BÀI GIẢNG HÀM LOGIC

CHƯƠNG HÀM LOGIC  HÀM LOGIC CƠ BẢN  CÁC DẠNG CHUẨN CỦA HÀM LOGIC  RÚT GỌN HÀM LOGIC  HÀM LOGIC CƠ BẢN Một số định nghĩa - Trạng thái logic trạng thái thực thể Xét mặt logic thực thể tồn hai trạng thái - Biến logic dùng đặc trưng cho trạng thái logic Biểu diễn ký hiệu, có giá trị - Hàm logic diễn tả nhóm biến logic liên hệ phép toán logic, có giá trị tùy theo điều kiện liên quan đến biến Trong Đại số Boole có toán tử: + Cộng logic (toán tử OR) + Nhân logic (toán tử AND) + Bù logic (toán tử NOT) Chương 2: Hàm Logic Biểu diễn biến hàm logic - Giản đồ Venn: Còn gọi giản đồ Euler Mỗi biến logic chia không gian vùng không gian con, vùng giá trị biến đúng, vùng lại giá trị biến sai - Bảng thật: Nếu hàm có n biến bảng thật có n+1 cột 2n+1 hàng Hàng đầu: ghi tên biến hàm, hàng lại ghi tổ hợp có n biến (2n tổ hợp) Các cột đầu ghi giá trị biến, cột cuối ghi giá trị hàm (trị riêng hàm) - Bảng Karnaugh: Là cách biểu diễn khác bảng thật, hàng bảng thật thay ô có tọa độ xác định tổ hợp biến Bảng Karnaugh n biến gồm 2n ô - Giản đồ thời gian: Diễn tả quan hệ hàm biến theo thời gian, đồng thời với quan hệ logic Chương 2: Hàm Logic Hàm OR: Hàm logic Y=A Hàm NOT: A Y=A 1 Hàm AND: Y = A.B A B Y = A.B 0 1 1 0 Y = A+B A B Y = A+B 0 1 1 1 Hàm EX-OR: Y = A⊕B A B Y=A⊕ B 0 1 Chương 2: Hàm Logic 1 1 Tính chất hàm logic  Tính chất bản: - Có phần tử trung tính cho toán tử (+) (.) A+ =A ; A =A - Tính giao hoán A+ B = B + A; A B = B A - Tính phối hợp (A + B) + C = A + (B + C) = A + B + C (A B) C = A (B C) = A B C - Tính phân bố Phân bố đ/v phép nhân: A (B + C) = A B + A C Phân bố đ/v phép cộng: A + (B C) = (A + B) (A + C) Chương 2: Hàm Logic - Không có phép tính lũy thừa thừa số A + A + + A = A ; A A A = A (1+A) = ; (A.0) = A = A ; A + A = ; A.A = -Tính bù:  Tính song đối: Tất biểu thức logic thay phép (+) phép toán (.) và ngược lại  Định lý De-Morgan: Biến đổi qua lại phép cộng phép nhân: Đảo tổng tích đảo A + B + C = A.B.C Đảo tích tổng đảo A.B.C = A + B + C Chương 2: Hàm Logic  CÁC DẠNG CHUẨN CỦA HÀM LOGIC -Một hàm logic biểu diễn dạng tổ hợp tổng (∑: tổng tích) hay tích (∏: tích tổng) f(X, Y, Z) = XZ + Y Z + X YZ : Dang tong f(X, Y, Z) = (X + Y + Z).(X + Y ).(X + Z) : Dang tich - Một hàm chuẩn logic: Mỗi số hạng chứa đầy đủ biến dạng nguyên hay dạng đảo f(X, Y, Z) = XYZ + XY Z + X YZ Thí dụ: Là tổng chuẩn Mỗi số hạng tổng chuẩn gọi minterm f(X, Y, Z) = (X + Y + Z).(X + Y + Z).(X + Y + Z) Là tích chuẩn Mỗi thừa số tích chuẩn gọi maxterm Chương 2: Hàm Logic Dạng tổng chuẩn Định lý Shanon thứ nhất: Tất hàm logic triển khai theo biến dạng tổng hai tích sau: f(A,B, ,Z) = A.f(1,B, ,Z) + A.f(0,B, ,Z) Khi triển khai hàm n biến ta tổng 2n số hạng Mỗi số hạng tích biến với trị riêng hàm Ý nghĩa Định lý Shanon thứ nhất: - Số số hạng biếu thức số giá trị có trị riêng hàm bảng thật - Mỗi số hạng tổng chuẩn tích biến tương ứng với tổ hợp mà hàm có trị riêng 1, biến giữ nguyên có giá trị đảo có giá trị Chương 2: Hàm Logic Ví dụ: Cho hàm f(A,B,C) thỏa bảng thật, viết biểu thức hàm dạng Tổng chuẩn A B C Y=f(A,B,C) 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 Giá trị riêng hàm Theo ĐL Shanon thứ nhất: Y = A.B.C + A.B.C + A.B.C + A.B.C + A.B.C Chương 2: Hàm Logic Dạng tích chuẩn Định lý Shanon thứ hai: Tất hàm logic triển khai theo biến dạng tích hai tổng sau: f(A,B, ,Z) = [A + f(1,B, ,Z)].[A + f(0,B, ,Z)] Khi triển khai hàm n biến ta tổng 2n số hạng Mỗi số hạng tổng biến với trị riêng hàm Ý nghĩa Định lý Shanon thứ hai: - Số thừa số biểu thức số số có trị riêng hàm bảng thật - Mỗi thừa số tổng biến tương ứng với tổ hợp mà hàm có trị riêng Biến giữ nguyên có giá trị đảo có giá trị Chương 2: Hàm Logic 10 Phương pháp: Dùng bảng Karnaugh Phương pháp bảng Karnaugh dựa vào việc nhóm tổ hợp kề bảng để đơn giản biến có giá trị khác tổ hợp VD: Hai tổ hợp: A.B ; A.B Khác bit gọi hai tổ hợp kề VD: AB + A B = A Biến B đơn giản Các bước rút gọn hàm: - Vẽ bảng Karnaugh theo số biến hàm - Chuyển hàm cần đơn giản vào bảng Karnaugh - Gom ô chứa tổ hợp kề lại thành nhóm - Viết kết hàm rút gọn ⇒ Kết quả: Hàm rút gọn dạng tổng tích Chương 2: Hàm Logic 17 Chuyển hàm vào bảng Karnaugh • • - Mỗi ô ta đưa vào giá trị hàm tương ứng với tổ hợp biến: ghi giá trị 1, bỏ qua giá trị Các dạng hàm cần rút gọn: Hàm có dạng tổng chuẩn: Đưa trực tiếp Hàm chưa có dạng tổng chuẩn: Cần đưa dạng tổng chuẩn (thêm vào số hạng cho hàm không thay đổi số hạng chứa đầy đủ biến) Hàm có dạng số thứ nhất: Ghi số vào ô tương ứng với số có hàm Hàm có dạng tích chuẩn: Lấy hàm đảo, dùng ĐL De-Morgan đưoa dạng tổng chuẩn, ghi số vào ô tương ứng với tổ hợp biến tổng chuẩn ⇒ Các lại ghi giá trị Hàm có dạng số thứ hai: Ghi số tương ứng với số hàm cho ⇒ Các lại ghi giá trị Từ bảng thật: Các ô có giá trị hàm có trị riêng Chú ý: trường hợp hàm không xác định ghi chữ X vào ô tương ứng với tổ hợp biến Chương 2: Hàm Logic 18 Qui tắc rút gọn • Gom số kế thành nhóm cho số nhóm tốt (số số hạng kết ít) • Số số nằm nhóm nhiều tốt phải 2k (là: 1, 2, 4, 8, 16, 32…) • Không có số chưa gom nhóm, số nằm nhiều nhóm khác • Các ô chưa chữ X: cho tùy ý cho việc gom nhóm tiện • Kết cuối cùng: có dạng tổng tích Chương 2: Hàm Logic 19 Ví dụ Dùng Bảng Karnaugh rút gọn hàm (A: MSB) f(A, B, C) = A BC + ABC + A BC + ABC f(A,B,C) f(A, B, C) = A BC + ABC + ABC f(A,B,C) BC A BC 00 01 11 1 1 10 A 00 f(A, B, C) = BC + BC 01 11 1 10 f(A, B, C) = AC + BC Chương 2: Hàm Logic 20 Ví dụ Dùng Bảng Karnaugh rút gọn hàm (A: MSB) f(A, B, C) = ABC + A BC + ABC + ABC f(A,B,C) f(A, B, C) = ABC + ABC + A BC + A BC f(A,B,C) BC A BC 00 01 11 A 10 01 1 00 1 f(A, B, C) = AC + AB + BC 11 10 1 f(A, B, C) = A B + AB = A ⊕ B Chương 2: Hàm Logic 21 Ví dụ Dùng Bảng Karnaugh rút gọn hàm (A: MSB) f(A, B, C, D) = ∑ (0,1,2,3,9,10,11,13, 14,15) f(A,B,C,D) CD AB 00 f(A, B, C, D) = ∑ (0,1,2,3,5,7,8,9,11, 14) f(A,B,C,D) 00 01 11 10 1 1 CD AB 00 01 00 01 11 10 1 1 1 01 11 1 11 10 1 10 f(A, B, C, D) = A B + AD + AC 1 1 f(A, B, C, D) = ABCD + AD + A B + BC + BD Chương 2: Hàm Logic 22 Ví dụ Dùng Bảng Karnaugh rút gọn hàm (A: MSB) f(A, B, C, D) = ∑ (1,3,7,11, 15) Các tổ hợp (0,2,5) hàm không xác định f(A, B, C, D) = ∏(0,5,9,10) Các tổ hợp (2,3,8,15) cho hàm không xác định f(A,B,C,D) f(A,B,C,D) CD AB CD AB 00 01 11 10 x 1 x 01 X 01 11 1 11 10 X 00 00 10 f(A, B, C, D) = A B + BD 00 01 11 10 X X 1 X 1 f(A, B, C, D) = BD + AB + CD + A BD Chương 2: Hàm Logic 23 Ví dụ: Dùng Bảng Karnaugh rút gọn hàm (A: MSB) f(A,B,C,D,E) = ∑(0,5,6,8,9 ,10,11,16, 20,24,25,2 6,27,29,31 ) Note: Có 15 số Từ 0 15 Bảng A f(B,C,D,E) DE BC 00 Từ 16  31 Bảng A A 00 01 11 10 f(B,C,D,E) DE BC 1 01 11 10 A 00 00 01 11 1 1 10 01 11 1 1 10 f(A, B, C, D, E) = BC + CDE + ABE + A BDE + A BCDE + A BCD E Chương 2: Hàm Logic 24 Ví dụ: Dùng Bảng Karnaugh rút gọn hàm (A: MSB) f(A,B,C,D,E) = ∑(2,7,9,11, 12,13,15,1 8,22,24,25 ,27,28,29, 31) Note: Có 15 số Từ 0 15 Bảng A f(B,C,D,E) DE BC Từ 16  31 Bảng A A 00 01 11 A 00 01 11 10 00 1 01 1 11 1 1 10 1 01 10 DE BC 00 11 10 f(B,C,D,E) f(A, B, C, D, E) = BE + BCD + ACDE + BCDE + ABD + A BDE Chương 2: Hàm Logic 25 Phương pháp: Quine – Mc Cluskey Phương pháp: Quine – Mc Cluskey dựa tính kề tổ hợp biến để đơn giản hàm có dạng tổng Trong trình đơn giản có khả xuất số hạng giống ta bỏ bớt số hạng) PP chia làm giai đoạn: Gđ1: Dựa tính kề tổ hợp biến để đơn giản số biến số hạng - Nhóm số hạng theo số số có tổ hợp ghi lại theo thứ tự số tăng dần - Mỗi tổ hợp nhóm so sánh với tổ hợp khác nhóm kế cận (ta thực phép trừ, kết phép trừ k so sánh được, biến đơn giản biến có trọng số k, việc so sánh nhóm.) Viết kết Gđ2: Kiểm tra thực việc tối giản Gđ2 thực Gđ1 chưa thật tối giản Chương 2: Hàm Logic 26 Ví dụ: Dùng PP Quine – Mc Cluskey rút gọn hàm (A: MSB) f(A,B,C,D) = ∑(5,7,13,15 ) GĐ1: Lập bảng Lập bảng N A B C D 1 1 13 1 15 1 Lập bảng N A B C D N A B C D 7-5=21 5,7 - 5,7 ; 13,15 - - 1 13-5=23 5,13 - 1 5,13 ; 7,15 - - 1 15-7=23 7,15 - 1 1 15-13=21 13,15 1 - Loại tổ hợp trùng với tổ hợp Kết quả: f(A,B,C,D) = BD Chương 2: Hàm Logic 27 Ví dụ 2: Dùng PP Quine – Mc Cluskey rút gọn hàm (A: MSB) f(A,B,C,D) = ∑(1,2,4,5,6 ,10,12,13, 14) Lập bảng GĐ1: Lập bảng N A B C Lập bảng N A B C D 5-1=22 1,5 - 6-2=2 2,6 - 2,10 - D 2 0 0 5-4=2 4,5 - 6-4=21 4,6 - 10 0 1 0 1 10-2=2 12-4=2 3 4,12 - 0 13-5=23 5,13 - 1 14-6=23 6,14 - 1 14-10=22 10,14 - N A B C D 2,6 ; 10,14 - - 2,10 ; 6,14 - - 4,5 ; 12,13 - - 4,6 ; 12,14 - - 4,12 ; 5,13 - - 4,12 ; 6,14 - - Loại tổ hợp màu xanh trùng với tổ hợp 12 1 0 13 1 13-12=20 12,13 1 - 14 1 14-12=21 12,14 1 - f(A,B,C,D) = A CD + CD + BC + BD Chương 2: Hàm Logic 28 Ví dụ (tt): Dùng PP Quine – Mc Cluskey rút gọn hàm (A: MSB) f(A,B,C,D) = A CD + CD + BC + BD (1,5) (2,6 ; 10,14) (4,5 ; 12,13) (4,6 ; 12,14) Tổ hợp Các tổ hợp chứa số hạng giống (4, 12)  KQ chưa tối giản  Giai đoạn GĐ2: Lập bảng Tổ hợp gđ1 1,5 Giá trị thập phân có hàm cho * 2,6 ; 10,14 10 * * 12 13 14 * * 4,5 ; 12,13 * 4,6 ; 12,14 * X X X * * * X * X * * X X * X X Xét cột chứa dấu *  Các tổ hợp tương ứng với hàng chọn KQ : f(A,B,C,D) = A CD + CD + BC Chương 2: Hàm Logic 29 Ví dụ 3: Dùng PP Quine – Mc Cluskey rút gọn hàm (A: MSB) f(A,B,C,D) = ∑(3,4,6,7,8 ,11,12,15) GĐ1: Lập bảng Lập bảng N A B C D 0 0 0 12 Lập bảng N A B C D N A B C D 6-4=21 4,6 - 3,7 ; 11,15 - - 1 12-4=23 4,12 - 0 3,11 ; 7,15 - - 1 1 12-8=22 8,12 - 0 1 7-3=22 3,7 - 1 1 0 11-3=23 3,11 - 1 1 7-6=20 6,7 1 - 11 1 15-7=23 7,15 - 1 15 1 1 15-11=22 11,15 - 1 Loại tổ hợp màu xanh trùng với tổ hợp Còn lại tổ hợp (4,6); (4,12); (8,12) ; (6,7) ; (3,7;11,15) f(A,B,C,D) = AB D + BC D + AC D + ABC + CD Chương 2: Hàm Logic 30 Ví dụ (tt): Dùng PP Quine – Mc Cluskey rút gọn hàm (A: MSB) f(A,B,C,D) = AB D + BC D + AC D + ABC + CD Còn lại tổ hợp (4,6); (4,12); (8,12) ; (6,7) ; (3,7;11,15) Các tổ hợp chứa số hạng giống (4, 6,12, 7)  KQ chưa tối giản  Giai đoạn GĐ2: Lập bảng Tổ hợp gđ1 Giá trị thập phân có hàm cho 4,6 * (chọn) * * 4,12 * 11 * 6,7 12 15 * 8,12 3,7 ; 11,15 * * * * * X X * X X * X X Còn cột chưa có chữ X; Trong tổ hợp lại ta định chọn tổ hợp (4;6) chứa đủ số số KQ : f(A,B,C,D) = ABD + A CD + CD Chương 2: Hàm Logic 31