Chương 8: DẪN NHIỆT ( Khoa Công Nghệ Nhiệt Lạnh )

Chương 8: Khái Niệm Cơ Bản Về Dẫn Nhiệt Trang 66 Chương 8: DẪN NHIỆT 8.1 Dẫn nhiệt qua vách phẳng (qv = 0) 8.1.1 Vách phẳng lớp Xét vách phẳng đồng chất đẳng hướng, chiều dày δ hệ số dẫn nhiệt λ; vách có chiều rộng lớn so với chiều dày, nhiệt độ hai bề mặt giữ không đổi tw1 tw2 Trong điều kiện nhiệt độ biến thiên theo phương vuông góc với bề mặt Nếu chọn trục toạ độ Ox (hình 10.3) nhiệt độ không thay đổi theo trục Oy Oz, nghĩa là: ∂t ∂t = =0 ∂y ∂z Khi thông số vật lý λ, c, ρ số phương trình vi phân dẫn nhiệt vách phẳng lớp lúc này: ∂²t (8.1) =0 ∂x ² Điều kiện biên toán xét (điều kiện biên loại 1) có dạng: Khi: x = → t = tw1 x = δ → t = tw2 (8.2) Tích phân (9.22) ta tìm quy luật phân bố nhiệt độ vách Tích phân lần thứ được: ∂t (8.3) = C1 ∂x Tích phân lần thứ hai được: t = C1x + C2 (8.4) Phương trình (8.4) cho ta thấy hệ số dẫn nhiệt không đổi, nhiệt độ vách phân bố theo quy luật đường thẳng Hằng số tích phân C1 C2 (10.25) xác định từ điều kiện biên Khi: x = 0; t = tw; và: C2 = tw1 t _t x=δ; t = tw2; và: C1 = – w1 w δ Thay số tích phân C C2 vào (8.4) tìm phương trình đường cong phân bố nhiệt độ có dạng: t _t t = tw1 – w1 w x (8.5) δ Để xác định mật độ dòng nhiệt theo phương Ox, ta dựa định luật Fuorier: Trường ĐHCN Tp HCM Khoa CN Nhiệt - Lạnh Chương 8: Khái Niệm Cơ Bản Về Dẫn Nhiệt Trang 67 q = - λ t _t dt dt Thay giá trị = C1 = – w1 w , vào biểu thức định luật dx dx δ Fuorier: λ (tw1 – tw2) [W/m²] (8.6) δ t _t hoặc: q = w1 w [W/m²] (8.7) δ/λ Tỷ số δ/λ gọi nhiệt trở dẫn nhiệt vách lớp Nhiệt lượng truyền qua bề mặt vách F sau khoảng thời gian τ xác định theo phương trình sau: λ Q = qFτ = (tw1 – tw2)Fτ [J] (8.8) δ t _t q Từ (8 7) ta có: w1 w = δ λ q Thay giá trị vào (8 6) ta được: t = tw1 – x (8 9) λ Biểu thức (8.6) (8.7) tìm với điều kiện giả thiết λ = const Thực tế hệ số dẫn nhiệt biến thiên theo nhiệt độ: λ = λ0(1+bt) (8.10) λ0 – giá trị hệ số dẫn nhiệt 0°C b - hệ số xác định thực nghiệm Theo định luật Fuorier: dt dt q = - λ( t ) = - λ (1 + bt ) (a) dx dx Tách biến, sau tích phân khoảng từ x = đến x = δ; từ t = tw1 đến t = tw2: t w1 + t w qδ = λ0 1+b (tw1 – tw2) (b) q= ( thừa số:λ0 ) ( t w1 + t w 1+b ) t w1 λ ( t )dt = λ tb = t w1 _ t w t ∫ w2 hệ số dẫn nhiệt trung bình khoảng nhiệt độ từ tw1 đến tw2 Như vậy, mật độ dòng nhiệt tính theo biểu thức: λ q = tb (tw1 – tw2) [W/m²] (8.11) δ Phương trình (a) sau tích phân từ x = đến x, nhiệt độ tích phân từ t w1 đến t chỉnh lý lại, ta tìm phương trình trường nhiệt độ có dạng sau: 1 2qx t = – + ( + t w1 )² + _ b b λοb Trường ĐHCN Tp HCM [°C] (8.12) Khoa CN Nhiệt - Lạnh Chương 8: Khái Niệm Cơ Bản Về Dẫn Nhiệt Trang 68 Từ phương trình ta thấy nhiệt độ vách phân bố theo đường cong Khi b > bề lồi đường cong hướng lên b < ngược lại 8.1.2 Vách phẳng nhiều lớp Giả thiết, có vách gồm ba lớp hợp thành, chiều dày lớp thứ δ 1, lớp thứ hai δ2 lớp thứ ba δ3; hệ số dẫn nhiệt λ1, λ2và λ3 Biết nhiệt độ hai bề mặt không đổi t w1 tw4 Bởi hai bề mặt có tiếp xúc tốt nên hai bề mặt có nhiệt độ, gọi tw2 tw3 (Hình 8.3) Hình 8.3: Dẫn nhiệt qua vách phẳng nhiều lớp Ở chế độ nhiệt ổn định dòng nhiệt qua bề mặt đẳng nhiệt vách ∂q nhau, nghĩa là: =0 ∂x Mật độ dòng nhiệt dẫn qua lớp: λ1 q= (tw1 – tw2) δ1 q= λ2 (tw2 – tw3) δ2 q= λ3 (tw3 – tw4) δ3 (c) Từ (c) ta xác định độ chênh lệch nhiệt độ qua lớp: δ1 tw1 – tw2 = q λ1 tw2 – tw3 = q δ2 λ2 tw3 – tw4 = q δ3 λ3 (d) Cộng vế biểu thức (d) ta được: Trường ĐHCN Tp HCM Khoa CN Nhiệt - Lạnh Chương 8: Khái Niệm Cơ Bản Về Dẫn Nhiệt Trang 69 tw3 – tw4 = q( δ1 δ δ + + ) λ1 λ λ t w1 _ t w q = δ1 δ δ + + λ1 λ λ và: (8.13) Tương tự suy cho vách phẳng nhiều lớp (n lớp) t w1 _ t w ( n +1) q= i=n δ [W/m²] ∑ i i =1 λ i (8.14) i=n δi - tổng nhiệt trở n lớp gọi nhiệt trở toàn phần i =1 λ i nhiệt trở dẫn nhiệt vách nhiều lớp Nếu đem giá trị q (8.14) thay vào (d) ta tính nhiệt độ bề mặt tiếp xúc trung gian: δ1 tw2 = tw1 – q λ1 Trị số: ∑ tw3 = tw2 – q δ2 δ1 δ = tw1 – q ( + ) λ2 λ1 λ (e) Tổng quát: i=k tw(k – 1) = tw1 – q ∑ δi λi [°C] (8.15) Để đơn giản cho việc tính toán, ta xem vách nhiều lớp vách lớp i=n có chiều dày ∆ = ∑ δ i , nhiệt trở vách tương đương bằng: i =1 i=n ∑ δi i =1 λ td i=n δi i =1 λ i = ∑ i=n Suy ra: λ td = ∑ δi i =1 i=n δ i [W/m độ] (8.16) ∑ i =1 λ i Mật độ dòng nhiệt: q = λ td (tw1 – tw(n+1)) [W/m²] Δ (8.17) 8.2 Dẫn nhiệt qua vách trụ (qv = 0) 8.2.1 Vách trụ lớp: Trường ĐHCN Tp HCM Khoa CN Nhiệt - Lạnh Chương 8: Khái Niệm Cơ Bản Về Dẫn Nhiệt Trang 70 Xét vách trụ lớp (ống tròn), đường kính d1 = 2r1 đường kính d2 = 2r2 (Hình 8.6) Nhiệt độ bề mặt vách vách không đổi tw1 tw2 (điều kiện biên loại 1) Trong khoảng nhiệt độ cho, hệ số dẫn nhiệt λ có giá trị không đổi Phương trình vi phân dẫn nhiệt vật rắn biểu diễn hệ toạ độ trụ có dạng: ∂ ² t ∂t ∂ ² t ∂ ² t ∇² t = + + + =0 (8.18) ∂r ² r ∂r r ² ∂φ ² ∂z ² Trục Oz trùng với trục ống Trong trường hợp chiếu dài ống lớn so với đường kính ống, nhiệt độ thay đổi theo phương bán kính trường nhiệt độ trường chiều, cho nên: ∂t ∂² t (a) = =0 ∂z ∂z ² Nhiệt độ bề mặt bề mặt không thay đổi, nên mặt đẳng nhiệt mặt trụ đồng trục với ống, nhiệt độ không biến thiên theo φ; nghĩa là: ∂t ∂² t = =0 (b) ∂φ ∂φ ² Lúc (10.38) có dạng đơn giản hơn: d ² t dt (8.19) + =0 dr ² r dr Điều kiện biên: r = r1→ t = tw1 r = r2→ t = tw2 (8.20) Giải (8.19) kết hợp với điều kiện biên (8.20) tìm phương trình nhiệt độ vách trụ dt Đặt u = (c) dr d ² t du dt u Khi đó: ; (d) = = dr ² dr r dr r Thay (c) (d) vào (8.19) được: du (8.21) + u=0 dr r Tích phân (8.21) ta có: lnu + lnr = lnC1 ; ur = C1 (e) dt dt dr thay: u = → r = C1 ; nên dt = C1 (f) dr dr dt Tích phân (f) ta được: t = C1lnr + C2 (8.22) Từ điều kiện biên (8.20) ta xac định C1 C2: Trường ĐHCN Tp HCM Khoa CN Nhiệt - Lạnh Chương 8: Khái Niệm Cơ Bản Về Dẫn Nhiệt Trang 71 r = r1→ t = tw1 = C1lnr1 + C2 r = r2→ t = tw2 = C1lnr2 + C2 Giải phương trình (g) tìm C1 C2: t _t ln r1 C1 = w1 w r ; C2 = tw1 – ( tw1 – tw2 ) r1 ln ln r2 r2 (g) Thay C1 C2 vào (8.22) ta tìm phương trình đường cong phân bố nhiệt độ vách trụ sau: ln(r / r1 ) t = tw1 – ( tw1 – tw2 ) [°C] (8.23) ln(r2 / r1 ) hoặc: t = tw1 – ( tw1 – tw2 ) ln(d / d1 ) ln(d / d1 ) [°C] (8.24) Để tính nhiệt lượng truyền qua mặt trụ F đơn vị thời gian, áp dụng định luật Fuorier: πλL( t w1 _ t w ) dt Q=– λ F= [W] (8.25) dr ln(d / d1 ) ( t w1 _ t w ) Q= [W] (8.25’) ln(d / d1 ) 2πλL Trong đó: L - chiều dài vách trụ d ln - nhiệt trở dẫn nhiệt vách trụ lớp có độ dài L πλL d1 Mật độ dòng nhiệt đơn vị dài: Q t _t q L = = w1 w d L ln 2 πλ d1 [W/m] (8.26) 8.2.2 Vách trụ nhiều lớp: Tương tự vách phẳng nhiều lớp, vách trụ nhiều lớp tạo nên nhiều lớp vật liệu khác nhau, dòng nhiệt truyền qua vách xác định tỷ số độ chênh lệch nhiệt độ toàn phần tổng nhiệt trở Giả sử vách trụ gồm lớp (Hình 10.7), bán kính tương ứng r1, r2, r3, r4, hệ số dẫn nhiệt lớp λ1, λ2, λ3 số, nhiệt độ mặt tw1 bề mặt t w4 không thay đổi (tw1 > tw4 ), nhiệt độ lớp tiếp xúc chưa biết gọi t w2 , tw3 Ta cần tìm dòng nhiệt truyền qua vách q L nhiệt độ lớp tiếp xúc Trường ĐHCN Tp HCM Khoa CN Nhiệt - Lạnh Chương 8: Khái Niệm Cơ Bản Về Dẫn Nhiệt Trang 72 Trong điều kiện ổn định nhiệt, mật độ dòng nhiệt đơn vị dài q L dẫn qua ∂q L lớp nhau, nghĩa là: =0 ∂r Nhiệt lượng dẫn qua lớp tính: π( t w1 _ t w ) qL = d2 ln λ1 d1 qL = qL = 2π( t w _ t w ) d3 ln λ2 d2 (a) 2π( t w _ t w ) d4 ln λ3 d3 Từ (a) ta tìm độ chênh lệch nhiệt độ qua lớp: qL d2 ln tw1 – tw2 = π λ1 d tw2 – tw3 = q L d3 ln 2π λ d tw3 – tw4 = qL d4 ln 2π λ d (b) Cộng vế phương trình (b), ta được: qL d2 d3 d4 ( ln + ln + ln ) tw1 – tw4 = π λ1 d1 λ d λ d Mật độ dòng nhiệt đơn vị độ dàiqua vách trụ nhiều lớp: π( t w1 _ t w ) qL = d d d 1 [W/m] ln + ln + ln λ d1 λ d 2 λ d Tổng quát cho vách có n lớp: π( t w1 _ t w ( n +1) ) qL = i=n d ∑ ln i +1 di i =1 λ i [W/m] (c) (8.27) (8.28) Trong đó: d ln i +1 có đơn vị [m độ/W] gọi nhiệt trở đường lớp 2λ i di i=n d ln i +1 gọi nhiệt trở đường toàn phần vách nhiều lớp di i =1 λ i ∑ Hệ số dẫn nhiệt tương đương vách trụ nhiều lớp nhiệt trở toàn phần vách nhiều lớp: Trường ĐHCN Tp HCM Khoa CN Nhiệt - Lạnh Chương 8: Khái Niệm Cơ Bản Về Dẫn Nhiệt Trang 73 i=n d d ln n +1 = ∑ ln i +1 2λ td d1 di i =1 λ i d n +1 d1 λtđ = i = n d ∑ ln i +1 di i =1 λ i ln đó: [W/m độ] (8.29) Từ (10.49) ta thấy hệ số dẫn nhiệt tương đương λ tđ phụ thuộc vào tính chất vật lý lớp (λ 1, λ2, , λn ) mà phụ thuộc vào chiều dày vách Nhiệt độ lớp tiếp xúc tính sau: qL d ln tw2 = tw1 – π λ1 d tw3 = tw1 – d qL d ( ln + ln ) π 2λ1 d1 2λ d Tổng quát: qL n d (∑ ln i +1 ) tw(i+1) = tw1 – π i =12λ i di [°C] (8.30) 8.3 Dẫn nhiệt qua có tiết diện không đổi 8.3.1 Phương trình vi phân dẫn nhiệt nghiệm phương trình: Chúng ta nghiên cứu phân bố nhiệt độ dọc theo dài có tiết diện không đổi Gọi tiết diện ngang f, chu vi tiết diện U, đặt môi trường có nhiệt độ không đổi t f, hệ số toả nhiệt bề mặt không đổi α1 Giả thiết vật liệu làm có hệ số dẫn nhiệt lớn, đồng thời tiết diện ngang bé, nên nhiệt độ thay đổi theo phương dọc trục; gọi θ nhiệt độ thừa Ta có: θ = t – tf [°C] (8.31) với: tf - nhiệt độ môi trường xung quanh t - nhiệt độ tiết diện Nếu biết nhiệt độ gốc t1 nhiệt độ thừa gốc là: θ1 = t1 – tf [°C] (8.32) Cách gốc khoảng x ta lấy phần tử có chiều dài dx phương trình cân nhiệt phần tử biểu diễn dạng: Qx – Qx+dx = dQ (a) đây: Qx - nhiệt lượng dưa vào bề mặt bên trái phần tử đơn vị thời gian Qx+dx - nhiệt lượng đưa khỏi bề mặt đối diện đơn vị thời gian dQ - nhiệt lượng toả môi trường qua bề mặt xung quanh phần tử Trường ĐHCN Tp HCM Khoa CN Nhiệt - Lạnh Chương 8: Khái Niệm Cơ Bản Về Dẫn Nhiệt Trang 74 Theo định luật Fourier: Q x = _ λ và: Q x + dx = _ λ dθ f dx d dθ (θ + dx )f dx dx d ²θ (b) dx ² mặt khác theo định luật Newton – Ricman có: dQ = α1θUdx (c) Cân vế phải phương trình (b) (c), ta tìm phương trình vi phân dẫn nhiệt biểu thị phân bố nhiệt độ dọc theo thanh: d ²θ α1U (8.33) = θ = m ²θ dx ² λf đó: Q x _ Q x + dx = λf α1U [1/m] (d) λf Nếu α1 λ không thay đổi khoảng nhiệt dộ khảo sát m = const Nghiệm phương trình (8.33) có dạng: θ = C1emx + C2e- mx (8.34) Hằng số tích phân C1 C2 xác định theo điều kiện biên đây: m=± 10.3.4.2 Thanh dài vô hạn Nhiệt độ gốc không đổi, nghĩa khi: x = 0; θ = θ 1; chiều dài thanh: H = ∞, thì: θ = (điều có nghĩa θ = tx – tf nhỏ), thay điều kiện biên vào phương trình (8.34) được: x = → θ = C1 + C2 x = ∞ → C1e∞ = Từ đẳng thức hai ta rút C1 = 0, C2 = θ1, thay C1 C2 vào phương trình (8.34) phương trình đường cong phân bố nhiệt độ dọc theo có dạng: θ = θ1e- mx [°C] (8.35) Trường ĐHCN Tp HCM Khoa CN Nhiệt - Lạnh Chương 8: Khái Niệm Cơ Bản Về Dẫn Nhiệt Trang 75 Như vậy: θ = Ф(θ1, x, α1, λ, f, U) α1 U ta thấy m tỷ lệ thuận với hệ số toả nhiệt, với chu vi λf tiết diện tỷ lệ nghịch với λf nhân tố xác định dẫn nhiệt dọc theo Nhiệt lượng truyền cho môi trường nhiệt lượng dẫn qua gốc Dòng nhiệt dẫn qua gốc tính: dθ [W] (8.36) Q = _ λf ( ) x = dx Đạo hàm phương trình (10.59) ta có: _ dθ (8.37) ( ) x = = _ me mx θ1 x = = _ mθ1 dx Thay giá trị phương trình (8.37) vào (8.36), ta tìm biểu thức tính nhiệt lượng toả môi trường xung quanh: Từ biểu thức: m = Q = λfmθ1 = θ1 α1Uλf [W] (8.38) 10.3.4.3 Thanh dài hữu hạn Đối với dài hữu hạn phương trình vi phân (8.33) nghiệm (10.58) đúng, có điều kiện biên khác x = → θ = θ1 dθ ) x = H → _ λ( (8.39) = θ H α1 dx x = H ( dθ ) x = H = _ α1 θ H hoặc: (8.39’) dx λ đó: θH - nhiệt độ thừa cuối α1 - hệ số toả nhiệt bề mặt cuối Ở bề mặt cuối (x = H) ta thấy có cân nhiệt lượng dẫn nhiệt với nhiệt lượng toả cho môi trường xung quanh Nếu toả nhiệt bề mặt cuối bỏ qua (diện tích tiết diện đỉnh thông thường bé so với diện tích xung quanh), điều kiện biên (8.39) viết dạng: Khi: x = → θ = θ1 dθ ) x=H → ( (8.40a) =0 dx x = H Phương trình (8.40a) kết hợp với (8.34), ta có: Khi: x = → θ = C1 + C2 dθ ) x=H → ( (8.40b) =0 dx x = H đó: C1emH + C2e- mH = Giải (8.40b) xác định số tích phân C1 C2: Trường ĐHCN Tp HCM Khoa CN Nhiệt - Lạnh Chương 8: Khái Niệm Cơ Bản Về Dẫn Nhiệt Trang 76 C1 = θ1 _ e mH _ e mH C = θ1 ; _ e mH + e mH e +e Thay C1 C2 vào (8.34) ta tìm phương trình đường cong phân bố nhiệt độ dọc theo thanh: mH θ = θ1 mH e m(H e _ x) mH +e +e _ m(H _ x ) _ mH _ x x ex _ e Ta biết rằng: e + e , = ch ( x ) 2 Khi phương trình (8.41) trở thành: θ = θ1 ch[m(H _ x )] ch (mH) Nhiệt độ thừa cuối là: θ1 θx=H = ch (mH) (8.41) _ x = sh ( x ) [°C] (8.42) [°C] (8.42’) Nhiệt lượng toả môi trường xung quanh nhiệt lượng dẫn qua dθ gốc thanh: Q = _ λf ( ) x = [W] dx Từ phương trình (8.42) tìm được: dθ sh (mH) _ ( ) x = = _ θ1m = mθ1th (mH) (8.43) dx ch (mH) và: thay: m = Q = λ.f.θ1.m.th(mH) [W] (8.44) [W] (8.45) α1U vào (8.44) được: λf Q = θ1 α1.U.λ.f th (mH) Trong trường hợp chiều dài lớn ch(mH) → ∞ th(mH) ≈ θx = H = 0; phương trình (8.45) trở thành (8.38) Trường ĐHCN Tp HCM Khoa CN Nhiệt - Lạnh ... mθ1th (mH) (8 .4 3) dx ch (mH) và: thay: m = Q = λ.f.θ1.m.th(mH) [W] (8 .4 4) [W] (8 .4 5) α1U vào (8 .4 4) được: λf Q = θ1 α1.U.λ.f th (mH) Trong trường hợp chiều dài lớn ch(mH) → ∞ th(mH) ≈ θx = H... _ m(H _ x ) _ mH _ x x ex _ e Ta biết rằng: e + e , = ch ( x ) 2 Khi phương trình (8 .4 1) trở thành: θ = θ1 ch[m(H _ x )] ch (mH) Nhiệt độ thừa cuối là: θ1 θx=H = ch (mH) (8 .4 1) _ x = sh ( x ). .. [°C] (8 .4 2) [°C] (8 .42 ) Nhiệt lượng toả môi trường xung quanh nhiệt lượng dẫn qua dθ gốc thanh: Q = _ λf ( ) x = [W] dx Từ phương trình (8 .4 2) tìm được: dθ sh (mH) _ ( ) x = = _ θ1m = mθ1th (mH)