Xác suất thống kê DHNNo

BỘ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO TRƯỜNG ðẠI HỌC NÔNG NGHIỆP I ********************** Ths.LÊ ðỨC VĨNH GIÁO TRÌNH XÁC SUẤT THỐNG KÊ HÀ NỘI - 2006 Chương : Phép thử Sự kiện Những kiến thức giải tích tổ hợp sinh viên ñã ñược học chương trình phổ thông Tuy nhiên ñể giúp người học dễ dàng tiếp thu kiến thức chương giới thiệu lại cách có hệ thống kiến thức Phép thử ngẫu nhiên kiện ngẫu nhiên bước khởi ñầu ñể người học làm quen với môn học Xác suất Trong chương trình bày kiến thức tối thiểu kiện ngẫu nhiên, phép toán kiện ngẫu nhiên, hệ ñầy ñủ kiện ñồng thời cách phân chia kiện ngẫu nhiên theo hệ ñầy ñủ Những kiến thức cần thiết ñể người học tiếp thu tốt chương I Giải tích tổ hợp 1.Qui tắc nhân: Trong thực tế nhiều ñể hoàn thành công việc, người ta phải thực dãy liên tiếp k hành ñộng Hành ñộng thứ nhất: có n1 cách thực Hành ñộng thứ hai: có n2 cách thực Hành ñộng thứ k: có nk cách thực Gọi n số cách hoàn thành công việc nói trên, ta có: n = n1n2 nk Qui tắc gọi qui tắc nhân Ví dụ: ðể ñi từ thành phố A tới thành phố C phải qua thành phố B Có bốn phương tiện ñể ñi từ A tới B là: ñường bộ, ñường sắt, ñường không ñường thuỷ Có hai phương tiện ñể ñi từ B tới C ñường ñường thuỷ Hỏi có cách ñi từ A tới C? ðể thực việc ñi từ A tới C ta phải thực dãy liên tiếp hai hành ñộng Hành ñộng thứ nhất: chọn phương tiện ñi từ A tới C có n1= cách Hành ñộng thứ hai: chọn phương tiện ñi từ B tới C có n2 = cách Vậy theo qui tắc nhân, số cách ñi từ A tới C n= 4.2 = cách 2.Qui tắc cộng: ðể hoàn thành công việc người ta chọn k phương án Phương án thứ nhất: có n1 cách thực Phương án thứ hai: có n2 cách thực Phương án thứ k: có nk cách thực Gọi n số cách hoàn thành công việc nói trên, ta có: n = n1 + n2 + + nk Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Giáo trình Xác suất thống kê…………………… Qui tắc gọi qui tắc cộng Ví dụ: Một tổ sinh viên gồm hai sinh viên Hà Nội, ba sinh viên Nam ðịnh ba sinh viên Thanh Hoá Cần chọn hai sinh viên tỉnh tham gia ñội niên xung kích Hỏi có cách chọn Phương án thứ nhất: Chọn hai sinh viên Hà Nội có n1= cách Phương án thứ hai: Chọn hai sinh viên Nam ðịnh có n2= cách Phương án thứ ba: Chọn hai sinh viên Thanh Hoá có n3= cách Theo qui tắc cộng ta có số cách chọn hai sinh viên theo yêu cầu: n = + + = cách 3.Hoán vị Trước ñưa khái niệm hoán vị n phần tử ta xét ví dụ sau: Ví dụ: Có ba học sinh A,B,C ñược xếp ngồi bàn học Hỏi có cách xếp? Có cách xếp sau: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA Nhận thấy rằng: ðổi chỗ hai học sinh cho ta ñược cách xếp khác Từ cách xếp ban ñầu, cách ñổi chỗ liên tiếp hai học sinh cho ta ñưa cách xếp lại Mỗi cách xếp ñược gọi hoán vị ba phần tử A, B, C Tổng quát với tập hợp gồm n phần tử ta có ñịnh nghĩa sau: 3.1 ðịnh nghĩa: Một hoán vị n phần tử cách xếp có thứ tự n phần tử ñó 3.2 Số hoán vị n phần tử: Với tập gồm n phần tử ñã cho Số tất hoán vị n phần tử ký hiệu Pn.Ta cần xây dựng công thức tính Pn ðể tạo hoán vị n phần tử ta phải thực dãy liên tiếp n hành ñộng Hành ñộng thứ nhất: Chọn phần tử xếp ñầu có n cách chọn Hành ñộng thứ hai: Chọn phần tử xếp thứ có n-1 cách chọn Hành ñộng cuối: Chọn phần tử lại xếp cuối có cách chọn Theo qui tắc nhân, số cách tạo hoán vị n phần tử Pn = n.(n-1) 2.1= n! Chỉnh hợp không lặp 4.1 ðịnh nghĩa: Một chỉnh hợp không lặp chập k n phần tử cách xếp có thứ tự gồm k phần tử khác lấy từ n phần tử ñã cho Ví dụ: Có chữ số 1, 2, 3, 4, Hãy lập tất số gồm chữ số khác Các số ñó là: 12, 13, 14, 15, 21, 23, 24, 25, 31, 32, 34, 35, 41, 42, 43, 45, 51, 52, 53, 54 Mỗi số cách xếp có thứ tự gồm hai phần tử khác lấy từ năm phần tử năm chữ số ñã cho Vậy số chỉnh hợp không lặp chập hai năm phần tử Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Giáo trình Xác suất thống kê…………………… 4.2 Số chỉnh hợp không lặp: Số chỉnh hợp không lặp chập k n phần tử kí hiệu A kn Ta xây dựng công thức tính A kn ðể tạo chỉnh hợp không lặp chập k n phần tử ta phải thực dãy liên tiếp k hành ñộng Hành ñộng thứ nhất: chọn n phần tử ñể xếp ñầu: có n cách Hành ñộng thứ hai: chọn n-1 phần tử ñể xếp thứ 2: có n -1 cách Hành ñộng thứ k: chọn n-k+1 phần tử ñể xếp cuối: có n-k+1 cách Theo qui tắc nhân: Số cách tạo chỉnh hợp không lặp chập k n phần tử : A kn = n(n-1) (n-k+1) ðể dễ nhớ ta sử dụng công thức sau: A kn = n.(n − 1) (n − k + 1) = n.(n − 1) (n − k + 1) (n − k ) .2.1 n! = (n − k ) 2.1 (n − k )! Chỉnh hợp lặp: ðể hiểu chỉnh hợp lặp ta xét ví dụ sau: Ví dụ: Hãy lập số gồm chữ số từ chữ số: 1, 2, 3, Các số ñó là: 11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44 Mỗi số số nói cách xếp có thứ tự gồm hai chữ số, chữ số có mặt ñến hai lần lấy từ bốn chữ số ñã cho Mỗi cách xếp gọi chỉnh hợp lặp chập hai bốn phần tử Tổng quát hoá ta có ñịnh nghĩa sau: 5.1 ðịnh nghĩa: Một chỉnh hợp lặp chập k n phần tử cách xếp có thứ tự gồm k phần tử mà phần tử lấy từ n phần tử ñã cho có mặt nhiều lần 5.2 Số chỉnh hợp lặp chập k: ˆ k Ta ñưa công thức Số chỉnh hợp lặp chập k n phần tử ñược ký hiệu A n ˆ k tính A n ðể tạo chỉnh hợp lặp chập k n phần tử ta phải thực dãy liên tiếp k hành ñộng Hành ñộng thứ nhất: chọn n phần tử xếp ñầu có n cách Hành ñộng thứ hai: chọn n phần tử xếp thứ có n cách Hành ñộng thứ k: chọn n phần tử xếp thứ k có n cách ˆ k = nk Theo qui tắc nhân ta có: A n 6.Tổ hợp: Các khái niệm ñể ý ñến trật tự tập hợp ta ñang quan sát Tuy nhiên thực tế có nhiều ta cần quan tâm tới phần tử tập tập hợp mà không cần ñể ý ñến cách xếp tập ñó theo trật tự Từ ñây ta có khái niệm tổ hợp sau 6.1 ðịnh nghĩa: Một tổ hợp chập k n phần tử tập gồm k phần tử lấy từ n phần tử ñã cho Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Giáo trình Xác suất thống kê…………………… Ví dụ: Cho tập hợp gồm bốn phần tử {a,b,c,d} Hỏi có tập gồm hai phần tử? Các tập ñó {a,b},{a,c},{a,d},{b,c},{b,d},{c,d} Vậy tập hợp gồm bốn phần tử {a,b,c,d} có sáu tập vừa nêu 6.2: Số tổ hợp chập k n phần tử có ký hiệu C kn Bằng cách ñổi chỗ phần tử cho nhau, tổ hợp chập k n phần tử tạo k! chỉnh hợp không lặp chập k n phần tử Có C kn tổ hợp chập k n phần tử tạo A kn chỉnh hợp không lặp chập k n phần tử Vậy ta có : C kn = A kn n! = k! k!(n − k )! 7.Tổ hợp lặp: 7.1 ðịnh nghĩa: Một tổ hợp lặp chập k n phần tử nhóm không phân biệt thứ tự gồm k phần tử, phần tử có mặt ñến k lần lấy từ n phần tử ñã cho Ví dụ: Cho tập {a,b,c} gồm phần tử Các tổ hợp lặp tập hợp {a,a},{a,b},{a,c},{b,b},{b,c},{c,c} ˆk 7.2 Số tổ hợp lặp chập k n phần tử ký hiệu là: C n Việc tạo tổ hợp lặp chập k n phần tử tương ñương với việc xếp k cầu giống vào n ngăn kéo ñặt liền nhau, hai ngăn liên tiếp chung vách ngăn Các vách ngăn trừ vách ngăn ñầu cuối xê dịch ñổi chỗ cho Mỗi cách xếp k cầu giống vào n ngăn cách bố trí n+k-1 phần tử ( gồm k cầu n-1 vách ngăn) theo thứ tự từ phải sang trái Cách bố trí không ñổi cầu ñổi chỗ cho vách ngăn ñổi chỗ cho Cách bố trí thay ñổi cầu vách ngăn ñổi chỗ cho Ta có (n+k-1)! cách bố trí n+k-1 phần tử (gồm k cầu n-1 vách ngăn) Số cách ñổi chỗ k cầu k! , số cách ñổi chỗ n-1 vách ngăn (n-1)! Vậy ta có số tổ hợp lặp chập k n phần tử là: (n + k − 1)! = C nk+ k −1 Cˆ nk = k!(n − 1)! Ví dụ: Tại trại giống gà có ba loại gà giống A, B, C Một khách hàng vào ñịnh mua 10 Hỏi có cách mua ( giả sử số lượng giống gà A, B, C loại trại ñều lớn 10) Ta thấy cách mua 10 gà tổ hợp lặp chập 10 phần tử Vậy ˆ 10 = C10 = 66 số cách mua là: C 12 Nhị thức Newton Ta có: (a + b) = a + 2ab + b = C 02a b + C12a 1b1 + C12 a b (a + b) = a + 3a b + 3ab + b = C 03 a b + C13a b1 + C 32 a 1b + C 33a b Mở rộng ra: (a + b) n = C 0n a n b + C1n a n −1b1 + + C kn a n −k b k + + C nn a b n Công thức gọi công thức nhị thức Newton Ta chứng minh công thức nhị thức Newton theo qui nạp Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Giáo trình Xác suất thống kê…………………… Với n = ta có công thức ñúng Giả sử công thức ñúng với n = m tức là: (a + b) m = C 0m a m b + C1m a m−1b1 + + C mm a b m Ta chứng minh: (a + b) m+1 = C 0m+1a m +1b + C1m+1a m b1 + + C mm++11a b m+1 Thật vậy: (a + b) m +1 = (a + b) m (a + b) = (C 0m a n b + + C km a m −k b k + + C mm a b m )(a + b) => (a + b) m+1 = (C m0 + C m1 )a m +1b + + (C mk −1 + C mk )a m +1−k b k + + (C mm−1 + C mm )a b m +1 Mặt khác: C km−1 + C km = C km+1 suy ra: (a + b) m +1 = C 0m +1a m +1b + C1m +1a m b1 + + C mm++11a b m+1 Theo nguyên lý qui nạp công thức nhị thức Newton ñược chứng minh Ví dụ: Tìm hệ số x12 khai triển: ( x + ) 20 x 1 Ta có: ( x + ) 20 = C 020 x 20 + + C k20 x 20−2 k + + C 20 20 x x 20 Xét 20 - k = 12 = 4745 => k = Vậy hệ số x12 là: C20 II Phép thử, kiện 1.Phép thử ngẫu nhiên không ngẫu nhiên Một phép thử coi thí nghiệm, quan sát tượng tự nhiên, tượng xã hội vấn ñề kĩ thuật với hệ ñiều kiện ñó Trong loại phép thử có phép thử mà bắt ñầu tiến hành thực ta ñã biết ñược kết xảy sau thử ñun nước ñiều kiện bình thường (dưới áp suất atmotphe) ñến 100oC nước sôi, cho dung dịch NaOH không dư vào dung dịch HCl không dư ta thu ñược muối ăn NaCl nước H2O Những phép thử mà bắt ñầu tiến hành thử ta biết ñược kết xảy sau thử ñược gọi phép thử không ngẫu nhiên Tuy nhiên có nhiều loại phép thử mà bắt ñầu tiến hành phép thử ta biết ñược kết xảy sau thử chẳng hạn gieo 100 hạt ñậu giống, số hạt nảy mầm sau thời gian gieo từ ñến 100 cho ấp 10 trứng số trứng gà nở gà từ ñến 10 Những phép thử loại gọi phép thử ngẫu nhiên Trong giáo trình quan tâm tới phép thử ngẫu nhiên, ñó phép thử mà bắt ñầu tiến hành thử ta chưa thể biết kết xảy ðể ñơn giản từ ñây trở ñi nói tới phép thử ta phải hiểu ñấy phép thử ngẫu nhiên Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Giáo trình Xác suất thống kê…………………… Sự kiện: Các kết có phép thử ứng với ñiều kiện xác ñịnh ñó gọi kiện ngẫu nhiên ñơn giản gọi kiện biến cố Ta thường lấy chữ A, B, C, D Ai, Bj, Ck, Dn ñể kiện Ví dụ 1: Tung xúc xắc cân ñối ñồng chất có kiện sau: A: Sự kiện xuất mặt chẵn B: Sự kiện xuất mặt lẻ Ai: Sự kiện xuất mặt có i chấm Ví dụ 2: Trong giỏ ñựng hoa có chứa cam, quýt, ñào lê Chọn ngẫu nhiên có kiện sau: A: Hai ñược chọn gồm cam quýt B: Hai ñược chọn gồm cam ñào C: Hai ñược chọn gồm cam lê D: Hai ñược chọn gồm quýt lê E: Hai ñược chọn gồm quýt ñào G: Hai ñược chọn gồm ñào lê Sự kiện tất yếu kiện có Sự kiện tất yếu kiện chắn kiện thiết phải xảy sau phép thử ñược thực Ta kí hiệu kiện Ω Sự kiện có kiện bất khả kiện rỗng kiện không xảy sau thử Ta kí hiệu kiện φ Ví dụ: ðứng Hà Nội ném ñá Sự kiện ñá rơi xuống ñịa giới Việt Nam kiện tất yếu Sự kiện ñá rơi xuống ðại Tây Dương kiện bất khả Quan hệ kiện, hai kiện Sự kiện A ñược gọi kéo theo kiện B A xảy B xảy kí hiệu A ⊂ B ( A ⇒ B) Nếu A kéo theo B B kéo theo A ta nói A B viết A = B Trong xác suất hai kiện ñược coi Ví dụ: Một học sinh thi hết môn học A kiện học sinh ñó ñỗ (ñạt ñiểm từ tới 10) B kiện học sinh ñó ñỗ trung bình (ñạt ñiểm từ tới 8) C kiện học sinh ñó ñỗ giỏi G kiện học sinh ñó ñỗ giỏi (ñạt ñiểm 9, 10) K kiện học sinh dố ñỗ (ñạt ñiểm 7, 8) TB kiện học sinh ñó ñỗ trung bình (ñạt ñiểm 5, 6) Ai kiện học sinh ñó ñạt i ñiểm (i = 0, 1, ,9, 10) Ta có: G ⇒ A ; B ⇒ A ; C ⇒ A ; A ⇒ A ; A ⇒ G ; A ⇒ B ; A ⇒ K ; A ⇒ TB Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Giáo trình Xác suất thống kê…………………… 5.Các phép tính kiện 5.1 Phép hợp: Hợp kiện A B kiện C, kiện C xảy A xảy B xảy Kí hiệu: A Υ B = C ñọc A hợp B C Ta mô tả hợp kiện A B hình vẽ sau: Hình Dựa vào hình vẽ thấy C xảy khi: • A xảy B không xảy • B xảy A không xảy • Cả A B xảy Vì có thểnói hợp hai kiện A B kiện C xảy kiện A, B xảy Ví dụ: Một sinh viên thi hết môn học Gọi : A kiện sinh viên ñó thi lại (ñiểm thi từ ñến 10) B kiện sinh viên ñó ñạt ñiểm trung bình (ñiểm thi từ ñến 8) C kiện sinh viên ñó ñạt ñiểm giỏi ( ñiểm thi từ ñến 10) Ta có: A = B Υ C 5.2 Phép giao: Giao kiện A B kiện D, kiện D xảy A B xảy Kí hiệu: A Ι B = D AB = D ñọc A giao B D A nhân B D Hình vẽ sau mô tả giao kiện A B Hình Ví dụ: Quay lại ví dụ mục 5.1 Gọi K kiện sinh viên ñó ñạt ñiểm (ñiểm thi từ ñến 8) Ta có: K = B Ι C Nếu A Ι B = φ ta nói A B kiện xung khắc với Khi A xung khắc với B hợp kiện A B ñược kí hiệu A + B ñọc A cộng B Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Giáo trình Xác suất thống kê…………………… 5.3 Phép trừ Sự kiện ñối lập: Hiệu kiện A trừ kiện B kiện E, kiện E xảy A xảy B không xảy Kí hiệu: A\B= E ñọc A trừ B E Ta mô tả hiệu kiện A trừ kiện B hình vẽ sau: Hình Dễ nhận thấy rằng: Nếu A Ι B = φ A \ B = A Sự kiện : Ω \ A Gọi kiện ñối lập kiện A kí hiệu A Từ ñịnh nghĩa kiện ñối lập kiện A ta thấy: * A A xung khắc với * Nếu A không xảy A xảy ngược lại Hai kiện ñối lập xung khắc với “mạnh mẽ” theo kiểu có anh anh phải có Ví dụ: Một tổ học sinh gồm học sinh nam học sinh nữ Chọn ngẫu nhiên người Gọi : A kiện học sinh ñược chọn giới B kiện học sinh ñược chọn ñều nam C kiện học sinh ñược chọn ñều nữ D kiện học sinh ñược chọn có nam nữ Ta có A \ B = C, D = A Hình sau mô tả kiện ñối lập kiện A Hình 5.4 Tính chất φ ⇒ A ; A ⇒ Ω ∀A 1/ 2/ A Υ φ = A ; Aφ = φ ; A Υ Ω = Ω ; AΩ = A 3/ Nếu A ⇒ B ; B ⇒ C A ⇒ C 4/ A Υ B = B Υ A ; AB = BA Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Giáo trình Xác suất thống kê…………………… 5/ A Υ (B Υ C) = (A Υ B) Υ C ; A (BC) = (AB)C 6/ A (B Υ C) = AB Υ AC ; A Υ (BC) = (A Υ B)(A Υ C) 7/ A \ B= A B 8/ A Υ B = A B ; AB = AΥ B Việc chứng minh tính chất dễ dàng xin dành cho bạn ñọc Chúng chứng minh tính chất phần ví dụ minh hoạ cho việc chứng minh kiện nhau: _ Ta chứng minh: A Υ B = A B _ Giả sử A Υ B xảy theo ñịnh nghĩa kiện ñối lập => A Υ B không xảy ra, theo ñịnh nghĩa hợp hai kiện => A không xảy B không xảy ra, lại theo ñịnh nghĩa kiện ñối lập => A xảy B xảy ra, theo ñịnh nghĩa phép giao hai kiện => A B xảy _ Vậy ta có: A Υ B ⇒ A B (1) Ngược lại giả sử A B xảy ra, theo ñịnh nghĩa phép giao, => A xảy B xảy ra, lại theo ñịnh nghĩa kiện ñối lập => A không xảy B không xảy ra, theo ñịnh nghĩa hợp hai kiện => A Υ B không xảy ra, theo ñịnh nghĩa kiện ñối lập _ => A Υ B xảy Vậy ta có: A B ⇒ A Υ B _ (2) Từ (1) (2) => A Υ B = A B Sự kiện phân chia ñược, kiện sơ cấp 6.1 Sự kiện phân chia ñược Sự kiện A ñược gọi phân chia ñược tồn hai kiện B ≠ φ , C ≠ φ , BC = φ A = B + C Khi ñó ta nói A phân chia ñược thành hai kiện B C Ví dụ: Trong xúc xắc cân ñối ñồng chất Gọi A kiện xuất mặt có số chấm chia hết cho Gọi Ai kiện xuất mặt i chấm Sự kiện A phân chia ñược tồn A3; A6 ≠ φ ; A A = φ A = A3 + A6 6.2 Sự kiện sơ cấp bản: Sự kiện khác rỗng phân chia ñược gọi kiện sơ cấp Ví dụ: Quay lại ví dụ mục 6.1 Các kiện A1, A2, A3, A4, A5, A6 kiện sơ cấp Ta nhận thấy kiện sơ cấp kiện mà sau phép thử có kiện xảy Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Giáo trình Xác suất thống kê…………………… Khi sử dụng qui tắc1 ta tính ZT theo công thức (1) 1.2 Khi pi phụ thuộc vào r tham số chưa biết (r < k-1) Giả sử pi = pi ( θ1 ,θ , , θ r ) hàm phụ thuộc vào r tham số θ1 ,θ , , θ r ðể thực toán kiểm ñịnh trường hợp trước hết ta cần tìm ước lượng ñiểm θ i theo phương pháp hợp lý Nếu θˆ ước lượng ñiểm θ i i pˆ i = p i ( θˆ1 , θˆ2 , , θˆr ) ước lượng ñiểm pi Tương tự qui tắc 1, thống kê k (n − npˆ i ) 2 Z= ∑ i có phân phối giới hạn χ k −r −1 H0 ñúng Từ ñây ta có qui tắc npˆ i i =1 kiểm ñịnh cặp giả thuyết, ñối thuyết: H0: P(A1) = p1, , P(Ai) = pi, , P(Ak) = pk ∃ j ñể P(Aj) ≠ pj H1: mức ý nghĩa α k (n − npˆ i ) Qui tắc 2: Nếu ∑ i > χ α2 , k − r −1 ta bác bỏ H0 ˆ n p i =1 i (n i − npˆ i ) ≤ χ α2 , k − r −1 ta chấp nhận H0 ∑ ˆ n p i =1 i Ví dụ 2: ðể xem có lây lan “ bệnh nấm mầm” từ sang khác cọ dầu hay không người ta trồng 500 cặp cọ dầu vào 500 hốc vườn ươm Sau thời gian kiểm tra ta thu ñược kết sau: k Nếu Cả bị bệnh bị bệnh bị bệnh 73 185 242 Với mức ý nghĩa α = 0,05 kiểm ñịnh cặp giả thuyết ñối thuyết Không có lây bệnh từ sang khác H0: H1: Có lây bệnh từ sang khác Gọi p xác suất ñể cọ dầu bị “ bệnh nấm mầm ” Nếu giả thuyết H0 ñúng thì: Xác suất ñể hai bị mắc bệnh p2 = p2 Xác suất ñể hai bị mắc bệnh p1 = 2p(1 - p) Xác suất ñể không mắc bệnh p2 = (1 - p)2 Giả thuyết H0 tương ứng với giả thuyết p2 = p2, p1 = 2p(1 - p), p0 = (1 - p)2 Bài toán kiểm ñịnh thực theo bước: 2.73 + 185 = 0,331 Bước 1: Ước lượng xác suất p tần suất f = 1000 pˆ = ( 1- 0,331)2 = 0,44754; pˆ1 =2.0,331 ( 1- 0,331) = 0,4429; pˆ = 0,3312 = 0,10956 (73 − 500pˆ ) (185 − 500pˆ1 ) (242 − 500pˆ ) 18,22 36,45 18,232 + + = + + = 12,55 500pˆ 500pˆ1 500pˆ 54,78 22,15 223,77 Bước 2: Tìm χ 02.05 ,1 = 3,84 Bước 3: ZT = 12,55 > 3,84 = χ 02.05 ,1 Giả thuyết H0 bị bác bỏ, có lây lan “ bệnh nấm mầm” từ sang khác Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Giáo trình Toán xác suất thống kê……………… 141 Chú ý 1: Khi sử dụng hai qui tắc vừa nêu ta phải thực yêu cầu npi n pˆ i phải Chú ý 2: ðể kiểm ñịnh giả thuyết H0: X ∼ F(x, θ1 ,θ , , θ r ) Khi mẫu ñã cho ñược phân chia thành k lớp Lớp χ α2 , ( k −1)( m−1) ta ñịnh bác bỏ H0 )2 ≤ χ α2 , ( k −1)( m−1) ta ñịnh chấp nhận H0 hay mẫu n ñã cho phù hợp với giả thuyết A ñộc lập với B Chú ý: Khi sử dụng qui tắc ñể kiểm ñịnh tính ñộc lập hai ñặc tính A, B cần ñáp n i• n • j ứng yêu cầu ≥ n Ví dụ: Xét ñàn ốc sên rừng, ñặc tính A màu vỏ gồm màu vàng (A1) màu hồng (A2) ðặc tính B số vạch vỏ gồm : vạch(B0), vạch (B1), vạch (B2) vạch (B3) Bắt ngẫu nhiên 169 ốc sên rừng thuộc ñàn ốc sên nói ta có bảng sau: (B0) 1-2 (B1) 3-4 (B2) (B3) Số vạch Màu vỏ Vàng(A1) 35 19 36 25 Hồng(A2) 14 14 16 10 Với mức ý nghĩa α = 0,05 kiểm ñịnh giả thuyết H0: Màu vỏ ñộc lập di truyền với số vạch vỏ  H : Màu vỏ không ñộc lập di truyền với số vạch vỏ Ta có: n1• = 115, n 2• = 54, n •1 = 49, n •2 = 33, n •3 = 52, n •4 = 35, n = 169 n i• n • j 115.52 115.33 115.49 ) ) (36 − ) (19 − 169 169 169 n = + + ZT = ∑ 115.52 115.33 115.49 n i• n • j i , j=1 169 169 169 n 54.35 54.52 54.33 54.49 115.35 ) ) (10 − ) (16 − ) (14 − ) (14 − (25 − 169 169 169 169 169 + + + + + = 2,13 54.35 54.52 54.33 54.49 115.35 169 169 169 169 169 2 χ α , ( k −1)( m −1) = χ 0,05 , = 7,81 ZT = 2,13 < 7,81 = χ 0, 05 , Ta ñịnh chấp nhận H0 màu vỏ số vạch vỏ ñộc lập với di truyền ni n j )  k ,m nn k ,m k , m ( nij −  k ,m ij n Chú ý 1: ZT = ∑ = ∑ − ∑ nij + ∑ ni n j  ni n j n i , j =1 i , j =1 i , j =1 i , j =1 ni n j  n 2, (n ij − )2 (35 − Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Giáo trình Toán xác suất thống kê……………… 145 m  k ,m nij2  k n n n = − 1 (3) ∑ ∑ i ∑ j n i =1 j =1 i , j =1 ni n j i , j =1 ni n j  Khi sử dụng qui tắc tính ZT công thức cho (3) Chú ý 2: Việc xây dựng qui tắc kiểm ñịnh tính ñám ñông ñược trình bày tiêu chuẩn vừa nêu Tiêu chuẩn ñưa giống tiêu chuẩn vừa nêu k ,m = n∑ nij2 − 2n + 3.Quy tắc dấu Xét n cặp mẫu ngẫu nhiên : ( X , Y1 ), ( X , Y2 ), , ( X n , Yn ) Xi có phân phối với X có hàm mật ñộ f(x) Yi có phân phối với Y có hàm mật ñộ g(x) Nếu X, Y biến chuẩn việc so sánh kì vọng X Y ñã ñược trình bày phương pháp so sánh cặp ñôi Bây ta ñưa quy tắc kiểm ñịnh trường hợp tổng quát cặp giả thuyết ñối thuyết H0: X có phân phối với Y X Y có phân phối khác H1: ðặt D = X - Y , Di = Xi – Yi Nếu H0 ñúng người ta chứng minh P(D > 0) = P(D < 0) = 0,5 Gọi M số giá trị mà Di > ta thấy M có phân phối nhị thức B( n, ) Cặp giả thuyết ñối thuyết nêu tương ñương với cặp giả thuyết ñối thuyết H0’: M có phân phối nhị thức B( n, ) H1’: M phân phối nhị thức B( n, ) M − 0,5n có phân phối giới hạn chuẩn tắc ta có quy Sử dụng ñịnh lý giới hạn: Biến Z = 0,5 n tắc kiểm ñịnh cặp giả thuyết H0 H1 : M − 0,5n bác bỏ H0 > Uα Qui tắc 5: Nếu ZT = 0,5 n Nếu Z T ≤ U α chấp nhận H0 Trong thực hành gặp cặp số liệu ( xi , yi ) mà xi = yi ta loại bỏ cặp số liệu khỏi mẫu Ví dụ: Chiều cao X người bố chiều cao Y trai tương ứng từ mẫu gồm 20 cặp bố ñược cho bảng sau: X 1,72 1,70 1,62 1,58 1,64 1,68 1,67 1,73 Y 1,74 1,68 1,65 1,55 1,61 1,70 1,67 1,74 X 1,74 1,76 1,58 1,67 1,55 1,68 1,71 1,58 Y 1,72 1,73 1,60 1,64 1,62 1,66 1,65 1,62 Với mức ý nghĩa α = 0,05, kiểm ñịnh cặp giả thuyết ñối thuyết H0: X có phân phối xác suất với Y H1: X phân phối xác suất với Y 1,57 1,59 1,75 1,77 1,63 1,60 1,65 1,61 Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Giáo trình Toán xác suất thống kê……………… 146 Ta loại bỏ mẫu thứ bảy chiều cao cặp cha ðặt: D = X – Y, di = xi - yi Số mẫu có di dương m = 11 , kích thước mẫu n = 19 m − 0,5n ZT =  = 0,96 ; U 0, 025 = 1,96 ⇒ quyết ñịnh chấp nhận H0 0,5 n 4.Quy tắc Wilcoxon 4.1 Thứ tự dãy số Cho dãy số : x1, x2 ,……, xn Gọi ui = rank( xi) thứ hạng số xi xếp dãy số theo thứ tự tăng dần Nếu dãy số x1, x2 ,……, xn có giá trị ñược xếp từ thứ tự thứ k ñến m thứ k +m-1 thứ hạng số giống k + Ví dụ: Cho dãy số: 1,4; 1,1; 1,4; 1,1; 1,5; 1,4; 1,6; 1,8; 1,7; 1,8 Xếp dãy số theo thứ tự tăng dần ta có: 1,1; 1,1; 1,4; 1,4; 1,4; 1,5; 1,6; 1,7; 1,8; 1,8 Khi ñó: rank(1,1) = 1,5, rank(1,4) = 4, rank(1,5) = 6, rank(1,6) =7, rank(1,7)=8, rank(1,8) = 9,5 4.2 Quy tắc Wilcoxon Dựa vào thứ tự dãy số mẫu, Wilcoxon ñưa quy tắc kiểm ñịnh cặp giả thuyết ñối thuyết: H0: X có phân phối xác suất với Y H1: X Y có phân phối khác Wilcoxon giải toán trường hợp mẫu gồm n cặp: ( X , Y1 ) ; (X2 , Y2) ;……;(Xn , Yn) Mann Whitney giải toán trường hợp tổng quát với hai mẫu ( X , X , , X n ) (Y1 , Y2 , , Ym ) Gọi Vi thứ tự Xi dãy gồm n + m số: X , X , , X n , Y1 , Y2 , , Ym n ðặt V = ∑ Vi ,nếu H0 ñúng chứng minh i =1 n (n + m + 1) nm(n + m + 1) ; D( V ) = 12 n (n + m + 1) V− Khi ñó thống kê Z = có phân phối xấp xỉ chuẩn tắc nm(n + m + 1) 12 Từ ñây ta có quy tắc kiểm ñịnh cặp giả thuyết ñối thuyết X có phân phối xác suất với Y H0: H1: X Y có phân phối khác mức ý nghĩa α : E(V) = Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Giáo trình Toán xác suất thống kê……………… 147 n (n + m + 1) Quy tắc 6: Nếu Z T = > U α ta bác bỏ H0 nm(n + m + 1) 12 Nếu Z T ≤ U α ta chấp nhận H0 V− Ví dụ: Theo dõi doanh thu X 10 cửa hàng thóc giống Hà Tây doanh thu Y 12 cửa hàng thóc giống Thái Bình ta có kết sau: X(triệu ñồng/tháng): 32, 36, 28, 24, 30, 25, 32, 33, 26, 27 Y(triệu ñồng/tháng): 31, 35, 27, 31, 26, 28, 34, 32, 30, 31, 26, 29 Với mức ý nghĩa α = 0,05 kiểm ñịnh cặp giả thiết ñối thuyết: H0: X có phân phối xác suất với Y H1: X Y có phân phối khác Ta có tổng thứ hạng xi v = 107,5 nm(n + m + 1) n (n + m + 1) = 115 ; = 15,165 12 n (n + m + 1) v− ZT = = 0,45 ; U 0, 025 = 1,96 nm(n + m + 1) 12 Z T = 0,45 < U 0,025 = 1,96  ta ñịnh chấp nhận H0 4.3 Quy tắc Kruskal-Wallis Các liệu thu ñược từ ñiều tra sinh học, nông học, lâm học y học thường ñược thu thập từ nhiều vùng khác Ta cần kiểm tra xem liệu có xuất phát từ tập (cùng tổng thể ) hay không? Giả sử mẫu ñược thu thập từ k vùng (k ≥ ) giả sử dãy giá trị mẫu: x11 , x12 , , x1n lấy từ vùng I, có ñặc tính X 1 x21 , x22 , , x2 n2 lấy từ vùng II, có ñặc tính X …………………………………………… xk , xk , , xkn lấy từ vùng K, có ñặc tính X k k k Kích thước mẫu n = ∑ n j j=1 ni Ta gọi n ij thứ tự số liệu xij n số liệu trên, ≤ i ≤ k, ≤ j ≤ n i ðặt R i = ∑ n ij j=1 k i R 12 − 3(n + 1) ∑ n (n + 1) i=1 n i Nếu k ≥ 3, n i ≥ Z có phân phối xấp xỉ phân phối bình phương với k-1 bậc tự Dựa vào quy luật phân phối xấp xỉ biến Z với mức ý nghĩa α ta có quy tắc kiểm ñịnh cặp giả thuyết ñối thuyết H0: Dãy số liệu thu thập từ tập H1: Dãy số liệu không thu thập từ tập Xét thống kê: Z = Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Giáo trình Toán xác suất thống kê……………… 148 Quy tắc 7: Nếu Z T = k Ri2 12 − 3(n + 1) > χ α2 , k −1 bác bỏ H0 ∑ n(n + 1) i =1 ni chấp nhận H0 Nếu Z T ≤ χ α2 , k −1 Quy tắc ñược gọi quy tắc Kruskal - Wallis Ví dụ: Nghiên cứu tác ñộng loại thức ăn gia súc khác ñối với tăng trọng loài lợn người ta tiến hành thử nghiệm 20 lợn Gọi: X1 mức tăng trọng tháng nhóm lợn dùng thức ăn loại A là: 17,5 13,5 9,0 12,5 11,0 16,5 X mức tăng trọng tháng lợn nhóm lợn dùng thức ăn loại B là: 16,0 14,5 11,5 8,5 12,0 15,0 10,5 X mức tăng trọng tháng lơn nhóm lợn dùng thức ăn loại C là: 17,0 9,5 14,0 13,0 10,0 15,5 8,0 Với mức ý nghĩa α = 0,05 kiểm ñịnh cặp giả thuyết ñối thuyết H0: Ba loại thức ăn có tác dụng với tăng trọng lợn H1: Ba loại thức ăn có tác dụng khác với tăng trọng lợn Giả thuyết H0 tương ñương với số liệu mẫu lấy từ ñám ñông Ta có: k = 3, n1 = 6, n2 = n3 = 7, n = 20  R = 65, R = 71, R = 69 k R i2 12 ZT = − 3(n + 1) = 4,77 ; χ 02, 05 , = 5,99 ∑ n (n + 1) i=1 n i  Z T = 4,77 < 5,99 ⇒ giả thuyết H0 ñược chấp nhận, ñiều hiểu loại thức ăn có tác dụng với việc tăng trọng lợn Chú ý: Các qui tắc kiểm ñịnh phi tham số có ưu ñiểm không cần biết trước kiểu dạng phân phối xác suất ñặc trưng tổng thể, lượng lượng thông tin thu ñược từ tổng thể không nhiều nên lực lượng phép kiểm ñịnh qui tắc không cao Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Giáo trình Toán xác suất thống kê……………… 149 Bài tập chương VI Biết ñộ chịu lực X mẫu bê tông có phân phối chuẩn N( µ ; σ ) ðo ñộ chịu lực 210 mẫu bê tông ta có kết sau: ðộ chịu lực Xi(kg/cm2) Số mẫu bê tông ni 195 13 205 18 215 46 225 74 235 34 245 15 Với mức ý nghĩa α = 0,05, kiểm ñịnh giả thuyết, ñối thuyết: H0 : µ = 230 µ ≠ 230 H1: µ < 230 H1: 2.Trọng lượng gói mì ăn liền X (g/gói) nhà máy sản xuất biến chuẩn với phương sai 2,25 Lấy ngẫu nhiên 20 gói mì nhà máy sản xuất ñem cân ta có trọng lượng trung bình x = 78,2 Với mức ý nghĩa α = 0,05 kiểm ñịnh cặp giả thuyết, ñối thuyết H0: µ = 80 ; H1: µ ≠ 80 Năng suất X giống lúa vùng biến chuẩn ðiều tra suất lúa 36 mảnh ruộng ta có kết sau: Xi(tấn/ha) 5,0 5,2 5,4 5,6 5,8 6,0 Số mảnh ni 10 Với mức ý nghĩa α = 0,05 kiểm ñịnh cặp giả thuyết , ñối thuyết a H0: µ = 5,5 ; H1: µ ≠ 5,5 b H0: σ = 0,8 ; H1: σ > 0,8 Một mẫu ngẫu nhiên gồm 600 học sinh lớp 12 vùng nông thôn khu vực phía Bắc thấy có 122 nói nộp ñơn thi vào trương ðại Học Nông nghiệp I Với mức ý nghĩa α = 0,05 kiểm ñịnh cặp giả thuyết, ñối thuyết H0: Tỉ lệ học sinh thi vào ðHNNI p = 0,20 H1: Tỉ lệ học sinh thi vào ðHNNI p > 0,20 ðể so sánh suất hai giống lúa A (năng suất X), giống lúa B ( suất Y), người ta trồng cặp loại ñất khác sau thu hoạch ta ñược kết sau: Giống A( suất X / ha) 6,5 5,5 4,3 6,6 5,8 4,9 5,3 6,5 Giống B( suất Y / ha) 7,5 5,5 5,5 5,6 6,8 4,2 6,3 4,5 Biết X Y biến chuẩn Với mức ý nghĩa 0,05 coi suất hai giống lúa khác không? Sử dụng phương pháp so sánh cặp ñôi Hãy xét trường hợp lấy mẫu ñộc lập ðể xét ảnh hưởng hai loại phân bón A, B ñối với giống lúa người ta dùng phân A bón cho lúa ruộng Dùng phân B bón cho lúa ruộng Sau thu hoạch ta có kết quả: Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Giáo trình Toán xác suất thống kê……………… 150 X(tạ/ha)Năng suất lúa sử dụng phân A 45 47 43 44 46 Y(tạ/ha)Năng suất lúa sử dụng phân B 46 49 43 46 50 44 Với mức ý nghĩa 0,05 coi ảnh hưởng hai loại phân ñối với suất lúa ñược không? Thực 7.ðể so sánh trọng lượng rạ ( sinh từ lần thứ hai trở ñi) trọng lượng so ( sinh lần ñầu) qua thống kê nhà hộ sinh ta ñược kết sau: Trọng lượng(g) 1700-2000 2000-2300 2300-2600 2600-2900 2900-3200 Số rạ ni 13 18 42 18 Số so mi 10 22 40 45 Với mức ý nghĩa 0,05 coi trọng lượng so lớn trọng lượng rạ không? Theo dõi doanh thu X , Y hàng tháng cửa hàng bán giống trồng Nam ðịnh 10 cửa hàng bán giống trồng Thái Bình ta ñược kết sau: X(triệu ñồng/tháng ) 32 36 28 24 30 25 32 33 Y(triệu ñồng/tháng ) 31 35 27 36 31 26 28 34 32 30 Với mức ý nghĩa 0,05 coi doanh thu cửa hàng bán giống trồng hai ñịa phương khác không? Một nông trường bò sữa nhập ba giống bò A, B, C Người ta thống kê sản lượng sữa chúng theo ba mức: ít, trung bình nhiều sữa Từ bảng số liệu phân bố ba giống bò theo ba mức: Giống bò A B C Ít sữa 92 53 75 Trung bình 37 15 19 Nhiều sữa 46 19 12 Với mức ý nghĩa 0,05 nhận ñịnh xem sản lượng sữa giống bò có khác không? 10 ðể ñiều tra mức ñộ xem phim nhân dân tỉnh người ta chia mức ñộ xem phim thành ba cấp (nhiều , vừa, ít) Kết ñiều tra 300 hộ sau: Mức ñộ Nhiều Vừa Vùng Thành phố 48 26 26 Ven nội 38 34 28 Huyện 16 10 74 Có thể coi mức ñộ xem phim ba vùng ñược không? Mức ý nghĩa 0,05 11 Khảo sát màu mắt màu tóc 6800 người Pháp ta ñược kết sau: Màu tóc Vàng Nâu ðen Hung Màu mắt Xanh 1768 807 189 47 ðen 946 1387 746 53 Nâu 115 438 288 16 Với mức ý nghĩa 0,05 kiểm ñịnh giả thuyết: Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Giáo trình Toán xác suất thống kê……………… 151 H0: H1: Màu tóc ñộc lập với màu mắt Màu tóc không ñộc lập với màu mắt 12 ðể nghiên cứu mối liên hệ việc nghiện thuốc (ñặc tính A) huyết áp (ñặc tính B) người ta tiến hành ñiều tra 200 người kết cho bởi: A A1(nghiện nhẹ) A0(không nghiện) B B0(huyết áp bt) B1(huyết áp cao) 50 30 A2(nghiện nặng) 25 35 28 32 Với mức ý nghĩa 0,05 kiểm ñịnh giả thuyết : H0: A ñộc lập với B H1: A không ñộc lập với B 13 Một loài hoa có giống A, B, C Mỗi giống hoa cho hoa ñỏ hoa trắng Từ số liệu thống kê: Màu\ Loài Hoa ñỏ Hoa trắng A 58 102 B 102 118 C 65 75 Với mức ý nghĩa 0,05 Hay kiểm ñịnh giả thuyết: a Màu hoa giống hoa ñộc lập với b Trong giống hoa B tỉ lệ hoa ñỏ hoa trắng : 14 ðiều tra 100 gia ñình có hai ta ñược kết sau: Số trai Số gia ñình ni 20 56 24 Với mức α = 0,05 kiểm ñịnh giả thuyết: a H0: Số trai gia ñình tuân theo phân phối nhị thức B(2 ; 0,5) Số trai gia ñình tuân theo phân phối nhị thức B(2 ; p) b H0: 15 Một loại có gen A quăn, gen a phẳng, gen B hạt trắng, gen b hạt ñỏ Khi lai hai chủng quăn hạt ñỏ thẳng hạt trắng ta ñược hệ F1 Cho hai cá thể hệ F1 lai với hệ F2 ta có kết sau: 1160 quăn hạt ñỏ ; 380 quăn hạt trắng 350 thẳng hạt ñỏ ; 110 thẳng hạt trắng Với số liệu mức ý nghĩa 0,05 kiểm ñịnh cặp giả thuyết ñối thuyết : H0: Kết phù hợp với qui luật phân li tính trạng : : : H1: Trái với H0 16 Xét mối liên quan vợ chồng thể trạng ta có bảng số liệu sau: Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Giáo trình Toán xác suất thống kê……………… 152 Vợ Gầy Béo Trung bình Chồng Gầy 24 12 12 Béo 10 40 15 Trung bình 20 12 115 Với mức ý nghĩa: α = 0,05 kiễm ñịnh cặp giả thuyết ñối thuyết: H0: Thể trạng mối quan hệ vợ chồng ñộc lập với H1: Thể trạng mối quan hệ vợ chồng có liên quan với 17 Một gói mì ăn liền ñạt yêu cầu trọng lượng có trọng lượng 80 gam Kiểm tra mẫu gồm 20 gói mì ñược x = 78,5 , s = 2,5 Với mức ý nghĩa 0,05 xây dựng giả thuyết ñối thuyết thích hợp khâu ñóng gói mì ăn liền nhà máy ñạt yêu cầu không? 18 ðo số mỡ sữa X 130 bò lai F1 ta ñược kết sau X 3,0- 3,6 3,6- 4,2 4,2– 4,8 4,8 –5,4 5,4 –6,0 6,0 – 6,6 6,6 –7,2 ni 35 43 22 15 Biết số mỡ sữa trung bình giống bò chủng 4,95 Với mức ý nghĩa 0,01 Hãy ñưa kết luận việc lai tạo giống biết số mỡ sữa X có phân phối chuẩn 19 Phân tích hàm lượng mùn loại ñất theo hai phương pháp ta có kết sau: Phương pháp 1: 27,5 27,0 27,3 27,6 27,8 ( ñơn vị %) Phương pháp 2: 27,9 27,2 26,5 26,3 27,0 27,4 27,3 26,8 (ñơn vị %) Với mức ý nghĩa 0,05 xây dựng giả thuyết ñối thuyết thích hợp ñưa kết luận 20 Người ta chiếu xạ liều 3000 Rơnghen vào quần thể ruồi dấm thấy số 805 hệ F1 có 80 bị ñột biến Trong ñó chiếu xạ vào quần thể ruồi dấm khác có cho ăn kèm theo loại ñường số 2756 hệ F1 có 357 bị ñột biến Với mức ý nghĩa 0,05 xây dựng cặp giả thuyết ñối thuyết thích hợp ñưa kết luận 21 ðể so sánh hai loại thức ăn ñối với việc tăng trọng lợn người ta ñã tiến hành thí nghiệm hai mẫu : Mẫu I cho lợn ăn loại thức ăn A sau tháng ñược kết sau: X : 12,3 13,4 14,6 11,0 16,1 11,3 12,9 10,7 Mẫu II cho lợn ăn loại thức ăn B sau tháng ñược kết sau: Y : 13,2 14,3 16,8 13,1 14,5 15,7 14,5 Với mức ý nghĩa 0,05 ñưa cặp giả thuyết ñối thuyết thích hợp ñưa kết luận 22 ðể khảo sát tác dụng việc bón phân cho ngô 70 ñơn vị ñạm/ha, người ta trồng liền mảnh ñối chứng ( không bón ñạm) mảnh thực nghiệm 15 ruộng sau thu hoạch ñược kết sau: Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Giáo trình Toán xác suất thống kê……………… 153 Trọng lượng mảnh ñối chứng X 55,8 53,3 Trọng lượng mảnh thực nghiệm Y 60,4 58,7 X 57,7 59,1 49,4 35,4 42,7 Y 56,8 40,6 57,3 44,3 32,2 Biết X, Y biến chuẩn Với mức ý nghĩa α = ñối thuyết thích hợp ñưa kết luận 30,1 51,0 37,8 68,8 28,9 48,0 39,7 68,8 21,2 28,3 57,3 42,4 47,7 77,0 55,1 66,1 0,05 Hãy xây dựng cặp giả thuyết 23 ðiều tra 320 gia ñình có ta có số liệu sau: Số trai X Số gia ñình ni 18 56 110 88 40 Với mức ý nghĩa α = 0,05 kiểm ñịnh giả thuyết ñối thuyết H0: Số trai X ~ B(5, 0,5 ) H1: Trái với H0 24 Số tai nạn giao thông xảy ngày X thành phố ñược ghi bảng sau: X ni 10 32 46 35 20 1 Với mức ý nghĩa α = 0,05 kiểm ñịnh giả thuyết : Số tai nạn giao thông không xảy ngày tuân theo luật Poisson 25 Chiều cao X dầu sau tháng tuổi quan sát ñược cho bảng sau: X 24 - 30 30 - 36 36 - 42 42 - 48 48 - 54 54 - 60 ni 12 24 35 47 43 32 Với mức ý nghĩa α = 0.05 kiểm ñịnh giả thuyết X có phân phối chuẩn 60 - 66 26 Một loài hoa hồng có màu : ñỏ, hồng, bạch vàng Với mẫu gồm 200 hoa hồng thuộc loài hoa ta có bảng số liệu sau: Màu hoa ñỏ hồng bạch vàng Số hoa 27 65 75 33 Với mức ý nghĩa 0,05 kiểm ñịnh giả thuyết H0 : Các màu hoa ñỏ, hồng, bạch, vàng theo tỉ lệ : : : 27 Chi phí văn hoá X (ðơn vị 100000ñ/năm) chi phí ñi lại Y (ðơn vị 100000 ñồng/năm) 15 gia ñình cho bảng sau: X 12 6,5 6,2 8,8 4,5 7,0 7,1 20 15 7,5 8,5 10,9 8,2 10,5 Y 5,9 6,7 4,5 4,8 10 5,5 5,2 15 7,0 4,0 5,5 8,2 5,4 8,4 7,0 Sử dụng tiêu chuẩn dấu kiểm ñịnh giả thuyết: X Y có qui luật xác suất với mức ý nghĩa 0,05 28 Mức tiêu thụ xăng loại xe A, B, C ( lít/100km) X , Y, Z Người ta cho chạy thử xe A, xe B xe C số liệu thu ñược cho bảng sau: X : 10,5 8,7 7,5 9,6 8,4 9,0 8,7 Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Giáo trình Toán xác suất thống kê……………… 154 Y : 9,4 7,5 6,9 8,9 9,4 10 8,1 Z : 7,1 8,4 7,0 9,8 8,7 10 7,9 8,2 Với mức ý nghĩa 0,05 sử dụng tiêu chuẩn Kruskal – Wallis kiểm ñịnh giả thuyết: Mức tiêu thụ xăng loại xe nói có qui luật xác suất 29 Một mẫu ñiều tra lương công nhân nhà máy may X1, lương công nhân nhà máy chế biến hải sản X2, lương công nhân nhà máy sản xuất dày da xuất X3 lương vủa công nhân nhà máy chế biến hàng nông sản X4 khu chế suất cho bảng số liệu sau: (ðơn vị 100000 ñồng/tháng) X1 : 8,5 8,8 7,9 8,5 9,2 9,5 8,3 X2 : 9,0 9,1 8,7 8,6 9,4 9,2 8,5 9,1 X3 : 10 9,4 9,2 8,6 8,7 8,1 9,9 X4 : 8,1 8,8 8,6 9,0 9,2 7,8 8,7 8,9 9,1 Ở mức ý nghĩa 0,05 sử dụng tiêu chuẩn Kruskal – Wallis kiểm ñịnh giả thuyết: Mức lương công nhân bốn nhà máy 30 Chiều cao X mẫu ngẫu nhiên 12 sinh viên nam Hà nội 14 sinh viên nam thành phố Hồ Chí Minh cho bảng số liệu sau: X: 1,65 1,72 1,60 1,68 1,59 1,75 1,77 1,66 1,78 1,80 1,56 1,70 Y: 1,59 1,61 1,64 1,70 1,68 1,57 1,55 1,78 1,72 1,77 1,60 1,64 1,62 1,77 Ở mức ý nghĩa 0,05 sử dụng tiêu chuẩn Mann – Whitney kiểm ñịnh giả thuyết: X Y có qui luật phân phối Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Giáo trình Toán xác suất thống kê……………… 155 ... Xác suất thống kê ………………… 17 chứng minh chương sau Tuy ñịnh nghĩa xác suất tần suất không giá trị cụ thể xác suất kiện thực tế số lần thử n lớn ta thường lấy tần xuất fn(A) thay cho xác suất kiện... thuyết xác suất A.N Kolmogorop ñưa Xét C σ - ñại số kiện Xác suất P hàm xác ñịnh C thoả mãn : 1/ P(A) ≥ ∀A ∈ C Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Giáo trình Xác suất thống kê …………………... 30 kỉ 20 xác suất không ñược coi ngành toán học thống Mãi tới năm 1933 nhà toán học Nga A.N Kolmogorop xây dựng hệ tiên ñề cho lý thuyết xác suất xác suất ñược công nhận ngành toán học thống sánh