SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH PHÚ THO VÀO LỚP 10 TRUNG HOC PHỔ THÔNG NĂM HOC 2013-2014 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn toán Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đê Đề thi có 01 trang Câu1 (2,0điểm) a) Tính : A = 16 − 49 b) Trong hình sau : Hình Vuông, hình bình hành, hình chữ nhật,hình thang cân hình có hai đường chéo ? Câu2 (2điểm) a) giải phương trình : x − x + = x + y = b) Giải hệ phương trình x + y = Câu (2điểm) a + a a − a 1 − với a ≥ 0; a ≠ a)Rút gọn biểu thức B = 1 + a + a − b)Cho phương trình x2 +2(m+1)x +m2 =0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt dod có nghiệm -2 Câu (3điểm) Cho đường tròn tâm O đường kính AB=2R.Gọi I trung điểm OA qua I kẻ dây MN vuông góc với OA C thuộc cung nhỏ MB ( M khác B, M), AC cắt MN D a) Chứng minh tứ giác BIDC nội tiếp b) Chứng minh AD.AC=R2 c) Khi C chạy cung nhỏ MB chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CMD thuộc đường thẳng cố định Câu (1 điểm) Cho x, y số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức x+ y P= x( x + y ) + y (2 y + x) -Hết -HƯỚNG DẪN GIẢI Câu1 (2,0điểm) a) Tính : A = 16 − 49 b) Trong hình sau : Hình Vuông, hình bình hành, hình chữ nhật,hình thang cân hình có hai đường chéo ? a) A = - = b) Hình có đường chéo nhau: Hình vuông, hình chữ nhật, hình thang cân Câu2 (2điểm) a) Giải phương trình : x − x + = x + y = b) Giải hệ phương trình x + y = a) Ta có: ∆ = 49 – 24 = 25 > ⇒ ∆ = 25 = Phương trình có nghiệm phân biệt: x1 = 7−5 7+5 = = ; x2 = 3; Vậy phương trình có nghiệm x1 = ; x2 = 3; x + y = 2 y = y = x = ⇔ ⇔ ⇔ b) Ta có: x + y = x + y = x + = y = x = Vậy hệ phương trình có nghiệm ; y = Câu (2điểm) a)Rút gọn biểu thức B = 1 + a + a a − a 1 − với a ≥ 0; a ≠ a + a − b) Cho phương trình x + 2(m +1)x + m2 = (1) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt có nghiệm -2 ; a + a a − a 1 − a) Ta có: B = 1 + a + a − a (1 + a ) a ( a − 1) 1 − ⇔ B = 1 + a + a − ⇔ B = 1+ a 1− a = – a ( )( ) b) Để phương trình có nghiệm phân biệt ∆ ’ > Ta có: ∆ ’ = (m+1)2 – m2 = m2 + 2m + – m2 = 2m + 1 ∆ ’ > ⇔ 2m + > ⇔ m > (*) Vì phương trình có nghiệm -2 nên thay x = -2 vào (1) ta được: (-2)2 + 2(m+1)(-2) + m2 = ⇔ – 4m – + m2 = ⇔ – 4m + m2 = ⇔ m(m - 4) = ⇔ m = m = (**) Từ (*) (**) suy m = ; m = thỏa mãn đê Câu (3điểm) Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R Gọi I trung điểm OA, qua I kẻ dây MN vuông góc với OA C thuộc cung nhỏ MB (C khác B, M), AC cắt MN D a) Chứng minh tứ giác BIDC nội tiếp b) Chứng minh AD AC = R2 c) Khi C chạy cung nhỏ MB chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ CMD thuộc đường thẳng cố định a) Ta có : ·ACB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) · hay DCB = 900; · Lại có DIB = 900 (gt) · · Tứ giác BIDC có DCB + DIB = 900 +900= 1800 ⇒ Tứ giác BIDC tứ giác nội tiếp C M DH A I N O B b) Do ∆ AID đồng dạng với ∆ ACB (g.g) nên ⇒ ⇒ AD.AC = AI.AB ⇒ AD.AC = AI AD = AC AB R 2R = R2 ; c) Dễ thấy ∆ AMD đồng dạng với ∆ ACM (g.g) ⇒ AM AD ⇒ AM2 = AC.AD ⇒ AM tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp ∆ = AC AM CMD mà AM ⊥ MB ⇒ tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ CMD thuộc đường thẳng BM cố định Câu (1 điểm) Cho x, y số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P= x+ y x( x + y ) + y (2 y + x) Vì x, y > nên áp dụng Bất đẳng thức CôSi cho số dương ab ≤ a+b Ta có: 3x + x + y x + y = (1) 2 3y + y + x 5y + x y (2 y + x) ≤ = (2) 2 3( x + y) 3( x + y) P= ≥ = Từ (1) (2) ta có 6x + y 3 x(2 x + y ) + y (2 y + x ) 3x = x + y ⇔ ⇔x= y ; Do GTNN P = 3 y = y + x x(2 x + y ) ≤ Áp dụng Bất đẳng thức CôSi cho số dương ab ≤ Ta có a+b 3x + x + y x + y = (1) 2 3y + y + x 5y + x y (2 y + x) ≤ = (2) 2 3( x + y) 3( x + y) P= ≥ = Từ (1) (2) ta có 6x + y 3 x(2 x + y ) + y (2 y + x ) x = x + y Min( P ) = ⇔ ⇔x=y 3 y = y + x 3x(2 x + y ) ≤ Cách Áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacópki cho dãy Dãy x; y Dãy 2 x + y , y + x Ta có ( x(2 x + y ) + y (2 y + x) Nên P ≥ Min( P ) = x+ y 3( x + y ) ⇔ = x 2x + y = = ) ≤ ( x + y )( x + y ) ⇔ 3 y 2y + x ⇔x= y x( x + y ) + y ( y + x) ≤ ( x + y ) ... m2 + 2m + – m2 = 2m + 1 ∆ ’ > ⇔ 2m + > ⇔ m > (*) Vì phương trình có nghiệm -2 nên thay x = -2 vào (1) ta được: (-2)2 + 2(m+1)(-2) + m2 = ⇔ – 4m – + m2 = ⇔ – 4m + m2 = ⇔ m(m - 4) = ⇔ m = m =