Đ I H C QU C GIA HÀ N I ẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ỐC GIA HÀ NỘI ỘI Đ THI TUY N SINH VÀO L P 10 Ề THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 ỂN SINH VÀO LỚP 10 ỚP 10
TR ƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NG Đ I H C KHOA H C T NHIÊN ẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ỌC QUỐC GIA HÀ NỘI Ự NHIÊN TR ƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NG THPT CHUYÊN NĂM 2014
Môn thi : Toán
Th i gian làm bài :150 phút ời gian làm bài :150 phút
Câu I
1 Gi s x, y là nh ng s th c dả sử x, y là những số thực dương thỏa mãn: ử x, y là những số thực dương thỏa mãn: ững số thực dương thỏa mãn: ố thực dương thỏa mãn: ực dương thỏa mãn: ương thỏa mãn: ng th a mãn: ỏa mãn:
2 2 4 4 8 4
4
x y x y x y x y
Ch ng minh r ng: 5y = 4xứng minh rằng: 5y = 4x ằng: 5y = 4x
2 Gi i h phả sử x, y là những số thực dương thỏa mãn: ệ phương trình: ương thỏa mãn: ng trình:
2 2
x y xy
Câu II
1 Cho x, y là nh ng s nguyên l n h n 1 sao cho 4xững số thực dương thỏa mãn: ố thực dương thỏa mãn: ớn hơn 1 sao cho 4x ơng thỏa mãn: 2y2 – 7x + 7y là s chính phố thực dương thỏa mãn: ương thỏa mãn: ng
Ch ng minh r ng: x = y.ứng minh rằng: 5y = 4x ằng: 5y = 4x
2 Gi s x, y là nh ng s th c không âm th a mãn: xả sử x, y là những số thực dương thỏa mãn: ử x, y là những số thực dương thỏa mãn: ững số thực dương thỏa mãn: ố thực dương thỏa mãn: ực dương thỏa mãn: ỏa mãn: 3 + y3 + xy = x2 + y2 Tìm giá tr ị
l n nh t và nh nh t c a bi u th c: ớn hơn 1 sao cho 4x ất và nhỏ nhất của biểu thức: ỏa mãn: ất và nhỏ nhất của biểu thức: ủa biểu thức: ểu thức: ứng minh rằng: 5y = 4x
P
Câu III Cho tam giác ABC n i ti p đội tiếp đường tròn (O) và điểm P nằm trong tam giác thỏa mãn ếp đường tròn (O) và điểm P nằm trong tam giác thỏa mãn ường tròn (O) và điểm P nằm trong tam giác thỏa mãn ng tròn (O) và đi m P n m trong tam giác th a mãn ểu thức: ằng: 5y = 4x ỏa mãn:
PB = PC D là đi m thu c c nh BC (D khác B và D khác C) sao cho P n m trong đểu thức: ội tiếp đường tròn (O) và điểm P nằm trong tam giác thỏa mãn ạnh BC (D khác B và D khác C) sao cho P nằm trong đường ằng: 5y = 4x ường tròn (O) và điểm P nằm trong tam giác thỏa mãn ng tròn ngo i ti p tam giác DAC và đạnh BC (D khác B và D khác C) sao cho P nằm trong đường ếp đường tròn (O) và điểm P nằm trong tam giác thỏa mãn ường tròn (O) và điểm P nằm trong tam giác thỏa mãn ng tròn ngo i ti p tam giác DAC Đạnh BC (D khác B và D khác C) sao cho P nằm trong đường ếp đường tròn (O) và điểm P nằm trong tam giác thỏa mãn ường tròn (O) và điểm P nằm trong tam giác thỏa mãn ng th ng ẳng
PB c t đường tròn (O) và điểm P nằm trong tam giác thỏa mãn ng tròn ngo i ti p tam giác DAB t i E khác B Đạnh BC (D khác B và D khác C) sao cho P nằm trong đường ếp đường tròn (O) và điểm P nằm trong tam giác thỏa mãn ạnh BC (D khác B và D khác C) sao cho P nằm trong đường ường tròn (O) và điểm P nằm trong tam giác thỏa mãn ng th ng PC c t đẳng ường tròn (O) và điểm P nằm trong tam giác thỏa mãn ng tròn ngo i ti p tam giác DAC t i F khác C.ạnh BC (D khác B và D khác C) sao cho P nằm trong đường ếp đường tròn (O) và điểm P nằm trong tam giác thỏa mãn ạnh BC (D khác B và D khác C) sao cho P nằm trong đường
1 Ch ng minh r ng b n đi m A, E, B, F cùng thu c m t đứng minh rằng: 5y = 4x ằng: 5y = 4x ố thực dương thỏa mãn: ểu thức: ội tiếp đường tròn (O) và điểm P nằm trong tam giác thỏa mãn ội tiếp đường tròn (O) và điểm P nằm trong tam giác thỏa mãn ường tròn (O) và điểm P nằm trong tam giác thỏa mãn ng tròn
2 Gi s đả sử x, y là những số thực dương thỏa mãn: ử x, y là những số thực dương thỏa mãn: ường tròn (O) và điểm P nằm trong tam giác thỏa mãn ng th ng AD c t đẳng ường tròn (O) và điểm P nằm trong tam giác thỏa mãn ng tròn (O) t i Q khác A, đạnh BC (D khác B và D khác C) sao cho P nằm trong đường ường tròn (O) và điểm P nằm trong tam giác thỏa mãn ng th ng AF c t ẳng
đường tròn (O) và điểm P nằm trong tam giác thỏa mãn ng th ng QC t i L Ch ng minh r ng tam giác ABE đ ng d ng v i tam giác ẳng ạnh BC (D khác B và D khác C) sao cho P nằm trong đường ứng minh rằng: 5y = 4x ằng: 5y = 4x ồng dạng với tam giác ạnh BC (D khác B và D khác C) sao cho P nằm trong đường ớn hơn 1 sao cho 4x CLF
3 G i K là giao đi m c a đểu thức: ủa biểu thức: ường tròn (O) và điểm P nằm trong tam giác thỏa mãn ng th ng AE và đẳng ường tròn (O) và điểm P nằm trong tam giác thỏa mãn ng th ng QB Ch ng minh r ng:ẳng ứng minh rằng: 5y = 4x ằng: 5y = 4x
QKL PAB QLK PAC
Câu IV Cho t p h p A g m 31 ph n t và dãy g m m t p h p c a A th a mãn đ ng th i ồng dạng với tam giác ần tử và dãy gồm m tập hợp của A thỏa mãn đồng thời ử x, y là những số thực dương thỏa mãn: ồng dạng với tam giác ủa biểu thức: ỏa mãn: ồng dạng với tam giác ờng tròn (O) và điểm P nằm trong tam giác thỏa mãn
các đi u ki n sau:ều kiện sau: ệ phương trình:
i) M i t p h p thu c dãy có ít nh t hai ph n t ỗi tập hợp thuộc dãy có ít nhất hai phần tử ội tiếp đường tròn (O) và điểm P nằm trong tam giác thỏa mãn ất và nhỏ nhất của biểu thức: ần tử và dãy gồm m tập hợp của A thỏa mãn đồng thời ử x, y là những số thực dương thỏa mãn:
ii) N u hai t p h p thu c dãy có chung nhau ít nh t hai ph n t thì s ph n t ếp đường tròn (O) và điểm P nằm trong tam giác thỏa mãn ội tiếp đường tròn (O) và điểm P nằm trong tam giác thỏa mãn ất và nhỏ nhất của biểu thức: ần tử và dãy gồm m tập hợp của A thỏa mãn đồng thời ử x, y là những số thực dương thỏa mãn: ố thực dương thỏa mãn: ần tử và dãy gồm m tập hợp của A thỏa mãn đồng thời ử x, y là những số thực dương thỏa mãn: