SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN Năm học 2013-2014 Môn thi: TOÁN Ngày thi: 20 tháng năm 2013 Thời gian thi: 150 phút Bài I (2,0 điểm) 1) Tìm số tự nhiên n để 72013+3n có chữ số hàng đơn vị 2) Cho a, b số tự nhiên lớn p số tự nhiên thỏa mãn Chứng minh p hợp số Bài II (2,5 điểm) 1) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn điều kiện: x2-3y2+2xy-2x+6y-4=0 2) Giải hệ phương trình: Bài III (1,5 điểm) Với a, b hai số thực thỏa mẫn+b+4ab=4a 2+4b2, tìm giá trị lớn biểu thức: A=20(a3+b3)-6(a2+b2)+2013 Bài IV ( 3,0 điểm) Cho tam giác ABC tam giác cân Đường tròn (O) tiếp xúc với cạnh BC, CA, AB M, N, P Đường thẳng NP cắt đường thẳng BO, CO E, F 1) Chứng minh hai góc bù 2) Chứng minh bốn điểm B, C, E, F thuộc đường tròn 3) Gọi K tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OEF Chứng minh ba điểm O, M, K thẳng hàng Bài V ( 1,0 điểm) Trong mặt phẳng cho sáu điểm A1, A2, A3,…A6 ba điểm thẳng hàng Với ba điểm số sáu điểm tìm hai điểm mà khoảng cách chúng nhỏ 671 Chứng minh số A1, A2, A3,…A6 cho, tìm ba điểm ba đỉnh tam giác có chu vi nhỏ 2013 …………….….HẾT…………….… SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN Năm học 2013-2014 Môn thi: TOÁN Ngày thi: 20 tháng năm 2013 Thời gian thi: 150 phút BÀI Ý I HƯỚNG DẪN CHẤM Tìm số tự nhiên n để …(1,0 điểm) Ta có 74 có tận 1⇒72013=(74)503.7 có chữ số hàng đơn vị Để 72013+3n có chữ số hàng đơn vị 3n phải có tận Xét 3n=34k+p=81k.3p (với p-0, 1, 2, 3) có chữ số hàng đơn vị 1, 3, 9, Vậy 72013+3n có chữ số hàng đơn vị ⇔n=4k Chứng minh … (1,0 điểm) Giả sử p số nguyên tố Từ a2b2=p(a2+b2)⇒a2+b2 p a p b p (1) ⇒ a2b2 p2 ⇒p(a2+b2) p2 ⇒a2+b2 p (2) Từ (1) (2) ⇒a p b p 1 2 + ≤ ⇒ ≤ ⇒ p≤2 (3) a b p p p 1 1 Từ a>2, b>2 ⇒ + ≤ + = ⇒ p > (4) a b 4 Từ a≥p, b≥p ⇒ Từ (3), (4) ⇒ mâu thuẫn, chứng tỏ p hợp số ĐIỂM 2,0 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 2,5 Tìm nghiệm nguyên… (1,5 điểm) Đưa phương trình (x-y+1)(x+3y-3)=5 Xét trường hợp: II x - y + = ; x + 3y - = III Kết luận: Phương trình có nghiệm nguyên (2;2); (-2;0); (4;0); (-4;2) Giải hệ phươpng trình (1,0 điểm) Lấy 2x(1)-(2) ⇒x2+2xy+y2-4y-4x+4=0 ⇔(x+y)2-4(x+y) +4=0⇔ x+y=2 Giải hệ phương trình có nghiệm (1;1) Tìm giá trị lớn … (1,5 điểm) x - y + = −1 ; x + 3y - = −5 x - y + = ; x + 3y - = 0,5 x - y + = −5 x + 3y - = −1 Ta có: 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,5 ⇒0 (4) a b 4 Từ a≥p,