b Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình đã cho có hai nghiệm và tổng lập phương của hai nghiệm đó bằng 27.. Từ điểm M kẻ cát tuyến MBDB nằm giữa M và D, MBD không đi qua O
Trang 1SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
—————
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2013-2014
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
Dành cho tất cả các thí sinh
Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian giao đề.
—————————
Câu 1 (2,0 điểm) Cho biểu thức
3 1
1
x
x
, với x1,x1
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tìm tất cả các giá trị của x để P x 2 7
Câu 2 (2,0 điểm)
a) Giải hệ phương trình:
1 1
4 1
b) Giải phương trình: 1 2 3 4
Câu 3 (2,0 điểm) Cho phương trình x2 (2m1)x m 2 0 , (x là ẩn, m là tham số).
a) Giải phương trình đã cho với m 1
b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình đã cho có hai nghiệm và tổng lập
phương của hai nghiệm đó bằng 27
Câu 4 (3,0 điểm)
Cho đường tròn O và điểm M nằm ngoài O Từ điểm M kẻ hai tiếp tuyến MA MC (, ,
A C là các tiếp điểm) tới đường tròn O Từ điểm M kẻ cát tuyến MBD(B nằm giữa M và D,
MBD không đi qua O) Gọi Hlà giao điểm của OM và AC Từ C kẻ đường thẳng song song với
BD cắt đường tròn O tại E (E khác C), gọi K là giao điểm của AE và BD Chứng minh:
a) Tứ giác OAMC nội tiếp.
b) K là trung điểm của BD.
c) AC là phân giác của góc BHD
Câu 5 (1,0 điểm) Cho các số thực dương , , a b c thỏa mãn a2b2c2 Chứng minh: 1
2
ab bc ca
-HẾT -Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm!
Họ và tên thí sinh:………; SBD:……….
Trang 2SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
———————
(Hướng dẫn chấm có 03 trang)
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2013-2014
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN
Dành cho tất cả các thí sinh
—————————
A LƯU Ý CHUNG
- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có Khi chấm bài học sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa
- Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn
- Với bài hình học nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với phần đó
B ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM
1
3 1
1
x
x
, với x1,x1
2
1
x
0,50
x2 2x 1 : x 1
1
x
Theo phần a) ta có P x 2 7 x1x2 7 1 0,50
3
x
x
KL các giá trị của x cần tìm là: 2
3
x x
Giải hệ phương trình:
1 1
4 1
1,0
Điều kiện xác định: x0, y1 Đặt 1, 1
1
Thay vào hệ đã cho ta được
0,50
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là x y ; 1;2.
0,25
b
Giải phương trình: 1 2 3 4
Để ý rằng 99 1 98 2 97 3 96 4 nên phương trình được viết lại về dạng 0,50
Trang 31 2 3 4
Phương trình (1) tương đương với
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x 100
0,50
3 Cho phương trình x2 (2m1)x m 2 0 , (x là ẩn, m là tham số).
Khi m 1 phương trình có dạng x2 x1 0 0,25 Phương trình này có biệt thức ( 1)2 4 1 ( 1) 5 0, 5 0,25 Phương trình có hai nghiệm phân biệt 1 1 5
2
2
b Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình đã cho có hai nghiệm và tổng lập
Phương trình đã cho có biệt thức
(2m 1)2 4 1 (m 2) 4m2 8m 9 4(m 1)2 5 0, m
Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt x x với mọi giá trị của tham số m.1, 2
0,25
Khi đó, theo định lý Viét: x1x2 2m1, x x1 2 m 2
Ta cóx13x23 (x1x2)3 3x x x1 2( 1x2) 8 m318m2 21m 7 0,25
Do phương trình 2
8m 2m17 0 có biệt thức 4 4 8 17 0 nên (1) m2
Vậy m 2
0,25
4
Do MA, MC là tiếp tuyến của (O) nên OA MA OC , MC OAM OCM 900 0,50
180
OAM OCM
Tứ giác OAMC nội tiếp đường tròn đường kính OM. 0,50
Do CE // BD nên AKM AEC, AECACM (cùng chắn cung AC )
Suy ra 5 điểm M, A, K, O, C cùng thuộc đường tròn đường kính OM OKM 900 0,50
B
K
E H
C
A
O M
D
Trang 4hay OK vuông góc với BD Suy ra K là trung điểm của BD.
c
Ta có: MH MO MA 2, MA2 MB MD (Do MBA MAD, đồng dạng)
MH MO MB MD
MBH,MOD đồng dạng BHM ODM tứ giác
BHOD nội tiếp MHB BDO (1)
0,25
Tam giác OBD cân tại O nên BDO OBD (2) 0,25
Tứ giác BHOD nội tiếp nên OBD OHD (3) 0,25
Từ (1), (2) và (3) suy ra MHB OHD BHA DHA AC là phân giác của góc
5 Cho các số thực dương , ,a b c thỏa mãn a2 b2c2 Chứng minh: 1
2
ab bc ca
1,0
Do a2b2c2 nên ta có1
0,25
Áp dụng bất đẳng thức , , 0
2
x y
2
0,25
2
2 1
2
2 2
2
1
bc a
2
2 2
2
1
ca b
0,25
Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (1), (2), (3) kết hợp a2 b2c2 ta có bất đẳng1
thức cần chứng minh Dấu “=’’ khi 1
3