Bộ giáo dục đo tạo Trờng đại học s phạm h nội cộng ho xã hội chủ nghĩa việt nam Độc Lập -Tự Do -Hạnh Phúc Đề thức THI TUYN SINH VO TRNG TRUNG HC PH THễNG CHUYấN NM 2017 Mụn thi: Toỏn ( Dựng riờng cho hc sinh chuyờn Toỏn v chuyờn Tin) Thi gian : 150 phỳt Cõu (1.5 im) Cho cỏc s dng a,b,c,d Chng minh rng s 1 1 1 1 ;b ;c ;d Cú ớt nht mt s khụng nh hn b c c d d a a b Cõu (1.5 im)Gii phng trỡnh : a2 x x x x x x x 2017 2 2 Cõu (3.0 im) 1.Tỡm tt c cỏc s nguyờn dng a,b,c,d tha a b3 ;c3 d ; a d 98 1 2.Tỡm tt c cỏc s thc x cho s x 2; x 2; x ; x cú ỳng x x mt s khụng phi l s nguyờn Cõu (3im) Cho ng trũn (O) bỏn kớnh R v mt im M nm ngoi (O) K hai tip tuyn MA, MB ti ng trũn (O) ( A, B l hai tip im) Trờn on thng AB ly im C (C khỏc A, C khỏc B) Gi I; K l trung im MA, MC ng thng KA ct ng trũn (O) ti im th hai D Chng minh KO KM R 2.Chng minh t giỏc BCDM l t giỏc ni tip 3.Gi E l giao im th hai ca ng thng MD vi ng trũn (O) v N l trung im KE ng thng KE ct ng trũn (O) ti im th hai F Chng minh rng bn im I, A, N, F cựng nm trờn mt ng trũn Cõu (1.0 im) A Xột hỡnh bờn : Ta vit cỏc s 1, 2,3,4, vo v trớ ca im hỡnh v bờn cho mi s ch xut hin ỳng mt ln v tng ba s trờn mt cnh ca tam giỏc bng 18 Hai cỏch vit c gi l nh nu b s vit cỏc im (A;B;C;D;E;F;G;H;K) ca mi cỏch l trựng Hi cú bao nhiờu cỏch vit phõn bit ? Ti sao? F G H E K B D Ht H v tờn thớ sinh:..S bỏo danh: Cỏn b coi thi khụng gii thớch gỡ thờm C Vũng Cõu (1.5 im) Gi s c bn s u nh hn thỡ 1 1 1 1 P a b2 c2 d b c c d d a a b Mt khỏc 1 1 1 1 1 1 P a b2 c2 d a b2 c2 d b c c d d a a b a b c d 1 Do a b c d a b c d ; a b c d abcd a b c d P a b c d 16 16 16 16 33 12 abcd abcd abcd abcd 4 Trỏi iu gi s suy cú ớt nht mt s khụng nh hn 2 Cõu (1.5 im)Gii phng trỡnh x x x x x x x 2017 2 2 KX x R x x x x x x x 2017 2 2 x x3 x x x x x x x x3 x 2017 x 2x x x 2017 x x x x 2017 x 2016 Cõu (3.0 im) 1.Tỡm tt c cỏc s nguyờn dng a,b,c,d tha a b3 ;c3 d ; a d 98 1 2.Tỡm tt c cỏc s thc x cho s x 2; x 2; x ; x cú ỳng x x mt s khụng phi l s nguyờn Hng dn 1.Gi s a p1x1 p2x2 p3x3 pnxn ú p1; p2 ; , pn l cỏc s nguyờn t x1; x2 ; ; xn N Tng t d q1y q 2y q 3y q ny ú q1; q2 ; ,q n l cỏc s nguyờn t y1; y ; ; y n N Ta cú a,d >1 Vỡ n a p12 x1 p22 x2 p32 x3 pn2 xn b3 x1 , x2 , x3 , , x3 x1 , x2 , x3 , , x3 a x , x Z Chng minh tng t d y ,( y Z ) t gi thit a d 98 x y 98 x y x xy y 98 vi a d x y x y x xy y x xy y x y x xy y x y x y x y yZ xZ 2 2 x xy y 98 y y 97 y y y y 98 Hoc y x y x y x y x 2 2 y y y y y 49 x xy y 49 y y 15 x x 5; y Vy a 53 125; d 33 27; b 25; c 81 x 1 nguyờn ta cú x x x Z x Q suy x 2; x 2 x x x 1 u khụng l s hu t vy mt hai s x ; x khụng l s nguyờn ú x x 2 x 2; x 2 Z x x 2 Z 2.Nu x ; x t x a,( a Z ) x 2 a 2 a 2 a Z 2 a Z a a Th li ỳng vy x Cõu (3im) A E I D M H L K Q N F P O C B a) Ta cú IM = IA v KM = KC IK l ng trung bỡnh AMC IK / / AC AC = AB ( tip tuyn ct ti M) v OA = OB = R OM l trung trc ca AB OM AB IK OM Gi IK ct OM ti H p dng nh lý py ta go ta cú cho cỏc tam giỏc vuụng MHI ; KHO; MHK , OHI ta cú MI MH HI ;KO KH HO ; MK MH HK ;O I KH HO suy MI KO MK IO KO KM IO MI IO IA2 OA2 R ( vỡ IM = IA) Vy : KO KM R b) Ni KO ct ng trũn ti Q, P.Ta cú KM = KC Suyra KO KM R KO KC R KC KO OP ( KO OP )( KO OP ) KQ.KP Ta li cú KQ.KP = KAC DBM KD.KA KC KD.KA CKD AKD (c g , c ) DCK Vy t giỏc MDCB ni tip MAK EMK vỡ MKD AKM ( c g.c ) c) Gi L l trung im ca KD ta cú AEM AE//KM Mt khỏc ta cú KF KE KD.KA KF KN KL.KA ANFL ni tip LNF MEK FMK (vỡ KF KE KD KA KC KM ) hay Suy LAF KMF tugiacMKFA ni tip AFN AMK AIN I , A, N F cựng thuc mt KAF ng trũn Cõu (1.0 im) A F G H E K B D C Ta thy cú s la v dóy 1,2,3,4, ,9 tng s vi bng 18 ta thy ti im A ( tng t B,C) khụng th in s vỡ nu trỏi li thỡ B,F phi in cp 8,9 ;ti C,E in cp 8,9 iu ny vụ lớ Tng t ti D,E,F cng khụng th in s vy s c in ti H, G,K Xột trng hp s c in ti G ( tng t ti H,K) ú E in s ,F in s ( hoc ngc li).Gi s ti A in a;C in c, D in d, K in k ,ti H in k+1, ti B in c +1 ú a,d;c; c+1,k,k+1 phõn bit thuc 2,3, 4,5,6,7 Khi ú a c d k d 3;5;7 thu d 7(thoa man) d 2c 17 Vy a=4;c=5;k=2 cú 3.2=6 (cỏch) ... x x 2017 2 2 ĐKXĐ x R x x x 1 x x 1 x x 2017 2 2 x x3 x x x x x x x x3 x 2017 x 2x 2 x x 1 2017 x x... ) DCK Vậy tứ giác MDCB nội tiếp MAK EMK MKD ∽ AKM ( c g.c ) c) Gọi L trung điểm KD ta có AEM AE//KM Mặt khác ta có KF KE KD.KA KF KN KL.KA ANFL nội tiếp LNF MEK... x3 x1 , x2 , x3 , , x3 a x , x Z Chứng minh tương tự d y ,( y Z ) từ giả thi t a d 98 x y 98 x y x xy y 98 vi a d x y x y x