UD Tam thuc B2 vao tam gia

Lời nói đầu Các bài toán về tam giac lượng được đề cập nhiều trong các sách tham khảo và SGK với đa dạng các nội dung và thể loại khác nhau. Trong các kỳ thi tuyển sinh vào Đại học và thi học sinh giỏi, thường xuyên xuất hiện những loại bài tập về tam giác lượng. Khi đứng trước những bài toán đó không ít học sinh đã lúng túng và gặp khó khăn trong việc định hướng và giải bài toán. Trong quá trình giảng dạy và nghiên cứu ở bậc trung học phổ thông và với cách ra đề thi tuyến sinh ĐH trong những năm gần đây tôi muốn đưa ra một kỹ thuật giải các bài toán tam giác lượng bằng cách dựa vào tam thức bậc 2, cùng với kỹ thuật đó là một số kỹ thụât đánh giá khác được thể hiện trong đề tài\. Hi vọng rằng với đề tài này sẽ giúp ích phần nào cho học sinh có kỹ năng chuẩn bị thi vào các trường ĐH & C Đ. 1 1) Các ký hiệu thông thường sử dụng thường xuyên trong đề tài. A,B,C: số đo các góc của ∆ ABC hay các đỉnh của ∆ ABC a,b,c: độ dài các cạnh đối diện các góc A,B,C. h a , h b ,h c : độ dài các đường cao xuất phát từ các đỉnh A,B,C. m a , m b ,m c : độ dài các đường trung tuyến xuất phát từ các đỉnh A,B,C. R: bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. r : bán kính đường tròn nội tiếp ∆ ABC. S: diện tích tam ∆ ABC. p: nửa chu vi ∆ ABC. 2) Một số đẳng thức cơ bản được sử dụng trong đề tài. i) sin 2 BA + = cos 2 C ; sin 2 CB + = cos 2 A ; sin 2 AC + = cos 2 B . ii) cos 2 BA + =sin 2 C ;cos 2 CB + =sin 2 A ; cos 2 AC + =sin 2 B . iii) tg 2 BA + =cotg 2 C ;tg 2 CB + =cotg 2 A ; tg 2 AC + =cotg 2 B . iv) sin(A-B)=sinC; sin(B-C)=sinA; sin(C-A)=sinB. v) cos(A-B)=-cosC; cos(B-C)=-cosA; cos(C-A)=-cosB. vi) tg(A-B)=-tgC; tg(B-C)=-tgA; tg(C-A)=-tgB. 3) Sử dụng tam thức bậc hai để giải một số bài toán tam giác lượng. Bài 1: Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta có: CosA+CosB+CosC 2 3 ≤ . Chứng minh: Ta có: CosA+CosB+CosC= cosA+2cos 2 BA + cos 2 BA − ≤ 1-2sin 2 2 A +2sin 2 A (do cos 2 BA − ≤ 1) 2 =-2(sin 2 2 A - sin 2 A + 4 1 ) + 2 3 =-2(sin 2 A - 2 1 ) 2 ≤ 2 3 . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 2 1 2 ABC A Sin CB ∆⇔      = = đều. Nhận xét: Trong bài toán trên ta sử dụng hai kỹ thuật đó là: Đánh giá cos 2 BA − ≤ 1 và sử dụng tam thức bậc hai, ta sử dụng hai cách đánh giá này đẻ giải tiếp một số bài toán sau. Bài 2: Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta có: sin 2 A +sin 2 B +sin 2 C ≤ 2 3 . Chứng minh: Bất đẳng thức đã cho tương đương với: sin 2 A +2sin 4 BA + cos 4 BA − ≤ 2 3 ⇔ cos 2 BA + +2sin 4 BA + cos 4 BA − ≤ 2 3 ⇔ 1-2Sin 2 4 BA + +2sin 4 BA + cos 4 BA − ≤ 2 3 ⇔ 2Sin 2 4 BA + -2sin 4 BA + cos 4 BA − + 2 1 ≥ 0. (*) Vì cos 2 BA − ≤ 1 nên ta có: VT ≥ 2Sin 2 4 BA + -2sin 4 BA + + 2 1 =2(Sin 4 BA + - 2 1 ) 2 ≥ 0.(đpcm) 3 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 2 1 4 ABC BA Sin CB ∆⇔      = + = đều. Bài 3: T ìm các góc của tam giác ABC biết: CosA +Cos(B - 2 C ) + Cos 2 3C = 2 3 (1) Gi¶i : VT (1) = CosA+ 2Cos 2 CB + .Cos 2 2CB − ≤ CosA + 2sin 2 A = 1 - 2Sin 2 2 A + 2Sin 2 A = -2( Sin 2 2 A - Sin 2 A + 4 1 ) + 2 3 =-2(Sin 2 A - 2 1 ) + 2 3 ≤ 2 3 ⇒ VT (1) ≤ 2 3 (1) X¶y ra ⇔      = = 2 1 2 2 A SIn AB ⇒      = = = 0 0 0 40 80 60 C B A Bài 4: Tìm các góc của tam giác ABC biết: Sin 2 A .Sin ( 42 CB − ).Sin 4 3C = 8 1 ( 1) Giải: Vt (1) = 2 1 Sin 2 A .       + − − ) 2 () 2 2 ( CB Cos CB Cos = 2 1 Sin 2 A .Cos 2 2CB − - 2 1 Sin 2 A .Cos 2 CB + 4 = 2 1 Sin 2 A .Cos 2 2CB - 2 1 Sin 2 2 A (*) 2 1 Sin 2 A - 2 1 Sin 2 2 A = - 2 1 + 4 1 22 Sin 2 A Sin A + 8 1 8 1 (2*) VT 8 1 (1) Xảy ra = = = = = ô 40 80 60 2 2 1 2 A B A CB A Sin o o Dựa vào cách đánh giá cos 2 BA 1 hoặc Cos(A-B) 1 ta có thể giải đợc các bài tập tơng tự sau. Bài 5 Chng minh rng trong mi tam giỏc ABC ta cú: 2 1 2 1 2 1111 C Sin B Sin A Sin CosCCosBCosA ++++ Chứng minh: Để ý rằng vai trò của A, B, C trong bài toán nh nhau, trong trờng hợp đó đẳng thức xảy ra thờng là tam giác đều. Khi đó trong quá trình giải sẽ xuất hiện đánh giả để đẳng thức xảy ra khi A=B, B=C. Từ đó ta đa ra cách giảI nh sau. Ta chứng minh: 2 211 C Sin CosBCosA + Thật vậy 22 2411 BA Cos BA Cos CosBCosACosBCosA + = + + 2 2 C Sin Tơng tự ta có: 2 211 A Sin CosCCosB + 5 2 211 B Sin CosACosC + Cộng các bất đẳng thức vừa chứng minh ta suy ra đpcm. Bài 6. Chng minh rng trong mi tam giỏc ABC ta cú: CotgA + CotgB+CotgC 222 C tg B tg A tg ++ Chứng minh: Với cách nhận xét nh bài 5 ta có: CotgA + CotgB = CosC SinC BACosBACos SinC SinBSinA BASin + + = + 1 2 )()( 2 á )( = 2 2 22 4 2 C Cos C Cos C Sin 2 C tg = Tơng tự: CotgB+CotgC 2 C tg CotgC + CotgA 2 C tg Cộng các bất đẳng thức vừa chứng minh ta suy ra đpcm. Trong mt s bi toỏn xut hin cos 2 BA hoc cos(A-B) nhng nu s dng ỏnh giỏ trờn s a bi toỏn theo hng khỏc do ú vic s dng nú khụng phi lỳc no cng ỏp dng c. Cỏch s dng nh th no ta xột bi toỏn sau: Bài 7: Cho ABC biết Q = Sin 2 A + Sin 2 B - Sin 2 C đạt giá trị nhỏ nhất. Tính các góc của ABC . Giải : Q = 2 21 ACos + 2 21 BCos - Sin 2 C = 1 - )22( 2 1 BCosACos + - Sin 2 C = Cos 2 C - Cos( A+B ).Cos( A- B ) 6 = Cos 2 C + CosC.Cos( A- B ) Do Q nhỏ nhất nên ta cần đánh giá Q hằng số ( 1 *) Nếu sử dụng Cos( A- B ) 1 Q Cos 2 C + CosC Mâu thuẫn với (1 * ) Khi đó ta cần biến đổi tiếp nh sau : Q= Cos 2 C + CosC.Cos(A-B)+ 4 1 Cos 2 (A-B)- 4 1 Cos 2 (A-B) = [Cos 2 C + 2 1 Cos(A-B)] 2 - 4 1 Cos 2 (A-B) - 4 1 Cos 2 (A-B) - 4 1 Min(Q)= - 4 1 = == = = 0 0 120 30 2 1 C BA CosC BA 4) Một số bài toán liên quan tới tính chât của tam giác. Trong nhiều trờng hợp, việc đánh giá từ giả thiết bài toán cho ta tính chất của tam giác ( tù, nhọn hay vuông). Khi đó ngoài việc đánh giá nh trên ta phải có kỹ năng đánh giá dựa vào tính chất của góc. Trớc hết ta xát bài tập sau. Bài 8 Cho tam giác ABC. Đặt T= Sin 2 A+Sin 2 B+Sin 2 C Chứnh minh rằng: i) T > 2 thì ABC nhọn. ii) T < 2 thì ABC tù. iii) T = 2 thì ABC vuông. Chứng minh: Ta có T -2 = Sin 2 A + 2 21 BCos + 2 21 CCos -2 = Sin 2 A 1- 2 1 (Cos2B-Cos2C) 7 =Sin 2 A-1-Cos(B+C)Cos(B-C) = - Cos 2 A + CosA.Cos(B-C) =CosA[Cos(B+C) + Cos(B-C)] =2 CosA.CosB.CosC. i) T>2 CosA.CosB.CosC>0 Trong 3 số hạng CosA; CosB; CosC có hai số âm và một số dơng hoặc cả ba số cùng dơng. Khi đó ta có: Trờng hợp 1: Giả sử ABC CosC CosB CosA > < < 0 0 0 có hai góc tù nên không xảy ra. Trờng hợp 2: ABC CosC CosB CosA > > > 0 0 0 nhọn. ii) iii) Đợc chứng minh tơng tự. Bài 9: Cho ABC có ba góc thỏa mãn: Cos2A + Cos2B + Cos2C +1 0. (1) Tìm giá trị lớn nhất của: F = CosA + CosB + CosC. Giải. Ta có: (1) 1 2 Sin 2 A + 1- 2Sin 2 B + 1 2Sin 2 C +1 0. Sin 2 A + Sin 2 B + Sin 2 C 2. Theo bài 8 ABC không có góc nhọn. Mặt khác: F= CosA + 2 22 CB Cos CB Cos + = 1 2 2 2 A Sin + 2 22 CB Cos A Sin 1 2 2 2 2 2 ++ A Sin A Sin Do ABC không có góc nhọn < A 2 224 < A 1 22 2 < A Sin 8 Xét hàm số: f(t) = -2t 2 +2t + 1 trên [ 1 ; 2 2 ) f(t) = - 4t + 2 > 0 t [ 1 ; 2 2 ) suy ra f(t) f( 2 2 ) = 2 Vậy Max(F) = 2 = = 2 2 2 A Sin CB ABC vuông cân tại A. Bài 10: Cho ABC thỏa mãn b 2 + c 2 = a 2 . Tìm giá trị lớn nhất của: F = SinA + SinB + SinC. Giải. Ta có CosA= 2 0 2 222 + A bc acb Mặt khác: F = 22 2 CB Cos CB SinSinA + + 2 2 A CosSinA + Vì < A 2 224 < A 2 2 2 1 A Cos SinA 21 2 2 ++ A CosSinA Suy ra F 21 + Max(F) = 21 + khi và chỉ khi = = 2 2 2 A Sin CB ABC vuông cân tại A. Bài 11: Cho ABC thỏa mãn: =++ ++ 3)22(222 2 222 CCosBCosACos CSinBSinASin Tìm các góc của tam giác ABC. 9 ( ) 1 ( ) 2 Giải: Từ giả thiết (1) ta suy ra ABC không có góc tù. Mặt khác VT (2) = 22 242 CB Cos CB CosACos + + 22 2421 2 CB Cos A SinASin += 1 2 242 2 ++ A SinASin Ta cần biến đổi 1 2 242 2 ++ A SinASin về tam thức bậc hai của Sin 2 A . Ta có: SinA = 2Sin 2 A Cos 2 A Do ABC không có góc tù nên A 2 2 2 242 A Cos A Nên SinA 2 2 A Sin Vậy 1 2 242 2 ++ A SinASin 2 24 2 41 2 A Sin A Sin + Xét hàm số: f(t) = tt 2441 2 + trên ] 2 2 ;0( f(t) = -8t + 4 2 ] 2 2 ;0( t Nên f(t) là hàm đồng biến trên ] 2 2 ;0( suy ra f(t) 3) 2 2 ( = f Khi đó (2) xảy ra khi và chỉ khi: ABC CB A Sin = = 2 2 2 vuông cân tại A. Bài 12: Xác định các góc của tam giác ABC biết: = 8 333 222 )(4 C Sin B Sin A Sin bcapp Gii. Ta cú (1) bcabcacbcba ++++ 22 c)(b ))(( C 2 1 2 b 22 + bc ac osA 2 1 suy ra A 3 2 10 ( ) 1 ( ) 2 [...]... 6 Bài tập tơng tự 1) Xác định các góc của tam giác ABC biết: (p - a)Sin2A + (p - b)Sin2B=c.CosA.CosB 2) Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta có: A 2 Sin B 2 Sin C 1 2 8 a) Sin b) Sin2A + Sin2B + Sin2C 9 4 3) Có tồn tại hay không tam giác ABC thỏa mãn một trong các đIều kiện sau: a) CosA + 2CosB + 2CosC < 3 b) CosA - CosB CosC < 11 3 2 4) Cho tam giác ABC có góc A và B là hai góc nhọn Tìm . tg(B-C)=-tgA; tg(C-A)=-tgB. 3) Sử dụng tam thức bậc hai để giải một số bài toán tam giác lượng. Bài 1: Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta có: CosA+CosB+CosC. năm gần đây tôi muốn đưa ra một kỹ thuật giải các bài toán tam giác lượng bằng cách dựa vào tam thức bậc 2, cùng với kỹ thuật đó là một số kỹ thụât đánh