Đề-Đáp án thi vào 10 chuyên Vĩnh Phúc

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ————— ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2013-2014 ĐỀ THI MÔN: TOÁN Dành cho tất cả các thí sinh Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian giao đề. ————————— Câu 1 (2,0 điểm). Cho biểu thức ( ) 3 1 : 1 1 x P x x x   + = − −  ÷ +   , với 1, 1x x≠ ≠ − . a) Rút gọn biểu thức P . b) Tìm tất cả các giá trị của x để 2 7P x= − . Câu 2 (2,0 điểm). a) Giải hệ phương trình: 2 3 1 1 3 1 4 1 x y x y  − = −  −    + =  −  b) Giải phương trình: 1 2 3 4 99 98 97 96 x x x x+ + + + + = + Câu 3 (2,0 điểm). Cho phương trình 2 (2 1) 2 0x m x m− − + − = , (x là ẩn, m là tham số). a) Giải phương trình đã cho với 1.m = b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình đã cho có hai nghiệm và tổng lập phương của hai nghiệm đó bằng 27. Câu 4 (3,0 điểm). Cho đường tròn ( ) O và điểm M nằm ngoài ( ) O . Từ điểm M kẻ hai tiếp tuyến ,MA MC ( ,A C là các tiếp điểm) tới đường tròn ( ) O . Từ điểm M kẻ cát tuyến MBD ( B nằm giữa M và D, MBD không đi qua O ). Gọi H là giao điểm của OM và AC . Từ C kẻ đường thẳng song song với BD cắt đường tròn ( ) O tại E (E khác C), gọi K là giao điểm của AE và BD . Chứng minh: a) Tứ giác OAMC nội tiếp. b) K là trung điểm của BD. c) AC là phân giác của góc · BHD . Câu 5 (1,0 điểm). Cho các số thực dương , ,a b c thỏa mãn 2 2 2 1a b c+ + = . Chứng minh: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 ab c bc a ca b ab bc ca ab c bc a ca b + + + + + ≥ + + + + − + − + − HẾT Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm! Họ và tên thí sinh:……………………………………………; SBD:………………………………. SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ——————— (Hướng dẫn chấm có 03 trang) KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2013-2014 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN Dành cho tất cả các thí sinh ————————— A. LƯU Ý CHUNG - Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấm bài học sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa. - Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn. - Với bài hình học nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với phần đó. B. ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM Câu Ý Nội dung trình bày Điểm 1 Cho biểu thức ( ) 3 1 : 1 1 x P x x x   + = − −  ÷ +   , với 1, 1x x≠ ≠ − . a Rút gọn biểu thức P . 1,0 ( ) ( ) ( ) 2 1 1 : 1 1 x x x P x x x   + − +  ÷ = − −  ÷ +   0,50 ( ) ( ) 2 2 1 : 1x x x= − + − 0,25 1x= − . Vậy 1P x= − . 0,25 b Tìm tất cả các giá trị của x để 2 7P x= − . 1,0 Theo phần a) ta có ( ) 2 2 7 1 7 1P x x x= − ⇔ − = − 0,50 ( ) 2 2 1 6 0 3 x x x x = −  ⇔ − − = ⇔  =  . KL các giá trị của x cần tìm là: 2 3 x x = −   =  0,50 2 a Giải hệ phương trình: 2 3 1 1 3 1 4 1 x y x y  − = −  −    + =  −  1,0 Điều kiện xác định: 0, 1x y≠ ≠ . Đặt 1 1 , 1 a b x y = = − 0,25 Thay vào hệ đã cho ta được 2 3 1 2 3 1 11 11 1 3 4 9 3 12 2 3 1 1 a b a b a a a b a b a b b − = − − = − = =     ⇔ ⇔ ⇔     + = + = − = − =     0,50 1 1 1 1 2 x x y y = =   ⇔ ⇔   − = =   . Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là ( ) ( ) ; 1;2x y = . 0,25 b Giải phương trình: 1 2 3 4 99 98 97 96 x x x x+ + + + + = + 1,0 Để ý rằng 99 1 98 2 97 3 96 4+ = + = + = + nên phương trình được viết lại về dạng 0,50 1 2 3 4 1 1 1 1 99 98 97 96 x x x x+ + + + + + + = + + + (1) Phương trình (1) tương đương với ( ) 100 100 100 100 1 1 1 1 100 0 100 99 98 97 96 99 98 97 96 x x x x x x + + + +   + = + ⇔ + + − − = ⇔ = −  ÷   Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất 100.x = − 0,50 3 Cho phương trình 2 (2 1) 2 0x m x m− − + − = , (x là ẩn, m là tham số). a Giải phương trình khi 1.m = 1,0 Khi 1m = phương trình có dạng 2 1 0x x− − = 0,25 Phương trình này có biệt thức 2 ( 1) 4 1 ( 1) 5 0, 5∆ = − − × × − = > ∆ = 0,25 Phương trình có hai nghiệm phân biệt 1 1 5 2 x − = và 2 1 5 2 x + = 0,50 b Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình đã cho có hai nghiệm và tổng lập phương của hai nghiệm đó bằng 27. 1,0 Phương trình đã cho có biệt thức [ ] 2 2 2 (2 1) 4 1 ( 2) 4 8 9 4( 1) ,5 0m m m m m m∆ = − − − × × − = − + = − + > ∀ Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt 1 2 ,x x với mọi giá trị của tham số m. 0,25 Khi đó, theo định lý Viét: 1 2 1 2 2 1, 2x x m x x m+ = − = − Ta có 3 3 3 3 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) 3 ( ) 8 18 21 7x x x x x x x x m m m+ = + − + = − + − 0,25 3 3 3 2 2 1 2 27 8 18 21 34 0 ( 2)(8 2 17) 0x x m m m m m m+ = ⇔ − + − = ⇔ − − + = (1) 0,25 Do phương trình 2 8 2 17 0m m− + = có biệt thức 4 4 8 17 0 ∆ = − × × < nên (1) 2m⇔ = Vậy 2m = . 0,25 4 a Tứ giác OAMC nội tiếp. 1,0 Do MA, MC là tiếp tuyến của (O) nên · · 0 , 90OA MA OC MC OAM OCM⊥ ⊥ ⇒ = = 0,50 · · 0 180OAM OCM⇒ + = ⇒ Tứ giác OAMC nội tiếp đường tròn đường kính OM. 0,50 b K là trung điểm của BD. 1,0 Do CE // BD nên · · AKM AEC= , · · AEC ACM= (cùng chắn cung » AC ) · · AKM ACM⇒ = . Suy ra tứ giác AKCM nội tiếp. 0,50 Suy ra 5 điểm M, A, K, O, C cùng thuộc đường tròn đường kính OM ⇒ · 0 90OKM = 0,50 B K E H C A OM D hay OK vuông góc với BD. Suy ra K là trung điểm của BD. c AH là phân giác của góc · BHD . 1,0 Ta có: 2 .MH MO MA= , 2 .MA MB MD= (Do ,MBA MAD∆ ∆ đồng dạng) . .MH MO MB MD ⇒ = ,MBH MOD⇒ ∆ ∆ đồng dạng · · BHM ODM⇒ = ⇒ tứ giác BHOD nội tiếp ⇒ · · MHB BDO= (1) 0,25 Tam giác OBD cân tại O nên · · BDO OBD= (2) 0,25 Tứ giác BHOD nội tiếp nên · · OBD OHD= (3) 0,25 Từ (1), (2) và (3) suy ra · · · · MHB OHD BHA DHA= ⇒ = ⇒ AC là phân giác của góc · BHD . 0,25 5 Cho các số thực dương , ,a b c thỏa mãn 2 2 2 1a b c+ + = . Chứng minh: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 ab c bc a ca b ab bc ca ab c bc a ca b + + + + + ≥ + + + + − + − + − 1,0 Do 2 2 2 1a b c+ + = nên ta có ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 ab c ab c ab c ab c ab c a b c ab c a b ab ab c a b ab + + + + = = = + − + + + − + + + + + 0,25 Áp dụng bất đẳng thức ( ) , , 0 2 x y xy x y + ≤ > ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c c a b ab ab c a b ab a b c + + + + + ⇒ + + + ≤ ≤ = + + 0,25 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 ab c ab c ab c ab c ab c a b c ab c a b ab + + + ⇒ = ≥ = + + − + + + + + Tương tự ( ) 2 2 2 2 2 2 1 bc a bc a bc a + ≥ + + − và ( ) 2 2 2 2 2 3 1 ca b ca b ca b + ≥ + + − 0,25 Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (1), (2), (3) kết hợp 2 2 2 1a b c+ + = ta có bất đẳng thức cần chứng minh. Dấu “=’’ khi 1 3 a b c= = = . 0,25 Hết . SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ————— ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2013-2014 ĐỀ THI MÔN: TOÁN Dành cho tất cả các thí sinh Thời gian làm. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm! Họ và tên thí sinh:……………………………………………; SBD:………………………………. SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ——————— (Hướng dẫn chấm có 03 trang) KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN. tương đương với ( ) 100 100 100 100 1 1 1 1 100 0 100 99 98 97 96 99 98 97 96 x x x x x x + + + +   + = + ⇔ + + − − = ⇔ = −  ÷   Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất 100 .x = − 0,50 3 Cho