Chương 8: DẪN NHIỆT ( Khoa Công Nghệ Nhiệt Lạnh )

Vách phẳng một lớp Xét một vách phẳng đồng chất và đẳng hướng, chiều dày δ và hệ số dẫn nhiệt λ; vách có chiều rộng rất lớn so với chiều dày, nhiệt độ hai bề mặt giữ không đổi là tw1 và

Chương 8:

DẪN NHIỆT

8.1 Dẫn nhiệt qua vách phẳng (qv = 0)

8.1.1 Vách phẳng một lớp

Xét một vách phẳng đồng chất và đẳng

hướng, chiều dày δ và hệ số dẫn nhiệt λ; vách có

chiều rộng rất lớn so với chiều dày, nhiệt độ hai bề

mặt giữ không đổi là tw1 và tw2 Trong điều kiện này

nhiệt độ chỉ biến thiên theo phương vuông góc với bề

mặt Nếu chọn trục toạ độ Ox như (hình 10.3) thì

nhiệt độ sẽ không thay đổi theo trục Oy và Oz, nghĩa

là:

0

= z

∂

t

∂

=

y

t

∂

Khi các thông số vật lý λ, c, ρ là hằng số thì

phương trình vi phân dẫn nhiệt đối với vách phẳng

một lớp lúc này:

0

=

²

x

∂

t

∂

(8.1) Điều kiện biên trong bài toán đang xét (điều kiện biên loại 1) có dạng:

Khi: x = 0 → t = tw1

Tích phân (9.22) ta sẽ tìm được quy luật phân bố nhiệt độ trong vách

Tích phân lần thứ nhất được:

1

C

= x

∂

t

∂

(8.3) Tích phân lần thứ hai được:

Phương trình (8.4) cho ta thấy khi hệ số dẫn nhiệt không đổi, nhiệt độ trong vách phân bố theo quy luật đường thẳng

Hằng số tích phân C1 và C2 trong (10.25) được xác định từ điều kiện biên Khi:

x = 0; t = tw; và: C2 = tw1

x = δ ; t = tw2; và: C1 = – t1wδt_2w

Thay các hằng số tích phân C1 và C2 vào (8.4) sẽ tìm được phương trình đường cong phân bố nhiệt độ có dạng:

Để xác định mật độ dòng nhiệt theo phương Ox, ta dựa và định luật Fuorier:

q = - λddxt Thay giá trị = C1

x d

t d

= – t1wδt_2w, vào biểu thức định luật Fuorier:

δ

t w1

t w2

q t

x

F λ

R λ = δ/λ

Hình 10.3: Vách phẳng một lớp

Trang 67

q =

δ

λ

λ/

δ

t _

tw1 w2

Tỷ số δ/λ được gọi là nhiệt trở dẫn nhiệt của vách một lớp

Nhiệt lượng truyền qua bề mặt vách F sau khoảng thời gian τ được xác định theo phương trình sau:

Q = qFτ = δλ (tw1 – tw2)Fτ [J]] (8.8)

Từ (8 7) ta có: t1wδt_2w=

λ q

Thay giá trị này vào (8 6) ta được: t = tw1 –

λ

q

Biểu thức (8.6) và (8.7) tìm được với điều kiện giả thiết λ = const Thực tế hệ số dẫn nhiệt biến thiên theo nhiệt độ:

λ0 – giá trị của hệ số dẫn nhiệt ở 0°C

b - hệ số xác định bằng thực nghiệm

Theo định luật Fuorier:

q = - λ ( t )ddxt = - λ0( 1 + bt ) dxt (a) Tách biến, sau đó tích phân trong khoảng từ x = 0 đến

x = δ; và từ t = tw1 đến t = tw2:

qδ = λ0(1+b 2

t +

tw1 w2

)(tw1 – tw2) (b) thừa số:λ0(1+b 2

t +

tw1 w2

t t 2 w 1

w ∫λ()tdt=λ t

_ t

1 w 1 2 w

là hệ số dẫn nhiệt trung bình trong khoảng nhiệt độ từ

tw1 đến tw2 Như vậy, mật độ dòng nhiệt được tính theo

biểu thức:

q =

δ

λtb

(tw1 – tw2) [W/m²] (8.11)

Phương trình (a) sau khi tích phân từ x = 0 đến

x, nhiệt độ tích phân từ tw1 đến t và chỉnh lý lại, ta sẽ tìm được phương trình trường nhiệt độ có dạng sau:

t = – +t )²+_λ2qxb

b

1 ( + b

1

ο 1

Từ phương trình này ta thấy nhiệt độ trong vách phân bố theo đường cong Khi

b > 0 bề lồi của đường cong hướng lên và khi b < 0 thì ngược lại

8.1.2 Vách phẳng nhiều lớp

Giả thiết, có một vách gồm ba lớp hợp thành, chiều dày lớp thứ nhất là δ1, lớp thứ hai là δ2 và lớp thứ ba là δ3; hệ số dẫn nhiệt lần lượt bằng λ1, λ2và λ3 Biết nhiệt độ

b[+]

b[-]

t w1

t w2

t

Hình 9.4: Sự phân bố nhiệt trong

vách khi λ phụ thuộc vào nhiệt độ

hai bề mặt ngoài cùng không đổi bằng tw1 và tw4 Bởi vì giữa hai bề mặt có sự tiếp xúc tốt nên tại đấy hai bề mặt có cùng một nhiệt độ, gọi là tw2 và tw3 (Hình 8.3)

t w1

t w2

t w3

t w4

λ 1 λ 2 λ 3

δ 3

δ 2

t

q

Hình 8.3: Dẫn nhiệt qua vách phẳng nhiều lớp

Ở chế độ nhiệt ổn định dòng nhiệt qua các bề mặt đẳng nhiệt bất kỳ của vách bằng nhau, nghĩa là: = 0

x

∂

q

∂

Mật độ dòng nhiệt dẫn qua các lớp:

q =

1

1

δ

λ (tw1 – tw2)

q =

2

2

δ

λ

q =

3

3

δ

λ (tw3 – tw4)

Từ (c) ta xác định được độ chênh lệch nhiệt độ qua các lớp:

tw1 – tw2 = q

1

1

λ δ

tw2 – tw3 = q

2

2

λ

δ

(d)

tw3 – tw4 = q

3

3

λ δ Cộng từng vế biểu thức (d) ta được:

tw3 – tw4 = q(

3

3 2

2 1

1

λ

δ + λ

δ + λ

δ

)

3

3 2

2 1 1

4 w 1 w

λ

δ + λ

δ + λ δ

t _ t

(8.13) Tương tự có thể suy ra cho vách phẳng nhiều lớp (n lớp)

Trang 69

∑ λ δ

t _ t

= i=n

1

=

i i i

)1 + n ( w 1 w

Trị số: ∑

λ

δ

n

= i

1

=

i

- là tổng nhiệt trở của n lớp và được gọi là nhiệt trở toàn phần hoặc là nhiệt trở dẫn nhiệt của vách nhiều lớp

Nếu đem giá trị của q trong (8.14) thay vào (d) ta tính được nhiệt độ của các bề mặt tiếp xúc trung gian:

tw2 = tw1 – q

1

1

λ δ

tw3 = tw2 – q

2

2

λ

δ

= tw1 – )

λ

δ + λ

δ ( q

2

2 1

1

(e) Tổng quát:

tw(k – 1) = tw1 – q ∑

λ

δ

k

= i

i

i

Để đơn giản cho việc tính toán, ta có thể xem vách nhiều lớp như vách một lớp

có chiều dày ∆ =i∑δ=n

1

=

i i , và nhiệt trở của vách tương đương ấy bằng:

∑ λ

δ

= λ

∑δ i=n

1

=

i i

i td

n

= i

1

=

i i

Suy ra:

∑ λ δ

∑δ

=

1

i i i

n i 1

i i

Mật độ dòng nhiệt:

Δ

λ

=

q td (tw1 – tw(n+1)) [W/m²] (8.17)

8.2 Dẫn nhiệt qua vách trụ (qv = 0)

8.2.1 Vách trụ một lớp:

Xét vách trụ một lớp (ống tròn), đường kính

trong d1 = 2r1 và đường kính ngoài d2 = 2r2 (Hình 8.6)

Nhiệt độ bề mặt vách trong và vách ngoài không đổi

và bằng tw1 và tw2 (điều kiện biên loại 1) Trong khoảng

nhiệt độ cho, hệ số dẫn nhiệt λ có giá trị không đổi

Phương trình vi phân dẫn nhiệt của vật rắn biểu diễn

trong hệ toạ độ trụ có dạng:

0

=

² z

∂

t

∂ +

² φ

∂

t

∂

² r

1 + r

∂

t

∂ r

1

+

²

r

∂

t

∂

=

t

t w1

t w2

t

x

dr

r 1

r 2

r

Hình 10.6: Vách trụ một lớp

Trục Oz trùng với trục ống Trong trường hợp chiếu dài ống rất lớn so với đường kính ống, nhiệt độ chỉ thay đổi theo phương bán kính và trường nhiệt độ là trường một chiều, cho nên:

0

= z

∂

t

∂

và = 0

² z

∂

t

∂²

(a) Nhiệt độ bề mặt ngoài và bề mặt trong không thay đổi, nên mặt đẳng nhiệt là những mặt trụ đồng trục với ống, khi ấy nhiệt độ không biến thiên theo φ; nghĩa là:

0

= φ

∂

t

∂

và = 0

² φ

∂

t

∂²

(b) Lúc này (10.38) sẽ có dạng đơn giản hơn:

0

= r d

t d r

1 +

² d

t

² d

(8.19) Điều kiện biên:

r = r1→ t = tw1

Giải (8.19) kết hợp với điều kiện biên (8.20) sẽ tìm được phương trình nhiệt độ trong vách trụ

Đặt

dr

dt

=

Khi đó:

r d

u d

=

² r d

t

² d

;

r

u

= r d

t d r

1

(d) Thay (c) và (d) vào (8.19) được:

0

= u r

1 + r d

u

(8.21) Tích phân (8.21) ta có:

thay: u = drdt → = C1

r d

t d

Tích phân (f) ta được:

Từ điều kiện biên (8.20) ta xac định được C1 và C2:

r = r1→ t = tw1 = C1lnr1 + C2

r = r2→ t = tw2 = C1lnr2 + C2 (g) Giải phương trình (g) tìm được C1 và C2:

2 1

2 w 1

w

1

r

r ln

t _ t

=

C

; C2 = tw1 – ( tw1 – tw2 )

2 1 1 r

r ln

r ln

Thay C1 và C2 vào (8.22) ta tìm được phương trình đường cong phân bố nhiệt

độ trong vách trụ như sau:

t = tw1 – ( tw1 – tw2 )ln(ln(rr//rr))

1 2 1

Trang 71

hoặc: t = tw1 – ( tw1 – tw2 )ln(ln(dd//dd))

1 2

1

Để tính nhiệt lượng truyền qua mặt trụ F trong một đơn vị thời gian, áp dụng định luật Fuorier:

Q = – F =2πλln(Ldt( /d_t) )

dr

dt λ

1 2

2 w 1 w

L πλ 2 1

) t _ t (

1 2

2 w 1 w

Trong đó:

L - chiều dài vách trụ

1

2

d

d ln L

πλ

2

1

- nhiệt trở dẫn nhiệt của vách trụ một lớp có độ dài L

Mật độ dòng nhiệt trên một đơn vị dài:

1 2

2 w 1 w L

d

d ln πλ 2 1

t _ t

= L

Q

= q

8.2.2 Vách trụ nhiều lớp:

Tương tự như vách phẳng nhiều lớp, vách trụ

nhiều lớp cũng được tạo nên bởi nhiều lớp vật liệu

khác nhau, dòng nhiệt truyền qua vách cũng được

xác định bởi tỷ số giữa độ chênh lệch nhiệt độ toàn

phần và tổng nhiệt trở

Giả sử một vách trụ gồm 3 lớp (Hình 10.7),

bán kính tương ứng là r1, r2, r3, và r4, hệ số dẫn nhiệt

các lớp λ1, λ2, λ3 là hằng số, nhiệt độ mặt trong cùng

là tw1 và bề mặt ngoài cùng là tw4 không thay đổi (tw1

> tw4 ), nhiệt độ các lớp tiếp xúc chưa biết gọi là tw2 ,

tw3 Ta cần tìm dòng nhiệt truyền qua vách qL và nhiệt

độ tại các lớp tiếp xúc

Trong điều kiện ổn định nhiệt, mật độ dòng

nhiệt trên một đơn vị dài qL dẫn qua các lớp đều bằng

nhau, nghĩa là: = 0

r

∂

qL Nhiệt lượng dẫn qua các lớp được tính:

1

2 1

2 w 1 w L

d

d ln λ 1

) t _ t(

π

= q

2

3 2

3 w 2 w L

d

d ln λ 1

) t _ t(

π

= q

(a)

t w1

t w4

t

x

r 1

r 2

r 3

Hình 10.7: Vách trụ nhiều lớp

r 4

t w2

t w3

λ 1

λ 2

λ 3

4 3

4 w 3 w L

d

d ln λ 1

) t _ t(

π

= q

Từ (a) ta tìm được độ chênh lệch nhiệt độ qua các lớp:

tw1 – tw2 =

1

2 1

L

d

d ln λ

1 π 2 q

tw2 – tw3 =

2

3 2

L

d

d ln λ

1 π

q

(b)

tw3 – tw4 =

3

4 3

L

d

d ln λ

1 π 2 q Cộng từng vế của phương trình (b), ta được:

d

d ln λ

1 + d

d ln λ

1 + d

d ln λ

1 ( π 2

q

3

4 3 2

3 2 1

2 1

L

(c) Mật độ dòng nhiệt trên một đơn vị độ dàiqua vách trụ nhiều lớp:

3

4 3 2

3 2 1

2 1

4 w 1 w L

d

d ln λ 2

1 + d

d ln λ 2

1 + d

d ln λ 2

1

) t _ t ( π

=

q

Tổng quát cho vách có n lớp:

i

1 + i n

= i 1

=

) 1 + n ( w 1 w L

d

d ln

∑ λ 1

) t _ t π

= q

Trong đó:

i

1 + i

d ln

λ

1

có đơn vị [m độ/W] gọi là nhiệt trở đường của mỗi lớp.

i

1 + i n

=

i

1

=

d ln

∑

λ

2

1

gọi là nhiệt trở đường toàn phần của vách nhiều lớp.

Hệ số dẫn nhiệt tương đương đối với vách trụ nhiều lớp bằng nhiệt trở toàn phần của vách nhiều lớp:

1

1 + n

td d

d ln

λ

1

=

i

1 + i n

= i

1

=

d ln

∑ λ 2 1

∑

d

d ln λ 1 d

d ln n

= i 1

=

1 + i i

1

1 + n

[W/m độ] (8.29)

Từ (10.49) ta thấy rằng hệ số dẫn nhiệt tương đương λtđ không những phụ thuộc vào tính chất vật lý của các lớp (λ1, λ2, , λn ) mà còn phụ thuộc vào chiều dày của vách

Nhiệt độ các lớp tiếp xúc có thể tính như sau:

tw2 = tw1 –

1

2 1

L

d

d ln λ 2

1 π q

Trang 73

d

d ln λ 2

1 + d

d ln λ 2

1 ( π

q

2

3 2 1

2 1 L

Tổng quát:

tw(i+1) = tw1 – )

d

d ln

∑ λ 2

1 ( π

q

i

1 + i n

1

=

L

[°C] (8.30)

8.3 Dẫn nhiệt qua thanh có tiết diện không đổi

8.3.1 Phương trình vi phân dẫn nhiệt và nghiệm của phương trình:

Chúng ta nghiên cứu sự phân bố nhiệt độ dọc theo một thanh dài có tiết diện không đổi Gọi tiết diện ngang của thanh là f, chu vi của tiết diện là U, thanh được đặt trong môi trường có nhiệt độ không đổi là tf, hệ số toả nhiệt trên bề mặt thanh không đổi bằng α1 Giả thiết vật liệu làm thanh có hệ số dẫn nhiệt lớn, đồng thời tiết diện ngang của thanh bé, nên nhiệt độ chỉ thay đổi theo phương dọc trục; gọi θ là nhiệt độ thừa của thanh Ta có:

với: tf - nhiệt độ môi trường xung quanh thanh

t - nhiệt độ ở một tiết diện bất kỳ của thanh

Nếu biết nhiệt độ ở gốc thanh là t1 thì nhiệt độ thừa ở gốc thanh là:

Cách gốc thanh một khoảng x ta lấy một phần tử thanh có chiều dài dx thì phương trình cân bằng nhiệt của phần tử thanh được biểu diễn dưới dạng:

ở đây: Qx - nhiệt lượng dưa vào bề mặt bên trái của phần tử thanh trong một đơn vị

thời gian

Qx+dx - nhiệt lượng đưa ra khỏi bề mặt đối diện trong một đơn vị thời gian

dQ - nhiệt lượng toả ra môi trường qua bề mặt xung quanh của phần tử thanh

θ

dθ

θ 1

t 1

t f

dQ

x

t

dx

Q x+dx

Q x

dQ = αUdx(t – t f )

f = πR²

U = 2πR

Hình 10.9: Dẫn nhiệt qua thanh dài

Theo định luật Fourier: f

dx

θ d λ

=

Qx _

và: dx f

dx

θ d + θ ( dx

d λ

=

Qx+dx _

do đó:

² dx

θ

² d f λ

= Q

mặt khác theo định luật Newton – Ricman có:

Cân bằng vế phải của phương trình (b) và (c), ta sẽ tìm được phương trình vi phân dẫn nhiệt biểu thị sự phân bố nhiệt độ dọc theo thanh:

θ

² m

= θ f λ

U α

=

² dx

θ

²

(8.33)

ở đây:

f λ

U α

±

=

Nếu α1 và λ không thay đổi trong khoảng nhiệt dộ khảo sát thì m = const Nghiệm của phương trình (8.33) có dạng:

Hằng số tích phân C1 và C2 được xác định theo điều kiện biên

10.3.4.2 Thanh dài vô hạn

Nhiệt độ ở gốc thanh không đổi, nghĩa là khi: x = 0; θ = θ1; nếu chiều dài của thanh: H = ∞, thì: θ = 0 (điều này có nghĩa là khi θ = tx – tf là rất nhỏ), thay điều kiện biên này vào phương trình (8.34) được:

x = 0 → θ = C1 + C2

x = ∞ → C1e∞ = 0

Từ đẳng thức hai ta rút được C1 = 0, như vậy C2 = θ1, thay C1 và C2 vào phương trình (8.34) được phương trình đường cong phân bố nhiệt độ dọc theo thanh có dạng:

Như vậy: θ = Ф(θ1, x, α1, λ, f, U)

Từ biểu thức:

f λ

U α

=

m 1 ta thấy m tỷ lệ thuận với hệ số toả nhiệt, với chu vi của tiết diện và tỷ lệ nghịch với λ f là những nhân tố xác định sự dẫn nhiệt dọc theo thanh

Nhiệt lượng của thanh truyền cho môi trường sẽ bằng nhiệt lượng dẫn qua gốc thanh Dòng nhiệt dẫn qua gốc thanh được tính:

0

= x

dx

θ ( λ

=

Đạo hàm phương trình (10.59) ta có:

1

_ 0

= x 1 mx _ 0

=

)

dx

θ

Thay giá trị của phương trình (8.37) vào (8.36), ta tìm được biểu thức tính nhiệt lượng của thanh toả ra môi trường xung quanh:

f λ U α θ

= θ fm λ

=

10.3.4.3 Thanh dài hữu hạn

Trang 75

1 Đối với thanh dài hữu hạn phương trình vi phân (8.33) và nghiệm của nó

(10.58) vẫn đúng, chỉ có điều kiện biên sẽ khác đi

x = 0 → θ = θ1

x = H → _ ( )x=H = θHα1

dx

θ

H

=

λ

α

= dx

θ

(8.39’) trong đó: θH - nhiệt độ thừa cuối thanh

α1 - hệ số toả nhiệt trên bề mặt cuối thanh

Ở tại bề mặt cuối thanh (x = H) ta thấy có sự cân bằng nhiệt lượng do dẫn nhiệt với nhiệt lượng toả ra cho môi trường xung quanh

2 Nếu toả nhiệt trên bề mặt cuối thanh có thể bỏ qua (diện tích tiết diện đỉnh

thanh thông thường rất bé so với diện tích xung quanh), thì điều kiện biên (8.39) có thể viết dưới dạng:

Khi: x = 0 → θ = θ1

x = H → ( ) = 0

dx

θ d

H

=

Phương trình (8.40a) kết hợp với (8.34), ta có:

Khi: x = 0 → θ = C1 + C2

x = H → ( ) = 0

dx

θ d

H

=

do đó: C1emH + C2e- mH = 0

Giải (8.40b) sẽ xác định được các hằng số tích phân C1 và C2:

mH mH

mH 1

_

e + e

e θ

=

e + e

e θ

= C

Thay C1 và C2 vào (8.34) ta tìm được phương trình đường cong phân bố nhiệt

độ dọc theo thanh:

mH mH

) x H ( m ) x H ( m

_ _ _

e + e

e + e

θ

=

Ta biết rằng: =ch(x)

2

e +

ex _x , và =sh(x)

2

e

ex_ _x

Khi đó phương trình (8.41) sẽ trở thành:

) mH ( ch

)]

x H ( m [ ch θ

= θ

_

Nhiệt độ thừa cuối thanh là:

) mH ( ch

θ

=

Nhiệt lượng của thanh toả ra môi trường xung quanh bằng nhiệt lượng dẫn qua gốc thanh: _ ) x = 0

dx

θ ( λ

=

Từ phương trình (8.42) tìm được:

) mH ( th θ m

= ) mH ( ch

) mH ( sh m θ

= ) dx

θ

thay:

f λ

U α

=

m 1 vào (8.44) được:

) mH ( th f λ U α θ

=

Trong trường hợp chiều dài thanh rất lớn thì ch(mH) → ∞ còn th(mH) ≈ 1 và

θx = H = 0; phương trình (8.45) sẽ trở thành (8.38)