Các họ Wavelet - Giới thiệu chung - Nghiên cứu lý- 123docz.net

1. Giới thiệu chung

2.7 Các họ Wavelet

Nếu V0 biểu thị không gian mở rộng bởi W ch0,0 ứa tín hiệu được phân tích thì

{Wd,1,d ≥1} là một cơ sở trực giao của V0. Với mọi số nguyên dương D,

{ }

{WD,0, Wd,1,d ≥1} là một cơ sở trực giao của V0.

Sử dụng phương pháp đệ quy tương tự,{Wn+1,2n,Wj+1,2n+1} là một cơ sở trực giao của không gian được mở rộng bởỉ W . j,n

Điểu đó dẫn đến sự loại bỏ các nhánh nhị phân liên kết của cây gói Wavelet tương ứng với một cơ sở trực giao của không gian ban đầu.

Với tín hiệu có năng lượng xác định, bất kỳ cơ sở gói Wavelet nào cũng sẽđưa ra sự khôi phục chính xác và đưa ra một cách mã hoá tín hiệu riêng sử dụng các thông tin phân bố trong các băng con tỷ lệ tần số.

2.7 Các họ Wavelet

Hiện nay có một số hàm cơ bản có thểđược sử dụng như là Wavelet mẹ cho các biến đổi Wavelet.

Vì Wavelet mẹ sinh ra tất cả các hàm Wavelet được sử dụng trong biến đổi nhờ phép tịnh tiến và lấy tỷ lệ, xác định các đặc điểm của biến đổi Wavelet kết quả.

Do vậy, đặc điểm của từng ứng dụng riêng cần được quan tâm và Wavelet mẹ thích hợp sẽđược chọn để có được biến đổi Wavelet hiệu quả.

Hình 2.15: Các họ Wavelet (a) Haar (b) Daubechies4 (c) Coiflet1 (d) Symlet2 (e) Meyer (f) Morlet (g) Mexican Hat

Hình 2.15 mô tả một số hàm Wavelet được sử dụng phổ biến. Wavelet Haar là một trong những Wavelet đầu tiên và đơn giản nhất. Wavelet Daubechies là Wavelet phổ biến nhất, wavelet Haar là cơ sở cho xử lý tín hiệu Wavelet và được sử dụng trong nhiều ứng dụng. Các Wavelet Haar, Daubechies, Symlets và Coiflets là những Wavelet trực giao. Những Wavelet theo dạng Wavelet Meyer có khả năng khôi phục hoàn hảo. Các Wavelet Meyer, Morlet và Mexican Hat có dạng đối xứng [3].

Lựa chọn Wavelet

Nhưđã đề cập ở trên, có nhiều dạng wavelet khác nhau, mỗi dạng Wavelet này đều có những ưu điểm cũng như hạn chế riêng. Do vậy vấn đề chọn sử dụng Wavelet nào trong

biến đổi là phụ thuộc vào ứng dụng. Lựa chọn sử dụng Wavelet nào dựa trên hình dạng của chúng và khả năng phân tích tính hiệu trong từng ứng dụng cụ thể.

Lựa chọn biến đổi

Dạng phân tích nào nên được sử dụng liên tục hay rời rạc? Câu trả lời là mỗi dạng phân tích đều có những ưu điểm riêng.

• Phân tích liên tục dễ thể hiện hơn, sự dư thừa của phân tích dẫn tới sự tăng cường các đặc điểm tiêu biểu và làm toàn bộ thông tin rõ ràng hơn. Phân tích liên tục đặc biệt phù hợp với trường hợp thông tin không rõ ràng (subtle information).

• Phân tích rời rạc bảo đảm tiết kiệm không gian mã và đủđể cho tổng hợp.

Tổng kết tính chất của một số Wavelet

Property Haar dbN symN coifN

Compactly supported orthgonal √ √ √ √

Symmetry √ Asymmetry √ Near symmetry √ √ Orthogonal analysis √ √ √ √ Biorthogonal analysis √ √ √ √ Exact reconstruction √ √ √ √ FIR filter √ √ √ √

53 Continous transform √ √ √ √ Discrete transform √ √ √ √ Fast algorithm √ √ √ √ Bảng 2.1: Tổng kết tính chất của một số Wavelet 2.7 Ứng dụng của Wavelet

2.7.1 Giới thiệu các ứng dụng của Wavelet

Ngày nay biến đổi Wavelet có phạm vi ứng dụng rộng rãi. Biến đổi Wavelet được áp dụng trong những lĩnh vực khác nhau từ xử lý tín hiệu tới sinh trắc học, và phạm vi ứng dụng của biến đổi Wavelet ngày càng được mở rộng.

Một trong các ứng dụng nổi bật của Wavelet là trong chuẩn nén dấu vân tay của FBI. Biến đổi Wavelet được sử dụng để nén ảnh dấu vân tay để lưu giữ trong ngân hàng dữ liệu của FBI. Ban đầu FBI chọn biến đổi Cosine rời rạc (DCT) nhưng biến đổi này không được thực hiện tốt ở tỷ số nén cao. Biến đổi này đưa ra một vài hiệu ứng chặn làm cho không thể theo các đường vân tay sau khôi phục. Điều này hoàn toàn không xảy ra với biến đổi Wavelet vì các tính chất của nó cho phép lưu giữ lại chi tiết có trong dữ liệu.

Với biến đổi Wavelet rời rạc, hầu hết thông tin quan trọng xuất hiện trong các biên độ lớn và các thông tin kém quan trọng hơn xuất hiện ở những biên độ rất nhỏ. Việc nén dữ liệu có thể thu được nhờ loại bỏ các biên độ thấp. Biến đổi Wavelet cho phép tỷ số nén cao với chất lượng khôi phục tốt.

Hiện nay, ứng dụng Wavelet cho nén ảnh là một trong những lĩnh vực nghiên cứu được quan tâm nhất. Gần đây, biến đổi Wavelet đã được chọn cho chuẩn nén JPEG 2000 [3].

Hình 2.16: Ứng dụng xử lý tín hiệu sử dụng biến đổi Wavelet

Hình 2.16 thể hiện các bước chung trong ứng dụng xử lý tín hiệu. Quá trình xử lý tín hiệu có thể bao gồm nén, mã hoá, khử nhiễu, … Tín hiệu đã xử lý được lưu giữ hoặc truyền phát đi. Với hầu hết các ứng dụng nén, quá trình xử lý bao gồm lượng tử hoá mã hoá entropy cho tới nén ảnh. Trong suốt quá trình này, toàn bộ các hệ số wavelet dưới ngưỡng được chọn bị loại bỏ. Các hệ số bị bỏ qua được thay thế bằng không trong suốt quá trình khôi phục ở đầu kia. Để khôi phục tín hiệu, mã hoá entropy được giải mã, sau đó được lượng tử hoá và cuối cùng được biến đổi Wavelet ngược.

Wavelet cũng được ứng dụng trong nén tiếng nói, nó làm giảm thời gian truyền dẫn trong các ứng dụng di động. Wavelet được sử dụng để khử nhiễu, phát hiện sườn, trích các đặc điểm, nhận dạng tiếng nói, loại bỏ tiếng vọng,… Wavelet cũng cho thấy nhiều ứng dụng triển vọng trong nén tín hiệu audio và video thời gian thực.

Wavelet cũng được ứng dụng trong thông tin số tiêu biểu như ghép kênh phân chia theo tần số trực giao OFDM (Orthogonal Frequency Division Multiplexing).

2.7.2 Wavelet trong các ứng dụng y sinh

Trong nhiều năm trước đây, biến đổi Wavelet đã được thừa nhận có mối liên hệ lớn với kỹ thuật y sinh. Vấn đề khó khăn khi xử lý tín hiệu y sinh là tính biến thiên lớn, không thể tiên đoán trước thông tin được định vịởđâu và với tỷ lệ nào.

Một khía cạnh phức tạp khác của các tín hiệu y sinh là thông tin quan tâm thường kết hợp với các đặc điểm nhưđịnh vị tạm thời và rải rác (temporally and spatially) và những

thông tin khác được khuếch tán. Do vậy yêu cầu sử dụng các phương pháp phân tích đủ linh hoạt để xử lý các khả năng có thể xảy ra trong mọi trường hợp trong miền thời gian- tần số.

Những đặc điểm của Wavelet trong phạm vi ứng dụng y sinh

Những đặc điểm chính của biến đổi Wavelet đã được trình bày ở trên, tuy nhiên Wavelet có thể được xem xét từ những góc độ khác nhau phụ thuộc vào ứng dụng mà chúng ta muốn sử dụng Wavelet. Các đặc điểm chính của Wavelet được sử dụng trong lĩnh vực y sinh [3]:

• Wavelet như là băng lọc: biến đổi Wavelet có thểđược xem như một dạng đặc biệt của phân tích phổ. Đặc điểm bao trùm đơn giản nhất có thểđược rút ra từ dạng này của hệ thống là đánh giá năng lượng ở các băng tần khác nhau. Những đặc điểm phổ của dạng này được sử dụng gần đây để phân biệt các trạng thái sinh lý học khác nhau. Tuy nhiên, dạng rút ra đặc điểm toàn cục của chỉ được chứng minh là đúng khi tín hiệu có thểđược giả thiết là tín hiệu dừng và các kết quả tương tự có thể thu được sử dụng các kỹ thuật Fourier truyền thống. Một ứng dụng chung khác của băng lọc đa phân giải Wavelet là thực hiện khử nhiễu bởi ngưỡng được lựa chọn từ các dải tần nào đó.

• Wavelet như là một bộ lọc thích hợp đa tỷ lệ (Multiscale Matched Filter). Thực chất, CWT thực hiện một phân tích tương quan, do vậy chúng ta có thể chắc rằng đầu ra là cực đại khi tín hiệu đầu vào tương đồng với hàm phân tích ψ. Nguyên tắc này là cơ sở cho bộ lọc thích hợp (matched filter). Tính chất này được sử dụng trong phát hiện các dạng sóng của tín hiệu EEG.

• Wavelet và tính định vị thời gian -tần số. Như chúng ta đã dề cập, hầu hết tín hiệu y sinh quan tâm bao gồm những xung nhưđỉnh nhọn hay đột biến và tạo dao động khuếch tán (dạng sóng EEG) làm nên tất cả những thông tin đưa tới xét nghiệm lâm sàng. Các phương pháp như STFT và các phương pháp thời gian-tần số khác thực hiện tốt khi phân tích dạng trễ của sự kiện nhưng không phù hợp khi phân tích

các khoảng thời gian tồn tại của xung ngắn. Ngoài ra, độ phân giải cố định của STFT không cho phép nghiên cứu cả hai dạng đồng thời của sự kiện với độ phân giải tốt theo thời gian và tần số. Ngược lại, biến đổi Wavelet cho phép đảm bảo độ phân giải xấp xỉ với sự mô tả đặc điểm của âm thanh nhịp tim, phân tích tín hiệu ECG, EEG cũng như là các dạng tín hiệu sinh học khác. Trong những trường hợp đặc biệt, tính linh hoạt trong xác định các dải tần của phân tích có thể thu được nhờ sử dụng sự khái quát hoá của Wavelet được biết đến với Wavelet gói (WPA). Phân tích Wavelet gói được bắt nguồn từ sự khái quát mô hình DWT truyền thống. Sự khác biệt giữa phân tích Wavelet gói và DWT là phân tích Wavelet gói cho phép hàm chi tiết có thểđược chia tiếp trên hai hay nhiều băng con.

• Các cơ sở Wavelet. Có thể một khía cạnh đáng chú ý của lý thuyết Wavelet là khả năng xây dựng các cơ sở Wavelet từ L2. Do vậy, Wavelet đưa ra biến đổi một một của tín hiệu dưới dạng các hệ số. Việc nén dữ liệu cũng như là khử nhiễu có thể thu được nhờ lượng tử hoá và co ngắn trong miền Wavelet, hoặc đơn giản là loại bỏ các hệ số không quan trọng. Hơn thế nữa, Wavelet còn là kỹ thuật cốt lõi cho kỹ thuật nén không tổn hao hiện đại và đóng vai trò quan trọng trong kỹ thuật mã hoá cho ảnh y sinh.

Các ứng dụng y sinh:

Biến đổi Wavelet được sử dụng để phân biệt các đồ thị bình thường và bệnh lý của tim. Biến đổi Wavelet được ứng dụng phát hiện điện thế muộn tâm thất (ventricular late

potential). Wavelet cũng được sử dụng để biểu thị đặc điểm của sự thay đổi bất thường từng nhịp một của tim dưới những điều kiện sinh lý học khác nhau.

Một trong những ứng dụng đầu tiên của biến đổi đầu tiên của biến đổi Wavelet trong tín hiệu y sinh là khử nhiễu. Trong phương pháp này, Wavelet trực giao và ngưỡng mềm được áp dụng trên các hệ số.

Làm nổi bật ảnh (Image Enhancement), Wavelet được sử dụng để làm nổi bật các đặc điểm của ảnh có liên quan đến triệu chứng lâm sàng và khó để quan sát bằng mắt thường.

Một trong những ứng dụng quan trọng của Image enhancement là trong lĩnh vực chụp tia X (mammography). Biến đổi Wavelet ngày càng trở nên phổ biến, các ứng dụng Wavelet đã, đang và sẽ tiếp tục được phát triển mạnh mẽ trong tương lai.

58 Chương 3:

Ứng dụng Wavelet trong công nghệ xử lý ảnh kỹ thuật số

Ngày nay, Wavelet trở thành một công cụ hiệu quả trong lĩnh vực xử lý tín hiệu. Một trong những ứng dụng nổi bật của Wavelet trong lĩnh vực xử lý tín hiệu đó là xử lý ảnh kỹ thuật số. Chương ba sẽ trình bày chi tiết về xử lý nén ảnh trên cơ sở sử dụng biến đổi Wavele Haar.

3.1 Giới thiệu về xử lý ảnh

Trong thế giới thực, người ta có thể nhận biết về một bức ảnh với mức độ chi tiết phụ thuộc vào mức độ thông tin được truyền tới.

Điều này có thểđược minh họa dựa vào một ví dụ sau: Bắt đầu từ một bức ảnh tương đối thô người ta chỉ có thể nhận ra trong bức hình là một người ngồi trên xe buýt; Sau đó bức hình được chi tiết hóa tăng dần, người ta có thể nhận ra các chi tiết cũng tăng dần, từ việc đó là một người phụ nữ trên xe buýt, rồi một người phụ nữ trẻ trên xe buýt và cuối cùng chi tiết nhất là nhận ra đó là Rosa Parks trên xe buýt.

Hình 3.1. Mức độ tăng dần chi tiết ảnh.

Có hai kết luận có giá trị có thể rút ra ởđây. Thứ nhất, có những trường hợp mà ở đó mỗi sự biểu diễn xấp xỉ cũng có thể đại diện đầy đủ cho những mục đich mà mình cần diễn đạt. Ví dụ, khi được nhìn từ một khoảng cách thích hợp, chúng đều trông như nhau. Do đó, nếu một phần chi tiết nhỏ trong bức tranh được giản lược bớt đi thì cũng không ảnh hưởng đến việc nhận diện toàn bộ bức tranh, nói cách khác là một bức ảnh bị che bớt 1 phần hoặc một ảnh lướt qua trên một video thì không cần phải hiển thị ở mức chất lượng cao hay quá nhiều chi tiết (high quality version) [2].

Thứ hai, việc truyền tăng cấp dần dần của một chuỗi các xấp xỉ tăng dần chi tiết tới một bức ảnh chuẩn thực tế là việc tự nhiên: Đó là một cách mà rất nhiều trong số chúng ta chuyển tiếp thông tin (relay information) và là cách để học các đối tượng mới.

Đó cũng là cách mà trình duyệt phổ biến Netscape World Wide Web phân phối các hình ảnh tới người dùng web: Khi chúng ta gọi một URL (địa chỉ WWW) mà chứa hình ảnh thì hình ảnh đó sẽ xuất hiện bắt đầu với các xấp xỉ thô nhất, các ô khá mờ như vỡ hình, sau đó tăng dần chi tiết, ảnh bắt đầu rõ nét dần cho tới khi đạt được ảnh rõ hoàn toàn. Tất cả các dạng truyền thông tin một cách tăng cấp dần dần có một ưu điểm chính là: người nhận có thể dừng quá trình và chuyển sang một thông tin khác nếu muốn, dựa

vào các thông tin sớm tổng quan về bức hình chứ không cần đợi nhận được toàn bộ chi tiết bức ảnh.

Wavelet cung cấp một phương pháp toán học để mã hóa thông tin/dữ liệu số học theo cách này, trong đó nó được phân lớp dựa theo mức độ chi tiết. Việc phân lớp này không chỉ áp dụng cho việc truyền dữ liệu tăng cấp dần dần như đề cập ở trên mà còn trong các xấp xỉ tương đối ở rất nhiều tầng trung gian khác.

Điểm nổi trội ở đây là các xấp xỉ có thểđược lưu trữ sử dụng không gian nhỏ hơn nhiều so với dữ liệu gốc và trong những tình huống mà không gian lưu trữ có hạn thì việc nén dữ liệu như thế là rất có giá trị.

3.2 Biến đổi Wavelet trong xử lý nén ảnh

Trong phần này sẽ giới thiệu biến đổi Wavelet cơ bản nhất, gọi là biến đổi Wavelet Haar và giải thích tại sao nó có thể được sử dụng để tạo ra các ảnh như 3 bức đầu tiên trong hình 3.1 để đưa tới hình cuối cùng, bức ảnh hoàn thiện của Rose Parks (hình ảnh này được tách ra từ một file ảnh dạng .gif tải về từ World Wide Web). Phần mềm Matlab có thểđược sử dụng để thực hiện tất cả các tính toán và tái tạo, hiển thị tất cả các bức ảnh theo dạng này [2].

Mỗi một bức ảnh số trong hình 3.1 được đại diện một cách toán học bởi một ma trận (một mảng) các số với kích thước 128x128. Giá trị của các số nằm trong dải từ 0 (đại diện cho màu đen) đến một số dương toàn bộ (đại diện cho màu trắng).

Bức ảnh cuối cùng sử dụng 32=25 độ bóng khác nhau của màu xám (gray) và do đó được gọi là ảnh 5-bit. Các số trong ma trận đặc biệt đã được sử dụng để biểu diễn ảnh này trong dải từ 0 đến 1984, trong 31 bước tăng (increment) của 64 ( những con số chính xác không quan trọng, chúng được chọn sao cho tránh các phần lẻ dư ra trong các phép tính toán sau đó).

Mỗi ma trận cung cấp tăng dần các ô vuông nhỏ trong đó đã được làm bóng một mức xám không đổi tùy thuộc vào giá trị số học của nó. Người ta gọi các ô vuông này là các điểm ảnh (hay còn gọi là các pixel); chúng có thể được nhận diện rõ hơn như các ô