S GD&T TRNG QUANG AN THI CHNH THC Kè THI CHN HC SINH VO LP THPT CHUYấN TON NM HC 2017 2018 MễN THI: TON Thi gian lm bi: 150 phỳt (khụng k thi gian giao ) Ngy thi: 06/05/2017 ( thi gm cú 01 trang ) Cõu (2,0 im): a) Cho a, b, c, d , m l cỏc s t nhiờn v a + d , (b1)c , ab a + c chia ht cho m Chng minh rng 2017(abn + cn + d ) chia ht cho m vi mi s t nhiờn n b) Cho x, y tha món: x 2016 2017 x 2016 x y 2016 2017 y 2016 y Chng minh: x y Cõu (2,0 im): a) Gii phng trỡnh x3 x x 2 x x 3x xy x y b) Giải hệ ph-ơng trình sau: x x y y Cõu (2,0 im): a) Tỡm s nguyờn t p cho cỏc s p 1; p 3; p u l s nguyờn t b) Tỡm cỏc s nguyờn dng x, y, z tha món: 3x2 18 y z y z 18x 27 Cõu (3,0 im): Cho ng trũn (O;R) ng kớnh BC Gi A l im tha tam giỏc ABC nhn AB, AC ct ng trũn trờn ti im th hai tng ng l E v D Trờn cung BC khụng cha D ly F(F B, C) AF ct BC ti M, ct ng trũn (O;R) ti N(N F) v ct ng trũn ngoi tip tam giỏc ADE ti P(P A) a) Gi s BAC 600 , tớnh DE theo R b) Chng minh AN.AF = AP.AM c) Gi I, H th t l hỡnh chiu vuụng gúc ca F trờn cỏc ng thng BD, BC Cỏc ng thng IH v CD ct K Tỡm v trớ ca F trờn cung BC biu thc BC BD CD t giỏ tr nh nht FH FI FK Cõu (1,0 im):Cho cỏc s nguyờn dng a, b, c, d tho món: a b c d ; ad bc; d a Chng minh rng a l s chớnh phng - HT -H v tờn thớ sinh: S bỏo danh Ch kớ giỏm th Ch kớ giỏm th S GD&T TRNG QUANG AN CU Cõu1 2,0 im P N V HNG DN CHM THI HC SINH TUYN VO THPT CHUYấN MễN TON NM HC 2017 2018 Lu ý: Thớ sinh lm theo cỏc khỏc ỳng cho im ti a im bi thi lm trũn n 0,25 im PHN NI DUNG IM n t Tn = a.b + c.n + d, n N 0,25 Ta chng minh Tn chia ht cho m (*) bng qui np theo n Vi n = ta cú: T0 = (a +d) m ( theo gt) ú (*) ỳng vi n = Gi s (*) ỳng vi n = k, ngha l Tk m Ta chng minh (*) ỳng vi n = k+1 Tht vy, ta cú Tk+1 Tk = = a.bk+1 a.bk + c a) 1,0im = bk.(a.b a + c) bk.c + c = bk.(a.b a + c) c.(bk 1) = bk(ab a + c) c(b -1)(bk-1 + + b + 1) Do ú: (Tk+1 Tk ) m ( vỡ theo gi thit ta cú ab a + c v (b1)c m) M Tk m (theo gi thit qui np), nờn Tk+1 m Vy Tn m n N Kt lun 2017(abn + cn + d ) chia ht cho m vi mi s t nhiờn x 2016 2017 x 2016 x y 2016 2017 y 2016 y (1) KX: 2016 x; y 2016 0,25 0,25 0,25 0,25 (1) x 2016 y 2016 2017 x 2017 y 2016 y 2016 x Nu x khỏc y v 2016 x; y 2016 thỡ x 2016 y 2016 >0; 2017 x 2017 y >0; 2016 x 2016 y >0 , ú (1) b) 1,0im 1 x y (2) x 2016 y 2016 2017 x 2017 y 2016 x 2016 y 0,25 Khi ú d chng t 1 2016 x 2016 y 2017 x 2017 y M x y nờn (2) vụ lý vỡ VT(2) luụn khỏc Nu x=y d thy (1) ỳng Vy x = y Cõu 2,0 im 0,25 x3 x x 2 x x (1) a) 1,0 im KX: x t: y 0,25 x 1; z Khi ú (1) cú dng : x3 + y3 + z3= (x + y +z)3 (2) Chng minh c (2) (x+y)(x+z)(z+x) = 0,25 Vi: x + y = x x x x x ( Tha món) Vi: x + z = x x ( khụng tha món) 0,25 Vi: y + z = 0,25 x - vụ nghim 0,25 Vy phng trỡnh cú nghim: x 3x xy x y x x + y y = 0.25 2 2 3x xy x y x xy y x y 2 x + y x y x + y x y Ta cú: x2 xy y 5x y y x y x 0.25 y x hoc y x b) 1,0 điểm Vi y x thay vo (2) ta c: x2 2x +1 = suy x = Ta c nghim (1;1) y x thay vo (2) ta c: 5x2 x = , suy x = 1; x 0.25 0.25 13 ) ; 5 13 Vy h cú nghim (1;1) v ( ; ) 5 Ta c nghim (1;1) v ( a) 1.0 im Cõu 2,0 im Tỡm s nguyờn t p cho cỏc s p 1; p 3; p u l s nguyờn t +) Nu p=7k+i; k,i nguyờn, i thuc 1; 2; Khi ú p chia cho cú th d: 1;4;2 0.25 Xột p p 1; p 3& p 0.25 Nu p chia cho d thỡ p chia ht cho nờn trỏi GT Nu p chia cho d thỡ p chia ht cho nờn trỏi GT Nu p chia cho d thỡ p chia ht cho nờn trỏi GT +) Xột p=2 thỡ p =16 (loi) +) Xột p=7k, vỡ p nguyờn t nờn p=7 l nguyờn t, cú: p 97; p 101; p 151 u l cỏc s nguyờn t Vy p =7 Gi thit x 18 y z y z 54 (1) +) Lp lun z z z z (*) b) (1) 3( x 3)2 z y ( z 6) 54(2) 1,0 điểm (2) 54 3( x 3)2 z y ( z 6) 3( x 3)2 2.9 y ( x 3)2 y 12 0.25 0.25 0,25 0,25 y y 1; y vỡ y nguyờn dng Nu y y thỡ (1) cú dng: 72 x z 72 z 72 z z z (vỡ cú(*)) 2 Khi ú x 27 x , x nguyờn dng nờn tỡm c x=6 Nu y y (vỡ y nguyờn dng) thỡ (1) cú dng: 0,25 0,25 x 14 z 126 14 z 126 z z z (vỡ z nguyờn dng) Suy ( x 3)2 x (vỡ x nguyờn dng) x x ỏp s y 2; y z z V hỡnh (1 trng hp) A N 0,25 D E P I O B a) 1,0 điểm H C M K Cõu 3,0 im F S BAC 1800 sd DE sd DE 600 0,25 Suy EOD 600 nờn tam giỏc OED u 0,25 suy ED = R 0,25 APE ADE (2 gúc ni tip chn cung AE) ABM ADE (Cựng bự vi gúc EDC) Suy ra: ABM APE nờn tam giỏc APE ng dng vi tam giỏc ABM b) AE AM 1,0 điểm Nờn AP AB AE AB AM AP (1) 0,25 0,25 Tng t chng minh tam giỏc ANE ng dng vi tam giỏc ABF AE AF AE AB AN AF (2) AN AB 0,25 0,25 T (1) v (2) suy ra: AN.AF = AP.AM Xột I nm gia B, D( Nu I nm ngoi B,D thỡ vai trũ K vi DC s nh I vi BD) 0,25 T giỏc BIHF, BDCF ni tip nờn FHK FCK ( cựng bng FBD ), suy t giỏc CKFH ni tip nờn FKC 900 0,25 DK BH FK FH CK BI Tng t tam giỏc CFK ng dng tam giỏc BFI nờn: FK FI c) DC BH BI Suy ra: 1,0 điểm FK FH FI DC BD BH BD BI BH ID FK FI FH FI FI FH FI DC BD BH HC BC ID HC M suy ra: FK FI FH FH FH FI FH Lý lun tam giỏc DFK ng dng tam giỏc BFH nờn: Vy 0,25 BC BD CD 2BC BC BD CD nờn nh nht FH ln nht FH FI FK FH FH FI FK 0,25 F l trung im cung BC t ad bc t Ta cú: a d bc t t t a d c (d c ) (d c ) d c cd c 0,25 a d b c Khi ú: Cõu 1,0 im d a d a ad b c bc Kt hp vi gi thit d a suy ra: c b (*) d a 0,25 b c a 2b d a d b c Du bng (*) xy v ch khi: Ta cú: ad bc a Khi ú: bc b2 b2 Suy ra: 2b d (d b)2 d d d d d a a d d b a (d b 1)2 Vy a l s chớnh phng Ht 0,25 0,25 CHUYấN GIA V TON HNG U TI QUNG NGI ,NHNG M GIO DC X HI KHễNG CN TON CAO CP ,TON NNG CAO ,BI DNG HSG TNH HUYN ,CASIO S MT TI QUNG NGI VNG T NGHẩO NHT VIT NAM Kớnh cho toỏn tui th ! Ngy 15-11-2016 toỏn tui th mi mỡnh H Ni ,Li mt ln na mỡnh khụng dc vỡ khụng cú tin mua vộ tu Ti cuc i li bt cụng vi tụi nh th Mỡnh sng trờn nỳi cao quỏ ,mi th u khú khn Trờn chuyn tu ca toỏn hc luụn thiu mỡnh Mt li gii m mỡnh gii khụng ú l Tin ,ti sau toi li bn cựng n nh vy h tri Bun cho xó hi khụng tn dng nhõn ti Tuyn dng cụng chc l tỡm ngi nh v tin K nh tụi thỡ khụng cú : THN TH TIN v nh th b vt ng chuyn tu tc hnh ca giỏo dc Vit Nam Ti ngi ta cú th mua mt kg nho Nht Bn vi giỏ 1,3 triu -1,5 triu n m mỡnh li mua mt vộ tu i v Qung Ngói H Ni giỏ 700 trm nghỡn khụng c ,bi toỏn gii mói m chng xong Ngi bn cựng ,k thỡ mua kg nho Nht Bn triu cho a tui n ,mua hng m phi t tin cc trc Nho ny him m cú kg no nhp v l dõn Vit Nam gii thng lu mua ht mt gii ng h Tht s sc ,trỏi cõy Vit Nam r nh bốo m cho khụng ly ,thy khụng xin núi gỡ ti vic mua bỏn na Kớnh cho toỏn tui th ! Tụi tờn l :Trng Quang An Va ri ngy 4-1-2016 tụi cú nhn c giy mi H Ni nhõn dip toỏn tui th 15 nm tui Bn thõn tụi v gia ỡnh rt vui v thy õy l mt vinh d nhng hon cnh gia ỡnh quỏ khú khn Tụi i lm lng quỏ thp ,dy hp ng ,v tụi i lm cụng nhõn xa sỏng i 5h sỏng ,chiu 8h mi v nh V tụi lm thỡ thỏng no cú sn phm thỡ cú lng ,khụng cú sn phm lm thỡ thỏng ú khụng cú lng ,mt thỏng c triu /thỏng Hai v chng lm khụng trang tri cho cuc sng hng ngy Tụi hc toỏn-tin v ch dy tin hc Thi gian lm thờm ph gia ỡnh nhiu cú tin trang tri cuc sng Cha tụi ngy xa lm ph h ,lm thuờ lm mn cho ngi ta ,m tụi i chộn thuờ cho cỏc nh quỏn n Tụi am mờ toỏn hc l hc sinh cp Tụi rt nghốo nhng nim am mờ toỏn hc tụi rt ln dự tụi cú hot ụng bờn lnh vc khỏc Tụi xin chõn thnh cm n ó cú th mi tụi H Ni nhộ Tin tu xe i v v ,n bn thõn tụi lo khụng ni nờn khụng th d vi Nm ngoỏi tụi khụng Nng d hi tho c ,nm li tht Xin li TON TUI TH ,tuy nhiờn tụi xin chỳc luụn phỏt trin mnh m v cú nhiu ngi am mờ toỏn hc nhộ Tụi xin l s thng xuyờn vit bi v gi bi cho toỏn tui th v toỏn hc& tui tr Tụi rt bun Xin chõn thnh ghi nhn tm lũng ca Tờn : Trng Quang An Ngy sinh :20-5-1987 Tt nghip cao ng s phm toỏn qung Ngói nm 2009 Ra trng i xin vic khp mi ni vo cui nm 2011 mi xin hp ng lm vic ging dy toỏn cho trng cp Nh hin Thnh Ph Qung Ngói Thnh tớch lỳc i hc : Lp : Hc sinh t gii nhỡ hc sinh gii toỏn cp th xó Qung Ngói Lp : Hc sinh t gii ba hc sinh gii toỏn cp th xó Qung Ngói Lờn cp hc Trng Cp Chuyờn Lờ Khit Nm 2005 thi i hc s phm Quy Nhn t 28 im , tụi phi xa ging ng i hc vỡ m tụi au quỏ nng ,gỏnh nng cm ỏo go tin m tụi phai chia tay i hc Sau ú tụi v quờ nh hc cao ng s phm Qung Ngói nm hc ti õy tụi l sinh viờn gii nht khoa v Toỏn hc Cỏc Thnh tớch : - Gii nht toỏn lý s cp nm hc 2006,2007,2008 -Ba nm gii nht mụn gii tớch k thi ễLIMPIC TON SINH VIấN cp trng Cao ng S Phm Qung Ngói nm hc 2006 ,2007,2008 -Trong ln i din cho trng thi ễLIMPIC TON SINH VIấN Ton quc thỡ ln t gii ba ,1 ln gii khuyn khớch -Ba nm lin t gii nht k thi sinh viờn gii toỏn trờn mỏy tớnh casio cp trng -Sinh viờn u tiờn ca trng cao ng s phm c ng mc k ny ca toỏn hc tui tr -Sinh viờn u tiờn ca trng cao ng s phm c ng bi mc chuyờn ca c san toỏn hc tui tr -Giỏo viờn u tiờn ca tnh Qung Ngói c ng bi trờn c san toỏn hc v tui tr -Hin sỏng dy trng vỡ ng lng quỏ thp nờn i dy kộm khp ni kim thờm tin trang tri cuc sng hng ngy v ph giỳp cha m nghốo quờ Qung Ngói -Bn thõn l ngi rt am mờ mụn toỏn t tụi cũn l hc sinh lp , hin tụi thng gii cỏc bi khú v dy kốm cho cỏc hc sinh cú nhu cu vo chuyờn toỏn -Hin bn thõn mun hc lờn i hc nhng cú l c m ú ca tụi khụng thnh hin thc vỡ chuyn tin bc va gia ỡnh hon cnh -Nhng giỏo viờn yờu toỏn nu cú nhu cu gii cỏc bi toỏn khú v giao lu hc hi -Xúm tụi bỡnh thng lm ,bn nh ngõy th ,ng nghnh ỏng yờu Hng ngy bn tr xúm tụi thng nh tụi giỳp cỏc bi toỏn khú Tụi n vi toỏn hc tui tr tụi cũn l mt hc sinh lp Mi sỏu nm qua tụi ó coi nh mt ngi bn quen thuc m tụi mong i vo ngy 15 hng thỏng Ban u tụi thớch thỳ tũ mũ tỡm thờm ti liu ,sau c gng gii cỏc bi chuyờn mc k ny Trong 16 nm qua ó cho tụi c tip xỳc vi cỏc bi toỏn rt hay ,chuyờn hay Ba nm hc cao ng l thi gian p nht cuc i tụi Tụi bc vo s phm toỏn vi nn tng kin thc vụ cựng tt Ngay tụi c ng bi trờn chuyờn mc k ny tụi rt vui sng ,khụng t ni ú l thi im nm 2008 ,khi ú tụi ch l sinh viờn nghốo ca trng ,iu kin hc khụng cú ,sinh viờn cao ng nh tụi vit bi cho toỏn hc l iu vin vụng ,ú l s tht Nhng tụi khụng nn lũng v cui cựng tụi cng t c c m ca tụi Nhng ngy ú tht khú khn ,tụi ch ghi bi gii trờn giy A4 ri em th bu in gi Cỏch õy nm thỡ cú ch h lm quỏn PHễ T ễ COPPY bỏn li mt chic mỏy tớnh bn c ,tụi mua vi giỏ 500 ngn ,vui lm cỏc bn ,th l t cú th ỏnh vi tinh cỏc bi toỏn m minh suy ngh v su tm ,sau hon thin tụi chy quỏn PHễ T ễ COPPY gi vỡ nh khụng cú mng INTERNET Cú l tụi s gc ngó trc cuc sng nghốo kh v thiu tin bc nu nh tụi khụng cú nim am mờ toỏn hc Tụi nh mói nm 2008khi cm trờn tay t bỏo cú ng bi ca minh tụi ó vui run luụn ,tụi bu in mua bỏo toỏn ,trờn k bỏo cũn ỳng t ,c v thy tờn mỡnh v tụi ó lờn xe p c tng ca sinh viờn p nhanh nhanh v nh ,tht nhanh ,tụi khụng bit tụi ó qua my ngó t na ,ch bit p tht nhanh My thỏng sau cú th nhn tiờn nhun bỳt 120.000 ,i vi a sinh viờn nghốo nh tụi ú l s tin thỏng n sỏng i hc ,vui lm cỏc bn ak Sinh viờn qua nhanh ,ra trng vỡ hon cnh cha m au v khụng cú tin,khụng ni no nhn mỡnh vo dy hc ,mỡnh ó i chy bn c phờ,chy bn ỏm ci cho nh hng ,mỡnh i dy kốm khp ni ,cú phi i chy xe ụm nhng rnh mỡnh thng ly toỏn hc xem Tp nh mt phn c th mỡnh ,ri sau nm chy vic khp ni tụi cng xin c hp ng cho trng cp dy toỏn Nh tụi hin sỏch toỏn rt nhiu ,16 nm qua tụi ó cú tay khong 451 s bỏo toỏn hc ,mua cú ,tụi mn bỏo phụ tụ cng cú Hi xa ti ngy 15 hng thỏng tụi thng bu in mua ,t nh p xe p ,ti ni mt nhng mua c bỏo l tụi vui lm Vo nm 2014 thỡ i lm cuc sng cng khú khn thỡ tụi mnh dn dnh tiờn lờn bu in t bỏo nhõn viờn giao tn nh luụn Qua thi gian tụi cung mua c chic xe mỏy c i lm Qua nhng tõm s ny tụi mun cỏc bn yờu toỏn m cú iu kin hn tụi hóy c gng lờn nhộ ,hóy t mua toỏn hc ,hóy vit bi cho Tin cuc sng khụng l gỡ ,nu chỳng ta c gng v cú ý thỡ chỳng ta s thnh cụng Tụi hin cú c m ,th nht c thm toỏn toỏn hc tui tr ln cho bit ,nm ngoỏi c toỏn hc tui th mi d bui hi tho toỏn hc Nng nhng cụng vic v cha m au nng tụi ó khụng Th mong c hc lờn i hc h chớnh quy Mc dự quờ tụi cú dy h ti chc ,nhng tụi thớch hc chớnh quy hn ,c m ú cú th vi mi ngi rt n gin nhung vi mỡnh khú vỡ gia ỡnh ,cha m ,tin bc phi mu sinh vỡ cuc sng hng ngy Trờn ton quc ,nu trng no cn giỏo viờn nh tụi thỡ liờn h s in thoi 01208127776 Khụng bit toỏn hc cú tuyn mt cng tỏc viờn trỡnh cao ng nh tụi khụng Lng hp ng 15.000/tit quỏ thp ,tụi khụng sng c bng ngh s phm , Mt ngi am mờ Toỏn v toỏn hc v tui tr , toỏn tui th Ngha Thng ,T Ngha ,Qung Ngói Trng Quang An ... phạm đăng đề mục đề kỳ tạp chí toán học tuổi trẻ -Sinh viên trường cao đẳng sư phạm đăng mục chuyên đề đặc san tạp chí toán học tuổi trẻ -Giáo viên tỉnh Quảng Ngãi đăng đặc san tạp chí toán học... liệu ,sau cố gắng giải tập chuyên mục đề kỳ Trong 16 năm qua tạp chí cho tiếp xúc với toán hay ,chuyên đề hay Ba năm học cao đẳng thời gian đẹp đời Tôi bước vào sư phạm toán với tảng kiến thức vô... Câu1 2,0 điểm ĐÁP ÁN VÀ HƢỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH TUYỂN VÀO THPT CHUYÊN MÔN TOÁN NĂM HỌC 2017– 2018 Lƣu ý: Thí sinh làm theo khác cho điểm tối đa Điểm thi làm tròn đến 0,25 điểm PHẦN NỘI DUNG