.......................................................................................................................................................................................................................................................................................................
Trang 1Bài 1: Đức Trí quận 1 (2017)
Từ diểm M nằm ngoài đường tròn (O) (OM>2R),vẽ 2 tiếp tuyến MA và MB ( A và B là hai tiếp điểm ) Gọi H là giao điểm OM và AB Lấy C thuộc đoạn HB Đường thẳng MC cắt (O) tại D và E (D nằm giữa M và C)
a) Chứng minh : AD.BE= AE.BD
b) Chứng minh OHDE là tứ giác nội tiếp Chứng minh CD.ME= CE.MD
c) Gọi K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MHD Chứng minh KD là tiếp tuyến của đường tròn (O)
d) Vẽ đường kính BF của đường tròn (O) Đường thẳng MO cắt FD và FE lần lượt tại I và
N.Chứng minh O là trung điểm IN
Bài 2: Quốc tế Á Châu Quận 1(2017)
Qua điểm A nằm ngoài đường tròn (O) ta kẻ 2 tiếp tuyến AB và AC đến đường tròn (O) ( B và C
là hai tiếp điểm ) và vẽ cát tuyến ADE của (O) ( D nằm giữa A và E) sao cho O nằm bên trong góc EAC
a) Chứng minh : OA vuông góc BC tại H và AB.AC =AD.AE
b) Chứng minh OHDE là tứ giác nội tiếp
c) Gọi K là giao điểm DE và BC Chứng minh AD.KE = AE.KD
d) Gọi M là điểm đối xứng của B qua E AM cắt BC tại N
Chứng minh : ND// BM
Bài 3 : Huỳnh Khương Ninh quận 1( 2017)
Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến AB và AC (B; C là 2 tiếp điểm) và cát tuyến ADE sao cho BD < CD; AD < AE Gọi H là giao điểm của OA và BC
a) Chứng minh : 4 điểm A; B; O; C cùng thuộc một đường tròn Xác định tâm M của đường tròn này và chứng minh AB.AC = AD.AE
b) Trong (O); kẻ dây BF // DE, FC cắt AE tại điểm I Chứng minh I là trung điểm của DE
c) Gọi G là giao điểm của BC và ED Chứng minh : GE ID
GA AD d) Kéo dài IH cắt đường tròn (O) tại K sao cho H nằm giữa I và K Gọi S là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OKA Chứng minh OS IK
Trang 2Bài 4: Trần Văn Ơn quận 1
Cho ∆ABC nhọn (AB < AC).Đường tròn tâm O đường kính BC cắt hai cạnh AB,AC lần lượt tại
E,D.BD cắt CE tại H.Các tiếp tuyến tại B,D của (O) cắt nhau tại K;AK cắt BC tại M;MH cắt BK tại N.Vẽ tiếp tuyến AS đến đường tròn (O) (S thuộc cung nhỏ CD).DK cắt AH tại I.Chứng minh rằng:
a)I là trung điểm của AH và IE là tiếp tuyến của (O)
b)Gọi T(T khác A)là giao điểm của đường tròn ( '
O )ngoại tiếp ∆ABC và AK.Vẽ đường kính AF của (
'
O) Chứng minh 5 điểm B,T,K,D,O cùng thuộc 1đường tròn
c)Chứng minh : MEB=MTB
d)Chứng minh M,H,S thẳng hàng
Bài 5: Thi Hk 2 quận Thủ Đức
Cho điểm M nằm ngoài đường tròn (O,R), qua M vẽ 2 tiếp tuyến MA và MB và cát tuyến MCD đến đường tròn (O) ( A,B,C,D thuộc đường tròn (O) , tia MC nằm giữa 2 tia MO và MA H là giao điểm
MO và AB
a) Chứng minh : MAOB là tứ giác nội tiếp
b) Gọi K là trung điểm CD Chứng minh 5 điểm M,A,O,K,B thuộc 1 đường tròn và KM là tia phân giác góc ̂
c) Đường thẳng OK cắt AB tại N Chứng minh ND là tiếp tuyến của (O)
d) Vẽ đường kính BE của đường tròn (O) Từ C kẻ đường thẳng song song với OM , đường thẳng này cắt BE và ED lần lượt tại I và P Chứng minh I là trung điểm CP
Bài 6: Quận 11 hk 2 ( 2017)
Cho tam giác ABC nhọn và cân tại C Đường tròn tâm O đường kính BC cắt AB và AC lần lượt tại E
và F Gọi H là giao điểm BF và CE AH cắt BC tại D
a) Chứng minh : BEFC nội tiếp và AD vuông góc BC
b) Chứng minh ; BEHD là tứ giác nội tiếp và DA là tia phân giác góc ̂
c) Gọi AI là tiếp tuyến của đường tròn (O) với I là tiếp điểm Tia AI gần AC hơn AB Chứng minh ̂ ̂
d) Đường tròn đường kính EC cắt AC tại M Gọi K là giao điểm của BM và (O) Chứng minh KC đi qua trung điểm đoạn HF
Bài 7: Đồng Khởi quận 1 ( 2017)
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) Hai đường cao BD và CE của tam giác ABC giao nhau tại H
Trang 3a) Chứng minh tứ giác BEDC nội tiếp và AH vuông góc với BC
b) Vẽ dây MN vuông góc với BC tại K ( M thuộc cung nhỏ BC ) Đường thẳng đi qua K và song song với AN cắt MH ở I Gọi giao điểm của IK với AC , AB theo thứ tự là S và F Chứng minh MS vuông góc với AC và MF vuông góc với AB
c) Gọi Q là điểm đối xứng với M qua AB , G là điểm đối xứng với M qua AC Chứng minh 3 điểm Q, H,G thẳng hàng
d) Chứng minh I là trung điểm của MH
Bài 8: Phan Sào Nam quận 3( 2017)
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) Các đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H Các tiếp tuyến tại B và C của đường tròn (O) cắt nhau tại I , AI và OI lần lượt cắt BC tại K và M a) Chứng minh ; BFEC nội tiếp và H thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF
b) Chứng minh : ME tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF
c) Gọi N là giao điểm AM và EF Chứng minh : NK // OI
d) Qua D kẻ đường thẳng vuông góc FD , đường thẳng này cắt EF tại S Gọi P,L lần lượt là trung điểm BH và FS , Q là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MEF Chứng minh: P,Q,L thẳng hàng
Bài 9: Đoàn Thị Điểm quận 3( 2017)
Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC) nội tiếp đường tròn (O,R) có đường cao AD( D thuộc BC) Tia AD cắt (O) tại điểm M( M khác A) Vẽ ME vuông góc AC tại E Đường thẳng ED cắt đường thẳng AB tại I a) Chứng minh : tứ giác MDEC nt và MI vuông góc AB
b) Chứng minh : AB.AI = AE.AC
c) Gọi H là điểm đối xứng của M qua BC , tia BH cắt AC tại S Lấy điểm T thuộc AB sao cho ST// EI Chứng minh C,H,T thẳng hàng
d) Vẽ đường kính AK của đường tròn (O) cắt BC tại F AH cắt TS tại I Chứng minh: IF // HK
Bài 10: Lê Quý Đôn quận 3( 2017)
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (O,R) với AB < AC , đường cao AD của tam giác ABC cắt (O) tại I
a) Vẽ đường kính AK của (O) Chứng minh AB.AC = AD.AK và BCKI là hình thang cân
b) Gọi E và F lần lượt là hình chiếu vuông góc của B và C lên AK Chứng minh ABDE nội tiếp và DE//
CK
c) Gọi M là trung điểm BC Chứng minh M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF
d) Gọi H là trực tâm tam giác ABC và N là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC sao cho AH =R Chứng minh 5 điểm B,H,O,C,N cùng thuộc 1 đường tròn
Bài 11: Lương Thế Vinh quận 3
Cho đường tròn (O,R) và điểm M nằm ngoài đường tròn (O), ta vẽ 2 tiếp tuyến MA và MB đến đường tròn (O) ( A và B là hai tiếp điểm ) Gọi H là giao điểm AB và OM
a) Chứng minh : 4 điểm M,A,O,B cùng thuộc 1 đường tròn Xác định tâm của đường tròn này
Trang 4b) Gọi E là trung điểm của MB Đường thẳng EA cắt (O) tại C.Đường thẳng MC cắt (O) tại D.Chứng minh OHCD là tứ giác nội tiếp
c) Chứng minh điểm D thuộc đường tròn (B,BA)
d) Vẽ tiếp tuyến tại C của đường tròn (O) cắt MA và MB lần lượt tại F và K, AB cắt OF và OK lần lượt tại P và Q , FQ cắt PK tại I Chứng minh : O, I,C thẳng hàng
Bài 12: Collette quận 3
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) vẽ đường cao AH ( H thuộc BC) Gọi D và E lần lượt
là hình chiếu vuông góc của H lên AB và AC
a) Chứng minh : BDEC là tứ giác nội tiếp
b) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BDEC và K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE Chứng minh ; OA vuông góc DE và tứ giác OAKI là hình bình hành
c) Đường tròn (K) cắt đường tròn (O) tại điểm thứ 2 là F
Chứng minh ; I,H,F thẳng hàng
d) Chứng minh : AF,DE, BC đồng quy
Bài 13 : Lê Lợi quận 3
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O,R ) có đường cao AH ( H thuộc BC ),vẽ HD vuông góc
AB tại D và HE vuông góc AC tại E , đường kính AK của đường tròn (O) cắt DE tại I
a) Chứng minh tứ giác ADHE và BDCE là các tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh ; AH vuông góc DE và AI.AK = AD.AB
c) Đường tròn tâm A bán kính AH cắt đường tròn (O) tại M và N Chứng minh AM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác MIK
d) Chứng minh I là trung điểm DE
Câu 14: tham khảo Lê Anh Xuân ( quận Tân Phú)
Cho tam giác ABC nhọn và nội tiếp đường tròn (O,R) (AB>AC) , hai đường cao BE và CF của tam giác ABC cắt nhau tại H , CF cắt (O) tại P ,BE cắt (O) tại Q
a) Chứng minh : BFEC là tứ giác nội tiếp và EF//PQ
b) Gọi D là giao điểm AB và PQ chứng minh ; AP2=AD.AB
c) Lấy điểm M thuộc cung nhỏ BC , gọi I là giao điểm MP và AB , K là giao điểm MQ và AC Chứng minh 3 điểm I,H,K thẳng hàng
d) Giả sử rằng EF=R tính số đo góc ̂
Câu 15: Tham Khảo Lê Anh Xuân ( quận Tân Phú )
Qua điểm M nằm ngoài đường tròn (O) vẽ 2 tiếp tuyến MA và MB đến đường tròn (O) và cát tuyến MCD đến (O) (C nằm giữa M và D , tia MC nằm giữa MO và MA)
a) Chứng minh : Tứ giác OIAB nội tiếp
b) Chứng minh ; IA là tia phân giác góc ̂
c) Kẻ dây BE của (O) , BE //CD Chứng minh : 3 điểm A,I,E thẳng hàng
d) Qua C kẻ đường thẳng vuông góc với OM , đường thẳng này cắt MA,DA lần lượt tại L và K
.Chứng minh LC=LK
Câu 16: Tham khảo Lê Anh Xuân quận Tân Phú
Trang 5Qua điểm S nằm ngoài đường tròn (O) , vẽ hai tiếp tuyến SA và SB (A và B là hai tiếp điểm ) và cát tuyến SEF đến đường tròn (O) ( tia SE nằm giữa SA và SO và E nằm giữa S và F), gọi I là trung điểm
EF
a) Chứng minh: 5 điểm O,I,A,B,S cùng thuộc 1 đường tròn
b) Chứng minh : IS là tia phân giác góc ̂
c) AI cắt (O) tại N Chứng minh FN=BE
d) Đường thẳng qua I và song song FA cắt AB tại D Chứng minh DE vuông góc OA và 3 điểm F,D,K thẳng hàng ( K là trung điểm SA)
Câu 17: THCS Văn Lang quận 1
Cho đường tròn (O,R) và điểm M nằm ngoài đường tròn (O) Vẽ 2 tiếp tuyến MA và MB của đường tròn (O) (A và B là hai tiếp điểm ), vẽ cát tuyến MDE của đường tròn (O) ( D nằm giữa M và E , tia MD nằm giữa 2 tia MB và MO)
a) Chứng minh : M,A,O,B cùng thuộc 1 đường tròn và tìm tâm của đường tròn này
b) Gọi H là giao điểm AB và OM Chứng minh : tam giác MDH đồng dạng MOE và OEDH là tứ giác nội tiếp
c) Tia MO cắt (O) tại N và P ( N nằm giữa M và P) Chứng minh : MN.PH = MP.NH
d) Vẽ các đường kính BK và DQ của (O) , MP cắt EK tại G , tia QK cắt tia BA tại C Gọi F là trung điểm BC Chứng minh : GF //MB
Câu 18 : Đề tham khảo phòng giáo dục Phú Nhuận
Cho AH là đường cao tam giác ABC nhọn (AB< AC) nội tiếp (0, R ), H thuộc BC.Vẽ HD vuông góc
AB tại D, HE vuông góc AC tại E
a.Chứng minh các tứ giác ADHE nội tiếp, BCED nội tiếp
b Đường kính AK của đường tròn tâm O cắt BC tại I Chứng minh 2 2
Câu 19: THCS Chánh Hưng quận 8
Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC) nội tiếp (O,R) đường kính AS Vẽ AK vuông góc BC tại K Gọi M
và N lần lượt là hình chiếu của K lên AB và AC
a) Chứng minh : AMKN là tứ giác nội tiếp Xác định tâm của đường tròn này
b) Vẽ bán kính OD vuông góc BC Chứng minh : AD là tia phân giác góc ̂
c) Qua A vẽ đường thẳng d song song SD , đường thẳng OM cắt AD,AK , và d theo thứ tự ở E,I,F Chứng minh : EI.FO=EO.FI
Trang 6d) Chứng minh :
Câu 20:Thi học kì 2 quận Bình Tân 2014-2015
Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC) nội tiếp đường tròn (O) có hai đường cao là BD và CE
a) Chứng minh : BEDC nội tiếp và tam giác ABC đồng dạng tam giác ADE
b) Tiếp tuyến tại B và C của đường tròn (O) cắt nhau tại M , OM cắt BC tại H Chứng minh ; AB.BH=AD.BM
c) Chứng minh : tam giác ADH đồng dạng tam giác ABM
d) AM cắt DE tại I Chứng minh I là trung điểm DE
Bài Giải:
Hướng dẫn giải 1 số câu hình học ôn thi tuyển sinh 10
Đức Trí quận 1:
Trang 7Câu c:
Ta có ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ( đpcm)
Câu d : gọi Q là trung điểm DE khi đó ta có 5 điểm A,M, B,Q,O cùng thuộc 1 đường tròn
Và khi đó FON
Do đó
Quốc tế Á CHÂU QUẬN 1
Trang 8c) Cminh : AD.KE = AE.KD
Vì tứ giác OHDE nt nên dễ dàng có góc ̂ ̂ ̂ = ̂ ( cùng phụ 2 góc bằng nhau)
Vậy nên HK và HA lần lượt là 2 phân giác trong và ngoài của tam giác EHD
Do đó
d) Chứng minh ND//BM ( M là điểm đối xứng của B qua E và AM cắt BC tại N )
Ta kẻ DN’ // BE (N’ thuộc BC ), cho AN’ cắt BE tại M’ Ta đi chứng minh BE=EM’ để M’ trùng M
Trang 9Thật vậy có =
Huỳnh Khương Ninh quận 1:
b) chứng minh: I là trung diểm DE
Ta chứng minh AIOC là tgnt để suy ra ̂
Thật vậy có DE//BF nên ̂ ̂ ̂ ̂( góc nt = nưả góc ở tâm )=
̂( tính chất tiếp tuyến )
Vậy AIOC nt ( 2 đỉnh liên tiếp nhìn 1 cạnh) suy ra ̂ nên OI vuông DE vậy I là trung
điểm DE ta có đpcm
c) CM :
có GE.AD=(AE-AG).AD=AE.AD -AG.AD và ID.AG= AG( AI=AD)=AG.AI-AG.AD
Mặt khác lại có AD.AE=AH.AO =AB2 và AH.AO= AG.AI ( 2 tam giác AHG đồng dạng AIO), vậy
nên AG.AI=AE.AD từ đó có GE.AD = ID.AG ta suy ra đpcm
Trang 10d) CM : OS vuông góc IK
có ̂=90- ̂ đồng dạng OKH( c.g.c) nên ̂ ̂
do đó ̂ ̂ =90 vậy nên IK vuông góc SO ( đpcm )
Trần Văn Ơn quận 1:
từ đó có AT.AM =AH.AQ ( tam giác đồng dạng ATH đồng dạng AQM)
Trang 11và AH.AO = AE.AB ( AEH đồng dạng AQB)
vậy nên AT.AM =AE.AB nên TEBM nt ( tính chất phương tích đảo ) suy ra đpcm
d)
ta có AQOS nội tiếp nên ̂ ̂ mặt khác SA2=AD.AC = AH.AQ
Từ đó tam giác ASH đồng dạng AQS nên có ̂ ̂ ̂ ̂ ̂=90 nên OA vuông góc SH
Mặt khác dễ có H là trực tâm tam giác MAO nên MH vuông góc AO vậy M,H,S thẳng hàng ( đpcm )
Thi học kỳ 2 Thủ Đức 2017
c) Chứng minh ND là tiếp tuyến của (O)
Trang 12
Ta có OK.ON= OH.OM ( tam giác OHN đồng dạng OKM( g.g)
Mặt khác OH.OM = OA2=R2=OD2 vậy nên OK.ON =OD2 do đó tam giác OKD đồng dạng ODN ( c.g.c)
Mà ̂ ̂ suy ra đpcm
d) Chứng minh I là trung điểm CP
để ý K là trung điểm CD nên ta sẽ cminh IK//DE ( để áp dụng tính chất đường trung bình )
Trang 13Câu c
Ta có AI2=AF.AC ( tính chất phương tích )và AF.AC = AH.AD
Từ đó AI2=AH.AD nên tam giác AIH đồng dạng ADI (c.g.c) nên góc ̂ ̂ (đpcm )
Câu d:
Vì tam giác ABC cân tại C (AC =BC ) nên góc ̂ ̂ ̂ ̂ ̂
Do đó tam giác EAF cân tại E và EM vuông góc FA nên M là trung điểm AF
Gọi L là giao điểm KC và HF thì ta có H là trực tâm tam giác ABC nên FA.FC =FH.FB
Và L là trực tâm tam giác MBC nên FL.FB=FM.FC từ đó có FH=2 FL hay L là trung điểm FH ( đpcm )
Đồng Khởi quận 1:
Trang 14b) Ta chứng minh MKFB là tứ giác nội tiếp
Vì FK// AN nên ̂ ̂ ̂ + ̂ Vậy nên ̂ ̂ ̂
Tương tự ta có ̂ ̂ ( cặp góc đồng vị bằng nhau do AN//SK) mà ANCM nt nên ̂ ̂
Do đó ̂ ̂ nên KCSM là tứ giác nt suy ra ̂ suy ra MS vuông góc AC
c) Chứng minh ; Q,H,G thẳng hàng
Đây là bài toán đường thẳng Steiner
Ta chứng minh AHBQ là tứ giác nt
Vì M và Q đối xứng nhau qua trục AB nên ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ suy ra AHBQ là tứ giác nội tiếp ̂ ̂ ̂
Tương tự ta cũng chứng minh được AHCG nt ̂ ̂ ̂
Mà ABMC nt ̂ ̂ ̂ ̂
Trang 15d) Chứng minh I là trung điểm MH
Do FS là đường trung bình tam giác MQG nên FS//QG nên FI//QH
Mà F là trung điểm MQ nên I là trung diểm MH ( tính chất đường trung bình ) ( đpcm )
Phan Sào Nam quận 3( 2017-2018)
Trang 16Từ (3) và (4)
Câu d:
Theo bài toán đường tròn Euler ta dễ dàng có được EFDM nt nên Q là tâm đường tròn đi qua 4 điểm F,E,M,D nên Q cách đều F và D (1)
Mặt khác vì P là trung điểm BH nên PD=PF =BH/2 suy ra P cách đều F và D (2)
Tương tự cũng có L cách đều F và D ( vì L là trung điểm FS)(3)
Từ (1),(2),(3) suy ra Q,P,L thẳng hàng ( cùng nằm trên trung trực của đoạn FD)( đpcm)
Đoàn Thị Điểm Quận 3:
Trang 17c) Vì H đối xứng với M qua trục BC nên có ̂ ̂ ̂ nên từ đó ̂ do vậy H là trực tâm tam giác ABC nên CH vuông góc AB
ta sẽ đi cminh CT vuông góc AB để suy ra C,H,T thẳng hàng
Thật vậy vì ST// EI nên ̂ ̂ ̂ ( vì BDMI nt ) ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂
d) gọi P là giao điểm AK và EF ta dễ dàng chứng minh được AK vuông góc TS ( vì ̂ ̂ ̂ )
Khi đó AP.AK =AT.AB =AH.AD( thông qua các tam giác đồng dạng ) ( 1)
Mặt khác tương tự AQ.AD =AP`AF
Từ (1) và (2) ta có
Lương Thế Vinh quận 3