d Hai số phức : a bi c di Modun số phức z a bi độ dài OM Vậy : z OM a b2 Số phức liên hợp số phức z a bi số phức z a bi Chú ý : điểm biểu diễn z z đối xứng qua trục hồnh Do z số thực z z , z số ảo z z Các phếp tốn tập số phức: a Phép cộng, trừ, nhân hai số phức : a bi c di a c b d i a bi c di a c b d i a bi c di ac bd ad bc i Chú ý : i i, i 1, i i, i Tổng qt : i 1 i 4n 1, i 4n1 i, i 4n2 1, i 4n3 i ; 2i ; 1 i 2i b Phép chia hai số phức : a bi a bi c di a bi c di c di c di c di c2 d z z z z c Các tính chất số phức liên hợp modun : z z ; z z z z ; zz z.z ; Phƣơng trình bậc hai: a Căn bậc hai số phức: Số phức z bậc hai số phức : z w Nhƣ để tìm Số phức z x yi x, y bậc hai số phức w a bi ta giải hệ phƣơng x2 y a trình hai ẩn x, y thực sau : xy b Chú ý : Số có bậc hai Số thực a có hai bậc hai : a Số thực a có hai bậc hai i Sƣu tầm biên soạn: Nguyễn Hồ Tú a i a Đặc biệt , số 1 có hai bậc hai i -16- TÀI LIỆU TỐN 12 b Phƣơng trình bậc hai : Cho phƣơng trình bậc hai az bz c ( a, b, c , a ) b 2a Nếu , phƣơng trình có nghiệm kép z Nếu , phƣơng trình có hai nghiệm phân biệt : z1,2 Nếu , phƣơng trình có hai nghiệm : z1,2 b 2a b i 2a c Định lý Viet : Nếu phƣơng trình bậc hai az bz c ( a, b, c , a ) có hai nghiệm z1 , z2 thì: z1 z2 b c z1 z2 a a d Định lý đảo định lý Viet :Nếu hai số z1 , z2 có tổng z1 z2 S z1 z2 P z1 , z2 nghiệm phƣơng trình : z Sz P BÀI TẬP Bài 1: Tìm phần thực, phần ảo mơdum số phức z : a) z i 1 i b) z = (2+i)3 - (3-i)3 c) z 1 i 1 i d) z 3i (1 3i) i (1 i )(4 3i ) 3i i 3i b) + – 3i c) + 2i 2i i 2i 3 2 a) (1 i 2) (1 i 2) b) (2 i) (2 i) c) (2 3i) (2 3i) Bài Giải phƣơng trình tập số phức: a) 3x x b) z 27 z c) 25 z d) x x a) x x b) z c) x3 d ) z z 15 Bài Giải phƣơng trình tập số phức: a) (1+i)z +(2+i)(1-3i) = 2-3i b) (2 7i) z (14 i) (1 2i) z c) 3z (2 i) 2iz (1 i) 3i Bài 5: Tìm hai số phức biết tổng tích chúng : a) Tổng tích 7; b) Tổng -2 tích ; c) Tổng tích 3; Bài 6: Tìm số thực x, y thoả : a) x (1 y)i x (3 y 1)i b) x y ( x y)i Bài Thực phép tính: a) c) x ( y 2)i y (2 x 3)i d) x(1 3i)2 ( x y)(1 2i)3 16 12i Bài 7: Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn điều kiện sau: a) z 2i b) 2i z z c) z 2i z d) z i h) z (1 3i ) z 2i Bài 8: Tìm số phức z, biết: a) z z 4i b) z 3z 12i c) z z 3i f) z z 4i Bài 9: Tìm bậc hai của: 27 ; 45 ; - 15; ; Trích số phức đề thi tốt nghiệp Giải phƣơng trình 2x 5x tập số phức TN THPT – 2006 Giải phƣơng trình x 4x tập số phức TN THPT – 2007 (lần 1) Giải phƣơng trình x 6x 25 tập số phức TN THPT – 2007 (lần 2) Tìm giá trị biểu thức: P (1 3i )2 (1 3i )2 TN THPT – 2008 (lần 1) Giải phƣơng trình x 2x tập số phức TN THPT – 2008 (lần 2) Sƣu tầm biên soạn: Nguyễn Hồ Tú -17- TÀI LIỆU TỐN 12 Giải phƣơng trình 8z2 4z tập số phức TN THPT – 2009 (CB) Giải phƣơng trình 2z2 iz tập số phức TN THPT – 2009 (NC) Giải phƣơng trình 2z2 6z tập số phức TN THPT – 2010 (GDTX) Cho hai số phức: z1 2i , z2 3i Xác định phần thực phần ảo số phức z1 2z2 TN – 2010 (CB) 10 Cho hai số phức: z1 5i , z2 4i Xác định phần thực phần ảo số phức z1.z2 TN – 2010 (NC) Chun đề 5: KHỐI ĐA DIỆN – MẶT CẦU – MẶT TRỤ - MẶT NĨN I) Cơng thức tính thể tích b) Lăng trụ: V =Bh 1 c) Khối nón: V = Bh= r2h 3 Sxq = rl a) Khối chóp: V = Bh d) Khối trụ: V =Bh= r2h Sxq =2 rl e) Khối cầu: V = r3 , S= 4 r e) Khối lập phƣơng: V = a3 f) Khối hộp chữ nhật: V = abc II) Một số kiến thức cân nhớ Các hệ thức lượng tam giác: Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c a) Định lý cosin: a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA; b2 = a2 + c2 – 2ac.cosB; Hệ quả: + cosA = + ma2 b2 c2 a2 2bc 2(b c ) a cosB = mb2 c2 = a2 + b2 – 2ab.cosC a2 c2 b2 2ac cosC = 2( a c ) b mc2 a2 b2 c2 2ab 2( a b ) c b) Định lý sin: a b c = 2R (với R bán kính đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC ) sin A sin B sin C Các cơng thức tính diện tích tam giác: 1 aha = bhb = chc 2 1 S = ab.sinC = bc.sinA = ac.sinB 2 abc S= ; S = pr; S = p( p a)( p b)( p c) với p = (a + b + c) 4R S= Hệ thức lượng tam giác vng: Cho ABC vng A ta có : 2 a) Định lý Pitago : a b c 2 b) b ab '; c ac ' c) ah = bc Sƣu tầm biên soạn: Nguyễn Hồ Tú A b c B M -18- H a C TÀI LIỆU TỐN 12 d) 1 2 2 h b c e) h2 b '.c ' Diện tích số hình khác a) Diện tích hình vng : S = cạnh x cạnh b) Diện tích hình chữ nhật : S = dài x rộng (chéo dài x chéo ngắn) d) Diện tích hình thang : S (đáy lớn + đáy nhỏ) x chiều cao c) Diên tích hình thoi : S = e) Diện tích hình bình hành : S = đáy x chiều cao f) Diện tích hình tròn : S R Một số hình khơng gian thƣờng gặp: a) Hình chóp: Hình 1: Dùng cho loại hình chóp tam giác (tứ diện): Có cạnh bên vng góc với đáy có ba cạnh vng góc với qua đỉnh Hình 2: Dùng cho loại hình chóp tam giác tứ diện Hình 3: Dùng cho hình chóp S ABCD có SA ABCD có đáy ABCD hình bình hành, hình thoi, hình vng, hình chữ nhật (Tâm mặt cầu ngoại tiếp trung điểm SC) Hình 4: : Dùng cho hình chóp S ABCD có SO ABCD có đáy ABCD hình bình hành, hình thoi, hình vng, hình chữ nhật (Tâm mặt cầu ngoại tiếp nằm đường thẳng SO) b) Hình lăng trụ – Hình hộp : Lăng trụ Tam giác Lăng trụ đứng tam giác Hình hộp chữ nhật Hình lập phƣơng c) Hình cầu – Hình trụ – Hình nón: Sƣu tầm biên soạn: Nguyễn Hồ Tú -19- TÀI LIỆU TỐN 12 Cơng thức tính diện tích – thể tích: Khối lăng trụ: V B.h Khối lập phƣơng: V a3 Khối chóp: V B.h Khối hộp chữ nhật: V a.b.c Khối trụ: V r h , S xq 2 rl Khối nón: V r h , Sxq rl Khối cầu: V r , S 4 r 3 VÍ DỤ MINH HỌA: Ví dụ 1: Tính thể tích khối chóp S.ABC có cạnh bên SA vng góc với đáy (ABC), SA a ; tam giác ABC vng B, BC a, AC 2a Giải: 1 vng Ta tích V B.h S ABC SA , mà SA a Trong tam giác ABC 3 B, ta có: AB AC BC 4a a a 1 Nên SABC AB.BC a 3.a a (đvdt) 2 1 a Vậy: V a 3.a (đvtt) Ví dụ 2: Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a , cạnh bên 2a Gọi I trung điểm cạnh BC Tính thể tích khối chóp S.ABI theo a Giải: 1 Gọi H trọng tâm tam giác ABC Khi đó: SH ABC nên V B.h S ABC SH 3 1 a Mà SABC AB.BC sin B a.a.sin 600 (đvdt) 2 2 2 a2 a AI AB BI a 3 Trong tam giác SAH vng H có Lại có: AH SH SA2 AH 4a a a 33 3 1 a a 33 a 11 Vậy V SABC SH (đvtt) 4 Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a , mặt bên (SAB) vng góc với mặt đáy (ABC) mặt SAB tam giác vng cân S Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a Giải: Ta có: SAB ABC AB Từ S dựng đƣờng thẳng vng góc với AB AB I, nên SI ABC mà SAB vng cân S nên I trung điểm AB SI a 1 AB Khi thể tích V B.h SABC SI 2 3 Sƣu tầm biên soạn: Nguyễn Hồ Tú cắt -20- TÀI LIỆU TỐN 12 a2 a a a3 (đvdt) Vậy V (đvtt) AB AC.sin A 4 24 BÀI TẬP THỂ TÍCH KHỐI CHĨP Bài 1: a) (TN THPT 09) Cho hình chóp S ABC có SA vng góc với mặt phẳng đáy, mặt bên SBC tam giác Mà SABC cạnh a , biết ASB 1200 Tính thể tích khối chóp S ABC theo a b) (TN THPT 08L2) Cho hình chóp S ABC có SA vng góc với mặt phẳng đáy, đáy ABC tam giác vng B, biết AB a, BC a SA 3a Tính thể tích khối chóp S ABC theo a c) (TN THPT 07L1) Cho hình chóp S ABC có SA vng góc với mặt phẳng đáy, đáy ABC tam vng B, biết SA AB BC a Tính thể tích khối chóp S ABC theo a d) (TN THPT 07L2) Cho hình chóp S ABCD có SA vng góc với mặt phẳng đáy, đáy ABCD hình vng cạnh a SA AC Tính thể tích khối chóp S ABCD theo a Bài 2: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng B, cạnh bên SA vng góc với mặt đáy Biết SA AB BC a Tính thể tích khối chop S ABC theo a Bài 3: Cho hình chop S ABCD có mặt bên SBC tam giác cạnh a Cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy Biết góc BAC = 1200 Hãy tính thể tích khối chop S ABC theo a Bài 4: Cho hình chop S ABCD có đáy hình vng cạnh a , SA vng góc với mặt đáy, góc mặt phẳng SBD mặt phẳng đáy 600 Tính thể tích khối chóp S ABCD theo a Bài 5: Cho hình chop S ABCD có đáy ABCD hình vng, cạnh bên SA= a vng góc với mặt đáy, góc SB mặt đáy 450 tính thể tích khối chóp S ABCD theo a Bài 6: Cho hình chop tứ giác có tất có tất cạnh a tính thể tích khối chop S ABCD theo a Bài 7: Cho hình chop S ABCD có đáy hình thoi tâm 0, SAC Là tam giác cạnh a SB SD a Tính thể tích khối chop S ABC Bài 8: Cho hình chóp S ABC có cạnh đáy tam giác cân A Hai mặt bên SAB SAC vng góc với mặt đáy Gọi I trung điểm canh BC Biết BC a , SA a góc hai mặt phẳng SBC ABC 300 Tính thể tích khối chop S ABC theo a Bài 9: Cho khối chop S ABC có đáy tam giác cạnh a , tam giác SAC cân S có SAC 600 , SAC ABC Tính thể tích khối chop S.ABC theo a Bài 10: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a, cạnh bên hợp với đáy góc 600 Gọi (C) đƣờng tròn ngoại tiếp đáy ABCD Tính thể tích khối nón có đỉnh S đáy (C) Ví dụ 4: Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC A ' B ' C ' có AC a, BC 2a, ACB 600 tam giác ABB ' cân B Tính thể tích khối lăng trụ cho theo a Giải: Ta tích V B.h SABC BB ' a2 (đvdt) AC.BC sin C 2 Vì ABB ' vng cân B nên AB BB ' Trong ABC có AB AC BC AC.BC.cos C 3a AB a Mà SABC a2 3a Vậy V SABC BB ' (đvtt) a 2 Ví dụ 5: Cho hình lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' có hình chiếu vng góc đỉnh A ' lên đáy (ABC) trùng với trung điểm i AB, đáy ABC tam giác cạnh a , góc cạnh bên AA ' với đáy 300 Tính thể tích khối lăng trụ đa cho theo a Sƣu tầm biên soạn: Nguyễn Hồ Tú -21- TÀI LIỆU TỐN 12 Giải: Ta tích V B.h SABC A ' I Mà SABC a2 AC.BC.sin C (đvdt) Góc AA ' với đáy góc AA ' với AI (Vì AH hình chiếu AA ' lên đáy (ABC)) Nên A ' AI 300 Trong tam giác AA ' I vng tại, ta có: a3 A' I a V S A ' I Vậy (đvtt) tan A A ' I tan 30 AB ABC AI BÀI TẬP THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ Bài 1: Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD.ABCD có cạnh đáy a, chiều cao 2a Biết O tâm ABCD (C) đƣờng tròn nội tiếp đáy ABCD Tính thể tích khối nón có đỉnh O đáy (C) Bài 2: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.ABC có cạnh đáy a chiều cao 2a Biết O tâm ABC (C) đƣờng tròn nội tiếp đáy ABC Tính thể tích khối nón có đỉnh O đáy (C) Bài 3: Cho lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' có cạnh đáy a , A ' B tạo với đáy góc 600 Tính thể tích lăng trụ theo a Bài 4: Cho lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' Biết mặt phẳng A ' BC tạo với đáy góc 300 tam giác A ' BC có diện tích Tính thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' Bài 5: Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' có đáy tam giác cạnh a , hình chiếu vng góc A ' lên mặt phẳng ABC trung với trung điểm M BC Góc hợp AA ' mặt đáy 300 Tính thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' theo a Bài 6: Cho lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác vng cân C, cho A ' C a , góc hợp A ' BC mặt phẳng đáy Tìm để lăng trụ ABC.A ' B ' C ' tích lớn Ví dụ 6: Cho hình nón đỉnh S, đƣờng tròn đáy tâm O, bán kính r a góc đỉnh hình nón 600 Tính diện tích xung quanh thể tích hình nón Giải: Ta có S xq rl a.SA Trong tam giác ASO vng O ta có: AO SA 2a Nên S xq r.l 2 a Mà SO SA2 AO 4a a a SA 1 a3 Vậy thể tích V r h r SO (đvtt) 3 BÀI TẬP THỂ TÍCH – DIỆN TÍCH CỦA KHỐI NĨN Bài 1: Trong khơng gian cho tam giác OIM vng I, góc IOM 300 = a Khi quay tam giác OIM quanh cạnh góc vng OI đƣờng gấp khúc thành hình nón tròn xoay a) Tính diện tích xung quanh hình nón tròn xoay tạo thành b) Tính thể tích khối nón tròn xoay tạo thành Bài 2: Thiết diện qua trục hình nón tam giác vng cân có cạnh góc vng a a) Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình nón b) Tính thể tích khối nón tƣơng ứng sin S Sƣu tầm biên soạn: Nguyễn Hồ Tú -22- cạnh IM OMI tạo TÀI LIỆU TỐN 12 c) Một thiết diện qua đỉnh tạo với đáy góc 600 Tính diện tích thiết diện Bài 3: Cho hình nón đỉnh S, đƣờng cao SO, A B hai điểm thuộc đƣờng tròn đáy cho khoảng cách từ điểm O đến AB a SAO 300 , SAB=600 Tính độ dài đƣờng sinh hình nón theo a Bài 4: Thiết diện qua trục khối nón tam giác vng cân có cạnh huyền a Tính thể tích khối nón diện tích xung quanh hình nón cho Bài 5: Cho hình lập phƣơng ABCD A’B’C’D’ cạnh a Tính diện tích xung quanh hình nón có đỉnh tâm O hình vng ABCD đáy hình tròn nội tiếp hình vng A’B’C’D’ Bài 6: Cắt hình nón mặt phẳng qua trục nó, ta đƣợc thiết diện tam giác cạnh 2a Tính diện tích xung quanh, diện tích tồn phần hình thể tích khối nón Ví dụ 7: Cho hình trụ có bán kính đáy a khoảng cách hai đáy a Tính diện tích xung quanh thể tích hình trụ cho theo a Giải: Gọi hình trụ có tâm hai đáy O, O ' (nhƣ hình bên) Theo giả thiết ta có OO ' a Khi diện tích xung quanh: S xq 2 rl 2 rAB 2 r.OO ' 2 a (đvdt) Thể tích khối trụ là: V r h a OO ' a3 (đvtt) BÀI TẬP THỂ TÍCH – DIỆN TÍCH KHỐI TRỤ Bài 1: Cho hình trụ có đáy hai hình tròn tâm O O, bán kính đáy cm Trên đƣờng tròn đáy tâm O lấy hai điểm A, B cho AB = cm Biết thể tích tứ diện OOAB cm3 Tính chiều cao hình trụ thể tích khối trụ Bài 2: Cho hình trụ có đáy hai hình tròn tâm O O, bán kính đáy cm Trên đƣờng tròn đáy tâm O lấy điểm A cho AO hợp với mặt phẳng đáy góc 600 Tính chiều cao hình trụ thể tích khối trụ Bài 3: Cho hình trụ có đáy hai hình tròn tâm O O, bán kính đáy chiều cao a Trên đƣờng tròn đáy tâm O lấy điểm A, đƣờng tròn đáy tâm O lấy điểm B cho AB = 2a Tính thể tích khối tứ diện OOAB Bài 4: Một khối trụ có chiều cao 20 cm có bán kính đáy 10 cm Ngƣời ta kẻ hai bán kính OA O’B’ lần lƣợt hai đáy cho chúng hợp với góc 300 Cắt khối trụ mặt phẳng chứa đƣờng thẳng AB’ song song với trục OO’ khối trụ Hãy tính diện tích thiết diện Bài 5: Một hình trụ có bán kính đáy R = 53 cm, khoảng cách hai đáy h = 56 cm Một thiết diện song song với trục hình vng Tính khoảng cách từ trục đến mặt phẳng thiết diện Bài 6: Trong khơng gian cho hình vng ABCD cạnh a Gọi I H lần lƣợt trung điểm cạnh AB CD Khi quay hình vng xung quanh trục IH ta đƣợc hình trụ tròn xoay a) Tính diện tích xung quanh hình trụ tròn xoay đƣợc tạo nên b) Tính thể tích khối trụ tròn xoay đƣợc tạo nên hình trụ tròn xoay Bài 7: Cho hình trụ có bán kính r chiều cao h r a) Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình trụ b) Tính thể tích khối trụ tạo nên hình trụ cho Bài 8: Một hình trụ có bán kính đáy R đƣờng cao R ; A B hai điểm hai đƣờng tròn đáy cho góc hợp AB trục hình trụ 300 a) Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình trụ b) Tính khoảng cách AB trục hình trụ Bài 9: Cho hình trụ có bán kính đáy r 5cm khoảng cách hai mặt đáy 7cm a) Tính diện tích xung quanh hình trụ thể tích khối trụ đƣợc giới hạn hình trụ b) Cắt khối trụ mặt phẳng song song với trục hình trụ cách trục 3cm Hãy tính diện tích thiết diện đƣợc tạo nên Sƣu tầm biên soạn: Nguyễn Hồ Tú -23- TÀI LIỆU TỐN 12 Ví dụ 8: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng cân B, SA 2a, AC a SA vng góc với mặt phẳng đay a) Chứng minh trung điểm I SC tâm mặt cầu (S) qua đỉnh hình chóp b) Xác định tâm bán kính đƣờng tròn giao tuyến mặt cầu (S) với mặt phẳng (ABC) Giải: a) Ta có tam giác SAC SBC lần lƣợt vng A B nên AI BI SC IS IC Do I cách đỉnh S, A, B, C Vậy I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Bán kính 1 a R SC SA2 AC 2 b) Đƣờng tròn giao tuyến đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC Do ABC tam giác vng B nên tâm trung điểm AC bán a kính r AC 2 BÀI TẬP THỂ TÍCH MẶT CẦU Bài 1: Cho hình chop S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a ,cạnh bên SA vng góc với mặt đáy, cạnh bên SB a a) Tính thể tích khối chop S ABCD theo a b) Chứng minh trung điểm cạnh SC tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD Bài 2: Cho hình chop S ABCD có đáy hình chữ nhật, AB a , AD 2a Hai mặt bên SAB SAD vng góc với mặt đáy , SAD tam giac vng cân a) Tính thể tích khối chóp S ABCD b) Tìm tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD Bài 3: Cho hình chóp S ABC có M trung điểm cạnh AB , AM=a tính thể tích khối chop S ABC theo a biết SA a Bài 4: Cho hình chóp S ABC có cạnh đáy a , cạnh bên 2a a) Tính thể tích khối chop S ABC b) Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC Bài 5: Cho hình chop S ABCD có đáy hình vng cạnh a , cạnh bên SA vng góc với mặt đáy, cạnh bên SC tạo với mặt đáy góc 600 a) Tính thể tích khối chop S.BCD theo a b) Chứng minh trung điểm cạnh SC tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chop S ABCD Tính diện tích mặt cầu Bài 6: Cho hình chop S ABC có SA, AB, BC vng góc với đơi Biết SA a, AB BC a Tính thể tích khối chóp tìm tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Chun đề 6: PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN A – CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN I – PHƢƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Bài tốn 1: Viết phƣơng trình mặt phẳng qua điểm có véc tơ pháp tuyến cho trƣớc Viết phƣơng trình mặt phẳng qua điểm M(1; -2; 3) có véc tơ pháp tuyến n (3;1; 2) Bài tốn 2: Viết phƣơng trình mặt phẳng qua điểm song song với mặt phẳng cho trƣớc Viết phƣơng trình mặt phẳng qua M(2; 1; 1) song song với mặt phẳng (P): x + 2y – Z + = Bài tốn 3: Viết phƣơng trình mặt phẳng qua điểm vng góc với đƣờng thẳng cho trƣớc a) §i qua M (2;1;3) vµ vu«ng gãc víi AB víi A = (1;-2;2), B = (0;- 4;4) b) MỈt ph¼ng trung trùc cđa ®o¹n AB víi A = (2;-1;3) vµ B = (0;3;-1) x y 1 z c) Vu«ng gãc víi d : vµ c¸ch ®iĨm A(2;1;3) mét kho¶ng b»ng 2 1 Sƣu tầm biên soạn: Nguyễn Hồ Tú -24- TÀI LIỆU TỐN 12 Bài tốn 4: Viết phƣơng trình mặt phẳng qua điểm điểm khơng thẳng hàng cho trƣớc Viết phƣơng trình mặt phẳng qua điểm A(1;2;3), B(-2;1;1), C(-1;-3;-4) Bài tốn 5: Viết phƣơng trình mặt phẳng chứa đƣờng thẳng d điểm M khơng nằm d x y 1 z Viết phƣơng trình mặt phẳng qua M(-2;3;1) vµ chøa ®-êng th¼ng d: 2 Bài tốn 6: Viết phƣơng trình mặt phẳng chứa hai đƣờng thẳng cắt x 1 y z x 1 y z Viết phƣơng trình mặt phẳng chúa hai đƣờng Chøa d: vµ d’: Bài tốn 7: Viết phƣơng trình mặt phẳng chúa hai đƣờng song song với x 1 t x 2t ' Cho hai đƣờng thẳng: d : y t d ' : y 1 2t ' z t z 2t ' a) Chứng minh d song song với d’ b) Viết phƣơng trình mặt phẳng chứa d d’ Bài tốn 8: Viết phƣơng trình mặt phẳng chứa điểm song song với hai đƣờng thẳng cho trƣớc x 1 t §i qua M(10;8;-3) vµ song song víi ®-êng d: y 3 5t vµ d’ : z 1 2t x 15 y z 13 Bài tốn 9: Viết phƣơng trình mặt phẳng chứa đƣờng thẳng song song với đƣờng thẳng x 1 y z x 8 y z a) Cho d: vµ d’: ViÕt PT mp(P) chøa d song 1 song với d’ b) Cho A(- 2;- 3;- 2), B(- 8;- 5;- 7) ,C(3;- 4;- 1) vµ D(0;- 6;- 3) ViÕt PT mp(P) chøa AB vµ song song víi CD Bài tốn 10: Viết phƣơng trình mặt phẳng chứa đƣờng thẳng vng góc với mặt phẳng x 8 y z a) Chøa ®-êng d : vµ vu«ng gãc víi mỈt (P) : 7x + y - 6z -10 12 11 16 = b) Viết phƣơng trình mặt phẳng (P) qua điểm A(0;1;0) B(1;2;-2) vng góc với (Q): 2x-y+3z+13=0 Bài tốn 11: Viết phƣơng trình mặt phẳng chứa điểm, song song vói đƣờng thẳng vng góc với mặt phẳng cho trƣớc x 3t Viết phƣơng trình mặt phẳng qua A(2;1;1) song song với đƣờng thẳng d : y 2 t vng góc với mặt z 1 2t phẳng (P): 2x + y – z + = Bài tốn 12: Viết phƣơng trình mặt phẳng qua điểm vng góc với hai mặt phẳng cắt Viết phƣơng trình mặt phẳng (P) qua M(1;-1;2) vng góc với mặt phẳng (Q) : x 3z 0; (R ):2x+y-z+1=0 Bài tốn 13: Viết phƣơng trình mặt phẳng c¸ch ®Ịu mỈt ph¼ng kh¸c: LËp PT mỈt ph¼ng c¸ch ®Ịu mỈt: (P) : x + 2y +3z - 14 = vµ (Q) : x + 2y +3z + = Bài tốn 14: Viết phƣơng trình mặt phẳng tiÕp xóc víi mỈt cÇu t¹i ®iĨm Sƣu tầm biên soạn: Nguyễn Hồ Tú -25- TÀI LIỆU TỐN 12 ViÕt phƣơng trình mỈt ph¼ng tiÕp xóc víi mỈt cÇu : (x - 2) + y2 + (z - 3)2 = t¹i ®iĨm A(3;2; 1) Bài tốn 15: Viết phƣơng trình mặt phẳng vng góc với đƣờng thẳng tiếp xúc với mặt cầu: x 1 y z Viết phƣơng trình mặt phẳng vng góc với đƣờng thẳng d: tiếp xúc với mặt cầu (S) có 1 2 phƣơng trình: ( x 1)2 ( y 3)2 z II – PHƢƠNG TRÌNH MẶT CẦU Bài 1: Xác định tọa độ tâm bán kính mặt cầu có phƣơng trình sau đây: 2 2 2 a) x y z x y b) x y z x y z c) x y z z d) ( x 1)2 ( y 3)2 z Bài 2: Viết phƣơng trình mặt cầu trƣờng hợp sau: 1) Tâm I(2;1;-1), bán kính R = 2) Đi qua điểm A(2;1;-3) tâm I(3;-2;-1) 3) Đƣờng kính AB với A(-1;2;3), B(3;2;-7) 4) Đi qua bốn điểm (0; 0; 0), A(2; 2; 3), B(1; 2; -4), C(1; -3; -1) 5) Đi qua điểm A(1;3;0) ,B(1;1;0) tâm I thuộc 0y 6) Đi qua điểm A(1;0;0), B(2;3;0), C(1;3;2) có tâm thuộc mặt phẳng Oxy 7) Đi qua điểm A(2;0;1), B(1;0;0), C(1;1;1) có tâm nằm mặt phẳng (P) : x + y + z – = 8) Tâm I(1;2;3) tiếp xúc với mặt phẳng (P): 2x – y + 2z – = III – VỊ TRÍ TƢƠNG ĐỐI CỦA MẶT PHẲNG VÀ MẶT CẦU Bài 1: Trong khơng gian Oxyz cho mặt cầu (S) : (x – 3)2 + (y + 2)2 + (z – 1)2 = 100 mặt phẳng (P) có phƣơng trình: 2x – 2y – z +9 = a) Chứng minh : (P) (S) cắt b) Xác định tâm bán kính đƣờng tròn giao tuyến của (P) (S) Bài 2: Xét vị trí tƣơng đối mặt phẳng (P) mặt cầu (S) trƣờng hợp sau: 2 a) (P): x + 2y + 2z +18 = (S): x 1 y 2 z 2 36 b) (P): x + 2y + 2z +13 = (S): x 1 y 2 z 2 36 IV – VIẾT PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG THẲNG Bài 1: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d trƣờng hợp sau: 1) Đi qua điểm M(1;0;1) nhận a(3; 2;3) làm véc tơ phƣơng 2) Đi qua điểm A(1;0;-1) B(2;-1;3) 3) Đi qua A(2; -1; 3) vng góc mặt phẳng (P): 3x + 2y – z + = x t 4) Đi qua điểm M(2;3;-5) song song với đƣờng thẳng d : y 2t z 2t 2 x 3t x2 y z 3 ; : y t Viết phƣơng trình đƣờng thẳng 5) Cho M(2;3;-1) đƣờng thẳng 1 : 3 z 5t d qua M vng góc với 1 & x t ' x 2t 6) Cho : y t : y 3 2t ' Chứng minh chéo Viết phƣơng trình đƣờng z 3t ' z 3 3t thẳng d đƣờng vng góc chung Sƣu tầm biên soạn: Nguyễn Hồ Tú -26- TÀI LIỆU TỐN 12 Bài 2: Trong khơng gian Oxyz cho M(1;0;2) đƣờng thẳng : x y z 1 2 a) Tìm tọa độ điểm H hình chiếu M b) Tính khoảng cách từ M đến đƣờng thẳng c) Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với M qua Bài 3: Tìm tọa độ điểm H hình chiếu M(1;0;2) mặt phẳng (P): x + 2y + 2z +18 = Từ suy tọa độ điểm M’ đối xứng với M qua mặt phẳng ( ) Bài 4: Xét vị trí tƣơng đối đƣờng thẳng sau: x 2t x t ' x 2t x y 1 z 1 a) d1 : d : y t b) (d1) : y t (d2) : y 3 2t ' z 1 3t z 3t ' z 3 3t x 1 t x 2t ' c) d1 : y t d : y 1 2t ' z t z 2t ' Bài 5: Xét vị trí tƣơng đối đƣờng thẳng (d) mặt phẳng (P), tìm tọa độ giao điểm (nếu có) x 1 2t a) d : y t (P): x + 2y – z + = z 4t x 1 t b) d : y t (P): x + 3y + z + = z 2t x 1 t c) d : y 2t (P): x + y + z – = z 3t B – BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài 1: Trong khơng gian tọa độ Oxyz cho điểm A(-1; 1; 2), B(0; 1; 1), C(1; 0; 4) Chứng minh tam giác ABC vng Viết phƣơng trình tham số đƣơng thẳng AB Gọi M điểm cho MB 2MC Viết phƣơng trình mặt phẳng qua M vng góc với đƣờng thẳng BC (Đề thi tốt nghiệp 2006) Bài 2: Trong khơng gian Oxyz, cho điểm E(1; 2; 3) mặt phẳng ( ) có phƣơng trình x + 2y – 2z + = Viết phƣơng trình mặt cầu (S) có tâm góc tọa độ O tiếp xúc mặt phẳng ( ) Viết phƣơng trình tham số đƣờng thẳng ( ) qua điểm E vng góc mặt phẳng ( ) (TN 2007 Lần 1) Bài 3: Trong khơng gian tọa độ Oxyz, cho hai điểm M(1; 0; 2), N(3; 1; 5) đƣờng thẳng (d) có phƣơng trình x 2t y 3 t z t Viết phƣơng trình mặt phẳng (P) qua điểm M vng góc với đƣờng thẳng (d) Viết phƣơng trình tham số đƣơng thẳng qua hai điểm M N (Đề thi tốt nghiệp 2007 Lần 2) Bài 4: Trong khơng gian tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với A(1; 4; -1), B(2; 4; 3) C(2; 2; -1) Viết phƣơng trình mặt phẳng qua A vng góc với đƣờng thẳng BC Tìm tọa độ điểm D cho tứ giác ABCD hình bình hành.(Đề thi tốt nghiệp 2008) Bài 5: Trong khơng gian tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) mặt phẳng (P) có phƣơng trình: (S): x 1 y 2 z 2 36 (P): x + 2y + 2z +18 = 2 Xác định tọa độ tâm T bán kính mặt cầu (S) Tính khoảng cách từ T đến mặt phẳng (P) Sƣu tầm biên soạn: Nguyễn Hồ Tú -27- TÀI LIỆU TỐN 12 Viết phƣơng trình tham số đƣơng thẳng d qua T vng góc với (P) Tìm tọa độ giao điểm d (P) (Đề thi tốt nghiệp 2009) Bài 6: Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1; 0; 0), B(0; 2; 0) C(0; 0; 3) Viết phƣơng trình đƣờng thẳng qua A vng góc với đƣờng thẳng BC Tìm tọa độ tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC (Đề thi tốt nghiệp 2010) Bài 7:Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm M(1;0;2), N(3;1;5) đƣờng thẳng (d) có phƣơng x 2t trình y 3 t z t Viết phƣơng trình mp(P) qua điểm M vng góc với đƣờng thẳng (d) Viết phƣơng trình tham số đƣờng thẳng qua điểm hai điểm M N Bài 8: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho M(2,-2,0) , N(-4;4;2) mặt phẳng (P) có phƣơng trình 6y+8z+1=0 1.Viết phƣơng trình tham số đƣờng thằng d qua hai điềm M N 2.Lập phƣơng trình mặt cầu (S) tâm M nhận mặt phẳng (P) mặt phẳng tiếp diện Bài 9: Trong khơng gian với hệ trục Oxyz, cho A(1;1;2), B(0;-1;3), C(3;1;4) Viết phƣơng trình mặt phẳng ( ) qua ba điểm A,B,C Viết phƣơng trình mặt cầu (S) tâm A có đƣờng kính x 2t Bài 10: Trong khơng gian Oxyz, cho điểm A 2; 1; 0 đƣờng thẳng d: y 1 t z 3t Viết phƣơng trình mặt phẳng P qua A vng góc với d Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua đƣờng thẳng d Bài 11: Trong khơng gian Oxyz cho ba điểm A( ; -1 ; 1), B( 0;2 ;- 3) C( -1 ; ;0) Chứng minh A,B,C khơng thẳng hàng Viết phƣơng trình mp(ABC) Viết phƣơng trình tham số đƣờng thẳng BC Bài 12: Trong khơng gian Oxyz cho điểm A( ; -3 ; -1), B( -2; ; 3) Viết phƣơng trình đƣờng thẳng AB Viết phƣơng trình mặt phẳng qua gốc toạ độ vng góc AB Bài 13: Trong khơng gian Oxyz , cho A(2 ;-3;1) mp (Q) : x + 3y - z + = Viết phƣơng trình tham số đƣờng thẳng (d) qua A vng góc với (Q) Tìm tọa độ H hình chiếu A (Q).Suy tọa độ A' đối xứng A qua (Q) Bài 14: Trong khơng gian Oxyz , cho điểm A 3;2;0 , B 0;2;1 , C 1;1;2 , D(3; 2; 2) Viết phƣơng trình mặt phẳng ( ABC ) Suy DABC tứ diện Viết phƣơng trình mặt cầu ( S ) tâm D tiếp xúc mặt phẳng ( ABC ) Bài 15: Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1;2;3) Viết phương trình mặt phẳng ( ) qua M song song với mặt phẳng x y 3z Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I(1;1;1) tiếp xúc với mặt phẳng ( ) x 2t Bài 16: Trong khơng gian Oxyz, cho điểm A 2; 1; 0 đƣờng thẳng d: y 1 t z 3t Viết phƣơng trình mặt phẳng P qua A vng góc với d Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua đƣờng thẳng d Sƣu tầm biên soạn: Nguyễn Hồ Tú -28- TÀI LIỆU TỐN 12 x 1 y z điểm A(3;2;0) 2 Tìm tọa độ hình chiếu vng góc H A lên d Tìm tọa độ điểm B đối xứng với A qua đƣờng thẳng d Bài 17:Trong khơng gian Oxyz cho đƣờng thẳng d : x 2 4t Bài 18: Trong khơng gian Oxyz cho mặt phẳng () : 2x + y + z – = đƣờng thẳng : y t ( t tham số) z 3t Tìm giao điểm I () Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d qua I vng góc với () Sƣu tầm biên soạn: Nguyễn Hồ Tú -29- ... thể tích khối chop S ABC theo a Bài 3: Cho hình chop S ABCD có mặt bên SBC tam giác cạnh a Cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy Biết góc BAC = 120 0 Hãy tính thể tích khối chop S ABC theo... hình chop tứ giác có tất có tất cạnh a tính thể tích khối chop S ABCD theo a Bài 7: Cho hình chop S ABCD có đáy hình thoi tâm 0, SAC Là tam giác cạnh a SB SD a Tính thể tích khối chop S... 300 Tính thể tích khối chop S ABC theo a Bài 9: Cho khối chop S ABC có đáy tam giác cạnh a , tam giác SAC cân S có SAC 600 , SAC ABC Tính thể tích khối chop S.ABC theo a Bài 10: