Khảo sát hàm số

Áp dụng đạo hàm khảo sát tính đồng biến, nghịch biến của hàm số Nội dung  Nội dung I. Tóm tắt lý thuyết II. Các ví dụ III. Bài tập luyện tập Áp dụng đạo hàm khảo sát tính đồng biến, nghịch biến của hàm số I. Tóm tắt lý thuyết 1) Hàm số đơn điệu.  Cho hàm số f xác định trên I, trong đó I là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng • Hàm số f đồng biến trên I nếu với mọi x 1 , x 2 ∈I, x 1 < x 2 thì f(x 1 ) < f(x 2 ). • Hàm số f nghịch biến trên I nếu với mọi x 1 , x 2 ∈ I, x 1 < x 2 thì f(x 1 ) > f(x 2 ).  Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên một khoảng được gọi chung là hàm đơn điệu trên khoảng đó. Áp dụng đạo hàm khảo sát tính đồng biến, nghịch biến của hàm số I. Tóm tắt lý thuyết (tt) 2) Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu.  Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I. Khi đó: • Nếu f’(x) ≥ 0 với mọi x ∈ I và f’(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm của I thì hàm số đồng biến trên I. • Nếu f’(x) ≤ 0 với mọi x ∈ I và f’(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm của I thì hàm số nghịch biến trên I. • Nếu f’(x) = 0 với mọi x ∈ I thì hàm số không đổi trên I.  Giả sử hàm số liên tục trên nửa khoảng [a; b) và có đạo hàm trên khoảng (a; b). • Nếu f’(x) > 0 (hoặc f’(x) < 0) với mọi x ∈ (a; b) thì hàm số f đồng biến (hoặc nghịch biến) trên nửa khoảng [a; b). • Nếu f’(x) = 0 với mọi x ∈ (a; b) thì hàm số f không đổi trên nửa khoảng [a; b). Áp dụng đạo hàm khảo sát tính đồng biến, nghịch biến của hàm số Các ví dụ - Ví dụ 1 Chứng minh rằng hàm số nghịch biến trên R. Giải Tập xác định của hàm số là R. Vậy hàm số đã cho nghịch biến trên R. 2 y x x 7 = − + + 2 2 2 2 x x x 7 Xét y' = -1 + . x 7 x 7 Ta nh n th y x 7 x | x | x 0, do ó y' < 0 v i m i x R. − + = + + + − > − ≥ ∈Ë Ê ® í ä Áp dụng đạo hàm khảo sát tính đồng biến, nghịch biến của hàm số Các ví dụ (tt) - Ví dụ 2 Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của các hàm số: Giải a. Tập xác định của hàm số là D = (-∞ ; - 1) U (-1; +∞). Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; -1) và (-1; +∞). b. Tập xác định của hàm số là D = (0; +∞). Vì hàm lnx là hàm số đồng biến, nên Vậy hàm số đồng biến trên khoảng , nghịch biến trên khoảng 2x 1 a. y . b. y x.lnx. x 1 − = = + 2 2 2(x+1)-(2x-1) 3 Xét y' = 0 x D. (x 1) (x 1) = > ∀ ∈ + + 1 Xét y' = lnx + 1 y' = 0 x= . e ⇒ ⇔ 1 1 y' > 0 x > và y' < 0 x < . e e ⇔ ⇔ 1 ;+ e   ∞  ÷   1 0; . e    ÷   Áp dụng đạo hàm khảo sát tính đồng biến, nghịch biến của hàm số Các ví dụ (tt) - Ví dụ 3 Xét tính đơn điệu của các hàm số: Giải a. Tập xác định của hàm số là R. Bảng biến thiên Hàm số đồng biến trên khoảng , nghịch biến trên khoảng 2 x 4 x a. y . b. y . lnx x 1 + = = + 2 2 2 2 x(x 4) x 1 1 4x 1 x 1 Ta có y' = . Suy ra y' 0 x . 4 x 1 x 1 + + − − + = = ⇔ = + + 1 ; 4   −∞  ÷   1 ; . 4   +∞  ÷   x -∞ +∞ y’ + 0 - y -1 1 1 4 Áp dụng đạo hàm khảo sát tính đồng biến, nghịch biến của hàm số Các ví dụ (tt) - Ví dụ 3 (tt) b. Tập xác định của hàm số là D = (0 ; 1) U (1 ; + ∞). Vì hàm lnx là hàm đồng biến, nên lnx – 1 > 0 với mọi x > e và lnx – 1 < 0 với mọi 0 < x < e. Vậy hàm số nghịch biến trong các khoảng (0;1) và (1; e), đồng biến trên khoảng (e; +∞). 2 lnx -1 Ta có y' = , y' = 0 x = e. ln x ⇔ Áp dụng đạo hàm khảo sát tính đồng biến, nghịch biến của hàm số Các ví dụ (tt) - Ví dụ 4 Chứng minh rằng hàm số f(x) = x – tanx nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó. Giải Các khoảng xác định của hàm số là , dấu đẳng thức xảy ra khi x = kπ. Vậy trong mỗi khoảng xác định hàm số f(x) luôn nghịch biến. - k ; k v i k Z. 2 2 π π   + π + π ∈  ÷   í ≤ ≤ ≤ 2 1 Ta có f'(x) = 1- 0 (vì -1 cosx 1) cos x Áp dụng đạo hàm khảo sát tính đồng biến, nghịch biến của hàm số Các ví dụ (tt) - Ví dụ 5: Khảo sát sự biến thiên của các hàm số Giải a. Ta có f’(x) = 1 – cosx ≥ 0 với mọi x ∈ R. Do đó hàm số f(x) luôn đồng biến. b. Ta có g’(x) = x – sinx . Theo câu a) thì hàm số f(x) = x – sinx luôn đồng biến trên R, nên: g’(x) ≥ g’(0) = 0,với mọi x ≥ 0. Vậy hàm số g(x) đồng biến trên nửa khoảng [0; +∞). c. Theo câu b) thì hàm số g(x) = h’(x) đồng biến trên nửa khoảng [0; +∞), nên h’(x) ≥ h’(0) = 0 với mọi x ∈ [0; +∞). Do đó hàm h(x) đồng biến trên nửa khoảng [0; +∞). 2 3 x x a. f(x) = x - sinx b. g(x) = + cosx - 1, v i x 0 c. h(x) = - x + sinx, v i x 0. 2 6 ≥ ≥ í í 2 x Ta có h'(x) = + cosx - 1 2 [...]... 0; ÷  2 Áp dụng đạo hàm khảo sát tính đồng biến, nghịch biến của hàm số III Bài tập luyện tập (tt) x3 + (m + 1)x 2 + 3x + 2 luôn 3 Tìm các giá trị m để hàm số y = (m - 1) 3 đồng biến 2 4 Tùy theo các giá trị của m, hãy khảo sát sự biến thiên của hàm số y = 4x3 + (m + 3)x2 + mx +1 2 5 Xác định m để hàm số y = 2mx - 2cos x - msinxcosx + 1 cos 2 2x luôn 4 đồng biến 6 Cho hàm số: x 2 − 2mx + 3m2 y=...   2   m 1 − ; − ÷ nghịch biến trên khoảng   4 2 - Với m = 2 hàm số luôn đồng biến trên R Áp dụng đạo hàm khảo sát tính đồng biến, nghịch biến của hàm số III Bài tập luyện tập 1 Khảo sát tính đơn điệu của các hàm số: x 4 − 4x 3 x a y = (x − 3)e b y = x −1 1 c y = 2 x + − 3, víi x > 1 x d y = x3 x−2 2 Chứng minh rằng hàm số: x −1 y = ln x − 2 a đồng biến với mọi x > 1 x +1 sinx  π b y =... , nên g'(x) ≤ 0 ∀ x ∈ [0; 6 ) Suy ra hàm số g(x) nghịch biến trên nửa khoảng [0 ; 6) ⇒ g(x) ≤ g(0) = 0 Theo (*) suy ra f’(x) < 0 với mọi x ∈ (0; 6 ) , tức là f(x) là hàm nghịch biến trên khoảng (0; 6 ) ) Áp dụng đạo hàm khảo sát tính đồng biến, nghịch biến của hàm số Các ví dụ (tt) - Ví dụ 7 2 Chứng minh rằng hàm số f(x) = x + x − x + 1 luôn đồng biến Giải Hàm số xác định với những giá trị của x thỏa... để hàm số 3 2 2 biến Giải Hàm số xác định trên R 1 sin2a là hàm số bậc hai, nên f’(x) triệt 2 tiêu tại không quá hai giá trị của x Suy ra hàm số f(x) luôn đồng biến khi và Ta có f'(x) = x 2 - (sina + cosa)x + chỉ khi: f'(x) ≥ 0 ∀x ∈ R ⇔ ∆ ≤ 0 ⇔ (sina + cosa)2 - 2sin2a ≤ 0 π ⇔ (sina - cosa)2 ≤ 0 ⇔ sina = cosa ⇔ a = + kπ , k ∈ Z 4 π Vậy để hàm số luôn đồng biến thì a = + kπ , k ∈ Z 4 Áp dụng đạo hàm khảo. .. dụng đạo hàm khảo sát tính đồng biến, nghịch biến của hàm số Các ví dụ (tt) - Ví dụ 9 Tùy theo các giá trị của m, hãy khảo sát sự biến thiên của hàm số: 8 3 f(x) = x + (m + 2)x 2 + mx + 1 3 Giải Tập xác định của hàm số là R Ta có f’(x) = 8x2 + 2(m + 2)x + m là tam thức bậc hai có: ∆’ = (m + 2)2 – 8m = (m – 2)2 Trường hợp 1: ∆’ = 0 ⇔ m = 2, khi đó f’(x) = 2(2x + 1)2 ≥ 0 ∀ x nên hàm số luôn đồng biến... x + 1 ≥ x  Do đó tập xác định của hàm số là R 2x -1 1+ 2 x 2 − x + 1 + 2x − 1 2 x2 − x + 1 = Ta có: f'(x) = 2 x + x 2 − x + 1 4 x 2 − x + 1 x + x 2 − x + 1 = (2x − 1)2 + 3 + 2x − 1 4 x − x + 1 x + x − x + 1 2 2 Vậy hàm số luôn đồng biến trên R > | 2x − 1| +2x − 1 4 x − x + 1 x + x − x + 1 2 2 ≥ 0 ∀x ∈ R Áp dụng đạo hàm khảo sát tính đồng biến, nghịch biến của hàm số Các ví dụ (tt) - Ví dụ 8 x3 1 x... Áp dụng đạo hàm khảo sát tính đồng biến, nghịch biến của hàm số Các ví dụ (tt) - Ví dụ 9 (tt) Trường hợp 2: ∆’ > 0 ⇔ m ≠ 2, thì f’(x) = 0 1  x =3 2  2 ⇒ f  - 1  = 14 - 3m , f  -m  = m - 6m + 48 ⇔   2÷  ÷ 12 48    4   x =- m   4 1 m - . hàm khảo sát tính đồng biến, nghịch biến của hàm số Các ví dụ (tt) - Ví dụ 8 Xác định a để hàm số luôn đồng biến. Giải Hàm số xác định trên R. là hàm số. dụng đạo hàm khảo sát tính đồng biến, nghịch biến của hàm số III. Bài tập luyện tập. 1. Khảo sát tính đơn điệu của các hàm số: 2. Chứng minh rằng hàm số: a.