Bai toan giai theo nhieu cach

Kính gửi : Ban biên tập tạp chí TH&TT Gửi chuyên mục : Giải toán nhiều cách Bất đẳng thức lượng giác Ta xét toán lượng giác sau: Chứng minh tam giác ABC ta có 1+cosAcosBcosC ≥ sinAsinBsinC (*) Cách suy nghĩ thường xuất sử dụng đẳng thức,bất đẳng thức Bằng kết hợp khéo léo ta có cách giải khác sau: Hướng 1: Sử dụng đẳng thức lượng giác bất đẳng thức Lời giải 1: áp dụng bất đẳng thức cô si ta có: (sin A + sin B + sin C)(sin A + sin B + sin C) ≥ 9sin A sin Bsin C Mặt khác: sin A + sin B + sin C ≤ (sin A + sin B + sin C) 3 nên 3 ≥ 9sin A sin Bsin C (sin A + sin B + sin C) ≥ sin A sin Bsin C ⇔ 1+cosAcosBcosC ≥ sinAsinBsinC ⇒ ĐPCM Lời giải 2: â Áp dụng đẳng thức sin 2A + sin 2B + sin 2C = 4sin A sin Bsin C cos 2A + cos 2B + cos 2C = −1 − cos A cos Bcos C (*) ⇔ − − (cos 2A + cos 2B + cos 2C) ≥ 3(sin 2A + sin 2B + sin 2C) ⇔ 3 3 sin 2A + cos 2A) + ( sin 2B + cos 2B) + ( sin 2C + cos 2C) ≤ 2 2 2 π π π ⇔ cos(2A − ) + cos(2B − ) + cos(2C − ) ≤ (2) 3 π π π    Dễ thấy ba góc  2A − ÷ ;  2B − ÷  2C − ÷ ba góc tam giác nên 3 3 3    bất đẳng thức (2) bất đẳng thức tam giác ⇒ ĐPCM Hướng 2: Đánh giá biểu thức để đưa bà toán biến Bài toán bất đẳng thức ba biến, liệu quy biến để dễ dàng chứng minh không.từ ý tưởng đề xuất tiếp hai lời giải sau Lời giải 3: Khi hoán vị (A,B,C) bđt (*) không thay đổi không tính tổng quát ta giả sử A=max(A,B,C)Khi A ≥ 60o(3) ⇔( Xét T = + cos A cos Bcos C − sin Asin Bsin C T = + cos A[cos(B + C) + cos(B − C)] − sin A[cos(B − C) − cos(B + C)] 2 Từ (3) ta có: cos A − sin A = cos(A + 60o) < cos(B − C) ≤ nên 2 1 T ≥ − [ cos A + sin A cos A] + (cos A − sin A) = (cos A + 1)[1 − cos(A − 60o)] ≥ 2 Vì + cosAcosBcosC ≥ 3sinAsinBsinC ⇒ ĐPCM Lời giải 4: bất đẳng thức (*) tương đương với − (cos A + cos B + cos C) 1+ − (1 − cos A)(1 − cos B)(1 − cos C) ≥ (4) áp dụng bất đẳng thức côsi ta có: 2 2 2   VT(4) ≥ − (cos A + cos B + cos C) −  − (cos A + cos B + cos C) ÷  ÷   đặt t = cos A + cos B + cos C dễ thấy ≥ t ≥ 3 VT(4) ≥ − t −  − t ÷ = (3 − t)  − − t ÷ ≥ từ điều kiện ≥ t ≥   2  ta có 3− t ≥ 1 1 ; − 3− t ≥ − 3− = 3 ⇒ ĐPCM Hướng 3: Chuyển toán lượng giác toán đại số Một toán đại số ta quy toán lượng giác ngược lại ta có lời giải thứ năm sau Lời giải 5: Phương pháp đại số hoá A B C , y = tan , z = tan Đặt x = tan 2  xy + yz + zx = Bài toán trở thành : cho  chứng minh:  x, y, z > 1+ − x − y2 − z 2x 2y 2z ≥ + x + y2 + z + x + y2 + z2 (5) Ta có : (4) ⇔ (1 + x )(1 + y )(1 + z ) + (1 − x )(1 − y )(1 − z ) ≥ 3xyz Khai triển rút gọn ta có: (5) ⇔ x y + y z + z x + ≥ 3xyz áp dụng bất đẳng thức bunhiacopxki côsi ta có 1 x y + y z + z x ≥ (xy + yz + zx) = 3  xy + yz + zx  xyz = xy.yz.zx ≤  ÷ = 27   1 Nên x y + y z + z x + ≥ + = ≥ 3xyz 27 ⇒ ĐPCM Để kết thúc viết xin đưa số toán để luyện tập Bài 1: Chứng minh với tam giác ABC ta có: sin A + sin B + sin C ≤ + Bài : Chứng minh với tam giác ABC ta có: A B C sin sin sin ≤ 2 2 16 Bài : Chứng minh với tam giác ABC ta có: cot A + cot B + cot C ≥ Bài : Chứng minh tam giác ABC ta có 3(cosA+cosB+cosC) ≥ 2(sinAsinB+sinBsinC+sinCsinA) Bài : Nếu tam giác ABC tam giác tù sin A + sin B + sin C ≥ 1+ cos A + cos B + cos C Bài 6: Chứng minh tam giác ABC ta có 1 + + ≥ + cos A + cos B + cos C cos A cos B cos C Bài 7:Chứng minh với tam giác ABC ta có: + 8sin A sin Bsin C ≥ 16(sin A sin B + sin Bsin C + sin Csin A) Bài 8: Chứng minh với tam giác nhọn ABC thì: cosA+cosB+cosC ≥ 2(cosAcosB+cosBcosC+cosCcosA) Bài 9: Chứng minh với tam giác nhọn ABC thì: 10 tan A tan B + tan B tan C + tan C tan A + ≥ tan A tan B tan C 3 Giáo viên : Đậu Thanh Kỳ Trường THPT Diễn Châu IV Điện thoại : 0972240205