Xác suất thống kê

Chuyên đề IX: Xác suất: Lý thuyết: 1. Phép thử và biến cố - sự kiện: + Phép thử ngẫu nhiên: Việc thực hiện một số điều kiện nào đó. + Không gian mẫu: Tập tất cả các kết quả có thể xảy ra. VD: Gieo hai con xúc xắc KGM có 6 2 = 36 phần tử. + Biến cố: Là một tập con của không gian mẫu. + Biến cố sơ cấp: Là tập con chỉ có đúng một phần tử. VD trên: {1}; {5}. + Biến cố chắc chắn, biến cố không thể có. Biến cố hợp, biến cố giao, biến cố bù, biến cố xung khắc. 2. Biến cố sơ cấp đồng khả năng - xác xuất: P(A) = m n (m - số phần tử của tập A, n- số PT của mẫu) + Các tính chất: 0 P(A) 1; P() = 0; P(E) = 1; P(A U B) = P(A) + P(B) nếu A, B xung khắc. + Định lý cộng: P( A U B) = P(A) + P(B) - P(AB) 3. Xác suất có điều kiện (Định lý nhân): P A (B) = P(B/A) = P A B P A ( ) ( ) P(A B) = P A (B).P(A) Bài tập: 1. a. ĐH Cần Thơ. 96 (A + B): Bình đựng 5 bi xanh và 3 bi đỏ. Lấy một viên không hoàn lại, lấy tiếp viên nữa. Tính XS: +. Lần thứ nhất đợc bi xanh, lần hai đợc bi đỏ: p = 5 8 3 7 . +. Lần hai đợc bi xanh: p = 5 8 4 7 3 8 5 7 . . + . b. ĐH Cần Thơ. 96 (D): Bình đựng 4 bi xanh và 3 bi đỏ. Lấy hai viên bi đồng thời. Tính xác suất để: +. Đợc 2 bi xanh: p = C C C 4 2 3 0 7 2 . . +. Hai bi đỏ (Tơng tự). +. Hai bi khác màu: p = 2 4 1 3 1 7 2 . .C C C c. ĐH Nông Nghiệp I. 96: Bình đựng 5 bi xanh, 3 bi vàng, 4 bi trắng. Lấy ngẫu nhiên 3 bi. Tính xác suất: 1. A = Đợc 3 bi xanh P(A) = C C C C 5 3 3 0 4 0 12 3 . . . 2. B = ít nhất có một bi vàng P(B) = 1 - C C 9 3 12 3 3. C = 3 bi cùng màu P(C) = C C C C 5 3 3 3 4 3 12 3 + + . d. ĐH An Ninh (C). 97: Thùng 20 bi = 12 đỏ + 8 xanh. Lấy 3 viên bi. 1. Cả 3 viên đỏ. 2. Cả 3 viên xanh. 3. Có ít nhất một viên đỏ. Bạn tự giải tiếp. e. SHSP 2. 97: Thùng kín có 10 bi = 7 xanh + 3 ẵị. Lấy 3 viên bi. Tính xác suất để: 1. Có 2 viên xanh. 2. Lấy từng viên một liên tíêp hai lần. Tính xác suất đợc bi đỏ lần một, bi xanh lần hai. f. TCKT. 98: Thùng kín có 7 bi = 4 xanh + 3 ẵị. Lấy 3 viên bi. Tính xác suất đợc: +. 2bi đỏ và 1 bi xanh. +. Cả ba bi xanh. g. ĐH TCKToán. 96: Bình đựng 5 bi đen và 7 bi trắng. 1. Lấy 3 bi. Tính xác suất có 2 bi trắng p = C C C 7 2 5 1 12 3 . 2. Lấy không hoàn lại hai lần, mỗi lần một bi. Tính xác suất bi 1 trắng và bi 2 đen: p = 7 12 5 11 . . 2. a. ĐH Đà Nẵng. 96: Hai máy điện thoại A, B độc lập. Xác suất máy A làm việc tốt là P(A) = 0,96. Xác suất máy B làm việc tốt là P(B) = 0,85. Tính xác suất để: +. Hai máy cùng làm việc tốt: p = P(A).P(B) = 0,96.0,85 +. ít nhất một máy làm việc tốt: p = 1 - 0,04.0,15. b. ĐH Đà Nẵng. 97: Tung hai con xúc xắc. Tính xác suất B = Tổng số điểm là 8. P(B) = 5 36 Tính xác suất tổng số điểm lẻ hay chia hết cho 3: p = 24 36 3. ĐH Huế. 96: Bát giác đều ABCDEFGH. Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh của bát giác. Tính xác suất để: a. Đợc tam gíac cân: (Vẽ hình) Xét các khả năng: + Đáy là hai đỉnh liên tiếp: Không có cân. + Đáy AC có hai cân: ACB, ACF có 16 tam giác cân kiểu này. + Đáy AD: Không có cân. + Đáy AE (Đờng chéo qua tâm) có 2 cân: AGE, ACE có 8 tam giác cân kiểu này Vậy p = 24 3 7 8 3 C = b. Đợc tam giác vuông hoặc cân: Có 24 cân (ở trên) và 16 vuông không cân vì mỗi cạnh cho 2 vuông: Chẳng hạn cạnh AB thì có: ABF, ABE p = 24 16 5 7 8 3 + = C . 5. a. HVKT Quân Sự. 96: Có ba thùng đựng các quả cầu. Thùng I: 4 trắng + 2đen. Thùng II: 3 trắng + 5 đen. Thùng III: 2 trắng + 2 đen. Lấy 1 quả ở thùng I cho vào thùng II; sau đó lấy 1 quả ở thùng II cho vào thùng III; sau đó lấy một quả ở thùng III cho vào thùng I . +. Tính xác xuất để thùng I có 3 trắng + 3 đen. +. Với xác suất lớn nhất thì thùng một có mấy quả T, Đ. Giải: +. Quả ở thùng I chuyển sang thùng II là trắng p 1 = 4 6 . Khả năng 1: Quả ở thùng II chuyển sang III là trắng có: P T = 4 9 , Thùng III chuyển sang I phải là đen P Đ = 2 5 Khả năng này có xác suất P 1 = 4 6 4 9 2 5 . Khả năng 2: Có P Đ = 5 9 và P T = 3 5 P 2 = 4 6 5 9 3 5 . Vậy Ycbt P = 4 6 4 9 2 5 + 4 6 5 9 3 5 = 92 270 +. Còn hai sự kiện nữa là ở thùng I cuối cùng có 1. 5 trắng + 1 đen 2. 4 trắng + hai đen Tính xác suất tơng tự nh trên thì P(4 trắng + hai đen) = 136 220 là lớn nhất (Vẫn nh ban đầu). b. HVKT Quân Sự. 97: Có 25 quả cầu đen và trắng để trong 2 thùng. Thùng nào nhiều cầu hơn thì quả trắng nhiều hơn. Lấy từ mỗi thùng một quả. Biết xác suất đợc hai quả trắng là P(TT) = 0,48. Tính xác xuất đợc một đen, một trắng. Giải: Giả sử thùng I có m, thùng hai có n quả (m > n > 0). t, s là số quả trắng tơng ứng (t > s ) P(TT) = t m s n . = 0,48 = 48 100 12 25 = . Vì m.n 25 m p n q = = 5 5 m n m n = = = = 20 5 15 10 1 Nếu: m = 20, n = 5 Thì: 25.t.s = 12.20.5 t.s = 48 = 48.1 = 24.2 = 16.3 = 12.4 = 8.6. Vậy có các khả năng: t = 16, s = 3. t = 12, s = 4. Gọi TĐ = Một quả đen, một quả trắng Thì: Nếu: t = 16, s = 3: P(TĐ) = 16 20 2 5 4 20 3 5 . + + . Nếu: t = 12, s = 4: P(TĐ) = 12 20 1 5 8 20 4 5 . . + 2. Nếu: m = 15, n = 10 Thì: 25.t.s = 12.15.15 t.s = 72 = 72.1 = 36.2 = 24.3 = 18.4 = 12.6 = 9.8 Vậy có các khả năng: t = 12, s = 6 Hoặc t = 9, s = 8. Nếu: t = 12, s = 6: P(TĐ) = 12 15 4 10 13 15 6 10 . . + . Nếu: t = 9, s = 8 Thì: P(TĐ) = 9 15 2 10 6 15 8 10 . . + c. ĐH Nông Nghiệp I. 97: Một tổ có 9 nam, 3 nữ: 1. Chọn 4 ngời. Hỏi có bao nhiêu cách chọn: C 12 4 cách. 2. Tính xác suất để khi chọn một nhóm thì đợc nhóm có một nữ: Có C C 9 3 3 1 . cách chọn một nhóm có một nữ P = C C C 9 3 3 1 12 4 . . 3. Có bao nhiêu cách chia tổ thành 3 nhóm, mỗi nhóm 4 ngời: Có C 12 4 cách chọn một nhóm 4 ngời, còn 8 ngời có C 8 4 cách chọn 4 ngừơi tiếp, còn lại 4 có C 4 4 cách chọn. KL: Có C 12 4 C 8 4 C 4 4 cách. 4. Tính xác suất để mỗi nhóm ở 3. có đúng một nữ: Theo 2. thì C C 9 3 3 1 . = 84.3 cách chọn ra 4 ngời trong đó có đúng một nữ. Còn lại 6 nam và hai nữ có: C C 6 3 2 1 . cách chọn nhóm hai có đúng một nữ. Còn lại: 3 nam một nữ có C C 3 3 1 1 . = 1 Cách chọn. Vậy P = ( . ).( . ).( . ) . . C C C C C C C C C 9 3 3 1 6 3 2 1 3 3 1 1 12 4 8 4 4 4 = 16 55 6. a. ĐH Xây dựng. 96: +. Hộp I có: 2 bi đỏ, 3 bi trắng. Hộp II có: 4 đỏ, 2 trắng, 1 xanh. Gieo đồng thời hai con xúc xắc: 1. Tính xác xuất tổng số chấm 6: Có các kết quả đồng khả năng sau. Bạn tự giải tiếp. p = 5 12 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) 2. Nếu tổng số chấm 6, ta lấy hộp I, Ngợc lại lấy hộp II, sau đó lấy 1 bi. Tính xác suất để đợc bi đỏ. Gọi Đ = Đợc bi đỏ H 1 = Đợc bi ở hộp I. H 2 = Đợc bi ở hộp II. H 1 , H 2 là nhóm đầy đủ. P(Đ) = P H1 (Đ).P(H 1 ) + P H2 (Đ).P(H 2 ) = 2 5 5 12 4 7 7 12 1 2 . . + = 3. Gọi A = 4 < x + y < y; B = x + y lẻ và x + y < 8. Tính: P(A U B) = P(A) + P(B) - P( A B) = P(B) = 11 36 b. Xuân, Thu chơi trò chơi: Gieo 2 con xúc xắc. Nếu tổng số chấm là một số lẻ > 5. Hoặc chỉ có một mặt 1 Thì Xuân thắng. Ai có hy vọng thắng nhiều hơn. Giải: Không gian mẫu nh trên: Số kết quả thuận lợi cho Xuân thắng là: 16 của Thu là: 20. c. Gieo hai xúc xắc: Gọi x là số chấm con xúc xắc xanh, y đỏ. Nếu A = x > y; B = x + y = 7 C = x lẻ, y chẵn; D = x + y = 6. Tính: P(AUB) = 17 36 . P(B) = 6 36 ; P(C) = 9 36 ; P(D) = 5 36 ; P(B/C) = P B C P C ( ) ( ) = 3 36 9 36 = 1 3 ; P(D/C) = 0. d. ĐH Xây dựng. 97: Gieo một con xúc xắc 3 lần. a. Tính xác suất để ít nhất hai lần gieo mà số chấm xuất hiện nh nhau Giải : Không gian mẫu có 6 3 = 216 phần tử. Gọi B = Số chấm 3 lần gieo đôi một khác nhau. Vậy số lần B xảy ra là số cách chọn 3 trong 6 phần tử (1, 2, 3, 4, 5, 6) có thứ tự có A 6 3 = 6.5.4 = 120 cách P(B) = 120 216 . KL: P(ít nhất hai lần gieo mà số chấm xuất hiện nh nhau) = 1- P(B) = 96 216 = 4 9 . Gọi: A = Có ít nhất một lần mặt 6 chấm xuất hiện; B = Số chấm xuất hiện ở 3 làn gieo khác nhau. Tính P(A/B) = P A P B P B ( ). ( ) ( ) = P A B P B ( . ) ( ) . Trong đó A.B = A B xảy ra khi có 3 số khác nhau trong đó có số 6 . Chọn 6 vào một trong 3 số có 3 cách chọn. Sao đó chọn 2 số trong 5 số (1, 2, 3, 4, 5) có thứ tự có A 5 2 = 5.4 = 20 Vậy có 3.20 = 60 cách chọn: P(A/B) P A P B P B ( ). ( ) ( ) = P A B P B ( . ) ( ) = 60 216 120 216 = 1 2 e. ĐH Giao thông vận tải. 97: Có 20.000 vé số. Trong đó có 1 giải nhất, 100 nhì, 200 ba, 1000 t và 5000 giải khuyến khích. Một ngời mua 3 vé. Tính xác suất trúng một giải nhì, hai giải khuyến khích. p = C C C C C C 1 0 100 1 200 0 1000 0 5000 2 20000 3 . . . . . f. Báck Khoa. 98: Trong 100 vé số có 1 vé trúng 10.000đ, 5 vé trúng 5.000đ, 10 vé trúng 1000đ. Mua 3 vé. Tính xác suất trúng 3.000: P = C C C C 10 3 1 0 5 0 100 3 . . ; Trúng ít nhất 3000đ: Có khả năng: + Cả ba vé trúng 1000 + Hai vé trúng. + Môt vé trúng. Bạn tự giải tiếp. g. ĐH Thuỷ lợi. 97: Trong hộp kín có 10 cầu trắng, 8 cầu đỏ. Lấy hú hoạ 5 quả cầu. Tính xác suất có đúng 3 quả đỏ: P = C C C 10 2 8 3 18 5 . 7.a. Y Hà Nội.97: 1. Cho mời chữ số: 0, 1, 2, . . ., 9. Có thể lập bao nhiêu số lẻ 6 chữ số khác nhau, nhỏ hơn 600.000. Gọi chữ số tho m n đề bài là ã ã ABCDGH . A {1, 2, 3, 4, 5}; H {1, 3, 5, 7, 9}; + Nếu: A là 2 hoặc 4 (Có hai cách chọn) thì H Có 5 cách chọn: 1, 3, 5, 7, 9. Còn B, C, D, G là chọn 4 trong các số: 0, 1, . . ., 9 loại đi 2 số A, H (còn 8 số) có: A 8 4 cách chọn. Vậy có: 2.5. A 8 4 số kiểu này. + Nếu: A là 1, 3, 5 (Có 3 cách) thì H là các số: 1, 2, 3, 5, 7, 9 loại đi số A (Còn 4 cách) . Lúc đó: B, C, D, G có A 8 4 cách chọn. Vậy có: 3.4. A 8 4 cách chọn số dạng này KL có: 2.5. A 8 4 + 3.4. A 8 4 = 36960 số. b. Một bà mẹ muốn sinh bằng đợc con gái. Xác suất sinh con gái là 0,486. Tính xác xuất sinh con gái ở lần sinh thữ hai: P(G) = 0,514.0,486 0,25. 8.a-Gieo 3 đồng tiền. Gọi A = ít nhất một mặt ngửa; B = Có 2 mặt ngửa. Tính: P(A); P(B); P(B/A); P(A/B). Giải:Không gian mẫu: (S,S,S); (S,S,N); (S,N,N); (S,N,S); (N,S,S); (N,S,N); (N,N,N); (N,N,S) P(A) = 1 - 1 8 = 7 8 ; P(B) = 3 8 ; P(B/A) = 3 7 = P A B P A ( ) ( ) = 3 8 7 8 ; P(A/B) = 1 = P A B P B ( ) ( ) = 3 8 3 8 b. Hai ngời cùng bắn con nai. Xác suất hạ con nai của ngời I là 0,8; ngời II là 0, 7. Tính xác suất con nai bị hạ: P(H) = P(AUB) = P(A) + P(B) - PA B) = 0,8 + 0,7 - 0,8.0,7 = 0,94. 9. a. Đoàn tàu có 3 toa vào ga, 12 hành khách chờ tàu. Tìm xác suất: + 4 ngời lên toa I, 5 ngời lên toa II, còn lại lên toa III: p = 12 4 5 3 3 12 ! ! ! ! + Mỗi toa có 4 ngời: p = 12 4 4 4 3 12 ! ! ! ! . + Hai hành khách A, B cùng lên một toa: p = 1 3 . b. Thang máy khách sạn có 10 tầng. Có 5 ngời đi từ tầng I. Tính xác suất: + Tất cả cùng ra ở tầng 5: p = 1 9 5 . + Tất cả cùng ra ở một tầng: p = 9. 1 9 5 = 1 9 4 . + Mỗi ngời ra một tầng khác nhau: p = A 9 5 5 9 (m - số cách chọn 5 phần tử trong 9 phần tử). + Hai ngời ra cùng một tầng, 3 ngời kia ra 3 tầng khác nhau: p = A A 9 2 9 4 5 9 . . c. Một em bé xếp các chữ: N,N,A,H,H. Tìm xác suất đợc chữ NHANH: n = 5!; m = ?. N có 2 cách; H có 2 cách; A có 1 cách; N có 1 cách, H có 1 cách: p = 2 211 5 . . . ! . d. Viết các số: 1, 2, 3, 4, 5 lên Năm quả cầu. Chọn từng quả liên tiếp ba lần xếp từ trái sang phải. Tính xác suất đợc số chẵn: n = 5.4.3 = 60 cách . m: số có dạng abc . c có 2 cách, b có 3 cách (trừ 2 và 4), a có 2 cách (trừ 2, 4 và b) m = 12 cách. P(C) = 12/60 = 1 5 . e. Lấy 5 con bài từ cỗ tam cúc có 32 con. Tính xác suất đợc: + Một tớng, một sỹ, hai xe, một tốt: p = C C C C C 2 1 4 1 4 2 10 1 32 5 . . . + Lập đợc tú tử: p = ( ).C C C C 5 4 5 4 27 1 32 5 + . d. Biển đăng ký xe máy có 3 phần: Phần đầu là số 14. Phần giữa 3 chữ số, phần cuối 2 chữ cái. + Lập đợc bao nhiêu biển : Phần đầu không ảnh hởng. Phần giữa có 10 3 cách. cuối có 24 2 có: 10 3 .24 2 . + Tính xác xuất gặp xe biển có 3 số giữa là 468: p = 11124 10 24 2 3 2 . . . . = 1 10 3 . 10. a. Có 10 thăm trong đó có một thăm có thởng. Mỗi ngời rút một thăm. Tính xác suất ngời thue hai đợc thởng: P(X = 2) = 9 10 1 10 . = 9 100 (Nếu không bỏ thăm ra); P(X = 2) = 9 10 1 9 . = 1 10 (Nếu bỏ thăm ra). b. Gieo 4 đồng tiền, ghi kết quả: a, b, c, d (Chỉ là S hay N). + Mẫu có bao nhiêu phần tử: n = 2 4 + Tính xác xuất đợc 2 mặt sấp: p = C 4 2 4 1 2 ( ) = 6 16 3 8 = = P(x = 2) + Gọi x là số đồng tiền lật mặt sấp trong một lần gieo. Tính: P(x = 0) = ( 1 2 ) 4 = 1 16 P(x = 1) = C 4 1 ( 1 2 ) 4 ; P(x = 3) = C 4 3 ( 1 2 ) 4 ; P(x = 4) = ( 1 2 ) 4 = 1 16 = P(x = 0). . xác suất bi 1 trắng và bi 2 đen: p = 7 12 5 11 . . 2. a. ĐH Đà Nẵng. 96: Hai máy điện thoại A, B độc lập. Xác suất máy A làm việc tốt là P(A) = 0,96. Xác. viên bi. Tính xác suất đợc: +. 2bi đỏ và 1 bi xanh. +. Cả ba bi xanh. g. ĐH TCKToán. 96: Bình đựng 5 bi đen và 7 bi trắng. 1. Lấy 3 bi. Tính xác suất có 2