Toán cho vật lý (tập 1)

8/10/2017 Toán cho vật lý Tập Hà Thanh Hùng (Chủ biên), Nguyễn Thị Phương Lan, Nguyễn Huy Thảo KHOA VẬT LÝ TRƯỜNG ĐHSP HÀ NỘI Lời nói đầu Toán học ngành khoa học hấp dẫn phát triển liên tục giúp có nhiều giải đáp giới tự nhiên Việc ứng dụng toán học việc học nghiên cứu ngành Vật lý nói chung điều tất yếu Sự phát triển Vật lý đòi hỏi công cụ toán học phục vụ cho việc nghiên cứu phát triển theo Mỗi ngành Vật lý có đặc điểm riêng ứng dụng lĩnh vực toán học riêng: Sự phát triển Cơ học gắn liền với phát triển phương trình đạo hàm riêng, lý thuyết vi phân, lý thuyết tích phân, điện động lực học lý thuyết tương đối kéo theo phát triển lý thuyết tensor, lý thuyết trường lý thuyết dây kéo theo phát triển lý thuyết nhóm đại số đại … Để đáp ứng chương trình đào tạo cho sinh viên ngành Vật lý ngành khoa học tự nhiên nói chung, phần kiến thức Toán bổ trợ cho việc học nghiên cứu chuyên sâu bao gồm 02 phần:  ‘Toán cho Vật lý 1’ bao gồm: Phép tính vi phân tích phân hàm số nhiều biến, Tích phân bội, Tích phân đường tích phân mặt, Phương trình vi phân, Giải tích véc tơ…  ‘Toán cho Vật lý 2’ bao gồm: Đại số tuyến tính, Biến số phức Hàm số phức, Lý thuyết nhóm… Các phần kiến thức trình bày tương ứng 02 tập sách: ‘Toán cho Vật lý 1’ ‘Toán cho Vật lý 2’ Trước hết, để kịp thời phục vụ nhu cầu học nghiên cứu Vật lý đông đảo cán bộ, sinh viên giới thiệu sách ‘Toán cho Vật lý 1’ Cuốn sách nhằm cung cấp cho người đọc kiến thức bản, đầy đủ ngắn gọn lĩnh vực toán học có liên quan để người đọc sử dụng cho việc nghiên cứu môn học thuộc ngành vật lý đại cương số môn học khác thuộc chuyên ngành Vật lý lý thuyết thuộc chương trình đào tạo đại học sau đại học Việc trình bày nội dung sách thể cách cẩn thận, tỉ mỉ, công phu Các nội dung lý thuyết giới thiệu đầy đủ, ngắn gọn để người đọc dễ dàng nắm bắt cách hệ thống Tiếp theo nội dung lý thuyết ví dụ cụ thể việc ứng dụng lý thuyết Vật lý Các ứng dụng lựa chọn điển hình, người đọc liên hệ để giải trường hợp khác tương tự Nội dung sách xếp theo trình tự sau: Chương Hàm biến số, Chương Phép tính vi phân hàm nhiều biến số, Chương Tích phân bội, Chương Tích phân đường mặt, Chương Phương trình vi phân, Chương Giải tích véc tơ Xuân Hòa, ngày 18 tháng năm 2017 Các tác giả BẢNG CÁC KÍ HIỆU Kí hiệu Rn 𝑛⃗ 𝑙 𝑒 ∇ 𝛁 ∆ D V Ý nghĩa Không gian thực n chiều Véc tơ pháp tuyến bề mặt Véc tơ hướng Véc tơ đơn vị Toán tử Nabla Toán tử vector Nabla Toán tử Laplace Miền không gian hai chiều Miền không gian ba chiều BẢNG VIẾT TẮT Kí hiệu viết tắt VCB VCL ODEs (original diffirental equations) Ext (extremum) Inf (Infimum) Sup (Supremum) div (divergence) rot (rotation) grad (gradient) Nội dung Vô bé Vô lớn Phương trình vi phân thông thường Cực trị Cận Cận Toán tử div Toán tử rot Toán tử grad MỤC LỤC CHƯƠNG I.HÀM SỐ MỘT BIẾN I.1 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN I.2 PHÉP TÍNH VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN I.3 PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN I.4 CHUỖI SỐ, DÃY HÀM VÀ CHUỖI HÀM I.5 BÀI TẬP CHƯƠNG HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ ĐÁP SỐ BÀI TẬP CHƯƠNG 10 15 21 24 29 CHƯƠNG II PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 33 II.1 ĐỊNH NGHĨA HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ II.2 BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA HÀM SỐ BIẾN SỐ II.3 SỰ LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ II.4 ĐẠO HÀM RIÊNG CỦA HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ II.5 VI PHÂN TOÀN PHẦN II.6 ỨNG DỤNG CỦA VI PHÂN TOÀN PHẦN VÀO TÍNH GẦN ĐÚNG II.7 ĐẠO HÀM HÀM SỐ ẨN II.8 ĐẠO HÀM THEO HƯỚNG II.9 CÔNG THỨC TAYLO VỚI HÀM SỐ BIẾN SỐ II.10 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ II.11 CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN II.12 BÀI TẬP CHƯƠNG HƯỚNG DẪN GIẢI ĐÁP ÁN BÀI TẬP CHƯƠNG 33 37 40 42 44 46 48 50 52 54 56 58 67 CHƯƠNG III TÍCH PHÂN BỘI VÀ ỨNG DỤNG 83 III.1 TÍCH PHÂN LỚP III.2 TÍNH TÍCH PHÂN LỚP III.3 TÍNH DIỆN TÍCH VÀ THỂ TÍCH BẰNG TÍCH PHÂN LỚP III.4 ĐỔI BIẾN SỐ TRONG TÍCH PHÂN LỚP III.5 TÍCH PHÂN LỚP TRONG TOẠ ĐỘ CỰC III.6 MOMEN QUÁN TÍNH, TOẠ ĐỘ TRỌNG TÂM CỦA HÌNH PHẲNG III.7 TÍCH PHÂN LỚP III.8 TÍNH TÍCH PHÂN LỚP III.9 ĐỔI BIẾN SỐ TRONG TÍCH PHÂN LỚP III.10 MOMEN QUÁN TÍNH, TOẠ ĐỘ TRỌNG TÂM CỦA VẬT THỂ III.11 TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THÔNG SỐ III.12 BÀI TẬP CHƯƠNG III HƯỚNG DẪN GIẢI, ĐÁP SỐ BÀI TẬP CHƯƠNG III 83 86 92 96 100 102 105 106 108 112 114 119 122 CHƯƠNG IV TÍCH PHÂN ĐƯỜNG VÀ MẶT 124 IV.1 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG IV.2 TÍNH TÍCH PHÂN ĐƯỜNG IV.3 CÔNG THỨC GREEN IV.4 TÍCH PHÂN MẶT IV.5 TÍNH TÍCH PHÂN MẶT IV.6 CÔNG THỨC STOCKES IV.7 CÔNG THỨC OXTROGRATSKI IV.8 TOÁN TỬ HAMILTON VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG IV.9 BÀI TẬP CHƯƠNG IV HƯỚNG DẪN GIẢI, ĐÁP SỐ BÀI TẬP CHƯƠNG IV 124 126 130 133 135 138 140 142 143 147 CHƯƠNG V PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 149 V.1 ĐỊNH NGHĨA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN V.2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT V.3 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO V.4 HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN V.5 BÀI TẬP CHƯƠNG V HƯỚNG DẪN GIẢI, ĐÁP SỐ BÀI TẬP CHƯƠNG V 149 150 173 202 208 210 CHƯƠNG VI GIẢI TÍCH VÉCTƠ 219 VI.1 KHÁI NIỆM TRƯỜNG VÔ HƯỚNG VÀ TRƯỜNG VÉCTƠ VI.2 DẠNG VI PHÂN VI.3 CÁC ĐỊNH LÍ CƠ BẢN VI.4 TRƯỜNG VECTOR VI.5 BÀI TẬP CHƯƠNG VI HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ BÀI TẬP CHƯƠNG VI 219 220 225 227 229 230 Chương I Hàm số biến I.1 Giới hạn hàm số biến I.1.1 Định nghĩa Nếu hàm số f(x) xác định với x lân cận a, trừ điểm a f(x) tiến tới L x tiến tới a, ta nói giới hạn hàm f(x) x tiến tới a L, ký hiệu là: (1.1) lim 𝑓 (𝑥) = 𝐿 𝑥→𝑎 Ví dụ 1: Tìm giới hạn sau: 1 ( − ) 𝑥2 + 𝑥 + √𝑥 − 𝑎 lim , 𝑏 lim 𝑥 𝑎 , 𝑐 lim 𝑥→ −2 𝑥 + 5𝑥 + 𝑥→𝑎 𝑥 − 𝑎 x→4 𝑥 − 16 Lời giải: (𝑥 + 2)(𝑥 − 1) 𝑥2 + 𝑥 + lim = lim 𝑎 𝑥→−2 𝑥 + 5𝑥 + 𝑥→−2 (𝑥 + 2)(𝑥 + 3) 𝑥−1 = lim 𝑥→−2 𝑥 + −2 − = −2 + = −3 1 𝑎−𝑥 ( − ) 𝑏 lim 𝑥 𝑎 = lim 𝑎𝑥 𝑥→𝑎 𝑥 − 𝑎 𝑥→𝑎 𝑥 − 𝑎 𝑥−𝑎 = lim − 𝑥→𝑎 𝑎𝑥 (𝑥 − 𝑎) = lim − 𝑥→𝑎 𝑎𝑥 =− 𝑎 (√𝑥 − 2)(√𝑥 + 2) √𝑥 − 𝑙𝑖𝑚 = 𝑙𝑖𝑚 𝑐 𝑥→4 𝑥 − 16 𝑥→4 (√𝑥 + 2)(𝑥 − 16) 𝑥−4 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→4 (√𝑥 + 2)(𝑥 + 4)(𝑥 − 4) = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→4 (√𝑥 + 2)(𝑥 + 4) = 32 Phân số không xác định 𝑥 = −2 Khử thừa số chung Tính giới hạn cách thay 𝑥 = −2 Phân số không xác định 𝑥 = 𝑎 Khử thừa số chung Tính giới hạn cách thay 𝑥 = 𝑎 Phân số không xác định 𝑥 = Khử thừa số chung Tính giới hạn cách thay 𝑥 = Ví dụ 2: Tìm giới hạn sau: 𝑎 lim , 𝑏 lim 𝑔(𝑥), 𝑔(𝑥) = {𝑥 𝑛ế𝑢 𝑥 ≠ 𝑥→ 𝑥 𝑥→2 𝑛ế𝑢 𝑥 = Lời giải: 𝑎 Mặc dù hàm 𝑓(𝑥) xác định hai phía 𝑥 = hàm số 𝑓 (𝑥) = không 𝑥 có giới hạn 𝑥 = (hình vẽ 1.1) lim 𝑔(𝑥) = lim 𝑥 = 𝑏 𝑥→2 𝑔(2) = (hình vẽ 1.2) 𝑥→2 𝑦 𝑦 𝑦= 𝑥 𝑦 = 𝑔(𝑥) (1, 1) (2, 2) 𝑥 (2, 1) (−1, −1) 𝑥 Hình 1.1 Hình 1.2 I.1.2 Giới hạn phía  Giới hạn trái Nếu hàm số 𝑓(𝑥) xác định với 𝑥 lân cận trái 𝑎, trừ điểm 𝑎 𝑓(𝑥) tiến tới 𝐿 𝑥 tiến tới 𝑎 từ phía trái, ta nói giới hạn trái hàm 𝑓(𝑥) 𝑥 tiến tới 𝑎 từ phía trái 𝐿, ký hiệu là: (1.2) lim 𝑓(𝑥) = 𝐿 𝑥→𝑎− 𝑥 𝑎 𝑥 → 𝑎 − nghĩa 𝑥 tiến đến 𝑎 từ phía bên trái Hình 1.3  Giới hạn phải Nếu hàm số 𝑓(𝑥) xác định với 𝑥 lân cận phải 𝑎, trừ điểm 𝑎 𝑓(𝑥) tiến tới 𝐿 𝑥 tiến tới 𝑎 từ phía phải, ta nói giới hạn phải hàm 𝑓(𝑥) 𝑥 tiến tới 𝑎 từ phía phải 𝐿, ký hiệu là: lim 𝑓(𝑥) = 𝐿 𝑥→𝑎+ 𝑎 𝑥 𝑥 → 𝑎 + nghĩa 𝑥 tiến đến 𝑎 từ phía bên phải Hình 1.4 (1.3) Ví dụ: Tìm giới hạn phía hàm: 𝑔(𝑥) = √1 − 𝑥 𝑥 = 𝑥 = −1 Lời giải: Miền xác định hàm √1 − 𝑥 [−1, 1] nên 𝑔(𝑥) xác định bên phải 𝑥 = −1 bên trái 𝑥 = Từ hình 1.5 ta có: lim 𝑔(𝑥) = lim 𝑔(𝑥) = 𝑥→ 1− 𝑥→ −1+ hàm số 𝑔(𝑥) giới hạn phải 𝑥 = giới hạn trái 𝑥 = −1 𝑦 𝑦= − 𝑥2 −1 𝑥 Hình 1.5 I.1.3 Một số tính chất hàm có giới hạn  Tính giới hạn: Nếu lim 𝑓 (𝑥) = 𝐿 𝐿 𝑥→𝑎  Tính bị chặn: Nếu lim 𝑓(𝑥) = 𝐿 𝑓 (𝑥) bị chặn lân cận a 𝑥→𝑎  Nguyên lí kẹp: o Nếu lân cận a có: 𝑓 (𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) lim 𝑓 (𝑥) = +∞ thì: lim 𝑔(𝑥) = +∞ 𝑥→𝑎 𝑥→𝑎 o Nếu lân cận a có: lim 𝑓(𝑥) = 𝐿 𝑓 (𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) ≤ ℎ(𝑥) {𝑥→𝑎 thì: lim 𝑔(𝑥) = 𝐿 𝑥→𝑎 lim ℎ(𝑥) = 𝐿 𝑥→𝑎  Giới hạn hàm đơn điệu: Nếu xác định a tăng lân cận a tồn giới hạn trái giới hạn phải hữu hạn a và: lim 𝑓 (𝑥) ≤ 𝑓(𝑎) ≤ lim 𝑓 (𝑥) 𝑥→𝑎− 𝑥→𝑎+  Quy tắc L'Hôpital: lim 𝑓(𝑥) = lim 𝑔(𝑥) = ±∞ 𝑥→𝑎 ′( 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) 𝑓′(𝑥) Nếu { 𝑔 𝑥) ≠ lân cận a thì: lim = lim 𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) 𝑥→𝑎 𝑔′(𝑥) 𝑓′(𝑥) tồn lim 𝑥→𝑎 𝑔′(𝑥)  Sự tồn giới hạn hàm sơ cấp Hàm số sơ cấp xác định 𝑥0 lim 𝑓 (𝑥) = 𝑓 (𝑥0 ) 𝑥→𝑥0  Một số giới hạn đặc biệt: sinx shx o lim = lim =1 𝑥→0 x o 𝑥→0 x 𝑥 𝑥 lim (1 + ) = lim (1 + ) = 𝑒 𝑥→+∞ 𝑥 𝑥 𝑥→−∞ o lim 𝑥 𝑎 ln 𝑥 = lim 𝑥 −𝑎 ln 𝑥 = 𝑥→0+ 𝑥→+∞ I.1.4 Đại lượng vô bé (VCB) đại lượng vô lớn (VCL)  Định nghĩa: Đại lượng 𝛼(𝑥) gọi VCB a 𝛼(𝑥) → 𝑥 → 𝑎 Đại lượng 𝐴(𝑥) gọi VCL a 𝛼(𝑥) → ±∞ 𝑥 → 𝑎  Qui tắc ngắt bỏ VCB cấp cao: ̅̅̅̅̅̅̅ Nếu 𝛼𝑘 VCB cấp thấp số VCB 𝛼𝑖 , 𝑖 = … 𝑛 𝛼ℎ VCB cấp thấp số VCB 𝛼𝑗 , 𝑗 = ̅̅̅̅̅̅̅̅ … 𝑚 a Khi đó: n  i 1 xa m lim  j 1 i  lim xa h k (1.4) j Ví dụ: Tính giới hạn sau: 𝑎 lim 4𝑥 −3𝑥 +𝑥 −2𝑥 𝑏 lim 𝑥→0 𝑥 +4𝑥 −3𝑥 −5𝑥 4𝑥 −3𝑥 +10𝑥 −4 𝑥→ +∞ 3𝑥 +4𝑥 −7𝑥 +𝑥 Lời giải: 𝑎 lim 4𝑥 −3𝑥 +𝑥 −2𝑥 𝑥→0 𝑥 +4𝑥 −3𝑥 −5𝑥 = lim (4𝑥 −3𝑥 +𝑥 )−2𝑥 𝑥→0 (𝑥 +4𝑥 −3𝑥 )−5𝑥 −2𝑥 = lim = 𝑥→0 −5𝑥 Ngắt bỏ VCB bậc cao bậc 𝑥 𝑏 lim 𝑥→+∞ 4𝑥 −3𝑥 +10𝑥 −4 3𝑥 +4𝑥 −7𝑥 +𝑥 = lim 4𝑥 +(−3𝑥 +10𝑥 −4) 𝑥→+∞ 3𝑥 +(4𝑥 −7𝑥 +𝑥) 4𝑥 = lim = Ngắt bỏ VCL bậc thấp bậc 𝑥 𝑥→+∞ 3𝑥 I.1.5 Sự liên tục hàm số  Hàm liên tục điểm Hàm số 𝑓(𝑥) gọi liên tục điểm 𝑥 = 𝑐 nếu: lim 𝑓(𝑥) = 𝑓 (𝑐 ) 𝑥→𝑐 Ví dụ: Khảo sát tính liên tục hàm 𝑓(𝑥) 𝑥 = 𝑐 trường hợp sau: Lời giải: (𝑎) Hàm số liên tục 𝑥 = 𝑐 (𝑏) lim 𝑓 (𝑥) ≠ 𝑓(𝑐 ) 𝑥→𝑐 (𝑐 ) Không tồn lim 𝑓 (𝑥) 𝑥→𝑐 ∆𝑢 = 𝜕2𝑢 𝜕2𝑢 𝜕2𝑢 + + 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 (6.5) VI.2.2 Dạng vi phân phép toán hệ tọa độ trụ 𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑 Trong hệ tọa độ trụ (𝑟, 𝜑, 𝑧) ta có { 𝑦 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑 𝑧=𝑧 Quan hệ đạo hàm riêng là: 𝜕 𝜕 𝜕 = 𝑐𝑜𝑠𝜑 + 𝑠𝑖𝑛𝜑 𝜕𝑟 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕 𝜕 𝜕 = −𝑠𝑖𝑛𝜑 + 𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑟 𝜕𝜑 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕 𝜕 = 𝜕𝑧 𝜕𝑧 Từ tọa độ Descartes, ta biểu diễn theo tọa độ trụ: 𝜕 𝜕 𝜕 = 𝑐𝑜𝑠𝜑 − 𝑠𝑖𝑛𝜑 𝜕𝑥 𝜕𝑟 𝑟 𝜕𝜑 𝜕 𝜕 𝜕 = 𝑠𝑖𝑛𝜑 + 𝑐𝑜𝑠𝜑 𝜕𝑦 𝜕𝑟 𝑟 𝜕𝜑 𝜕 𝜕 = 𝜕𝑧 𝜕𝑧 Các vector đơn vị hệ tọa độ trụ: 𝑒𝑟 = 𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑖 + 𝑠𝑖𝑛𝜑 𝑗, 𝑒𝜑 = −𝑠𝑖𝑛𝜑 𝑖 + 𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑗, 𝑒𝑧 = 𝑘⃗ Từ ta biểu diễn vector đơn vị hệ tọa độ Descartes sau: 𝑖 = 𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑒𝑟 − 𝑠𝑖𝑛𝜑𝑒𝜑 , 𝑗, = 𝑠𝑖𝑛𝜑 𝑒𝑟 + 𝑐𝑜𝑠𝜑𝑒𝜑 , 𝑘⃗ = 𝑒𝑧 Toán tử Nabla tọa độ trụ: Thay biểu thức vector đơn vị vào biểu thức toán tử Nabla hệ tọa độ Descartes 𝜕 𝜕 𝜕 𝜕 𝜕 𝜕 ∇= 𝑖 + 𝑗, + 𝑘⃗ , ta ∇= 𝑒𝑟 + 𝑒𝜑 + 𝑒𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑟 𝑟 𝜕𝜑 𝜕𝑧 Ta thay biểu thức vào biểu thức gradient, Divergence, Rot𝐴, Laplace hệ tọa độ Descartes, Gradient tọa độ trụ: 𝜕𝑢 𝜕𝑢 𝜕𝑢 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑢 = ∇𝑢 = 𝑒𝑟 + 𝑒𝜑 + 𝑒𝑧 𝜕𝑟 𝑟 𝜕𝜑 𝜕𝑧 Divergence tọa độ trụ: 𝜕(𝑟𝑎𝑟 ) 𝜕𝑎𝜑 𝜕𝑎𝑧 𝑑𝑖𝑣𝑎 = ∇𝑎 = + + 𝑟 𝜕𝑟 𝑟 𝜕𝜑 𝜕𝑧 rot 𝑎 tọa độ trụ: 𝜕𝑎𝑧 𝜕𝑎𝜑 𝜕𝑎𝑟 𝜕𝑎𝑧 𝜕(𝑟𝑎𝜑 𝜕𝑎𝑟 ) + 𝑒𝜑 ( ) + 𝑒𝑧 ( ) 𝑟𝑜𝑡𝑎 = ∇ × 𝑎 = 𝑒𝑟 ( − − − 𝑟 𝜕𝜑 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝑟 𝑟 𝜕𝑧 𝜕𝜑 221 Laplace tọa độ trụ: 1𝜕 𝜕𝑢 𝜕2𝑢 𝜕2𝑢 (𝑟 ) + ∆𝑢 = + 𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝑟 𝜕𝜑2 𝜕𝑧 VI.2.3 Dạng vi phân phép toán hệ tọa độ cầu 𝑥 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜑 Trong hệ tọa độ cầu (𝑟, 𝜑, 𝜃), { 𝑦 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃𝑠𝑖𝑛𝜑 𝑧 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 tương tự mục VI.2.2, ta có Toán tử Nabla hệ tọa độ cầu ∇= 𝑒𝑟 𝜕 𝜕 𝜕 + 𝑒𝜃 + 𝑒𝜑 𝜕𝑟 𝑟 𝜕𝜃 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃 𝜕𝜑 Gradient tọa độ cầu: ∇u = 𝑒𝑟 𝜕𝑢 𝜕𝑢 𝜕𝑢 + 𝑒𝜃 + 𝑒𝜑 𝜕𝑟 𝑟 𝜕𝜃 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃 𝜕𝜑 Divergence tọa độ cầu: 𝜕(𝑟 𝑎𝑟 ) 𝜕(𝑠𝑖𝑛𝜃𝑎𝜃 ) 𝜕𝑎𝜑 𝑑𝑖𝑣𝑎 = ∇𝑎 = + + 𝑟 𝜕𝑟 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃 𝜕𝜃 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃 𝜕𝜑 rot 𝑎 tọa độ cầu: 𝑟𝑜𝑡𝑎 = ∇ × 𝑎 𝜕(𝑠𝑖𝑛𝜃𝑎𝜑 ) 𝜕𝑎𝜃 1 𝜕𝑎𝑟 𝜕(𝑟𝑎𝜑) ( ) + 𝑒𝜃 ( ) = 𝑒𝑟 − − 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃 𝜕𝜃 𝜕𝜑 𝑟 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝜕𝜑 𝜕𝑟 𝜕(𝑟𝑎𝜃 ) 𝜕𝑎𝑟 ) + 𝑒𝜑 ( − 𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝜃 Laplace tọa độ cầu: 𝜕 𝜕𝑢 𝜕 𝜕𝑢 𝜕2𝑢 (𝑠𝑖𝑛𝜃 ) + 2 ∆𝑢 = (𝑟 ) + 𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝑟 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝜕𝜃 𝜕𝜃 𝑟 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝜕𝜑2 VI.2.4 Một số tính chất Gradient, Divergence, Rot Laplace  Tính chất Gradien: Xác định tốc độ hướng biến thiên trường vô hướng Giả sử u, v hai hàm vô hướng, f hàm vô hướng khả vi hay nhiều biến vô hướng, đó: ∇(u + v) = ∇u + ∇v ∇(u v) = v∇u + u∇v u v∇u − u∇v ∇( ) = v v2 ∇f(u) = f ′ (u)∇u 222 ∂f ∂f ∇u + ∇v ∂u ∂v  Tính chất Divergence: Xác định tốc độ biến thiên độ lớn vector trường ∇f(u, v) = Giả sử 𝑎(𝑥, 𝑦, 𝑧), 𝑏⃗(𝑥, 𝑦, 𝑧) vector 𝑎(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑎𝑥 , 𝑎𝑦 , 𝑎𝑧 ); 𝑏⃗(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑏𝑥 , 𝑏𝑦 , 𝑏𝑧 ), 𝜑 trường vô hướng, đó: ∇(𝑎 + 𝑏⃗) = ∇𝑎 + ∇𝑏⃗ ∇(𝜑𝑎) = 𝜑∇𝑎 + 𝑎∇𝜑  Tính chất Rot 𝑎: Xác định độ quay vector điểm trường Giả sử 𝑎(𝑥, 𝑦, 𝑧), 𝑏⃗(𝑥, 𝑦, 𝑧) vector 𝑎(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑎𝑥 , 𝑎𝑦 , 𝑎𝑧 ); 𝑏⃗(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑏𝑥 , 𝑏𝑦 , 𝑏𝑧 ) 𝜑 trường vô hướng, đó: ∇ × (𝑎 + 𝑏⃗) = ∇ × 𝑎 + ∇ × 𝑏⃗ + ∇ × 𝑏⃗ ∇ × (𝜑𝑎) = 𝜑∇ × 𝑎 + ∇𝜑 × 𝑎  Tính chất toán tử Laplace: ∆(𝜆1 𝑢 + 𝜆2 𝑣 ) = 𝜆1 ∆𝑢 + 𝜆2 ∆𝑣 ∆(𝑢 𝑣 ) = 𝑢 ∆𝑣 + 𝑣 ∆𝑢 + 2∆𝑢 ∆𝑣 VI.2.5 Tích phân đường, mặt dạng vi phân  Tích phân đường hàm vector: Giả sử 𝑎 (M) hàm vector liên tục cung AB trơn khúc Chia cung AB thành đoạn cong nhỏ điểm chia Mp Trên đoạn ta chọn điểm Ni đấy, sau lấy giá trị hàm vector điểm nhân vô hướng với vector ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀 𝑖 𝑀𝑖+1 , sau tr lập tổng tích vô hướng ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∑ 𝑎(𝑁𝑖 )𝑀 𝑖 𝑀𝑖+1 (6.6) 𝑖 Nếu độ dài lớn đoạn cung AB dần đến không tổng dần đến giới hạn xác định, giới hạn gọi tích phân đường a(M) lấy cung AB, ký hiệu ∫𝐴𝐵 𝑎(𝑀)𝑑𝑟, với d𝑟 yếu tố cung có định hướng Có thể biểu diễn tích phân đường hàm vector qua tích phân đường thông thường: ∫ 𝑎(𝑀)𝑑𝑟 = ∫ 𝑎𝑥 (𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥 + 𝑎𝑦 (𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑦 𝐴𝐵 𝐴𝐵 (6.7) + 𝑎𝑧 (𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑧, ax ay, az hình chiếu vector 𝑎 (M) trục tọa độ Gọi L đường cong trường vector cho, coi 𝑎 (M) lực tác ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ dụng (khi trường vector trở thành trường lực) tích vô hướng 𝑎 (M) 𝑀 𝑖 𝑀𝑖+1 có ý nghĩa công trường lực dịch chuyển điểm dọc theo đường L Do 223 ∫𝐿 𝑎(𝑀)𝑑𝑟 gọi công trường vector dọc theo đường L Công trường vector dọc theo đường cong kín gọi lưu thông trường vector dọc theo đường cong kín Ví dụ: Tính công trường vector 𝐹 = 𝑟 dọc theo đoạn đường xoắn 𝑥 = 𝑎𝑐𝑜𝑠𝑡, 𝑦 = 𝑎𝑠𝑖𝑛𝑡, 𝑧 = 𝑏𝑡, ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋 Lời giải: Áp dụng công thức tính công lực 𝐴 = ∫ 𝐹 (𝑀)𝑑𝑟 = ∫ 𝐹𝑥 (𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥 + 𝐹𝑦 (𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑦 + 𝐹𝑧 (𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑧 𝑐 𝑐 2𝜋 𝐴 = ∫ 𝑥𝑑𝑥 + 𝑦𝑑𝑦 + 𝑧𝑑𝑧 = ∫ [𝑥 (𝑡 )𝑥 ′ (𝑡) + 𝑦(𝑡 )𝑦 ′ (𝑡 ) + 𝑧(𝑡 )𝑧 ′ (𝑡)]𝑑𝑡 = 2𝜋 𝑏2 𝑐  Tích phân mặt hàm vector: Giả sử 𝑎 (M) hàm vector liên tục mảnh mặt cong hai phía S Giả thiết điểm S có mặt phẳng tiếp xúc với nó, hướng mặt phẳng tiếp xúc biến thiên liên tục với điểm mặt Ta chia S thành mảnh nhỏ có diện tích S1 tương ứng Trên mảnh nhỏ đó, ta chọn điểm Ni lập vector 𝑛⃗i hướng theo pháp tuyến Ni phía mặt chọn Nhân vô hướng giá trị hàm vector điểm Ni với 𝑛⃗i lập tổng tích vô hướng đó, ta được: ∑ 𝑎(𝑁𝑖 )𝑛⃗𝑖 (6.8) 𝑖 Nếu đường kính lớn mảnh nhỏ dần đến không tổng dần đến giới hạn xác định, gọi tích phân mặt 𝑎 (M) theo phía chọn mặt S: ∬ 𝑎(M)𝑑𝑆 (6.9) 𝑆 với d𝑆 yếu tố xác định hướng mặt Ta biểu diễn tích phân mặt hàm vector qua tích phân mặt thông thường: ∬ 𝑎(M)𝑑𝑠 = ∬ 𝑎𝑥 𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑎𝑦 𝑑𝑧𝑑𝑥 + 𝑎𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦, 𝑆 (6.10) 𝑆 với ax, ay, az thảnh phần 𝑎 (M) trục x, y, z Giả sử 𝑎 (M) trường vector S mảnh mặt cong Nếu trường vector xem trường vận tốc dòng chất lỏng đơn vị thời gian có dòng chất lỏng chảy qua yếu tố diện tích Si với thể tích 𝑆𝑖 𝑎(𝑁𝑖 )𝑛𝑖 =∣ 𝑛⃗𝑖 ∣∣ 𝑎(𝑁𝑖 ) ∣ cos[𝑛⃗𝑖 , 𝑎(𝑁𝑖 )] = 𝑎(𝑁𝑖 )𝑛⃗𝑖 224 (6.11) Do ∬ 𝑎(M)𝑑𝑆 lượng chất lỏng chảy qua mặt S đơn vị thời gian, gọi thông lượng trường vector qua mặt S VI.3 Các định lí VI.3.1 Định lí Stockes Công thức Stockes thiết lập mối liên hệ tích phân mặt với tích phân đường theo đường cong kín bao quanh mặt Ta biết công lực đoạn cong lưu thông đoạn cong tính tích phân đường loại hai Dễ thấy lưu thông trường vector phụ thuộc vào hình dạng đường cong mà phụ thuộc vào định hướng không gian Xét đường cong kín C nằm mặt phẳng có vector pháp tuyến 𝑛⃗ Diện tích 𝑄 ∮ 𝒂𝑑𝒓 miền bao đường cong kín S Tỉ số = 𝐶 mật độ lưu thông trung 𝑆 𝑆 bình mặt S Ta đưa vào khái niệm rot𝑎 đặc trưng cho độ xoáy trường, hình chiếu vector độ xoáy trường theo phương pháp tuyến 𝑛⃗ mật độ lưu thông trường điểm M xét theo phương 𝑛⃗: 𝑟𝑜𝑡𝑛 𝑎 = lim ∮ 𝑆→0 𝐶 𝑎𝑑𝑟 𝑆 (6.12) Ta có lưu thông trường vector dọc theo chu tuyến kín C thông lượng vector rot 𝑎 trường vector qua mặt σ bao chu tuyến C: ∬ 𝑟𝑜𝑡𝑎𝑑𝑆 = ∮ 𝑎𝑑𝑟 (6.13) 𝐶 𝑆 Ví dụ: Tính lưu thông trường vector 𝐴 = (𝑦 − 𝑧)𝑖 + (𝑧 − 𝑥)𝑗 + (𝑥 − 𝑦)𝑘⃗ dọc theo đường cong L: {𝑥 + 𝑦 = 1; 𝑥 + 𝑧 = 1} với chiều lấy tích phân ngược chiều kim đồng hồ nhìn L từ phía dương trục Ox Lời giải: Lưu thông trường vector xác định bởi: ∮𝐿 𝐴𝑑𝑟 Áp dụng công thức Stockes, ta có: ∮𝐿 𝐴𝑑𝑟 = ∬𝑆 𝑟𝑜𝑡𝐴𝑑𝑠 = − ∬𝑆 2√2𝑑𝑆 = −2√2𝑆 = −4ᴨ 1 2 với 𝑟𝑜𝑡𝐴 = (−2, −2, −2); 𝑑𝑠 = (√ , 0, √ ) VI.3.2 Định lí Green Xét trường vector 𝐴 có dạng: = 𝜓𝑔𝑟𝑎𝑑𝜑, 𝜓, 𝜑 hàm vô hướng Áp dụng định lý Ostrogratski cho trường hợp này, ta có: 225 ∮ 𝐴𝑑𝑠 = ∭ 𝑑𝑖𝑣𝐴𝑑𝑉 = ∫ 𝑑𝑖𝑣(𝜓𝑔𝑟𝑎𝑑𝜑)𝑑𝑉 𝑆 𝑉 𝑉 (6.14) = ∫ (𝜓𝑑𝑖𝑣𝑔𝑟𝑎𝑑𝜑 + 𝑔𝑟𝑎𝑑𝜓𝑔𝑟𝑎𝑑𝜑)𝑑𝑉 𝑉 𝜕𝜑 Hay ∮𝑆 𝐴𝑑𝑠 = ∮𝑆 𝜓 𝑑𝑠 = ∫𝑉 (𝜓∆𝜑 + ∇𝜑∇𝜓)𝑑𝑉 , với 𝑛⃗ pháp tuyến của ⃗ 𝜕𝑛 mặt S Đây công thức Green thứ Nếu ta đổi chỗ 𝜓, 𝜑 cho công thức trên, ta có: ∮𝜑 𝑆 𝜕𝜓 𝑑𝑠 = ∫ (𝜑∆𝜓 + ∇𝜓∇𝜑)𝑑𝑉 𝜕𝑛⃗ (6.15) 𝑉 Trừ hai công thức cho nhau, ta công thức Green thứ hai: ∮ (𝜑 𝑆 𝜕𝜓 𝜕𝜑 − 𝜓 ) 𝑑𝑠 = ∫ (𝜑∆𝜓 − 𝜓∆𝜑)𝑑𝑉 𝜕𝑛⃗ 𝜕𝑛⃗ (6.16) 𝑉 VI.3.3 Định lí Gauss-Oxtrogratski-Green Định lí Ostrogratski thiết lập mối liên hệ tích phân ba lớp miền V không gian ba chiều với tích phân mặt theo mặt cong kín σ bao quanh thể tích V Ta có ∬ 𝑎(M)𝑑𝑠 = ∬ 𝑎𝑥 𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑎𝑦 𝑑𝑧𝑑𝑥 + 𝑎𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑆 𝑆 𝜕𝑎𝑥 𝜕𝑎𝑦 𝜕𝑎𝑧 = ∭( + + )𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 (6.17) 𝑉 Mặt khác, ta có div𝑎 (M) điểm M trường vector đại lượng vô hướng: 𝜕𝑎𝑥 𝜕𝑎𝑦 𝜕𝑎𝑧 𝑑𝑖𝑣𝑎 = + + 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 Do vậy, ta ∬ 𝑎(M)𝑑𝑠 = ∭ 𝑑𝑖𝑣𝑎𝑑𝑉 𝑆 (6.18) 𝑉 Ý nghĩa thủy học công thức: Nếu 𝑎 = 𝑎𝑥 𝑖 + 𝑎𝑦 𝑗 + 𝑎𝑧 𝑘⃗ vector vận tốc chất lỏng chảy qua miền V tích phân cho biết lượng chất lỏng chảy từ miền V qua mặt 226 S đơn vị thời gian (hoặc chảy vào miền V tích phân âm), lượng biểu thị tích phân ba lớp 𝑑𝑖𝑣𝑎 Nếu 𝑑𝑖𝑣𝑎 = ∬𝑆 𝑎(M)𝑑𝑠 = 0, tức lượng chất lỏng chảy (hay chảy vào) qua mặt kín S không Nói cách khác, lượng chất lỏng chảy vào miền lượng chất lỏng chảy từ miền Công thức cho biết thông lượng trường vector qua mặt cong kín S tích phân ba lớp dive trường vector theo thể tích bao mặt cong Ví dụ: Tính thông lượng vector 𝐴 = 𝑥𝑧𝑖 + 𝑦𝑥𝑗 + 𝑧𝑦𝑘⃗ qua mặt cầu 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 2𝑥 Lời giải: Thông lượng 𝐴 xác định ∬ 𝐴(M)𝑑𝑠 Áp dụng định lý Ostrogratski, ta có: ∬ 𝐴𝑑𝑠 = ∭ 𝑑𝑖𝑣𝐴𝑑𝑉 = ∭(𝑥 + 𝑦 + 𝑧)𝑑𝑉 = 𝑆 𝑉 𝑉 4ᴨ VI.4 Trường vector VI.4.1 Các trường rot, div, gradient mối quan hệ  Nếu 𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧) trường vô hướng miền Ω 𝜕𝑢 𝜕𝑢 𝜕𝑢 Ta có: 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑢 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑖 + 𝑗 + 𝑘⃗ , với 𝑖, 𝑗, 𝑘⃗ vector đơn vị trục 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 tọa độ Vậy 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑢 (𝑥, 𝑦, 𝑧) trường vector Ω 𝐹 = 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑢 (6.19) trường 𝐹 gọi trường xác định Ω, 𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧) gọi hàm số vị trường 𝐹 Ý nghĩa vật lý hàm gradien: dùng trường 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑢 để tính đại lượng vật lý thực dạng vector, đơn trị đo thực nghiệm Ví dụ cường độ điện trường 𝐸⃗ xác định cách đơn trị qua vô hướng : 𝐸⃗ = −𝑔𝑟𝑎𝑑𝜑  Nếu 𝐹 (𝑀) = 𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧), 𝑄(𝑥, 𝑦, 𝑧), 𝑅(𝑥, 𝑦, 𝑧)) trường vector miền Ω 𝜕𝑃 𝜕𝑄 𝜕𝑅 Ta có 𝑑𝑖𝑣𝐹 = + + , 𝑑𝑖𝑣𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑧) trường vô hướng Ω 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 Ý nghĩa vật lý hàm dive: Dive hàm vector có nhiều ứng dụng vật lý ⃗ vector cảm ứng điện, 𝜌 mật độ tính thông lượng trường vector Với 𝐷 ⃗ = 𝜌 điện tích, ta có: 𝑑𝑖𝑣𝐷 Giả sử 𝒗(𝑥, 𝑦, 𝑧) vận tốc chất lỏng xác định miền V có mật độ 𝜌, thành phần vector 𝐹 = 𝜌𝒗 có đạo hàm riêng liên tục Với M điểm lòng chất lỏng, 𝑑𝑖𝑣𝐹 (𝑀) > 0, thông lượng miền V, ta nói M điểm nguồn, 𝑑𝑖𝑣𝐹 (𝑀) < 0, ta nói M điểm rò, 𝑑𝑖𝑣𝐹 (𝑀) = ∀𝑀 ∈ 𝑉 thông lượng qua mặt kín không, ta nói trường vecror 𝐹 (𝑀) có thông lượng bảo toàn 227  Ta có 𝑟𝑜𝑡𝐹 = ( 𝜕𝑅 𝜕𝑦 − 𝜕𝑄 𝜕𝑧 )𝑖 + ( 𝜕𝑃 𝜕𝑧 − 𝜕𝑅 𝜕𝑥 )𝑗 + ( 𝜕𝑄 𝜕𝑥 − 𝜕𝑃 𝜕𝑦 ) 𝑘⃗ , 𝑟𝑜𝑡𝐹 trường vector Ω Ý nghĩa vật lý hàm rot: 𝑟𝑜𝑡𝑎 vector 𝑎 mô tả nhiều tượng điện từ quan ⃗ sinh dòng điện với mật độ: 𝑟𝑜𝑡𝐻 ⃗ = trọng rot thông lượng từ trường 𝐻 𝑗 ⃗ theo thời Thông lượng trường điện 𝐸⃗ sinh biến thiên vector cảm ứng từ 𝐵 𝜕𝐵 gian: : 𝑟𝑜𝑡𝐸⃗ = − 𝜕𝑡 ⃗ = 0, div𝑨 ⃗⃗ = VI.4.2 Các điều kiện cần đủ để rot ⃗𝑨 VI.4.2.1 Trường (trường xoáy): Xét trường vector 𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧), 𝑄(𝑥, 𝑦, 𝑧), 𝑅(𝑥, 𝑦, 𝑧)), với (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ Ω ⊂ 𝑅3 , 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧), 𝑄 (𝑥, 𝑦, 𝑧), 𝑅(𝑥, 𝑦, 𝑧) hàm khả vi liên tục miền Ω Trường vector 𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑧) gọi trường tồn hàm vô hướng 𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧) thuộc không gian 𝑅3 cho 𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑢 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = ( 𝜕𝑢 𝜕𝑢 𝜕𝑢 , , ) 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 (6.20) Hàm 𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧) gọi hàm thế, mặt mức 𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝐶 gọi mặt đẳng Vậy trường vector 𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑧) trường biểu thức 𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦 + 𝑅𝑑𝑧 vi phân hoàn chỉnh, tức tồn hàm 𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧) khả vi liên tục hai lần Ω cho 𝑑𝑢 = 𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦 + 𝑅𝑑𝑧 Mặt khác từ định lí Stockes ta suy điều xảy 𝑟𝑜𝑡𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = ∀(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ Ω ⊂ 𝑅3 Vậy, trường vector 𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑧) trường khi 𝑟𝑜𝑡𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = Thật 𝑟𝑜𝑡𝑔𝑟𝑎𝑑𝑢 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = Vì trường gọi trường xoáy VI.4.2.2 Trường ống: Trường vector 𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑧), (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ Ω ⊂ 𝑅3 gọi trường ống tồn ⃗ (𝑥, 𝑦, 𝑧), (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ Ω cho: vector 𝑉 (6.21) ⃗ (𝑥, 𝑦, 𝑧), (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ Ω 𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑟𝑜𝑡𝑉 ⃗)=0 Thật 𝑑𝑖𝑣𝐹 = 𝑑𝑖𝑣(𝑟𝑜𝑡𝑉 Theo công thức Ostrogratski ta suy trường vector 𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑧) trường ống điều kiện cần đủ thông lượng trường vector 𝐹 qua mặt cong kín S nằm Ω phải không ∬ 𝐹 𝑑𝑠 = ∬ 𝑃dydz + 𝑄𝑑𝑧𝑑𝑥 + 𝑅𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∭ 𝑑𝑖𝑣𝐹 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑆 𝑆 𝑉 =0 Trong V miền bị chặn có biên mặt cong S nằm Ω 228 (6.22) ⃗⃗ Laplace VI.4.3 Một số tính chất Gradient, Divergence, Rot𝑨 ⃗ (𝑥, 𝑦, 𝑧) trường Giả sử 𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧), 𝑣 (𝑥, 𝑦, 𝑧) trường vô hướng, 𝐴(𝑥, 𝑦, 𝑧), 𝐵 vector, 𝑢𝐴 trường vector.Ta có hệ thức: 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑢𝑣 = 𝑢𝑔𝑟𝑎𝑑𝑣 + 𝑣𝑔𝑟𝑎𝑑𝑢 𝑑𝑖𝑣 𝑢𝐴 = (𝑔𝑟𝑎𝑑𝑢, 𝐴) + 𝑢𝑑𝑖𝑣 𝐴 𝑟𝑜𝑡 𝑢𝐴 = [𝑔𝑟𝑎𝑑𝑢, 𝐴] + 𝑢𝑟𝑜𝑡 𝐴 ⃗]=𝐵 ⃗ 𝑟𝑜𝑡𝐴 − 𝐴𝑟𝑜𝑡𝐵 ⃗ 𝑑𝑖𝑣 [𝐴, 𝐵 𝑑𝑖𝑣(𝑔𝑟𝑎𝑑𝑢 ) = ∆𝑢 𝑟𝑜𝑡 (𝑔𝑟𝑎𝑑𝑢 ) = 𝑑𝑖𝑣(𝑟𝑜𝑡𝐴) = 𝑟𝑜𝑡(𝑟𝑜𝑡𝐴) = ∇(∇ 𝐴) − ∇2 𝐴 VI.5 Bài tập chương VI Cho 𝑢 = 𝑥 +𝑦 +𝑧 Tính 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑢, điểm 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑢 vuông góc với trục 𝑜𝑧? Tính 𝑟𝑜𝑡 trường vector 𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑦 + 𝑧)𝑖 + (𝑧 + 𝑥)𝑗 + (𝑥 + 𝑦)𝑘⃗ Tính 𝑟𝑜𝑡 [(𝑟, 𝑎) 𝑟], 𝑎 = 𝑖 + 𝑗 + 𝑘⃗ , 𝑟 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧𝑘⃗ Dùng toán tử Hamiltơn chứng minh 𝑑𝑖𝑣(𝑟𝑜𝑡𝐹 ) = 𝑟𝑜𝑡(𝑔𝑟𝑎𝑑𝑢 ) = 𝑑𝑖𝑣 (𝑔𝑟𝑎𝑑𝑢 ) = ∆𝑢 2( ∇ 𝑢𝑣 ) = 𝑢∇2 𝑣 + 𝑣∇2 𝑢 + 2∇𝑢 ∇𝑣 Tính 𝑑𝑖𝑣 (𝑔𝑟𝑎𝑑 ), với 𝑟 = 𝑟 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 Tính 𝑑𝑖𝑣𝐹 , 𝑟𝑜𝑡𝐹 trường 𝐹 = (𝑟 + + 𝑙𝑛𝑟) 𝑟, 𝑟 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧𝑘⃗ 𝑟 𝑥2 𝑦2 𝑧2 𝑟= + + Cho trường vector 𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑧𝑖 + 𝑦𝑧𝑗 − 𝑥𝑦𝑘⃗ a Tìm họ đường vector trường b Tính 𝑑𝑖𝑣𝐹 𝐴(1, 1, 1) c Tính thông lượng 𝐹 qua phía nửa mặt cầu 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 𝑅2 Tính 𝑑𝑖𝑣𝐹 , 𝐹 = ⃗ −𝑥𝑖+𝑦𝑗+𝑧𝑘 𝑥 +𝑦 𝑀(3, 4, 5) Tính 𝑑𝑖𝑣(𝑔𝑟𝑎𝑑𝑓(𝑟)), với 𝑟 = 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 , 𝑓 hàm cho trước có đạo hàm hai lần Khi 𝑑𝑖𝑣(𝑔𝑟𝑎𝑑𝑓(𝑟)) = 0? 10 Tính thông lượng vector 𝑟 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) qua mặt bên hình nón 𝑥 + 𝑦 ≤ 𝑧 , ≤ 𝑧 ≤ ℎ 11 Tính thông lượng vector 𝑟 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) qua đáy hình nón 𝑥 + 𝑦 ≤ 𝑧 , ≤ 𝑧 ≤ ℎ 229 12 Tính thông lượng bán kính vector 𝑟 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) qua mặt 𝑧 = − 𝑥 + 𝑦 , 0≤𝑧≤1 1 13 Tính công trường vector 𝐹 = ( , , ) dọc theo đoạn thẳng nối điểm 𝑦 𝑧 𝑥 𝑀(1, 1, 1) 𝑁(2, 4, 8) 14 Tính lưu số trường vector 𝐹 = (−𝑦, 𝑥, 𝑐) với c số, dọc theo đường tròn 𝑥 + 𝑦 = 1, 𝑧 = 15 Cho trường vô hướng 𝑢 = 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 Tính thông lượng 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑢 qua phía mặt cầu 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 16 Tính lưu số trường vector 𝜔 ⃗ × 𝑟 theo vòng tròn bán kính 𝑟 nằm mặt phẳng vuông góc với vectơ 𝜔 ⃗ không đổi Biết tâm vòng tròn trùng với gốc tọa độ 𝑚𝑟 17 Tính 𝑑𝑖𝑣𝑒 thông lượng lực hấp dẫn 𝐹 = −𝐺 điểm có khối lượng 𝑚 𝑟 đặt gốc tọa độ qua mặt kín tùy ý bao quanh điểm gốc tọa độ, với 𝐺 hệ số hấp dẫn 18 Tính lưu số trường vector 𝐹 = 2(𝑥 + 𝑦 )𝑖 + (𝑥 + 𝑦)2 𝑗 19 Chứng tỏ trường 𝐹 = 𝑦𝑧(2𝑥 + 𝑦 + 𝑧)𝑖 + 𝑥𝑧(𝑥 + 2𝑦 + 𝑧)𝑗 + 𝑥𝑦(𝑥 + 𝑦 + 2𝑧)𝑘⃗ trường 20 Chứng minh công thức sau: 𝑔𝑟𝑎𝑑(𝑢𝑣) = 𝑢𝑔𝑟𝑎𝑑𝑣 + 𝑣𝑔𝑟𝑎𝑑𝑢 𝑑𝑖𝑣 𝑢𝐴 = (𝑔𝑟𝑎𝑑𝑢, 𝐴) + 𝑢𝑑𝑖𝑣 𝐴 𝑟𝑜𝑡 𝑢𝐴 = [𝑔𝑟𝑎𝑑𝑢, 𝐴] + 𝑢𝑟𝑜𝑡 𝐴 ⃗]=𝐵 ⃗ 𝑟𝑜𝑡𝐴 − 𝐴𝑟𝑜𝑡𝐵 ⃗ 𝑑𝑖𝑣 [𝐴, 𝐵 Hướng dẫn đáp số tập chương VI Cho 𝑢 = 𝑢′𝑥 = − 𝑥 +𝑦 +𝑧 𝑥 𝑦 𝑧 , 𝑢′ = − , 𝑢′ = − 𝑦 𝑧 (𝑥 + 𝑦 + 𝑧 )3/2 (𝑥 + 𝑦 + 𝑧 )3/2 (𝑥 + 𝑦 + 𝑧 )3/2 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑢 = − (𝑥 + 𝑦2 + 𝑧 )2 (𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧𝑘⃗ ) Để 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑢 vuông góc với trục 𝑜𝑧 (𝑔𝑟𝑎𝑑𝑢, 𝑘⃗ ) = ⇒ 𝑧 = Vậy điểm thuộc mặt 𝑧 = 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑢 vuông góc với trục 𝑜𝑧 Đặt 𝑃 = 𝑦 + 𝑧, 𝑄 = 𝑥 + 𝑧, 𝑅 = 𝑥 + 𝑦 𝑃′𝑦 = 𝑃′𝑧 = 1, 𝑄′𝑥 = 𝑄′𝑧 = 1, 𝑅′𝑥 = 𝑅′𝑦 = 230 𝑖 𝑟𝑜𝑡𝐹 = | 𝑘⃗ 𝑗 𝜕 𝜕 𝜕 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝑦+𝑧 𝑥+𝑧 |=0 𝑥+𝑦 Tính 𝑟𝑜𝑡 [(𝑟 𝑎) 𝑟], 𝑎 = 𝑖 + 𝑗 + 𝑘⃗ , 𝑟 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧𝑘⃗ (𝑟 , 𝑎 ) = 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 (𝑟, 𝑎) 𝑟 = (𝑥 + 𝑦 + 𝑧)( 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧𝑘⃗ ) = (𝑥 + 𝑥𝑦 + 𝑥𝑧)𝑖 + (𝑥𝑦 + 𝑦 + 𝑦𝑧)𝑗 + (𝑥𝑧 + 𝑦𝑧 + 𝑧 )𝑘⃗ Đặt 𝑃 = (𝑥 + 𝑥𝑦 + 𝑥𝑧), 𝑄 = (𝑥𝑦 + 𝑦 + 𝑦𝑧), 𝑅 = (𝑥𝑧 + 𝑦𝑧 + 𝑧 ) 𝑖 𝑗 𝑘⃗ 𝜕 𝜕 𝜕| 𝑟𝑜𝑡 [(𝑟, 𝑎) 𝑟] = || | = (𝑧 − 𝑦)𝑖 + (𝑥 − 𝑧)𝑗 + (𝑦 − 𝑥)𝑘⃗ 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝑃 𝑄 𝑅 𝑑𝑖𝑣(𝑟𝑜𝑡𝐹 ) = 𝑑𝑖𝑣(𝛁 × 𝐹 ) = 𝛁(𝛁 × 𝐹 ) = (𝛁 × 𝛁)𝐹 = 𝑟𝑜𝑡(𝑔𝑟𝑎𝑑𝑓 ) = 𝛁 × (𝛁𝑓) = (𝛁 × 𝛁)𝑓 = 𝑑𝑖𝑣(𝑔𝑟𝑎𝑑𝑓 ) = 𝛁(𝛁𝑓) = (𝛁 𝛁)𝑓 = ∇2 𝑓 = ∆𝑓 ∇2 (𝑢𝑣 ) = 𝛁 𝛁(𝑢𝑣 ) = 𝛁(𝑢𝛁𝑣 + 𝑣𝛁𝑢) = 𝛁 𝑢𝛁𝑣 + 𝛁 𝑣𝛁𝑢 = 𝑢∇2 𝑣 + 𝛁𝑢 𝛁𝑣 + 𝑣∇2 𝑢 + 𝛁𝑣 𝛁𝑢 = 𝑢∇2 𝑣 + 𝑣∇2 𝑢 + 2∇𝑢 ∇𝑣 1 𝑟 𝑟2 𝑑𝑖𝑣 (𝑔𝑟𝑎𝑑 ) = 𝑑𝑖𝑣 (− 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑟) = 𝑑𝑖𝑣 (− 𝒓 𝑟2 𝑟 )=− 𝑟3 𝑑𝑖𝑣𝒓 + 𝒓𝑔𝑟𝑎𝑑 −1 𝑟3 3 3 𝑟 𝑑𝑖𝑣 (𝑔𝑟𝑎𝑑 ) = − + 𝑟 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑟 = − + 𝑟 = 𝑟 𝑟 𝑟 𝑟 𝑟 𝑟 𝑑𝑖𝑣𝑟 = 3, 𝑟𝑜𝑡𝑟 = 𝑑𝑖𝑣𝐹 = 𝑑𝑖𝑣 (𝑟 + 1 + 𝑙𝑛𝑟) 𝑟 = (𝑟 + + 𝑙𝑛𝑟) 𝑑𝑖𝑣𝑟 + 𝑟𝑔𝑟𝑎𝑑 (𝑟 + + 𝑙𝑛𝑟) 𝑟 𝑟 𝑟 1 + 𝑙𝑛𝑟) + 𝑟 (2𝑟 − + ) 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑟 𝑟 𝑟 𝑟 1 𝑟 = (𝑟 + + 𝑙𝑛𝑟) + 𝑟 (2𝑟 − + ) 𝑟 𝑟 𝑟 𝑟 1 = (𝑟 + + 𝑙𝑛𝑟) + 𝑟 (2𝑟 − + ) = 5𝑟 + + + 3𝑙𝑛𝑟 𝑟 𝑟 𝑟 𝑟 𝑑𝑖𝑣𝐹 = (𝑟 + 1 + 𝑙𝑛𝑟) 𝑟 = (𝑟 + + 𝑙𝑛𝑟) 𝑟𝑜𝑡𝑟 + 𝑔𝑟𝑎𝑑 (𝑟 + + 𝑙𝑛𝑟) × 𝑟 𝑟 𝑟 𝑟 1 𝑟 = (2𝑟 + − ) × 𝑟 = 𝑟 𝑟 𝑟 𝑟𝑜𝑡𝐹 = 𝑟𝑜𝑡 (𝑟 + a, Hệ phương trình đường vector: 231 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 = = 𝑥𝑧 𝑦𝑧 𝑥𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = ⇒ 𝑙𝑛|𝑥| = 𝑙𝑛|𝑦| + 𝑙𝑛|𝐶1 | = 𝑙𝑛|𝐶1 𝑦| ⇒ 𝑥 = 𝐶1 𝑦 𝑥 𝑦 thay x vào phương trình 𝑑𝑦 𝑑𝑧 =− ⇒ 𝐶1 𝑦𝑑𝑦 = −𝑧𝑑𝑧 ⇒ 𝑧 = −𝐶1 𝑦 + 𝐶2 = −𝑥𝑦 + 𝐶2 ⇒ 𝑧 + 𝑥𝑦 = 𝐶2 𝑧 𝑥 Vậy họ đường vector có phương trình: 𝑥 = 𝐶1 𝑦, 𝑧 + 𝑥𝑦 = 𝐶2 , với 𝐶1 , 𝐶2 số b, 𝑑𝑖𝑣𝐹 (𝐴) = {(𝑥𝑧)′𝑥 + (𝑦𝑧)′𝑦 + (−𝑥𝑦)′𝑧 }𝐴 = c, Thông lượng Φ = ∬S 𝑥𝑧𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑦𝑧𝑑𝑥𝑑𝑧 − 𝑥𝑦𝑑𝑥𝑑𝑧, với S phía nửa mặt cầu 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 𝑅2 Vì tích phân lấy mặt 𝑥 + 𝑦 ≤ 𝑅2 không Φ = ∭ 2zdxdydz V Đổi sang hệ tọa độ cầu: Φ = 𝑑𝑖𝑣𝐹 (𝑀) = 18 125 πR4 𝑑𝑖𝑣(𝑔𝑟𝑎𝑑𝑓 (𝑟)) = 𝑓 ′′ + 𝑓 ′ 𝑟 Để 𝑑𝑖𝑣(𝑔𝑟𝑎𝑑𝑓 (𝑟)) = 𝑓 ′′ + 𝑓 ′ = 𝑟 𝑓 (𝑟) = 𝐶1 + 𝐶2 𝑟 10 Áp dụng công thức tính thông lượng Φ = ∬𝑆 𝐹 𝑑𝑆, S mặt bên hình nón 𝑥 + 𝑦 ≤ 𝑧 , ≤ 𝑧 ≤ ℎ Tại điểm (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝑆 𝐹 = 𝑟 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) trực giao với pháp tuyến 𝑛⃗ mặt S, Φ = ∬ 𝐹 𝑑𝑆 = ∬ 𝑟 𝑛⃗ 𝑑𝑆 = 𝑆 𝑆 11 S đáy hình nón 𝑥 + 𝑦 ≤ 𝑧 , ≤ 𝑧 ≤ ℎ Trên mặt đáy S hình nón có vector đơn vị pháp tuyến n mặt S hướng với trục oz Do 𝐹 𝑛⃗ = 𝑟 𝑛⃗ = z Vậy 232 Φ = ∬𝑆 𝐹 𝑑𝑆 = ∬𝑆 𝑟 𝑛⃗ 𝑑𝑆 = ∬𝑆 z 𝑑𝑆 = ∬𝑥2 +𝑦 2≤𝑧 h 𝑑𝑥𝑑𝑦 = 𝜋ℎ3 12 𝑧 = − 𝑥 + 𝑦 , ≤ 𝑧 ≤ ⇒ (𝑧 − 1)2 = 𝑥 + 𝑦 Đây phương trình mặt nón Vậy S biên mặt nón V (gồm mặt bên 𝑧 − = − 𝑥 + 𝑦 , ≤ 𝑧 ≤ mặt đáy 𝑥 + 𝑦 = 1, 𝑧 = 0) Thông lượng Φ = ∬𝑆 𝐹 𝑑𝑆 = ∬𝑆 𝑟 𝑛⃗ 𝑑𝑆 = ∭𝑉 𝑑𝑖𝑣 𝑟𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = ∭𝑉 3𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = 3𝑉 Với V thể tích hình nón có đáy hình bán kính r = chiều cao h = 𝜋 Φ = 3𝑉 = = 𝜋 13 Phương trình đường thẳng qua điểm M, N 𝑥−1= 𝑦−1 𝑧−1 = hay: 𝑥 = 𝑡, 𝑦 = 3𝑡 − 2, 𝑧 = 7𝑡 − 6, ≤ 𝑡 ≤ Áp dụng công thức: 𝐴 = ∫ 𝑎(𝑀)𝑑𝑟 = ∫ 𝑎𝑥 (𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥 + 𝑎𝑦 (𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑦 + 𝑎𝑧 (𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑧 𝐴𝐵 𝐴𝐵 1 1 1 188 𝐴 = ∫ 𝑑𝑥 + 𝑑𝑦 + 𝑑𝑧 = ∫ ( ∫ + + 7) 𝑑𝑡 = 𝑙𝑛2 𝑦 𝑧 𝑥 3𝑡 − 7𝑡 − 𝑡 21 𝑀𝑁 𝑀𝑁 14 Lưu số trường vector 𝐹 đường cong kín: 𝐿 = ∮𝐿 𝐹 𝑑𝑟 = ∮𝐿 𝐹𝑥 𝑑𝑥 + 𝐹𝑦 𝑑𝑦 + 𝐹𝑧 𝑑𝑧 = ∮𝐿 −𝑦𝑑𝑥 + 𝑦𝑑𝑦 + 𝑐𝑑𝑧 Đường cong L : 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝜑, 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛𝜑, ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋 2𝜋 𝐿 = ∫ (𝑠𝑖𝑛2 𝜑 + 𝑐𝑜𝑠 𝜑)𝑑𝜑 = 2𝜋 15 Cho 𝑢 = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑢 = 𝑥 𝑥 +𝑦 +𝑧 𝑖+ 𝑦 𝑥 +𝑦 +𝑧 𝑗+ 𝑧 𝑥 +𝑦 +𝑧 𝑘⃗ Thông lượng qua phía mặt cầu 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1: 233 Φ = ∬ 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑢 𝑑𝑆 = ∬ 𝑆 𝑆 =∭ 𝑉 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 (𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑦𝑑𝑧𝑑𝑥 + 𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦) 2𝜋 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 𝜋 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = ∫ 𝑑𝜑 ∫ 𝑑𝜃 ∫ 0 𝑟 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑑𝑟 = 4𝜋 𝑟 16 Theo định lý Stockes 𝐿=∮𝜔 ⃗ × 𝑟 𝑑𝑙 = ∬ 𝑟𝑜𝑡 [𝜔 ⃗ × 𝑟 ]𝑑𝑆 = ∬ 2𝜔 ⃗ 𝑑𝑆 = 2𝜋𝜔𝑟 𝐿 𝑆 𝑆 17 𝐹 = −𝐺 𝑚𝑟 𝑟3 𝑑𝑖𝑣𝐹 = 0, điểm trừ gốc tọa độ Để tính thông lượng, áp dụng công thức Ostrograski-Gauss, ta Φ = −4𝜋𝐺𝑚 18 Lưu số trường vector 𝐹 = 2(𝑥 + 𝑦 )𝑖 + (𝑥 + 𝑦)2 𝑗 𝐿 = ∮ 𝐹 𝑑𝑟 = ∮ 𝐹𝑥 𝑑𝑥 + 𝐹𝑦 𝑑𝑦 + 𝐹𝑧 𝑑𝑧 = 𝐿 𝐿 19 𝐹 = 𝑦𝑧(2𝑥 + 𝑦 + 𝑧)𝑖 + 𝑥𝑧(𝑥 + 2𝑦 + 𝑧)𝑗 + 𝑥𝑦(𝑥 + 𝑦 + 2𝑧)𝑘⃗ trường thỏa mãn công thức: 𝑟𝑜𝑡𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 20 Ký hiệu phép toán biến đổi trung gian, hàm chịu tác dụng toán tử ∇ biểu diễn chữ gạch 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑢𝑣 = ∇(𝑢̅𝑣 ) + ∇(𝑢𝑣̅ ) = 𝑣∇𝑢 + 𝑢𝛻𝑣 = 𝑢𝑔𝑟𝑎𝑑𝑣 + 𝑣𝑔𝑟𝑎𝑑𝑢 𝑑𝑖𝑣 𝑢𝐴 = ∇(𝑢̅𝐴) + ∇ (𝑢𝐴̅) = 𝐴∇𝑢 + 𝑢∇𝐴 = (𝑔𝑟𝑎𝑑𝑢, 𝐴) + 𝑢𝑑𝑖𝑣 𝐴 𝑟𝑜𝑡 𝑢𝐴 = [∇(𝑢̅𝐴)] + [∇(𝑢𝐴̅)] = [(∇𝑢̅)𝐴] + [(𝑢∇)𝐴̅] = 𝑢[∇𝐴] − [𝐴(∇𝑢)] = [𝑔𝑟𝑎𝑑𝑢, 𝐴] + 𝑢𝑟𝑜𝑡 𝐴 ⃗ ] = ∇ [𝐴̅, 𝐵 ⃗ ] + ∇ [𝐴, ̅ ⃗]= 𝐵 ⃗ [∇𝐴] + 𝐴[ 𝐵 ⃗ ∇] = 𝐵 ⃗ [∇𝐴] − 𝐴[∇ 𝐵 ⃗] 𝑑𝑖𝑣 [𝐴, 𝐵 𝐵 ⃗ 𝑟𝑜𝑡𝐴 − 𝐴𝑟𝑜𝑡 𝐵 ⃗ = 𝐵 234 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Nguyễn Đình Trí (chủ biên), Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh, (2008), Toán học cao cấp, Tập 1, 2, 3, NXBGD, Hà Nội [2] Nguyễn Thủy Thanh, (2006), Bài tập toán học cao cấp, tập 1, 2, NXB ĐH Quốc gia Hà Nội, Hà Nội [3] Nguyễn Thế Hoàn, Phạm Phu, (2006), Cơ sở phương trình vi phân lí thuyết ổn định, NXBGD, Hà Nội [4] N.X.PIXCUNOP, (1976), Phép tính vi phân tích phân, NXBGD, Hà Nội Tiếng Anh [1] Paul Bamberg & Shlomo Sternberg, (1988), A course in mathematics for students of physics, Vol.1, 2, Cambridge University Press, England [2] K.F Riley, M.P Hobson and S.J Bence, (2006), Mathematical methods for physics and engineering, 3rd editon, Cambridge University Press, USA 235 ... véc tơ…  Toán cho Vật lý 2’ bao gồm: Đại số tuyến tính, Biến số phức Hàm số phức, Lý thuyết nhóm… Các phần kiến thức trình bày tương ứng 02 tập sách: Toán cho Vật lý 1’ Toán cho Vật lý 2’ Trước... chương trình đào tạo cho sinh viên ngành Vật lý ngành khoa học tự nhiên nói chung, phần kiến thức Toán bổ trợ cho việc học nghiên cứu chuyên sâu bao gồm 02 phần:  Toán cho Vật lý 1’ bao gồm: Phép... nhu cầu học nghiên cứu Vật lý đông đảo cán bộ, sinh viên giới thiệu sách Toán cho Vật lý 1’ Cuốn sách nhằm cung cấp cho người đọc kiến thức bản, đầy đủ ngắn gọn lĩnh vực toán học có liên quan