Nghiên cứu lý thuyết wavelet và ứng dụng trong công nghệ xử lý ảnh kỹ thuật số

Lời mở đầu Cuộc sống phát triển nhu cầu thông tin người phong phú, dẫn đến phát triển mạnh mẽ khoa học kỹ thuật, loại hình thông tin vô tuyến, hình thức xử lý tín hiệu, đặc biệt công nghệ xử lý ảnh Vấn đề đặt yêu cầu ngày cao việc xử lý tín hiệu để đảm bảo vừa nén liệu, tiết kiệm dung lượng đường truyền tín hiệu, vừa đảm bảo loại trừ nhiễu tín hiệu có khả khôi phục lại tín hiệu với chất lượng tốt Có nhiều phương pháp xử lý tín hiệu với nhiều thuật toán, biến đổi toán học nghiên cứu Trong số đó, biến đổi Wavelet xem phép biến đổi mới, có nhiều tiềm năng, phát triển mạnh mẽ với ưu điểm vượt trội so với phép biến đổi truyền thống Wavelet cho phép phân tích tín hiệu miền thời gian tần số Do đó, biến đổi Wavelet ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực, từ y sinh tới công nghệ xử lý ảnh Trong khuôn khổ luận văn này, em xin phép giới thiệu nghiên cứu vấn đề phép biến đổi Wavelet ứng dụng biến đổi việc xử lý ảnh kỹ thuật số Trong trình thực luận văn không tránh khỏi thiếu sót, em mong nhận nhiều ý kiến đóng góp thầy cô giáo, anh chị bạn để luận văn hoàn thiện Qua lời mở đầu, em xin gửi lời trân trọng cảm ơn PGS.TS Nguyễn Hữu Trung TS Nguyễn Thuý Anh tận tình giúp đỡ, hướng dẫn tạo điều kiện cho em hoàn thành tốt luận văn Em xin chân thành cảm ơn! Mục lục Lời mở đầu Mục lục Danh sách hình vẽ Danh sách bảng Chương 1:Giới thiệu Giới thiệu chung 1.1 Các công cụ phân tích thời gian-tần số 10 1.2 Độ phân giải thời gian tần số 10 Tổ chức luận văn 12 Chương 2:Lý thuyết Wavelet 14 2.1 Giới thiệu chung Wavelet 14 2.2 Biến đổi Fourier biến đổi Wavelet 18 2.2.1 Biến đổi Fourier 18 2.2.2 Khái niệm biến đổi Wavelet 21 2.2.3 Sự giống biến đổi Wavelet biến đổi Fourier 22 2.2.4 Sự khác biệt biến đổi Wavelet biến đổi Fourier 23 2.3 Biến đổi Wavelet liên tục 25 2.3.1 Định nghĩa 25 2.3.2 Đặc điểm CWT 26 2.3.2.1 Tính tuyến tính 28 2.3.2.2 Tính dịch (translation) 28 2.3.2.3 Tính tỷ lệ (scaling) 29 2.3.2.4 Tính bảo toàn lượng 29 2.3.2.5 Tính định vị (localization) 29 2.3.2.6 Ví dụ Wavelet Morlet 29 2.4 Biến đổi Wavelet rời rạc (Discrete wavelet transform) 30 2.4.1 Định nghĩa DWT 31 2.4.2 Tính chất biến đổi DWT 32 2.4.3 Ví dụ Wavelet Haar 33 2.5 Biến đổi Wavelet rời rạc băng lọc (filter bank) 34 2.5.1 Phân tích đa phân giải (Multiresolution Analysis) 34 2.5.2 Phân tích đa phân giải sử dụng băng lọc 37 2.5.3 Biểu diễn ma trận DWT 42 2.5.4 Phân loại Wavelet 45 2.5.4.1 Đặc điểm băng lọc Wavelet trực giao (orthogonal wavelet filter banks) 46 2.5.4.2 Đặc điểm băng lọc Wavelet song trực giao (biorthogonal wavelet filter banks) 46 2.6 Phân tích gói Wavelet 47 2.6.1 Nguyên tử gói (Wavelet Packets Atoms) 48 2.6.2 Phân tích đa phân giải gói Wavelet 49 2.7 Các họ Wavelet 50 2.7 Ứng dụng Wavelet 53 2.7.1 Giới thiệu ứng dụng Wavelet 53 2.7.2 Wavelet ứng dụng y sinh 54 Chương 3: Ứng dụng Wavelet công nghệ xử lý ảnh kỹ thuật số 58 3.1 Giới thiệu xử lý ảnh 58 3.2 Biến đổi Wavelet xử lý nén ảnh 60 3.3 Việc nén ảnh 65 3.4 Việc truyền hình ảnh tăng cấp chi tiết 68 Chương 4:Mô kết luận 70 4.1 Giới thiệu chương trình mô 70 4.1.1 Giới thiệu chung 70 4.1.2 Mô theo thuật toán đề xuất 70 4.2 Nhận xét kết mô thu 77 4.3 Kết luận đề xuất hướng nghiên cứu 77 4.3.1 Những kết luận luận văn 77 4.3.2 Hướng nghiên cứu 78 Các thuật ngữ viết tắt 80 Tài liệu tham khảo 82  Danh mục hình vẽ Danh sách hình vẽ Hình 2.1: Cửa sổ Fourier hẹp, rộng độ phân giải mặt phẳng tần số-thời gian 19  Hình 2.2: Độ phân giải mặt phẳng thời gian - tần số Trục hoành biểu diễn thời gian, trục tung biểu diễn tần số 20  Hình 2.3: Biểu diễn CWT theo biểu thức (2.6) 22  Hình 2.4: Các hàm Fourier sở, ô ngói thời gian - tần số hội tụ mặt phẳng thời gian - tần số 24  Hình 2.5: Các hàm sở Wavelet Daubechies, ô ngói thời gian - tần số, hội tụ mặt phẳng thời gian - tần số 24  Hình 2.6: Biểu diễn Wavelet Morlet 30  Hình 2.7: Wavelet Haar 34  Hình 2.8: Không gian không gian đa phân giải Không gian L2 biểu diễn toàn không gian V j biểu diễn không gian con, Wj biểu diễn chi tiết 35  Hình 2.9: Thuật toán hình chóp hay thuật toán mã hoá băng con: (a) Quá trình phân tích (b) Quá trình tổng hợp 38  Hình 2.10: Phân tích wavelet sử dụng ký hiệu toán tử 41  Hình 2.11: Băng lọc hai kênh 42  Hình 2.12: Phân tích gói wavelet sử dụng ký hiệu toán tử 47  Hình 2.13: So sánh biểu diễn mặt phẳng thời gian - tần số Wavelet gói Wavelet 48  Hình 2.14: Các nguyên tử gói Wavelet sinh từ Wavelet Daubechies 49  Hình 2.15: Các họ Wavelet (a) Haar (b) Daubechies4 (c) Coiflet1 (d) Symlet2 (e) Meyer (f) Morlet (g) Mexican Hat 51  Hình 2.16: Ứng dụng xử lý tín hiệu sử dụng biến đổi Wavelet 54  Hình 3.1 Mức độ tăng dần chi tiết ảnh 59  Hình 3.2: Rosa Parks (1955) Nelson Mandela (1990) 61  Danh mục hình vẽ Hình 3.3 Rosa Parks – Trích dẫn vùng ảnh nhỏ để nghiên cứu 62  Hình 3.4 Việc nén ảnh với mức ngưỡng khác 67  Hình 3.5 Bức ảnh sau nén 68  Hình 3.6 Quá trình truyền ảnh Nelson Mandela 69  Hình 4.1 Ảnh gốc ban đầu 71  Hình 4.2 Kích thước ảnh tương ứng số bước lặp cần thực 71  Hình 4.3 Kết sau biến đổi Wavelet 74  Hình 4.4 Ảnh sau lấy ngưỡng 75  Hình 4.5 Kết ảnh sau khôi phục lại 76  Hình 4.6 Tỉ số nén ảnh ngưỡng tương ứng 76  Danh sách bảng Danh sách bảng Bảng 2.1: Tổng kết tính chất số Wavelet 53  Bảng 3.1: Kết bước biến đổi Wavelet tương ứng 63  Bảng 4.1 Tỉ số nén tương ứng với mức ngưỡng 77  Chương Giới thiệu Chương 1: Giới thiệu Giới thiệu chung Cuộc sống phát triển nhu cầu thông tin người phong phú, dẫn đến phát triển mạnh mẽ khoa học kỹ thuật, loại hình thông tin vô tuyến, hình thức xử lý tín hiệu, đặc biệt công nghệ xử lý ảnh Vấn đề đặt yêu cầu ngày cao việc xử lý tín hiệu để đảm bảo vừa nén liệu, tiết kiệm dung lượng đường truyền tín hiệu, vừa đảm bảo loại trừ nhiễu tín hiệu có khả khôi phục lại tín hiệu với chất lượng tốt Có nhiều phương pháp xử lý tín hiệu với nhiều thuật toán, biến đổi toán học nghiên cứu Trong số đó, biến đổi Wavelet xem phép biến đổi mới, có nhiều tiềm năng, phát triển mạnh mẽ với ưu điểm vượt trội so với phép biến đổi truyền thống Wavelet cho phép phân tích tín hiệu miền thời gian tần số Do đó, biến đổi Wavelet ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực, từ y sinh tới công nghệ xử lý ảnh Biến đổi Wavelet bắt đầu phát triển mạnh mẽ từ giai đoạn khoảng năm 1990 trở lại Tuy nhiên, nguồn gốc lý thuyết Wavelet đại bắt nguồn từ cuối năm 1970 1980 Ban đầu J Morlet đặt vấn đề biến đổi Fourier nhanh STFT (Short Time Fourier Transform), tăng cường độ phân giải thời gian cho thành phần tần số cao thời gian ngắn tăng độ phân giải tần số cho thành phần tần số thấp [3] Tuy nhiên với biến đổi STFT, độ phân giải thời gian độ phân giải tần số bị giới hạn nguyên lý bất định Heisenberg, độ phân giải tần số đạt tốt phải hy sinh độ Chương Giới thiệu phân giải thời gian ngược lại muốn có độ phân giải thời gian tốt độ phân giải tần số Để giải vấn đề này, J.Morlet đưa ý tưởng hàm biến đổi: xây dựng hàm cửa sổ sóng cosin áp cửa sổ lên trục thời gian để thu hàm tần số cao hơn, hay trải hàm để thu hàm tần số thấp Để theo dõi toàn thay đổi tín hiệu theo thời gian, hàm dịch theo thời gian Phân tích Wavelet dựa ý tưởng tuyệt vời: tín hiệu khai triển tập hợp hàm giãn hay nén (hàm Wavelet mẹ _mother Wavelet) [4] ⎛t −b⎞ ⎟ ⎝ a ⎠ ψ⎜ (1.1) Trong a tỷ lệ (scale), yếu tố quan trọng cho phép thay đổi độ phân giải thời gian độ phân giải tần số phân tích tín hiệu Quy trình phân tích wavelet chọn hàm Wavelet nguyên mẫu, gọi Wavelet phân tích (analyzing Wavelet) hay Wavelet mẹ (mother Wavelet) Phân tích thời gian thực với dạng (version) co lại, tần số cao Wavelet mẹ, phân tích tần số thực với dạng giãn ra, tần số thấp Wavelet mẹ Hiện biến đổi Wavelet vấn đề nhiều nhà toán học kỹ thuật giới quan tâm nghiên cứu Biến đổi Wavelet ngày chứng tỏ khả ứng dụng hiệu nhiều lĩnh vực khác thiên văn học, âm học, kỹ thuật hạt nhân, mã hoá băng con, xử lý tín hiệu xử lý ảnh, bệnh học thần kinh, âm nhạc, ảnh cộng hưởng từ (magnetic resonance imaging), quang học, dự báo động đất, radar, ứng dụng tuý toán học giải phương trình vi phân phần (partial differential equation) Lý thuyết Wavelet ứng dụng rộng rãi kỹ thuật y sinh kể từ nghiên cứu Wavelet công bố thức vào cuối năm 1980 Tạp chí Wavelet kỹ thuật y sinh phát hành vào tháng ba năm 1995, công bố nghiên cứu tín hiệu EMG, EEG, ECG,…cho thấy ưu ứng dụng Wavelet Chương Giới thiệu lĩnh vực mà công cụ phân tích truyền thống áp dụng tốt Nhờ kỹ thuật mà độ xác, độ tin cậy hệ chẩn đoán ứng dụng trí tuệ nhân tạo ngày nâng cao 1.1 Các công cụ phân tích thời gian-tần số Phân tích thời gian-tần số truyền thống thực nhờ biến đổi Fourier Các phương pháp phân tích thời gian-tần số phổ biến biến đổi STFT biến đổi Wavelet Biến đổi STFT khắc phục hạn chế biến đổi Fourier Tín hiệu ƒ(t) ban đầu nhân với hàm cửa sổ w(t − τ ) , sau thực biến đổi Fourier truyền thống Một đặc điểm quan trọng biến đổi STFT độ rộng cửa sổ: cửa sổ hẹp độ phân giải thời gian tốt thừa nhận tính dừng tín hiệu hợp lý, độ phân giải tần số ngược lại Một ví dụ điển hình hàm cửa sổ Gaussian đưa Gabor 1946 [7] Biến đổi Wavelet liên tục sử dụng dịch (shift) tỷ lệ (scale) (giãn hay co vào) hàm nguyên mẫu ψ (t ) Biến đổi Wavelet phân tích tín hiệu thành tần số khác với độ phân giải khác Biến đổi Wavelet xây dựng để đưa độ phân giải thời gian tốt độ phân giải tần số tần số cao; độ phân giải tần số tốt độ phân giải thời gian tần số thấp 1.2 Độ phân giải thời gian tần số Trong ứng dụng xử lý tín hiệu nào, độ phân giải thời gian-tần số vấn đề quan trọng cần quan tâm Các phương pháp miền tín hiệu yêu cầu mức định vị cao 10 Chương Ứng dụng Wavelet công nghệ xử lý ảnh kỹ thuật số Bây xem xét cách thực tế hơn, ma trận ảnh lớn hơn, ví dụ ảnh hình 3.2a Lấy ngưỡng ε=200 Người ta xử lý ma trận 128x128, liên quan đến khoanh dòng lấy trung bình vi phân, tiếp khoanh cột lấy trung bình vi phân; sau đặt giá trị cho phần tử nhỏ ngưỡng ε=200 Cuối cùng, áp dụng biến đổi wavelet ngược để thu ảnh sau nén có chất lượng (hình 3.5a) so với ảnh có tỉ lệ nén 10:1 Hình 3.5 Bức ảnh sau nén 3.4 Việc truyền hình ảnh tăng cấp chi tiết Trong trường hợp thu nhận ảnh thời gian thực, ví dụ ảnh truy nhập từ World Wide Web, kỹ thuật nén ảnh nói đến cho phép dạng truyền ảnh tăng cấp chi tiết (progressive image transmission): Khi ảnh P yêu cầu, phiên ma trận T mã hóa wavelet lấy từ lưu trữ bit 68 Chương Ứng dụng Wavelet công nghệ xử lý ảnh kỹ thuật số thông tin gửi đường truyền, bắt đầu với giá trị trung bình tổng quan hệ số chi tiết lớn hơn, sau tới hệ số chi tiết nhỏ Khi thông tin người dùng thu nhận, sử dụng để hiển thị ảnh tái tạo P, bắt đầu với xấp xỉ thô ảnh; sau nhanh chóng cập nhật, lọc trông ngày nhận diện tốt hệ số wavelet sử dụng nhiều Cuối cùng, tất chi tiết ảnh truyền tới đích ảnh P hiển thị đầy đủ ảnh gốc Nếu người dùng hứng thú chờ lâu, họ dừng trình tải ảnh Ví dụ, hình 3.6 ảnh Nelson Mandela truyền qua Internet Quá trình nhận ảnh, tỉ lệ nén từ 200:1 đến 100:1, 50:1, 25:1,10:1 2:1 Hình 3.6 Quá trình truyền ảnh Nelson Mandela 69 Chương Mô kết luận Chương 4: Mô kết luận 4.1 Giới thiệu chương trình mô 4.1.1 Giới thiệu chung Chương trình mô ứng dụng Wavelet công nghệ xử lý ảnh kỹ thuật số viết ngôn ngữ Matlab 7.5 Trên sở lý thuyết trình bày chương trước, phương pháp biến đổi Wavelet lựa chọn để sử dụng cho việc xử lý ảnh kỹ thuật số Trong phần mô phỏng, em thực theo thuật toán biến đổi Wavelet sử dụng hàm Haar đề xuất Trong trình mô phỏng, thực với mức ngưỡng khác để đưa tổng quan so sánh tỉ lệ nén ảnh đạt ứng với giá trị ngưỡng 4.1.2 Mô theo thuật toán đề xuất Trước hết, đầu vào sử dụng ảnh Lêna với kích thước 512x512 pixcel 70 Chương Mô kết luận Hình 4.1 Ảnh gốc ban đầu Sau đọc ảnh hàm imread lấy kích thước hàm size, ta tính số bước lặp cần thực (giá trị k) ảnh đầu vào Hình 4.2 Kích thước ảnh tương ứng số bước lặp cần thực 71 Chương Mô kết luận Bước tiếp theo, trình tính toán bước biến đổi Wavelet theo hàm Haar trình bày chương trước mô tương ứng với việc nhân ma trận ảnh với ma trận trọng số Trong đó, ma trận trọng số tính tích ma trận ma trận tương ứng bước nhỏ W=A1 * A * A Dòng kết bảng 3.1 ứng với ma trận thứ nhất: ⎛1/2 ⎜ ⎜1/2 ⎜ 1/2 ⎜ 1/2 ⎜ A1 = ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎜⎜ ⎝0 0 1/2 0 -1/2 0 0 1/2 0 -1/2 1/2 0 1/2 0 0 1/2 0 1/2 0 0 ⎞ ⎟ 0⎟ 0⎟ ⎟ 0⎟ 1/2 ⎟ ⎟ -1/2 ⎟ 1/2 ⎟ ⎟⎟ -1/2 ⎠ Dòng kết thứ bảng 3.1 ứng với ma trận thứ 2: 72 Chương Mô kết luận ⎛1/2 1/2 0 ⎜ ⎜1/2 -1/2 0 ⎜ 1/2 1/2 ⎜ 1/2 -1/2 ⎜ A2 = ⎜0 0 ⎜ ⎜0 0 0 ⎜0 0 0 ⎜⎜ ⎝0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0⎞ ⎟ 0⎟ 0⎟ ⎟ 0⎟ 0⎟ ⎟ 0⎟ 0⎟ ⎟⎟ 1⎠ Dòng kết thứ bảng 3.1 ứng với ma trận thứ 3: ⎛ /2 ⎜ ⎜ /2 ⎜0 ⎜ A3 = ⎜ ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎜⎜ ⎝0 /2 -1 /2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0⎞ ⎟ 0⎟ 0⎟ ⎟ 0⎟ 0⎟ ⎟ 0⎟ 0⎟ ⎟⎟ 1⎠ Đối với ảnh đầu vào có kích thước lớn ma trận trọng số có cách xếp tương tự với kích thước lớn 73 Chương Mô kết luận Biến đổi ảnh sử dụng hàm Wavelet Haar biểu diễn tương ứng với việc nhân ma trận T = W '* P *W Hình 4.3 Kết sau biến đổi Wavelet Sau đó, ảnh lọc theo ngưỡng để loại bỏ hệ số nhỏ (gán giá trị cho hệ số có giá trị tuyệt đối nhỏ giá trị tham số “Ngưỡng”, tức điểm ảnh tương ứng có màu đen): 74 Chương Mô kết luận Hình 4.4 Ảnh sau lấy ngưỡng Cuối cùng, ảnh sau biến đổi Wavelet lấy ngưỡng khôi phục lại nhờ biến đổi Wavelet ngược R = (W −1 ) '* D *W −1 Cụ thể sau: 75 Chương Mô kết luận Hình 4.5 Kết ảnh sau khôi phục lại Tỉ số nén ảnh gốc ảnh sau khôi phục tính tỉ số tổng hệ số khác ảnh gốc (P) ảnh sau khôi phục (R) Hình 4.6 Tỉ số nén ảnh ngưỡng tương ứng 76 Chương Mô kết luận Thực lặp lại bước chọn mức ngưỡng khác thu tỉ số nén khác Kết sau: Mức ngưỡng Tỉ số nén 2.7 5.6 9.3 13,9 19,7 Bảng 4.1 Tỉ số nén tương ứng với mức ngưỡng 4.2 Nhận xét kết mô thu 4.3 Theo kết thu được, yêu cầu toán mô đặt ban đầu giải thành công Ảnh sau biến đổi Wavelet Haar lấy ảnh với góc bên trái ảnh trung bình, chi tiết ảnh kèm theo (chi tiết hình 4.3) Mặt khác, theo thống kê bảng 4.1 sau thực mô nhiều lần với mức ngưỡng khác nhau, kết luận mức ngưỡng cao thu ảnh có hệ số nén ảnh tương ứng lớn, nhiên, độ xác, rõ nét ảnh lại giảm Đó hệ số chi tiết giảm 4.3 Kết luận đề xuất hướng nghiên cứu 4.3.1 Những kết luận luận văn Với đề tài luận văn tốt nghiệp: “Nghiên cứu lý thuyết Wavelet ứng dụng công nghệ xử lý ảnh kỹ thuật số”, em đặt thực mục tiêu sau: 77 Chương Mô kết luận • Nghiên cứu Wavelet: Nghiên cứu dạng đặc điểm họ Wavelet khác Việc nghiên cứu kỹ dạng đặc điểm họ Wavelet khác nhau, cho phép chọn lựa Wavelet phù hợp cho ứng dụng cụ thể, ứng dụng lý thuyết Wavelet cách linh hoạt, hiệu xử lý tín hiệu • Ứng dụng xử lý ảnh kỹ thuật số: Thực biến đổi Wavelet Haar ảnh đầu vào, đưa kết ma trận ảnh biến đổi Wavelet Thực biến đổi Wavelet ngược với nhiều mức ngưỡng khác để đưa đánh giá hiệu thuật toán khả nén ảnh, lưu trữ liệu 4.3.2 Hướng nghiên cứu Nghiên cứu ứng dụng biến đổi Wavelet, đặc biệt Wavelet Haar nhiều dạng liệu nhiều lĩnh vực khác nữa, lĩnh vực xử lý ảnh Ví dụ nghiên cứu biến đổi Wavelet tín hiệu điện tim ECG (Electrocardiogram), tín hiệu điện não đồ EEG (Electroencephalogram) điện đồ EMG (Electromyorgram)… Do hạn chế mặt thời gian nên trình hoàn thành luận văn hẳn tránh khỏi thiếu sót mặt thực tế kiến thức, em mong nhận góp ý thầy cô, anh, chị bạn Một lần em xin chân thành cảm ơn thầy giáo PGS.TS Nguyễn Hữu Trung, cô giáo TS Nguyễn Thuý Anh, thầy cô giáo khoa Điện Tử- Viễn Thông trường Đại Học Bách Khoa Hà Nội, hướng dẫn giúp đỡ em trình học tập, 78 Chương Mô kết luận trình hoàn thành luận văn Em xin chân thành cảm ơn giúp đỡ tận tình thầy cô, anh, chị bạn! 79 Các thuật ngữ viết tắt Các thuật ngữ viết tắt AWGN : Additive White Gaussian Noise CMF : Conjugate Mirror Filters CWT : Continuous wavelet transform DCT : Discrete Cosine Transform DFT : Discrete Fourier Transform DWT : Discrete Wavelet Transform ECG : Electrocardiogram EEG : Electroencephalogram EMG : Electromyogram EMI : Electromagnetic interference FFT : Fast Fourier Transform FIR : Finite-Impulse Response FT : Fourier Transform HMT : Hidden Markov Trees ICA : Independent Component Analysis LA : Left Arm LF : Left Foot MMSE : Minimum Mean-Squared Error MR : Magnetic Resonance 80 Các thuật ngữ viết tắt MRA : Multiresolution Analysis NSR : Normal Sinus Rhythm OFDM : Orthogonal Frequency Division Multiplexing RA : Right Arm RF : Radio Frequency SA : Sinoatrial SNR : Signal-to-Noise Ratio STFT : Short Time Fourier Transform SURE : Stein's Unbiased Risk Estimate WaveShrink : Wavelet Shrinkage WPA : Wavelet Packet Analysis WT : Wavelet Transform 81 Tài liệu tham khảo Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Quốc Trung, Xử lý tín hiệu lọc số, Hà Nội 1998 [2] Colm Mulcahy, Ph.D, Image compression using the Haar wavelet transform, 2008 [3] Amara Graps, An Introduction to Wavelets [4] Adhemar Bultheel, Wavelets with applications in signal and image Processin, 2003 [5] I Daubechies, Ten lectures on Wavelets, Application Mathematica, No 61, pp 401-414, 1999 [6] S.Mallat, A Wavelet Tour of Signal Processing, Academic Press, second edition, 1999 [7] G Strang and T Nguyen, Wavelets and filter banks Wellesley, MA: Wellesley-Cambridge, 1996 82 ... thiệu ứng dụng Wavelet 53 2.7.2 Wavelet ứng dụng y sinh 54 Chương 3: Ứng dụng Wavelet công nghệ xử lý ảnh kỹ thuật số 58 3.1 Giới thiệu xử lý ảnh 58 3.2 Biến đổi Wavelet. .. equation) Lý thuyết Wavelet ứng dụng rộng rãi kỹ thuật y sinh kể từ nghiên cứu Wavelet công bố thức vào cuối năm 1980 Tạp chí Wavelet kỹ thuật y sinh phát hành vào tháng ba năm 1995, công bố nghiên cứu. .. thiệu ưu điểm ứng dụng Wavelet Chương 3: Ứng dụng Wavelet công nghệ xử lý ảnh kỹ thuật số Chương ba trình bày kỹ thuật nén ảnh, tách giá trị trung bình ảnh họa tiết ảnh để khôi phục ảnh với chất lượng