Table of Laplace and Z-transforms X(s) x(t) – – – – s s+a x(kT) or x(k) 1(t) 1(k) e-at e-akT s2 t kT s3 t2 (kT)2 s4 t3 (kT)3 a s (s + a ) – e-at – e-akT b−a (s + a )(s + b ) e-at – e-bt e-akT – e-bkT te-at kTe-akT (1 – at)e-at (1 – akT)e-akT t2e-at (kT)2e-akT 10 11 12 (s + a ) (s + a )2 Tz −1 (1 − z ) T z (1 + z ) (1 − z ) T z (1 + z + z ) (1 − z ) (1 − e )z (1 − z )(1 − e z ) (e − e )z (1 − e z )(1 − e z ) −1 −1 (s + a ) −1 −1 akT – + e-akT 14 ω s +ω sin ωt sin ωkT 15 s s +ω cos ωt cos ωkT e-at sin ωt e-akT sin ωkT e-at cos ωt e-akT cos ωkT 2 ω s+a 17 (s + a ) 18 – – ak 19 – – ak-1 k = 1, 2, 3, … 20 – – kak-1 21 – – k2ak-1 22 – – k3ak-1 − aT −1 – – k4ak-1 24 – – ak cos kπ x(t) = for t < x(kT) = x(k) = for k < Unless otherwise noted, k = 0, 1, 2, 3, … −1 − bT −1 −1 −bT Te − aT z −1 (1 − e − aT z −1 −1 ) − (1 + aT )e − aT z −1 (1 − e z ) T e (1 + e z )z (1 − e z ) [(aT − + e )+ (1 − e − aTe )z ]z (1 − z ) (1 − e z ) −1 − aT − aT − aT −1 −1 −1 − aT − aT −1 − aT − aT −1 −1 z −1 sin ωT − z −1 cos ωT + z − − z −1 cos ωT − z −1 cos ωT + z − e − aT z −1 sin ωT − 2e − aT z −1 cos ωT + e − aT z − − e − aT z −1 cos ωT − 2e z −1 cos ωT + e − aT z − 1 − az −1 z −1 − az −1 − aT z −1 (1 − az ) z (1 + az ) (1 − az ) −1 −1 23 −2 − aT − aT at – + e-at +ω −1 −1 − aT a2 s (s + a ) +ω −1 −1 2 1 − z −1 1 − e − aT z −1 − aT s (s + a ) z-k 2 13 16 X(z) Kronecker delta δ0(k) k=0 k≠0 δ0(n-k) n=k n≠k −1 −1 ( z −1 + 4az −1 + a z −2 (1 − az ) ) −1 ( z −1 + 11az −1 + 11a z −2 + a z −3 (1 − az ) −1 1 + az −1 ) −1 Definition of the Z-transform Z{x(k)} = X ( z ) = ∞ ∑ x(k ) z − k k =0 Important properties and theorems of the Z-transform x(t) or x(k) Z{x(t)} or Z {x(k)} ax(t ) aX (z ) ax1( t ) + bx2 ( t ) aX ( z ) + bX ( z ) x( t + T ) or x( k + ) zX ( z ) − zx( ) x( t + 2T ) z X ( z ) − z x( ) − zx( T ) x( k + ) z X ( z ) − z x( ) − zx( ) x( t + kT ) z k X ( z ) − z k x( ) − z k −1 x( T ) − K − zx( kT − T ) x( t − kT ) z −k X ( z ) x( n + k ) z k X ( z ) − z k x( ) − z k −1 x( ) − K − zx( k1 − ) x( n − k ) z −k X ( z ) 10 tx( t ) − Tz d X( z ) dz 11 kx( k ) −z d X( z ) dz 12 e − at x( t ) X ( zeaT ) 13 e − ak x( k ) X ( ze a ) 14 a k x( k ) ⎛z⎞ X⎜ ⎟ ⎝a⎠ 15 ka k x( k ) 16 x( ) 17 x( ∞ ) lim − z −1 X ( z ) if − z −1 X ( z ) is analytic on and outside the unit circle 18 ∇x( k ) = x( k ) − x( k − ) (1 − z )X ( z ) 19 ∆x( k ) = x( k + ) − x( k ) (z − 1)X ( z ) − zx( ) 20 ∑ x( k ) X( z ) − z −1 21 ∂ x( t , a ) ∂a ∂ X ( z,a ) ∂a 22 k m x( k ) d ⎞ ⎛ ⎜− z ⎟ X( z ) dz ⎠ ⎝ 23 ∑ x( kT ) y( nT − kT ) X ( z )Y ( z ) n k =0 −z d ⎛z⎞ X⎜ ⎟ dz ⎝ a ⎠ lim X ( z ) if the limit exists z →∞ [( z →1 ) ] ( ) −1 m n k =0 ∞ 24 ∑ x( k ) k =0 X (1) ... + bX ( z ) x( t + T ) or x( k + ) zX ( z ) − zx( ) x( t + 2T ) z X ( z ) − z x( ) − zx( T ) x( k + ) z X ( z ) − z x( ) − zx( ) x( t + kT ) z k X ( z ) − z k x( ) − z k −1 x( T ) − K − zx( kT... − kT ) z −k X ( z ) x( n + k ) z k X ( z ) − z k x( ) − z k −1 x( ) − K − zx( k1 − ) x( n − k ) z −k X ( z ) 10 tx( t ) − Tz d X( z ) dz 11 kx( k ) z d X( z ) dz 12 e − at x( t ) X ( zeaT )... ) (z − 1)X ( z ) − zx( ) 20 ∑ x( k ) X( z ) − z −1 21 ∂ x( t , a ) ∂a ∂ X ( z, a ) ∂a 22 k m x( k ) d ⎞ ⎛ ⎜− z ⎟ X( z ) dz ⎠ ⎝ 23 ∑ x( kT ) y( nT − kT ) X ( z )Y ( z ) n k =0 z d z X⎜ ⎟ dz ⎝