Phát triển tư duy cho học sinh lớp 6a3 trường THCS nguyễn văn trỗi thông qua giải bài toán số học

MỤC LỤC I Mục lục 1.2 Lý chọn đề tài 1.3.Đỗi tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu 1.5 Những điểm đổi SKKN II Nội dung SKKN 2.1 Cơ sở lý luận SKKN 2.2 Thực trạng vấn đề trước nghiên cứu 2.3 Giải pháp tổ chức thực 2.4 Hiệu SKKN III Kết luận kiến nghị 3.1 Kết luận 3.2 Kiến nghị 3.3 Tài liệu tham khảo 2 3 3 18 18 18 19 19 I.MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Cùng với phát triển đất nước, nghiệp giáo dục đổi không ngừng Các nhà trường trọng đến chất lượng toàn diện bên cạnh đầu tư thích đáng cho giáo dục Với vai trị mơn học cơng cụ, mơn Tốn góp phần tạo điều kiện cho em học tốt mơn khoa học tự nhiên khác Dạy tốn hoạt động tốn học cho học sinh, giải tốn cơng việc chủ yếu Để rèn luyện kỹ giải tốn cho học sinh, ngồi việc trang bị tốt hệ thống kiến thức rèn luyện kỹ giải tập, giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh biết khai thác, mở rộng kết toán đơn giản xây dựng toán gốc để giải loạt toán liên quan Điều giúp học sinh tự tìm tịi suy nghĩ tốn có cách giải sáng tạo Dạy để học sinh nắm kiến thức cách có hệ thống mà phải nâng cao, phát triển để em có hứng thú, say mê học tập câu hỏi mà thầy cô ln đặt cho Để đáp ứng u cầu nghiệp giáo dục nhu cầu học tập học sinh, giảng dạy phải biết chắt lọc nội dung kiến thức, phải từ dễ đến khó, từ cụ thể đến trừu tượng phát triển thành tổng quát giúp học sinh phát triển tư Tốn học 1.2 Mục đích nghiên cứu Với mong muốn nâng cao hiệu công tác giảng dạy nói chung cơng tác bồi dưỡng học sinh giỏi tốn lớp nói riêng Tơi nhận thấy chương trình tốn có nhiều nội dung hay hấp dẫn, cách tính tổng tìm tích nội dung thú vị, phong phú, đa dạng Để giải tốn dạng thơng thường ta biến đổi để làm xuất số hạng đối sau thu gọn ta số số hạng mà ta dễ dàng tính làm xuất dãy số mà ta dễ dàng tính ta phải phân tích phân số thành tích để rút gọn Nhưng biến đổi để xuất hạng tử đối dãy số dễ dàng tính lại vấn đề không đơn giản mà học sinh hay mắc phải Tôi xin đưa đề tài: “Phát triển tư cho học sinh lớp 6A3 trường THCS Nguyễn Văn Trỗi thông qua giải toán số học” Ở đề tài tơi xin đưa vài tốn mang nội dung tính tổng theo quy luật số tốn tìm tích để giới thiệu cách khai thác kết quả, mở rộng toán xây dưng toán gốc (bài toán tổng quát) để giải loạt tốn tương tự nhằm mục đích phát huy trí tuệ sáng tạo học sinh, rèn luyện lực tư cho học sinh 1.3 Đối tượng nghiên cứu: Tập trung nghiên cứu số học sinh lớp 6A3 trường trung học sở Nguyễn Văn Trỗi Thành phố Thanh Hóa Hướng dẫn em làm số tập dãy số dễ dàng tính lại vấn đề không đơn giản mà học sinh hay mắc phải 1.4 Phương pháp nghiên cứu: Chủ yếu phương pháp khái quát hóa, tổng hợp hóa từ tập cụ thể để tổng kết kinh nghiệm 1.5 Những đổi SKKN: - Từ những tập đơn giản sách giáo khoa lớp 6, Tôi tổng kết kinh nghiệm đưa “nhận diện” đặc chưng dạng toán dãy số, giúp học sinh hiểu làm tốt dạng toán II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm: Trước việc dạy học toán thường sa vào phương pháp đọc chép áp đặt kiến thức, học sinh lĩnh hội kiến thức cách bị động, người giáo viên thường trọng đến số lượng tập Nhiều học sinh hiểu thầy dạy mà không tự giải tập Việc phát triển tốn học sinh quan tâm mức Phần nhiều học sinh cảm thấy sợ môn số học, giải tập số học Thực tiễn dạy học cho thấy: HS - giỏi thường tự đúc kết tri thức, phương pháp cần thiết cho đường kinh nghiệm, cịn học sinh trung bình yếu, gặp nhiều khó khăn khơng thể nắm Để có kĩ giải tập số học cần phải qua trình luyện tập Tuy rằng, giải tập nhiều có kĩ năng, việc luyện tập có hiệu quả, học sinh nắm lí thuyết biết khéo léo khai thác từ tập sang loại tập tương tự, nhằm vận dụng tính chất đó, rèn luyện phương pháp học tập cho Nếu người thầy giáo biết hướng cho học sinh cách học chủ động học sinh khơng khơng có ngại với mơn số học mà cịn hừng thú với việc học số học Học sinh khơng cịn cảm thấy học số học nói riêng tồn học nói chung gánh nặng, mà cịn ham mê học tốn, có thành công việc dạy học môn tốn Trong q trình dạy học mơn tốn, tơi suy ngẫm khẳng định rằng: phương pháp dạy giải toán theo u cầu phương pháp tìm tịi lời giải Có nhiều yêu điểm phát huy tác dụng tốt cho nhiều đối tượng - dạy toán theo yêu cầu phương pháp tìm tịi lời giải tốn gồm hai nội dung: a - Dạy cách tìm tịi lời giải tốn b - Dạy cách giải toán c Từ toán cụ thể (giải phương trình bậc cao) đưa phương trình học Từ tơi suy nghĩ phương pháp dạy tốt phương pháp xích gần nhận thức học tập học sinh với nhận thức sáng tạo - hay nói cách khác phương pháp dạy cho học sinh tư sáng tạo - cốt lõi hoạt động dạy học, tơi chọn khía cạnh việc hường dẫn học sinh có cách tư sáng tạo cho toán em đưa cách giải số phương trình bậc bốn nói chung, mà chương trình Đại số cấp THCS đề cập đến phương trình bậc bốn đặc biệt 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm: 2.2.1 Thuận lợi: - Qua nhiều năm giảng dạy Toán bồi dưỡng, nâng cao chất lượng cho học sinh giỏi lớp giúp nhận thấy số điểm yếu cách tư duy, khai thác toán em học sinh - Thư viện nhà trường ln có số sách bồi dưỡng tốn nâng cao tài liệu có liên quan - Nhà trường tạo điều kiện thuận lợi để viết đề tài - Các em học sinh học giỏi tốn khơng nhiều em chăm ngoan, chịu khó học tập, biết tiếp thu nghe lời thầy cô giáo - Gia đình học sinh ln tạo điều kiện để em học tốt mơn tốn mơn học khác 2.2.2 Khó khăn: - Đối với học sinh khối khối 7, 8, việc học tốn nâng cao ít, khơng có lớp chọn cho đối tượng Giáo viên chủ yếu dạy lồng ghép vào lớp học đại trà, nên không chuyên sâu nâng cao cho học sinh giỏi toán - Đối với Nhà trường chưa thực kì thi riêng chọn học sinh giỏi cấp trường chưa tổ chức lớp chọn dành cho học sinh giỏi 2.2.3 Khảo sát học sinh: Trước triển khai chuyên đề tiến hành kiểm tra hiểu biết em học sinh lớp 6A3 nhà trường việc khai thác cách giải giải số toán sau ĐỀ BÀI (Thời gian làm 60 phút) * Thực tính tổng sau: A = 1×2 +  2 ×3 +3 ×4 +L    +  99 ×100 1) B = 1×3 +  3 ×5 +  5 ×7 +L +  97 ×99 2) C = 1×2 ×3 +  2 ×3 ×4 +L +  3 ×4 ×5 +L +  98 ×99 ×100 3) 4) S = 1 1 + + +L + ×2 ×3 ×4 99 ×100 * Tìm số tự nhiên x biết : 5) 1 1998 + + + + = 10 x( x + 1) 2000 1) A = 333300 3) C = 24497550 5) x = 1999 ĐÁP ÁN - BIỂU CHẤM điểm 2) B = 161651 99 điểm 4) S = 100 1,5 điểm điểm 2,5 điểm THỐNG KÊ KẾT QUẢ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG ĐỀ TÀI Tổng số học Yếu Trung bình Khá Giỏi sinh 6A3 SL % SL % SL % SL % 43 13 30.23 17 39.53 10 23.26 03 6.98 Sau kiểm tra em học sinh lớp 6A3 nhà trường thấy cách tư em tồn số điểm sau: - Học sinh có nhiều em chưa biết cách giải số toán đơn giản dãy số dạng kiểm tra, lời giải cịn trình bày dài dịng, rắc rối - Học sinh chưa phát huy tư sáng tạo, khả học hỏi, tìm tịi kiến thức 2.3 Giải pháp tổ chức thực đề tài: 2.3.1 Giải pháp thực đề tài: Để khắc phục số hạn chế để nâng cao hiệu việc bồi dưỡng học sinh giỏi toán 6, đưa số giải pháp sau: 2.3.1.1 Giải pháp chung: Giáo viên cần cung cấp cho học sinh kiến thức sau: - Củng cố lại phép tính cộng, trừ, nhân, chia, phép biến đổi, quy tắc dấu quy tắc dấu ngoặc môn số học lớp - Rèn học sinh thói quen quan sát, nhận dạng tốn, phân tích nhằm phát quy luật tốn - Rèn học sinh tính tự học, tự tìm tịi sáng tạo, biết cách tổ chức học tổ, học nhóm cách khoa học sáng tạo để tìm cách giải hay 2.3.1.2 Giải pháp cụ thể: - Giáo viên đưa tập để hướng dẫn cho học sinh cách làm - Sau học sinh nắm cách làm rồi, giáo viên khai thác toán vận dụng tương tự - Tổ chức cho học sinh thảo luận làm số toán tương tự giáo viên đưa - Cuối giáo viên khảo sát, đánh giá kết để rút kinh nghiệm 2.3.2 Tổ chức thực đề tài 2.3.2.1 Bài toán mở đầu số dãy số đơn giản:      99 ×100 Bài tốn 1: Tính A = 1×2 +  2 ×3 +3 ×4 +…+ Để tính A ta biến đổi A để xuất hạng tử đối Muốn ta cần tách thừa số hạng tử thành hiệu: a = b − c Lời giải: 3A = 1×2 ×3 +  2 ×3 ×3 +  3 ×4 ×3 +L   +  99 ×100 ×3 = 1×2 ×3 +  2 ×3 ×( 4 −1)  +  3 ×4 ×( 5 −  2 )  +L   +  99 ×100 ×( 101 −  98 ) = 1×2 ×3 + ×3 ×4 −1×2 ×3 + ×4 ×5 − ×3 ×4 +L   + 99 ×100 ×101 − 98 ×99 ×100 = 99 ×100 ×101 ⇒ A = 33 ×100 ×101 = 333300 Ta tổng qt thành tốn sau: Tính tổng: A = 1.2 +2.3 + 3.4 + ………+ n(n+1) Với n số nguyên dương Với cách làm tương tự ta có: 3A = 1.2.3 + 2.3.4 -1.2.3 + 3.4.5 – 2.3.4 +…… + n(n+1)(n+2) – (n-1)n(n+1) = n(n+1)(n+2) ⇒ A = n(n + 1)(n + 2) Từ tốn tổng qt ta đề xuất thêm tốn tính tổng sau: a 12 + 22 + 32 + …………+ n2 b 1.4 + 2.5 + 3.6 +…………+ n(n+3) Lời giải: Câu a: Nhận xét: n2 = n(n+1) – n ⇒ 12+ 22 + 32 + …………+n2 = =1.2 – + 2.3 – + 3.4 – +………+ n(n+1) – n = 1.2 +2.3 + 3.4 + ………+ n(n+1) – ( +2 +3 +………+n) n(n + 1)(n + 2) n(n + 1) n(n + 1)(2n + 1) − = = Câu b: Nhận xét: n(n+3) = n(n+1) + 2n ⇒ 1.4 +2.5 +3.6 +…………+ n(n+3) = =1.2 +2.1 +2.3 +2.2 + 3.4 +2.3+……… n(n+1) +2n =(1.2 +2.3 + 3.4 + ………+ n(n+1)) + 2( +2 +3 +………+n) = n(n + 1)(n + 2) n(n + 1) n(n + 1)(n + 5) +2 = 3 Lưu ý) Một số dãy số dễ dàng tính được: + + +L   + n ( n ∈ N* ) a + ( a + k ) + ( a + 2k ) + L + ( a + nk ) ( a,k,n ∈ N* ) Sau học sinh thực tập 1, Giáo viên phát triển thành tốn chẳng hạn : - Thay đổi giá trị thừa số số hạng theo quy luật tập - Chứng minh A số Tự nhiên chứng minh A chia hết 100 cho Khai thác toán Trong toán thừa số hạng tử đơn vị hay cách đơn vị Thay đổi khoảng cách thừa số hạng tử ta có tốn Bài tốn 2: Tính A = 1×3 + ×5 + ×7 + L + 97 ×99 Lời giải: 6A = 1×3 ×6 + ×5 ×6 +5 ×7 ×6 + L + 97 ×99 ×6 = 1×3 ×( 5 +1 ) + ×5 ×( −1)  +5 ×7 ( − 3) + L + 97 ×99 ( 101 −95 ) = 1×3 ×5 + 1×3 + ×5 ×7 −1×3 ×5 + ×7 ×9 − ×5 ×7 + L + 97 ×99 ×101 − 95 ×97 ×99 = 1×3 ×5 + + ×5 ×7 −1×3 ×5 + ×7 ×9 − ×5 ×7 + L + 97 ×99 ×101 − 95 ×97 ×99 = + 97 ×99 ×101 + 97 ×33 ×101 ⇒A= = 161651 Trong toán ta nhân A với Trong tốn ta nhân A với Ta nhận thấy để làm xuất hạng tử đối ta nhân A với lần khoảng cách thừa số hạng tử: 3kn ( n + k ) = n ( n + k ) ( r + 2k ) − ( n − k ) n ( n + k ) Thay đổi số thừa số tích ta có tốn Bài tốn 3: Tính A = 1×2 ×3 + ×3 ×4 + L + 98 ×99 ×100 Lời giải: 4A = 1×2 ×3 ×4 + ×3 ×4 ×4 + ×4 ×5 ×4 +L + 98 ×99 ×100 ×4 = 1×2 ×3 ×4 + ×3 ×4 ( −1) + ×4 ×5 ( − ) +L + 98 ×99 ×100 ×( 101 − 97 ) = 1×2 ×3 ×4 + ×3 ×4 ×5 −1×2 ×3 ×4 + ×4 ×5 ×6 − ×3 ×4 ×5 + L + 98 ×99 ×100 ×101 − 97 ×98 ×99 ×100 = 98 ×99 ×100 ×101 ⇒ A = 98 ×99 ×25 ×10 = 24497550 Thay đổi khoảng cách thừa số hạng tử ta có tốn 4: Bài tốn 4: Tính A = 1×3 ×5 + ×5 ×7 + L + ×7 ×9 + L + 95 ×97 ×99 Lời giải: 8A = 1×3×5×8+ 3×5×7×8+ 5×7×9×8+ L + 95×97×99×8 = 1×3×5×( 7+ 1) + 3×5×7×( 9− 1) + 5×7×9×( 11− 3) + L + 95×97×99×( 101− 93) = 1×3×5×7+ 15+ 3×5×7×9− 1×3×5×7+ 5×7×9×11− 3×5×7×9+ L + 95×97×99×101− 3×95×97×99 = 15+ 95×97×99×101 15+ 95×97×99×101 ⇒A= = 11517600 Trong ta nhân A với (bốn lần khoảng cách) Trong ta nhân A với Như để giải toán dạng n ∑ n(n+ k)(n+ 2k) ta nhân với 4k (4 lần n=1 khoảng cách) sau tách: 4kn ( n + k ) ( n + 2k ) = n ( n + k ) ( n + 2k ) ( n + 3k ) − ( n − k ) ( n + k ) n ( n + 2k ) Thay đổi lặp lại thừa số tốn ta có tốn 5: Bài tốn 5: Tính A = 1×2 + ×4 + ×6 + L + 99 ×100 Lời giải: A = + ( + 1) ×4 + ( + 1) ×6 + L + ( 98 + 1) ×100 = + ×4 + + ×6 + + L + 98 ×100 + 100 = ( ×4 + ×6 + L + 98 ×100 ) + ( + + + + L + 100 ) = 98 ×100 ×102: + 102 ×50: = 166600 + 2550 = 169150 Cách khác: A = 1×( −1) + ×( −1) + ×( −1) + L + 99 ×( 101 −1) = 1×3 −1 + ×5 − + ×7 − + L + 99 ×101 − 99 = ( 1×3 + ×5 + ×7 + L + 99 ×101) − ( + + + + L + 99 ) = 171650 – 2500 = 169150 Trong tốn ta khơng nhân A với số hạng mà tách thừa số tích làm xuất dãy số mà ta biết cách tính dễ dàng tính Làm tương tự với toán 6: Bài tốn 6: Tính A = 12 + 22 + 32 + 42 + L + 1002 Lời giải: A = + ×( + 1) + ×( + 1) + ×( + 1) + L + 100 ×( 99 + 1) = + 1×2 + + ×3 + + ×4 + + L + 99 ×100 + 100 = ( 1×2 + ×3 + ×4 + L + 99 ×100 ) + ( + + + L + 100 ) = 333300 + 5050 = 338350 Thay đổi khoảng cách số ta có tốn 7: Bài tốn 7: Tính A = 12 + 32 + 52 + L + 992 Lời giải: A = + ×( + 1) + ×( + 3) + ×( + ) + L + 99 ×( + 97 ) = + ×3 + 1×3 + ×5 + ×5 + ×7 + ×7 + L + ×99 + 97 ×99 = + ×( + + + L + 99 ) + ( 1×3 + ×5 + ×7 + L + 97 ×99 ) = + 4998 + 161651 = 166650 Bài tốn 8: Tính A = 1×2 ×3 + ×4 ×5 + ×6 ×7 + L + 99 ×99 ×100 Lời giải: A = 1×3 ×( – 3) + ×5 ×( – ) + ×7 ×( − ) +…+ 99 ×101×( 103 – )  = ( 1×3 ×5 + ×5 ×7 + L + ×7 ×9 + L + 99 ×101×103) – ( 1×3 ×3 + ×5 ×3 + L + 99 ×101×3 ) = ( 15 + 99 ×101×103 ×105 ) :8 – ×( 1×3 + ×5 + ×7 + L + 99 ×101)   = 13517400 – ×171650 =1 3002450 Thay đổi khoảng cách số tốn ta có tốn Lưu ý ) Trong tốn sử dụng dãy tổng quát: ( n − a ) ( n + a ) = n2 − a2 ⇒ n2 = ( n − a ) ( n + a ) + a a khoảng cách gi ữa cơsố Thay i s m ca bi toỏn ta có tốn 9: Bài tốn 9: Tính A = 13 + 23 + 33 + L + 1003 Lời giải: Sử dụng dãy tổng quát: ( n −1) n ( n + 1) = n − n ⇒ n = n + ( n −1) n ( n + 1) sử dụng kết tốn Ta có: A = + + 1×2 ×3 + + ×3 ×4 + L + 100 + 99 ×100 ×101 = ( + + + L + 100 ) + ( 1×2 ×3 + ×3 ×4 + L + 99 ×100 ×101) = 5050 + 101989800 = 101994850 Bài tốn 10: Tính A = 13 + 33 + 53 + L + 993 Lời giải: Sử dụng dãy tổng quát: ( n − ) n ( n + ) = n3 − 4n ⇒ n3 = ( n − ) n ( n + ) + 4n Ta có: A = + 1×3 ×5 + ×3 + ×5 ×7 + ×5 + L + 97 ×99 ×101 + ×99 = + ( 1×3 ×5 + ×5 ×7 + L + 97 ×99 ×101) + ×( + + + L + 99 ) = + 12487503 + 9996 = 12497500 Với khoảng cách a ta tách: ( n − a ) n ( n + a ) = n − a 2n Ở tốn 8, ta làm toán 6, Thay đổi số mũ thừa số tốn ta có tốn 11: Bài tốn 11: Tính A = 1×22 + ×32 + ×42 + L + 99 ×1002 Lời giải: A = 1×2 ×( −1) + ×3 ×( −1) + ×4 ×( − 1) +…+ 99 ×100 ×( 101 −1) = 1×2 ×3 −1×2 + ×3 ×4 − ×3 + ×4 ×5 − ×4 +…+ 99 ×100 ×101 − 99 ×100 = ( 1×2 ×3 + ×3 ×4 +…+ 99 ×100 ×101) − ( 1×2 + ×3 + ×4 +…+ 99 ×100 ) = 25497450 − 333300 = 25164150 2.3.2 Một số phương pháp tính tổng dãy số tạo thành dãy số có qui luật: a Phương pháp dự đoán quy nạp : Trong số trường hợp gặp toán tính tổng hữu hạn Sn = a1 + a2 + an (1) Bằng cách ta biết kết (dự đoán , toán chứng minh cho biết kết quả) Thì ta nên sử dụng phương pháp chứng minh Ví dụ : Tính tổng Sn =1+3+5 + + (2n -1 ) Thử trực tiếp ta thấy : S1 = S2 = + =22 S = 1+ 3+ = = 32 Ta dự đoán Sn = n2 Với n = 1;2;3 ta thấy kết giả sử với n= k ( k ≥ 1) ta có Sk = k (2) ta cần phải chứng minh Sk + = ( k +1 ) ( 3) Thật cộng vế ( 2) với 2k +1 ta có 1+3+5 + + (2k – 1) + ( 2k +1) = k2 + (2k +1) k2 + ( 2k +1) = ( k +1) nên ta có (3) tức Sk+1 = ( k +1) theo nguyên lý quy nạp toán chứng minh Sn = 1+3=5 + + ( 2n -1) = n2 Tương tự ta chứng minh kết sau phương pháp quy nạp toán học n(n + 1) n(n + 1)(2n + 1) 2, 12 + 2 + + n =  n(n + 1)  3, 13+23 + + n3 =     4, 15 + 25 + + n5 = n2 (n + 1) ( 2n2 + 2n – ) 12 1, + 2+3 + + n = b Phương pháp khử liên tiếp : Giả sử ta cần tính tổng (1) mà ta biểu diễn a i , i = 1,2,3 ,n , qua hiệu hai số hạng liên tiếp dãy số khác , xác , giả sử : a1 = b1 - b2 a2 = b2 - b3 an = bn – bn+ ta có : Sn = ( b1 – b2 ) + ( b2 – b3 ) + + ( bn – bn + ) = b1 – bn + Ví dụ : tính tổng : 1 1 + + + + 10.11 11 12 12.13 99.100 1 1 1 = − = − Ta có : , 10.11 10 11 11 12 11 12 S= , 1 = − 99.100 99 100 Do : S= 1 1 1 1 − + − + + − = − = 10 11 11 12 99 100 10 100 100 • Dạng tổng quát 1 Sn = 1.2 + 2.3 + + n(n + 1) ( n > ) = 1- n = n +1 n +1 Ví dụ : tính tổng 1 1 Sn = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + n(n + 1)(n + 2) Ta có Sn = Sn = Sn =  1 1  1 1  1 1  − − −  +   + +   1.2 2.3   2.3 3.4   n( n + 1) (n + 1)(n + 2)   1 1 1 1   − + − + + −  1.2 2.3 2.3 3.4 n(n + 1) (n + 1)(n + 2)   1 1 n(n + 3)   = −  1.2 ( n + 1)(n + 2)  4(n + 1)(n + 2) Ví dụ : tính tổng Sn = 1! +2.2 ! + 3.3 ! + + n n! ( n! = 1.2.3 n ) Ta có : 1! = 2! -1! 2.2! = ! -2! 3.3! = 4! -3! n.n! = (n + 1) –n! Vậy Sn = 2! - 1! +3! – ! + 4! - 3! + + ( n+1) ! – n! = ( n+1) ! - 1! = ( n+ 1) ! - Ví dụ : tính tổng 2n + Sn = (1.2) + (2.3) + + [ n(n + 1)] 10 2i + 1 Ta có : [ i(i + 1)] = i − (i + 1) ; Do i = ; ; 3; ; n 1 1  1 1  ) +  −  + +  − 2 (n + 1)  2  n n( n + 2) = 1- (n + 1) = (n + 1) Sn = ( 1- c Phương pháp giải phương trình với ẩn tổng cần tính: Ví dụ : Tính tổng S = 1+2+22 + + 2100 ( 4) ta viết lại S sau : S = 1+2 (1+2+22 + + 299 ) S = 1+2 ( +2+22+ + 299 + 100 - 2100 ) => S= 1+2 ( S -2 100 ) ( 5) Từ (5) suy S = 1+ 2S -2101  S = 2101-1 Ví dụ : tính tổng Sn = 1+ p + p + p3 + + pn ( p ≠ 1) Ta viết lại Sn dạng sau : Sn = 1+p ( 1+p+p2 + + pn-1 ) Sn = + p ( 1+p +p2 + + p n-1 + p n –p n )  Sn = 1+p ( Sn –pn )  Sn = +p.Sn –p n+1  Sn ( p -1 ) = pn+1 -1 P n +1 −  Sn = p −1 Ví dụ : Tính tổng Sn = 1+ 2p +3p + + ( n+1 ) pn , ( p ≠ 1) Ta có : p.Sn = p + 2p + 3p3 + + ( n+ 1) p n +1 = 2p –p +3p –p2 + 4p3–p3 + + (n+1) pn - pn + (n+1)pn –pn + ( n+1) pn+1 = ( 2p + 3p2 +4p3 + +(n+1) pn ) – ( p +p + p + pn ) + ( n+1) pn+1 = ( 1+ 2p+ 3p2+4p3+ + ( n+1) pn ) – ( + p+ p2 + + p n) + ( n +1 ) pn+1 P n +1 − + (n + 1) P n +1 ( theo VD ) p.Sn=SnP −1 p n +1 − n+1 Lại có (p-1)Sn = (n+1)p P −1 n +1 n +1 (n + 1) P p −1 −  Sn = p −1 ( P − 1) d Phương pháp tính qua tổng biết • Các kí hiệu : n ∑a i =1 i = a1 + a + a3 + + a n • Các tính chất : 11 n 1, 2, ∑ (a i =1 n ∑ a.a i =1 n n i =1 i =1 + bi ) = ∑ + ∑ bi i n i = a ∑ i =1 Ví dụ : Tính tổng : Sn= 1.2 + 2.3 + 3.4 + + n( n+1) Ta có : Sn = n n i =1 i =1 ∑ i(i + 1) = ∑ (i n n i =1 i =1 + i) = ∑ i + ∑ i Vì : n ∑ i = + + + + n = i =1 n( n + 1) (Theo I ) n(n + 1)(2n + 1) i = ∑ i =1 n(n + 1) n(n + 1)(2n + 1) n(n + 1)(n + 2) + = : Sn = n Ví dụ 10 : Tính tổng : Sn =1.2+2.5+3.8+ .+n(3n-1) ta có : Sn = n n i =1 n i =1 ∑ i(3i − 1) = ∑ (3i − i) n = 3∑ i − ∑ i i =1 i = =1 Theo (I) ta có : Sn = 3n( n + 1)(2n + 1) n(n + 1) − = n (n + 1) Ví dụ 11 Tính tổng Sn = 13+ +23 +53 + + (2n +1 )3 ta có : Sn = [( 13 +2 +33 +43 + +(2n+1)3 ] –[23+43 +63 + +(2n)3] = [13+23 +33 +43 + + (2n +1 )3] -8 (13 +23 +33 +43 + + n3 ) (2n + 1) (2n + 2) 8n (n + 1) − Sn = 4 ( theo (I) – ) =( n+1) 2(2n+1) – 2n2 (n+1)2 = (n +1 )2 (2n2 +4n +1) 2.3.3 Tính tổng số dãy số dạng phân số: a) Ví dụ 1: Tính tổng sau: S= 1 1 + + + + 1.2 2.3 3.4 100.101 * Hướng dẫn cách tìm lời giải: Bài tốn có tổng phân số có tử mẫu phân số 1.2; 2.3; 3.4; 100.101 Như mẫu phân số tích số tự nhiên liên tiếp Cách giải toán biến đổi phân số cho thành hiệu phân số, biến dãy tính cơng thành dãy tính cộng trừ 12 Trước tiên, cho học sinh tiếp cận chứng minh công thức tổng qt từ tốn đơn giản Có thể yêu cầu học sinh thực toán sau : Chứng tỏ rằng: 1 1 = ; − = ; 1.2 3 1 − = n n + n.( n + 1) 1− Biến đổi vế trái = vế phải Quá trình dạy học sau : Giải : Quy đồng mẫu số phân số vế trái −1 = = 1.2 1.2 1 3−2 − = = 2.3 2.3 1 n +1− n − = = n n + n.(n + 1) n.(n + 1) 1− * Qua ta có cách giải Ví dụ sau : 1 1 + + + + 1.2 2.3 3.4 100.101 1 1  1 100     1 1  − = = − =  −  +  −  +  −  + +  1       100 101  101 101 S= +) Bài toán tổng quát: 1 1 Tính tổng: S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + n(n + 1)  1 n 1   1   1  1 = = − =  −  +  −  +  −  + +  − 1 2 2 3 3 4 n n + 1 n +1 n +1 b) Ví dụ 2: Tính tổng: P = 2 2 + + + + 1.3 3.5 5.7 99.101 * Phương pháp tìm lời giải: Ta thấy P tổng phân số có tử 2, cịn mẫu phân số tích chữ số lẻ liên tiếp đơn vị, ta viết phân số hiệu phân số, phân số bị trừ có tử mẫu thừa số thứ nhất, phân số trừ có tử mẫu thừa số thứ VD: 1 1 1 1 = − ; = − ; = − ; …; = − 1.3 3.5 5.7 99.101 99 101 Nên ta dễ dàng tính tổng cho * Cách giải: 2 2 + + + + 1.3 3.5 5.7 99.101 1 1 1 1 = − + − + − + + − 3 5 99 101 P= 13 = 1− 100 = 101 101 +) Bài toán tổng quát: 2 1 3 2 Tính tổng: P = 1.3 + 3.5 + 5.7 + + 99.101 + + n.(n + 2) (n lẻ) 5 n = − + − + − + + − 1 n +1 = = 1− n+2 n+2 n+2 c) Ví dụ 3: Tính tổng 100 số hạng dãy sau: 1 1 ; ; ; ; 66 176 336 * Phương pháp tìm lời giải: Ta thấy số hạng dãy số có tử cịn mẫu là: 6; 66; 176; 336; Vậy trước hết ta phải viết mẫu thành tích số phải tìm số hạng thứ 100 dãy Ta nhận thấy: = 1.6 ; 66 = 11.6 ; 176 = 11.16 ; 336 = 16.21 Ta thấy mẫu phân số có quy luật là: Tích hai số có số tận số tận Trong thừa số mẫu số có thừa số thừa số lại đơn vị Vậy mẫu số số thứ n dãy số có dạng: (5n-4)(5n+1) => Mẫu số thứ 100 dãy số: (5.100-4)(5.100+1)=496.501 Ta cần tính tổng A = 1 1 + + + + 1.6 6.11 11 16 496.501 Tương tự ta tách phân số thành hiệu phân số, ta nhận 1 1 1 => ( − ) = 1.6 1.6 1 1 1 Tương tự − = => ( − ) = 11 6.11 11 6.11 1 1 1 − = − )= => ( 496 501 496.501 496 501 496.501 thấy : − = Từ ta tính tổng A cách dễ dàng * Cách giải: 1 1 + + + + + 66 176 336 2484966 1 1 + + + + = 1.6 6.11 11 16 496.501 1 1 1 1 1 1 − ) = ( − ) + ( − ) + ( − ) +…+ ( 6 11 11 16 496 501 1  1 1 1 − = 1 − + − + + + + 496 501  6 11 11 16  500 100 1 = = 1 − =  501  501 501 A= *) Bài toán tổng quát: 1 1 A = 1.6 + 6.11 + 11 16 + + (5n − 4)(5n + 1) 14 1 1 1 1 − ) ( − ) + ( − ) +…+ ( (5n − (5n + 1) 6 11  5n 1 n = = 1 − =  5n +  5n + 5n + = Lưu ý : n 1 = − ab a b n = b – a d) Ví dụ 4: Tính tổng : B = 1 1 + + + + 1.2.3 2.3.4 3.4.5 37.38.39 * Hướng dẫn: Ta thấy phân số tổng B có tử cịn mẫu phân số tích số tự nhiên liên tiếp Ta viết số hạng tổng thành hiệu hai số cho số trừ nhóm trước số bị trừ nhóm sau Ta tách phân số bị trừ có tử mẫu số tự nhiên liên tiếp đầu, phân số trừ có tử cịn mẫu gồm có số tự nhiên liên tiếp sau ( có số trùng nhau) 1 1 1  − = =>  − = 1.2 2.3 1.2.3  1.2 2.3  1.2.3 1 1 1  − = =>  − = … 23 3.4 2.3.4  2.3 3.4  2.3.4 1 1 1  − = =>  − = 37.38 38.39 37.38.39  37.38 38.39  37.38.39 1 Tổng quát ta áp dụng: n(n + 1) + (n + 1)(n + 2) = n(n + 1)(n + 2) Ta thấy: * Cách giải: 1 1 + + + + 1.2.3 2.3.4 3.4.5 37.38.39 1 1  1 1  1 1  −  =  −  +  −  +…+   1.2 2.3   2.3 3.4   37.38 38.39  1 1 1 1  + − + + −  =  −  2 3 37.38 38.39  1 1  11  =  −  =  −  1.2 38.39   38.39  741 − 1 740 370 185 = = = = 38.39 38.39 741 741 B= * Bài toán tổng quát:  1 1 1  − + + + + = n(n + 1)(n + 2)  (n + 1).(n + 2)  1.2.3 2.3.4 3.4.5  (n + 1).(n + 2) −  (n + 1).(n + 2) − =  = 4(n + 1).(n + 2)  2(n + 1).(n + 2)  1 1 101 e) Ví dụ : Tìm x biết : + + +…+ x( x + 3) = 5.8 8.11 11 14 1540 B= Hướng dẫn tìm lời giải : 15 Ta thấy vế trái đẳng thức phân số có tử số mẫu số tích số đơn vị : Ta xét : 1 1 1 − = =>  −  = 5.8   5.8 1 1  − = =>  −  = 11 8.11  11  8.11 1 11 1 − = =>  −  = 11 14 11 14  11 14  11 14 1  1 1 −  = = x( x + 3) =>  − x.( x + 3) x x +1  x x + 3 Từ ta có cách giải bái tốn Ví dụ sau : Cách giải : 1 1 101 + + +…+ x( x + 3) = 5.8 8.11 11 14 1540 Ta viết đẳng thức cho sau:  101 1 1 1   1  1  −  +  −  +  −  +…+  − =    11   11 14   x x +  1540 1  = 101 1 1 1  − + − + − + + −  x x +  1540  8 11 11 14  = 101 1  −   x +  1540 1 = 101 − x + 1540 1 = 303 − x + 1540 = 303 = − x + 1540 1540 = x + 308 Ta có hai phân số với tử mẫu phải nhau, tức : x+3 = 308 => x = 308 - 3=305 2.3.4 Tìm tích dãy số: a) Ví dụ 1: Tính tích sau : A = 15 9999 16 10000 *) Hướng dẫn cách tìm lời giải: Các phân số cho tích đề có tử nhỏ mẫu số đơn vị, mẫu bình phương số tự nhiên n (n ≥ ) Nếu học sinh vận dụng quy tắc nhân phân số phức tạp tính tốn Với đặc điểm A viết sau A= 15 9999 2 100 Vấn đề đặt ta phải phân tích phân số thành tích để rút gọn Ở ta cần tách số tử thành tích hai thừa số đơn vị 16 1.3 2.4 15 3.5 9999 99.101 = ; = ; = ; = 2 3 4 100 100 VD: Sau ta lập tử mẫu hai dãy thừa số để rút gọn Hướng dẫn cho học sinh thừa số thứ tử thuộc dãy thừa số thứ nhất, thừa số thứ thuộc dãy số thứ Từ ta có kết tốn *) Cách giải: 15 9999 1.3 2.4 3.5 99.101 1.2.3 99 3.4.5 101 = … 2 = 100 2.3.4 100 2.3.4 100 100 101 101 = = 100 200 A= *) Bài toán tổng quát: 1.3 2.4 2 32 n +1 = = n A= 3.5 (n − 1).(n + 1) … n2 n +1 2n (n ≥ ) b) Ví dụ 2:   Tính tích : B = 1 −      .1 − 1 −  1 −  21   28  36   1326  *) Hướng dẫn cách tìm lời giải: Thực phép tính ngoặc tích sau: 20 27 35 1325 21 28 36 1326 Các phân số có tử nhỏ mẫu đơn vị, cịn mẫu số chưa viết theo quy luật Mẫu phân số viết là: 3.7; 4.7; 4.9 Các thừa số có lặp lại chưa theo quy luật Nhận thấy thừa số lặp lại thừa số tích khơng có mối liên hệ với Vậy có có tích 6.7; 7.8; 8.9 thừa số mẫu phân số viết theo quy luật định, dãy hai thừa số số tự nhiên liên tiếp số Để có ta phải nhân tử mẫu phân số với ta được: 40 54 70 5.8 6.9 7.10 hay ta viết là: 42 56 72 6.7 7.8 8.9 Đến ta thấy tử phân số có thừa số đơn vị Nhân tử mẫu phân số cuối với 2, dựa vào nhận xét tử mẫu phân số đầu, ta có : 2650 50.53 = 2652 51.52 Như tích cho viết thành : 5.8 6.9 7.10 50.53 … , đến 6.7 7.8 8.9 51.52 thừa số viết trước tử mẫu dãy tích tử mẫu phân số thứ nhất, thừa số viết sau tử mẫu dãy tích tử mẫu phân số thứ Từ ta có kết tốn *) Cách giải      20 27 35 1325  .1 − 1 −  1 −  = 21 28 36 1326  21   28  36   1326  5.8 6.9 7.10 50.53 5.6.7 50 8.9.10 53 53 265 = … = = = 6.7 7.8 8.9 51.52 6.7.8 51 7.8.9 52 51 357 B = 1 − 17 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm: Sau đưa cách khai thác tốn tính tổng, tích Tơi tiến hành kiểm tra để đánh giá kết tiếp thu cách thông minh linh hoạt học sinh qua so sánh với khảo sát trước đây, rút kinh nghiệm đưa giải pháp phù hợp ĐỀ BÀI (Thời gian làm 60 phút)    +  96 ×98 ×100 1) Tính tổng : A = ×4 ×6 +  6 ×8 ×10 +10 ×12 ×14 +L 2) Tính tổng : B = 1×3 ×5 +  5 ×7 ×9 +  9 ×11×13 +L +  97 ×99 ×101 2 3) Cho P = + + L + 100 Chøng minh r»ng: B < 26 1×3 ×5 199 ×201 4) 5) T ×mx biÕt: 2 4020 + +L + = 1+ 1+ + + + + + x 2010 Chứng minh :  100 - 1 + + + +   99  = + + + + 100  100 KẾT QUẢ KIỂM NGHIỆM SAU KHI THỰC HIỆN ĐỀ TÀI Tổng số học Yếu Trung bình Khá Giỏi sinh 6A3 SL % SL % SL % SL % 43 02 4.65 18.60 18 41.86 15 34.89 * Nhận xét: - Học sinh nắm vững kiến thức cách tìm quy luật để tính tổng dãy số tìm tích dãy số - Đa số học sinh biết tính tổng dãy số theo quy luật, biết tìm quy luật để tính, trình bày gọn gàng logíc, dễ hiểu - Nhìn chung đa số em biết vận dụng cách tính tổng việc chứng minh đẳng thức tìm số KẾT LUẬN, KIỆN NGHỊ 3.1 Kết luận: Thông qua việc nghiên cứu đề tài kinh nghiệm từ thực tiễn giảng dạy, xin rút số kinh nghiệm sau: Như vậy, từ điều học phương pháp suy nghĩ đặc biệt hoá, tổng quát hoá, tương tự ta tìm nhiều điều giúp ta nhìn thấy liên hệ vấn đề với Nhờ phương pháp mở rộng, đào sâu thêm kiến thức cách nêu lên giải vấn đề tổng quát hơn, vấn đề tương tự sâu vào trường hợp đặc biệt có ý nghĩa Điều vừa làm cho người thầy có nhìn sâu hơn, rộng vấn đề, toán, đồng thời tạo cho học sinh biết cách học, cách suy nghĩ giải vấn đề tự đặt giải vấn đề từ vấn đề học Từ nâng cao chất lượng dạy học Việc giảng dạy, đặc biệt giảng dạy bồi dưỡng học sinh mũi nhọn, rút kinh nghiệm phát triển tư 18 cho học sinh qua việc khai thác toán phải việc làm thường xuyên tiết giảng, đòi hỏi người giáo viên phải đầu tư nhiều thời gian nghiên cứu tài liệu với sáng tạo để tổng hợp, xếp nhóm tập hợp lý Phải ln đưa học sinh vào tình có vấn đề cần giải vừa sức với em, sở rèn kỹ phát huy động, sáng tạo vốn có em học sinh 3.2 Kiến nghị: - Đưa đề tài thảo luận trước tổ chun mơn, sau thảo luận hội đồng khoa học nhà trường để điều chỉnh bổ sung phần kiến thức nội dung thiếu đề tài - Sau điều chỉnh xong thống triển khai áp dụng việc bồi dưỡng học sinh mũi nhọn, lấy làm tài liệu tham khảo giáo viên dạy tốn - Để cơng việc đầu tư mũi nhọn có hiệu nhà trường cần tiến hành thi học sinh giỏi cấp trường nhà trường tổ chức, phát động phong trào thi đua học tốt mơn tốn Trên vài kinh nghiệm trình bồi dưỡng học sinh giỏi tốn lớp Đề tài khơng thể tránh khỏi sai sót, vấn đề nâng cao chất lượng mũi nhọn cịn nhiều khó khăn nói chung, đặc biệt vùng ngoại thành nông thơn Vì thân tơi ln tự học, tự bồi dưỡng, đúc rút kinh nghiệm, học hỏi đồng nghiệp nhằm đóng góp số kinh nghiệm vào cơng tác giảng dạy để góp phần giải phần khó khăn chất lượng học sinh mũi nhọn Tơi mong nhận góp ý xây dựng chân thành Hội đồng khoa học cấp đồng nghiệp để đề tài hoàn thiện sử dụng rộng rãi đạt hiệu cao 3.3 Tài liệu tham khảo - SGK toán - Bồi dưỡng cao toán - Nâng cao phát triển toán Xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN Ngọc Trạo, ngày 20 tháng 03 năm 2017 CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng copy nội dung người khác Viên Thị Thủy 19 ... tử đối dãy số dễ dàng tính lại vấn đề không đơn giản mà học sinh hay mắc phải Tôi xin đưa đề tài: ? ?Phát triển tư cho học sinh lớp 6A3 trường THCS Nguyễn Văn Trỗi thơng qua giải tốn số học? ?? Ở đề... rèn luyện lực tư cho học sinh 1.3 Đối tư? ??ng nghiên cứu: Tập trung nghiên cứu số học sinh lớp 6A3 trường trung học sở Nguyễn Văn Trỗi Thành phố Thanh Hóa Hướng dẫn em làm số tập dãy số dễ dàng tính... sinh hiểu thầy dạy mà không tự giải tập Việc phát triển tốn học sinh quan tâm mức Phần nhiều học sinh cảm thấy sợ môn số học, giải tập số học Thực tiễn dạy học cho thấy: HS - giỏi thường tự đúc